3.2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（十大考點(diǎn)）（原卷版）

雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)雙曲線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線等幾何性質(zhì)；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程；3.會(huì)判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系；4.能運(yùn)用直線與雙曲線的位置關(guān)系解決相關(guān)的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦問題.一、雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形性質(zhì)焦點(diǎn)焦距范圍,或或?qū)ΨQ性關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)軸長(zhǎng)實(shí)軸長(zhǎng)2a,虛軸長(zhǎng)2b離心率漸近線二、等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線,它有以下性質(zhì)：(1)方程形式為；(2)漸近線方程為,它們互相垂直；(3)離心率三、直線與雙曲線的位置關(guān)系一般地,設(shè)直線方程為,雙曲線方程為,將代入,消去y并化簡(jiǎn),得.①當(dāng),即時(shí),直線與漸近線平行,則直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；②當(dāng),即時(shí),判別式直線與雙曲線相交,有兩個(gè)公共點(diǎn)；判別式直線與雙曲線相切,有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；判別式直線與雙曲線相離,沒有公共點(diǎn)．考點(diǎn)01由雙曲線方程得到幾何性質(zhì)1．雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的3倍，則m的值為（

）A．9 B．－9 C． D．2．已知F為雙曲線C：的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為（

）A． B．3 C．2 D．13．設(shè)雙曲線(，)的虛半軸長(zhǎng)為1，半焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．4．已知雙曲線，則下列選項(xiàng)中不正確的是（

）A．的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 B．的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C．的離心率為 D．的虛軸長(zhǎng)為5．已知雙曲線與，下列說法正確的是（）A．兩個(gè)雙曲線有公共頂點(diǎn)B．兩個(gè)雙曲線有公共焦點(diǎn)C．兩個(gè)雙曲線有公共漸近線D．兩個(gè)雙曲線的離心率相等6．求下列雙曲線的實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)、頂點(diǎn)的坐標(biāo)、離心率和漸近線方程，并畫出雙曲線的草圖：(1)；(2)．考點(diǎn)02由幾何性質(zhì)得到雙曲線方程7．已知雙曲線的一條漸近線斜率為，實(shí)軸長(zhǎng)為4，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．8．已知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為4，實(shí)軸長(zhǎng)為6，則的方程為（

）A． B．C． D．9．已知雙曲線過點(diǎn)，且與雙曲線有共同的漸近線，則雙曲線的方程為.10．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)經(jīng)過、兩點(diǎn)．(2)過點(diǎn)，且與橢圓有相同焦點(diǎn)雙曲線方程.11．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)與橢圓有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)；(2)焦點(diǎn)在軸上，焦距為，漸近線斜率為；(3)離心率，且經(jīng)過點(diǎn)；(4)經(jīng)過點(diǎn)，且一條漸近線的方程為．12．（1）求符合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：①頂點(diǎn)在軸上，兩頂點(diǎn)間的距離是8，；②漸近線方程是，虛軸長(zhǎng)為4.（2）斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于、兩點(diǎn)．求線段的長(zhǎng)．13．求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)雙曲線C的漸近線方程為，焦點(diǎn)在y軸上，兩頂點(diǎn)之間的距離為4；(2)雙曲線E與雙曲線有共同的漸近線，并且經(jīng)過點(diǎn).考點(diǎn)03求雙曲線的離心率14．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過斜率為的直線與的右支交于點(diǎn)，若線段與軸的交點(diǎn)恰為的中點(diǎn)，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．315．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，直線與另一漸近線交于點(diǎn)，若是的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．316．已知坐標(biāo)平面中，點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的左支上，與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的外心，若、、三點(diǎn)共線，則雙曲線的離心率為（）A． B．3 C． D．517．設(shè)是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為.若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．18．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作一條直線與雙曲線右支交于兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為，若，則該雙曲線的離心率為.19．已知雙曲線，直線與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，直線與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，若，則雙曲線C的離心率等于．20．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過雙曲線上一點(diǎn)向軸作垂線，垂足為，若且與垂直，則雙曲線的離心率為.考點(diǎn)04求雙曲線離心率的取值范圍21．雙曲線（，）的焦距為，已知點(diǎn)，，點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，且，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．22．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為右支上一點(diǎn)，與的左支交于點(diǎn).若，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．23．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)為雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)，且的周長(zhǎng)不小于18，則雙曲線的離心率的取值范圍為.24．設(shè)點(diǎn)F為雙曲線的左焦點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)O且斜率的直線與雙曲線C交于A?B兩點(diǎn)，AF的中點(diǎn)為P，BF的中點(diǎn)為Q.若，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是.25．曲線且過定點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，若，則該橢圓的離心率取值范圍是．26．已知雙曲線，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，若C上的任意一點(diǎn)P都滿足，則C的離心率取值范圍是．27．已知斜率為2的直線l過雙曲線（）的右焦點(diǎn)，若直線l與雙曲線的左、右兩支都相交，則雙曲線的離心率e的取值范圍是．若直線l與雙曲線的一支相交，則雙曲線的離心率e的取值范圍是．考點(diǎn)05雙曲線的漸近線問題28．已知雙曲線虛軸的一個(gè)頂點(diǎn)為D，分別是C的左，右焦點(diǎn)，直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若的重心在以為直徑的圓上，則C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．29．已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．30．過原點(diǎn)的直線l與雙曲線E：交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），交x軸于C點(diǎn)，直線BC交雙曲線于點(diǎn)D，且，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．31．已知為雙曲線：的右焦點(diǎn)，平行于軸的直線分別交的漸近線和右支于點(diǎn)，，且，，則的離心率為（

）A． B． C． D．32．（多選）已知橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，的一條漸近線與以的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于兩點(diǎn)，若恰好將線段三等分，則（

）A． B． C． D．33．已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，，，點(diǎn)P到雙曲線的兩條漸近線的距離分別為，，則＝．34．設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線及其漸近線在第一象限分別交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程為.考點(diǎn)06直線與雙曲線的位置關(guān)系35．直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)．36．若直線與單位圓（圓心在原點(diǎn)）和曲線均相切，則直線的一個(gè)方程可以是37．已知雙曲線，直線，若直線與雙曲線的交點(diǎn)分別在兩支上，求的范圍．38．已知直線與雙曲線，若直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.39．討論直線與雙曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．40．已知雙曲線E的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，并且E經(jīng)過點(diǎn).(1)求雙曲線E的方程；(2)過點(diǎn)的直線l與雙曲線E有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線l的方程.考點(diǎn)07雙曲線的弦長(zhǎng)問題41．已知雙曲線：，若直線的傾斜角為60°，且與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)P，若，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.42．已知雙曲線離心率為，且過點(diǎn)，過雙曲線的右焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為左焦點(diǎn).(1)寫出直線的方程；(2)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)求的面積.43．已知雙曲線，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，且離心率為．(1)求雙曲線的方程；(2)直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，求的值．44．已知雙曲線的焦距為6，且虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的倍.(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線的右焦點(diǎn)F且傾斜角為的直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，求.45．已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且其兩條漸近線相互垂直．(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)的直線與雙曲線相交于不同的兩點(diǎn)，若的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程．46．已知圓，圓，圓P與圓M，圓N都外切，圓P的圓心的軌跡記為Q．(1)求Q的方程；(2)若直線與Q交于A，B兩點(diǎn)，求．47．雙曲線的一條漸近線方程為，過焦點(diǎn)且垂直于軸的弦長(zhǎng)為．(1)求雙曲線方程；(2)過雙曲線的下焦點(diǎn)作傾角為的直線交曲線于、，求的長(zhǎng)．考點(diǎn)08雙曲線的中點(diǎn)弦問題48．直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率為(

)A．3 B．6 C．8 D．1249．設(shè)A，B為雙曲線右支上的兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為，則直線AB的方程是（

）A． B． C． D．50．過點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則直線的方程是（

）A． B．C． D．51．不與x軸重合的直線l過點(diǎn)N（,0）（xN≠0），雙曲線C：（a＞0，b＞0）上存在兩點(diǎn)A、B關(guān)于l對(duì)稱，AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為．若，則C的離心率為．52．已知，直線相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是3.(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)過點(diǎn)能否作一條直線m與軌跡C交于兩點(diǎn)P，Q，且點(diǎn)N是線段的中點(diǎn)？若能，求出直線m的方程；若不能，說明理由．53．已知雙曲線，過點(diǎn)作直線交雙曲線于，，若線段的中點(diǎn)在直線上，求直線的斜率．54．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，且它的一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與其相交于、兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求此雙曲線的方程．考點(diǎn)09雙曲線的實(shí)際應(yīng)用55．如圖，B地在A地的正東方向處，C地在B地的北偏東方向處，河流的沿岸（曲線）上任意一點(diǎn)到A的距離比到B的距離遠(yuǎn)．現(xiàn)要在曲線上選一處M建一座碼頭，向B、C兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物．經(jīng)測(cè)算，從M到B、C兩地修建公路的費(fèi)用分別是a萬元/、萬元/，那么修建這兩條公路的總費(fèi)用最低是（

）A．萬元 B．萬元 C．萬元 D．萬元56．（多選）我國(guó)首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，從發(fā)出的光線射在雙曲線右支上一點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線過；當(dāng)異于雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，雙曲線在點(diǎn)處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．射線所在直線的斜率為，則B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，光線由到再到所經(jīng)過的路程為13D．若點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與相切，則57．如圖1，北京冬奧會(huì)火種臺(tái)以“承天載物”為設(shè)計(jì)理念，創(chuàng)意靈感來自中國(guó)傳統(tǒng)青銅禮器一尊的曲線造型，基座沉穩(wěn)，象征“地載萬物”，頂部舒展開闊，寓意迎接純潔的奧林匹克火種．如圖2，一種尊的外形近似為某雙曲線的一部分繞著虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，尊高63cm，上口直徑為40cm，底部直徑為26cm，最小直徑為24cm，則該雙曲線的漸近線與實(shí)軸所成銳角的正切值為．58．費(fèi)馬定理是幾何光學(xué)中的一條重要原理，在數(shù)學(xué)中可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些光學(xué)性質(zhì)．例如，點(diǎn)P為雙曲線（，為焦點(diǎn)）上一點(diǎn)，點(diǎn)P處的切線平分．已知雙曲線C：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，l是點(diǎn)處的切線，過左焦點(diǎn)作l的垂線，垂足為M，則．59．如圖，某綠色蔬菜種植基地在A處，現(xiàn)要把此處生產(chǎn)的蔬菜沿道路或運(yùn)送到農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)中去，已知，，，能否在農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)中確定一條界線，使位于界線一側(cè)的點(diǎn)沿道路運(yùn)送蔬菜較近，而另一側(cè)的點(diǎn)沿道路運(yùn)送蔬菜較近？如果能，說出這條界線是一條什么曲線，并求出該曲線的方程.60．如圖，發(fā)電廠的冷卻塔被設(shè)計(jì)成單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面的形狀（雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面），可以加強(qiáng)對(duì)流，自然通風(fēng).已知某個(gè)冷卻塔的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為25m，高為55m.試選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求此雙曲線的方程.附：61．、、是我方三個(gè)炮兵陣地．在的正東，相距6千米；在的北偏西30°，相距4千米．為敵炮兵陣地．某時(shí)刻發(fā)現(xiàn)地某種信號(hào)，4秒后、兩地才同時(shí)發(fā)現(xiàn)這種信號(hào)（該信號(hào)的傳播速度為1千米/秒）．若從地炮擊地，求準(zhǔn)確炮擊的方位角．考點(diǎn)10雙曲線的綜合應(yīng)用62．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，.過的直線l交C的右支于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，M，N到C的一條漸近線的距離之和為.(1)求C的方程；(2)證明：為定值.63．已知雙曲線C:的左?右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線C的右頂點(diǎn)A在圓O:上，且.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)動(dòng)直線與雙曲線C恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點(diǎn)M，N，求△OMN(O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積．64．已知雙曲線C：的離心率為，過點(diǎn)的直線l與C左右兩支分別交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)（異于頂點(diǎn)）．(1)若點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線OP與直線MN斜率之積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；(2)若A，B為雙曲線的左右頂點(diǎn)，且，試判斷直線AN與直線BM的交點(diǎn)G是否在定直線上，若是，求出該定直線，若不是，請(qǐng)說明理由65．已知雙曲線：經(jīng)過點(diǎn)，其中一條漸近線為.(1)求雙曲線的方程；(2)一條過雙曲線的右焦點(diǎn)且縱截距為的直線，交雙曲線于，兩點(diǎn)，求的值.66．已知雙曲線的兩條漸近線分別為，.(1)求雙曲線的離心率；(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過雙曲線上一點(diǎn)作直線分別交直線，于，兩點(diǎn)（，分別在第一、第四象限），且，求的面積.67．已知圓，，動(dòng)圓與圓，均外切，記圓心的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)直線過點(diǎn)，且與曲線交于兩點(diǎn)，滿足，求直線的方程．68．已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為，且C的一條漸近線恰好與直線垂直.(1)求C的方程；(2)直線l：與C的右支交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在C上，且軸.求證：直線BD過點(diǎn)F.基礎(chǔ)過關(guān)練1．已知頂點(diǎn)在軸上的雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為，其兩條漸近線方程為，該雙曲線的焦點(diǎn)為（

）A． B．C． D．2．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線與的右支交于點(diǎn)，若為等腰三角形，則點(diǎn)到軸的距離為（

）A． B． C．3 D．53．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為為虛軸上端點(diǎn)，是中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，交雙曲線右支于，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．4．已知雙曲線C：的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則C的方程為（

）A． B．C． D．5．（多選）已知雙曲線的焦距為4，兩條漸近線的夾角為，則下列說法正確的是（

）A．的離心率為 B．的標(biāo)準(zhǔn)方程為C．的漸近線方程為 D．直線經(jīng)過的一個(gè)焦點(diǎn)6．（多選）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，過點(diǎn)可作直線與曲線交于，兩點(diǎn)，使，則曲線可以是（

）A． B．C． D．7．直線與雙曲線的左支交于不同兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．8．雙曲線，離心率為，焦點(diǎn)到漸近線距離為1，則雙曲線方程為．9．已知雙曲線，其一條漸近線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則該雙曲線的虛軸長(zhǎng)為.10．求中心在原點(diǎn)，適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)頂點(diǎn)在軸上，兩頂點(diǎn)間的距離是10，且經(jīng)過點(diǎn)；(2)一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，一條漸近線方程為．11．已知橢圓，左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)．(1)求的長(zhǎng)和的周長(zhǎng)；(2)求的面積．12．已知橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為．(1)求橢圓C的方程；(2)過橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，求直線l的方程．能力提升練1．已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，，平分，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．2．已知雙曲線右支上非頂點(diǎn)的一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為為雙曲線的右焦點(diǎn)，若，設(shè)，且