2022屆（全國乙卷）文科數(shù)學模擬試卷二（學生版+解析版）

保密★啟用前

2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試模擬卷二

（全國乙卷?文科）

學校:姓名：班級：考號：

題號一二三總分

得分

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡

上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

評卷人得分

一、單選題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小

題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1.（本題5分）已知集合4=卜€(wěn)42-2工-3?0},B={x|y=log2（3-x）},則Au3=

（）

A.（—,3]B.{0,1,2,3}C.{0,1,2}D.R

2.（本題5分汜知命題p：叫>0,In/<0,命題4：VxeR,e*>l,則下列命題為真命題

的是（）

A.B.PZ

C.PHD.-i（pvq）

3.（本題5分）在復平面內(nèi)，復數(shù)2=二（其中i為虛數(shù)單位）對應的點位于（）

1-1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.（本題5分妝口圖為陜西博物館收藏的國寶一唐?金筐寶鈿團花紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，

是唐代金銀細工的典范之作.該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線C：《-￡=1的右

39

支與直線x=0,y=4,y=-2圍成的曲邊四邊形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，

則雙曲線C的漸近線方程是（）

A.y=±-xB.y=±3xc-y=±TxD.y=±y/3x

5.（本題5分）旅游是人們?yōu)閷で缶裆系挠淇旄惺芏M行的非定居性旅行和游覽過程中

所發(fā)生的一切關(guān)系和現(xiàn)象的總和.隨著經(jīng)濟生活水平的不斷提高，旅游已經(jīng)成為人們生

活的一部分.某地旅游部門從2020年到該地旅游的游客中隨機抽取部分游客進行調(diào)查,

得到各年齡段游客的人數(shù)和旅游方式如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

A.估計2020年到該地旅游的游客選擇自助游的青年人的人數(shù)占總游客人數(shù)的13.5%

B.估計2020年到該地旅游的游客選擇自助游的中年人的人數(shù)少于選擇自助游的青年人

人數(shù)的一半

C.估計2020年到該地旅游的游客選擇自助游的老年人和中年人的人數(shù)之和比選擇自助

游的青年人多

D.估計2020年到該地旅游的游客選擇自助游的比率為8.75%

6.（本題5分）已知“=（，b=log,2,c=log43,則有（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a

7.（本題5分）等差數(shù)列｛%｝中，囚，4為等比數(shù)列，則公比為（）

A.1或4B.yC.--D.1

8.（本題5分）若AABC滿足/=從+°2-be，且sin8=2sinC,則AABC的形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.銳角三角形或直角三角形

9.（本題5分）已知直線加_1_平面a,直線”u平面夕，則“a〃尸”是“m_L〃”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

10.（本題5分）已知圓例：/+y2—2沖=0（4>0）截直線x+y=0所得線段的長度是2夜，

則圓M與圓M（》-1）2+&-1）2=1的位置關(guān)系是（）

A.內(nèi)含B.相交C.外切D.外離

11.體題5分）已知函數(shù)〃x）=2sin（5+e）3>o，M|4m）圖象相鄰兩條對稱軸間的距

離為詔且對任意實數(shù)X,都有將函數(shù)y=〃x）圖象向左平移2個單位

長度，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，則關(guān)于函數(shù)y=/（x）+g（x）描述不正確的是（）

A.最小正周期是2萬B.最大值是逐+四

C.函數(shù)在0T,T-上單調(diào)遞增D.圖象關(guān)于直線x=TfT對稱

_3」4

12.（本題5分）已知點P為拋物線V=4x上一動點，A（l,0）,B（3,0）,則44PB的最

大值為（）

評卷人得分

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.體題5分）若平面向量/］滿足向=5,向=3,|，邪6,則：工=.

I7

14.（本題5分）曲線y=_2在點處的切線的傾斜角為一

15.（本題5分）已知定義在R上的奇函數(shù)/（x）,滿足f（x+2）=-f（x）,且當xe［0,l］時，

/（X）=/+x+sinx,若方程/（x）=m（m>0）在區(qū)間［-4,4］上有四個不同的根內(nèi),々,匕，，

則為+&+再+匕的值為.

16.（本題5分）當xe0,—時，不等式m<sinx（cosx-bsinx）+正?<7"+2恒成立，則

L2」2

實數(shù)機的取值范圍為.

評卷人得加三、解答題（共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟，第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、

23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.）

（-）必考題：共60分

17.（本題12分）已知數(shù)列｛叫滿足4=l，4,=4i+2（"eN*,〃22）

（1）求數(shù)列｛q｝的通項公式；

（2）若數(shù)列他,｝滿足“=（〃eN）,5“是數(shù)列色｝的前"項和，求S”.

44+1

18.（本題12分）某企業(yè)有甲、乙兩條生產(chǎn)線，其產(chǎn)量之比為4:1.現(xiàn)從兩條生產(chǎn)線上按

分層抽樣的方法得到一個樣本，其部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表（單位：件），且每件產(chǎn)品都有各

自生產(chǎn)線的標記.

產(chǎn)品件數(shù)一等品二等品總計

甲生產(chǎn)線2

乙生產(chǎn)線7

總計50

（1）請將2x2列聯(lián)表補充完整，并根據(jù)獨立性檢驗估計；大約有多大把握認為產(chǎn)品的

等級差異與生產(chǎn)線有關(guān)？

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k()2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n^ad-bc\

參考公式：K2=

(“+人)(c+")(a+c)(b+4)

（2）從樣本的所有二等品中隨機抽取2件，求至少有1件為甲生產(chǎn)線產(chǎn)品的概率.

19.（本題12分）如圖，正三棱柱ABC-A8c的底面4ABe的邊長為2,且滿足±B,C.

B

(1)證明：B.CLC.A.

（2）求三棱錐4-ABC的體積V.

產(chǎn)+V

20.(本題12分)設(shè)Q,&分別是橢圓C:=l(a>6>0)的左，右焦點，M是C上一

/b2

點且ME與x軸垂直，直線MFi與C的另一個交點為N.

3

(1)若直線MN的斜率為二，求。的離心率；

4

(2)若直線MN在)?軸上的截距為2,且|MN|=5|QN|,求a,b.

21.(本題12分)已知函數(shù)/'(x)=x3,x>0,g(x)=ax+b,其中a/eR

(1)若a+b=0,且/(x)的圖象與g(x)的圖象相切，求。的值；

(2)若/(x)Ng(x)對任意的x>0恒成立,求a+6的最大值.

(二)選考題:共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做.則按所做

的第一題計分.

［選修4-4:坐標系與參數(shù)方程］

22.(本題10分)已知曲線的參數(shù)方程為/一「(f為參數(shù))，曲線G的參數(shù)方

［x=2(l+cosa),,一

程為(口為參數(shù))'以直角坐標原點。為極點，x軸的正半軸為極軸建

立極坐標系.

(1)求曲線c和曲線c2的的極坐標方程；

(2)射線。=￡與曲線G和曲線C?分別交于A,B,已知點尸(4,0),求A/卻?的面積.

6

［選修4■—5:不等式選講］

23.(本題10分)(1)已知a>0,Z?>0,c>0.a+b=l,求證：(ar+hy)2<ax1+by2；

4

(2)若。+2Z?+3c=l,求證：a(b+l)(c+l)

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2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試模擬卷二

（全國乙卷?文科）

學校:姓名：班級：考號：

題號一二三總分

得分

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡

上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

評卷人得分

一、單選題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小

題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1.（本題5分）已知集合人=卜€(wěn)42一2X_340},B={x|y=log2（3-x）},則Au3=

（）

A.（7,3]B.{0,1,2,3}C.{0,1,2}D.R

【答案】A

【分析】

首先利用一元二次不等式和xeN求解集合A,然后利用函數(shù)定義域求解集合8,然后

通過集合間的并運算即可求解.

【詳解】

x2-2x-3<0>得又因為xeN,故A={0,1,2,3},

由y=log2（3-x）的定義域知,3—x〉0,即x<3,故8={小<3},

所以Au8={4rM3}.

故選:A.

2.（本題5分）已知命題，：*0>0，卜/<。，命題則下列命題為真命題

的是（）

A.B.，△夕

c.〃八rD.Tpvq)

【答案】c

【分析】

先判斷命題p和命題q的真假，再根據(jù)或旦非命題的真假逐一判斷四個選項的正誤即可.

【詳解】

當0<x0<l時，Inx0<0,故命題「：咕>0,111%<0為真命題，

當x40時,eA<1，故命題q：VxwR,e*>1為假命題,

所以為假命題，F(xiàn)為真命題，

所以［Pvq為假命題，。八9為假命題，，人F為真命題，「（pvq）為假命題，

所以選項C正確，

故選：C.

3.（本題5分）在復平面內(nèi)，復數(shù)2（其中i為虛數(shù)單位）對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】

利用復數(shù)的乘除法運算化簡，再結(jié)合復數(shù)的幾何意義即可得出結(jié)果.

【詳解】

所以復數(shù)z對應的點的坐標為（1,2）,位于第一象限.

故選：A

4.（本題5分）如圖為陜西博物館收藏的國寶一唐?金筐寶鈿團花紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，

是唐代金銀細工的典范之作.該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線c：二-￡=i的右

39

支與直線x=0,y=4,y=-2圍成的曲邊四邊形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，

則雙曲線C的漸近線方程是（）

A.j=±-xB.y=±3xD.y=±^3x

【答案】D

【分析】

求出雙曲線的b即可得漸近線方程.

【詳解】

由雙曲線方程知.=6,b=3,所以漸近線方程為y=±*x=±6r,

故選：D.

5.（本題5分）旅游是人們?yōu)閷で缶裆系挠淇旄惺芏M行的非定居性旅行和游覽過程中

所發(fā)生的一切關(guān)系和現(xiàn)象的總和.隨著經(jīng)濟生活水平的不斷提高，旅游已經(jīng)成為人們生

活的一部分.某地旅游部門從2020年到該地旅游的游客中隨機抽取部分游客進行調(diào)查,

得到各年齡段游客的人數(shù)和旅游方式如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

A.估計2020年到該地旅游的游客選擇自助游的青年人的人數(shù)占總游客人數(shù)的13.5%

B.估計2020年到該地旅游的游客選擇自助游的中年人的人數(shù)少于選擇自助游的青年人

人數(shù)的一半

C.估計2020年到該地旅游的游客選擇自助游的老年人和中年人的人數(shù)之和比選擇自助

游的青年人多

D.估計2020年到該地旅游的游客選擇自助游的比率為8.75%

【答案】A

【分析】

利用圖表可知游客中老年人、中年人、青年人的人數(shù)比例以及選擇自助游的老年人、中

年人、青年人的人數(shù)比例，即可判斷.

【詳解】

青年人占總游客人數(shù)比例為1-20%-35%=45%,

則2020年到該地旅游的游客選擇自助游的青年人的人數(shù)占總游客人數(shù)的比例為

45%x30%=13.5%,故A正確，

選擇自助游中年人比例為25%x35%=8.75%,8.75%x2>13.5%,故B錯誤，

選擇自助游老年人比例為20%x20%=0.04=4%,

即選擇自助游的老年人和中年人的人數(shù)之和比為4%+8.75%=12.75%<13.75%,故C

錯誤，

2020年到該地旅游的游客選擇自助游的比率為4%+8.75%+13.5%=16.25%,故D錯誤.

故選：A

6.（本題5分）已知。=g,b=log,2,c=log43,則有（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a

【答案】A

【分析】

根據(jù)對數(shù)運算法則將匕和c轉(zhuǎn)換后進行比較即可.

【詳解】

因為b=log32=log,>/4=log3A/8,log3>/3<log3V4,log,網(wǎng)<log,衿,

1?

所以一<〃<一,即a<6.

23

因為c=log43=；log23,1log23>^log22^=1,

3

所以c>二，即。<c.

4

所以4<b<c.

故選：A

7.（本題5分）等差數(shù)列｛4｝中，卬，%，%為等比數(shù)列，則公比為（）

A.1或gB.yC.--D.1

【答案】A

【分析】

設(shè)等差數(shù)列｛5｝的公差為d,由％,%，內(nèi)為等比數(shù)列，可得"=0或q=-44，分情

況討論即可得答案.

【詳解】

解：設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為d，

因為4，%，%為等比數(shù)列，

所以％w0,（q+2d『=q（q+3d）,解得d=0或q=-4d,

當&=0時，等差數(shù)列｛。,,｝為常數(shù)列，所以q=%=%，所以公比為1;

ci-i—2d1

當q=-4d時，a,=q+2d=-2d,所以公比為一=一2=彳.

故選：A.

8.（本題5分）若^ABC滿足〃=從+-慶?，且sinB=2sinC,則^ABC的形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.銳角三角形或直角三角形

【答案】B

【分析】

由正弦定理可得匕=2c,結(jié)合/=〃+/—6c，可得。=&c,Z>=2c,即/=/+/,分

析即得解

【詳解】

由正弦定理，以及sinB=2sinC,可得匕=2c

代入a2=b2+c2-be，可得a?=（2c）2+c2-2cxc=3c2

a=乖>c，b=2c

故。2=/+。2...ZB=90°

故AA8C為宜角三角形

故選：B

9.（本題5分）已知直線〃?，平面a,直線〃u平面夕，則“a//4”是〃”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】

結(jié)合空間線面位置關(guān)系，根據(jù)充分必要條件的定義判斷.

【詳解】

直線加，平面a,若a〃A，則nu/3,所以加，〃，充分性滿足，

反之，如圖正方體ABCO-ABC2中，底面ABCO是平面a,CD是直線〃，平面CD/5￡

是平面夕，CG是直線機，但平面a與平面月不平行，必要性不滿足，因此是充分不必

要條件.

故選：A.

10.(本題5分)己知圓加：爐+爐一20=0(4>0)截直線x+y=O所得線段的長度是2上，

則圓M與圓M(x—l)2+(y—1)2=1的位置關(guān)系是()

A.內(nèi)含B.相交C.外切D.外離

【答案】B

【分析】

根據(jù)圓的弦長公式，結(jié)合兩點間距離公式進行求解判斷即可.

【詳解】

圓A/：x2+(>—a)2—a2(a>0),圓心到直線x+y=0的距離為罷?，

因此有程)2+(葭2回2=心解得。=2,a=_2(舍去)，

因為2-1<J(0-1)，+(2-1尸<2+1,所以兩個圓相交，

故選:B.

11.(本題5分)已知函數(shù)/(x)=2sin(ox+*)3>o,網(wǎng)圖象相鄰兩條對稱軸間的距

離為萬，且對任意實數(shù)x,都有將函數(shù)y=〃x)圖象向左平移已個單位

長度，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，則關(guān)于函數(shù)y=〃x)+g(x)描述不正確的是()

A.最小正周期是2乃B.最大值是C+

7TIT

C.函數(shù)在0,-上單調(diào)遞增D.圖象關(guān)于直線X=f對稱

.3J4

【答案】C

【分析】

先由函數(shù)圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為左，可求得0=1,再由/可得

sin仔+/=1,結(jié)合例從而可求得夕則可求出/(x),g(x)的解析式，所以可

得〃x)+g(x)=(述+板)?sin(x+?),然后根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐個分析判斷

即可

【詳解】

由條件知，函數(shù)/(X)的最小正周期7=2萬=絲，解得。=1.

0)

因為/(X)m"=/(q)=2sin((+s)=2,即sin[0+9)=l,則e=2br+',keZ

因為闞《，所以夕=1，所以/(x)=2sin(x+7),g(x)=/(x+?)=2sin(x+5

則

/(x)+g(x)=2sin(x+a+2sin(x+?)=(C+l)(sinx+cosx)=(>/^+x/i).sin(x+9

根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)易知，函數(shù)y=(#+3卜in(x+?)的最小正周期7=2萬,

函數(shù)最大值是指+立，函數(shù)在0,(上單調(diào)遞增，在?上單調(diào)遞減，

圖象關(guān)于X=J7T對稱，所以選項48。正確，C錯誤，

4

故選：C.

12.(本題5分)已知點P為拋物線V=4x上一動點，A(l,0),8(3,0),則N4P5的最

大值為()

、五c乃C冗?冗

A.—B.-C.—D.一

6432

【答案】B

【分析】

先討論x=l和x=3兩種情況，解出/4PB；進而討論xwl且x*3時，利用直線的到角

公式結(jié)合基本不等式即可求得.

【詳解】

根據(jù)拋物線的對稱性，不妨設(shè)P(x,y)(y>0),

2TT

若X=l,則p(l,2),\PA^2,|ABI=2,所以tanZAPB=5=lnNAPB=Q：

若x=3,則P(3,2g),1PBi=2/，|AB|=2,所以tanZAP3=^=4n/AP8=e

若xwl且xw3,此時"2且"26,

y____y

上，所以tanNAPB=■V—3x—1

x-31+上」

x~3x—1

i11tanNAPB=~~~―■■■T~

因為y-=4x,所以1v4+31v3+31

—y+J—yH——yH11—

616'y16-yyy

=

—]1JT1al

.13111，則0<ZAPB4：,當且僅當啟V=-ny=2時取，，="，

44/—y-------416y

V6yyy

7T

而y/2,所以0<NAP8<一.

4

jr

綜上：NAPB的最大值為;.

4

故選：B.

【點睛】

tan/APB=2y_2________?______

本題核心的地方在“一_L/+3-_Ly3+3一_L3+_L+_L+_L”這一步，首先分

1616y16"yyy

2y=2

式”]、,4*a=],尸,3，的處理,上下同除以y（一次）；其次在用基本不等式時，

1616y

---------------1

“1、尸+U1”這一步的拆分，三個式子一定要相同（一），否則不能取得

<6'yyyy

評卷人得分

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.（本題5分）若平面向量〉了滿足面=5，向=3，日-小=6，則[辦=---------

【答案】-1

【分析】

平方|：-由=6化簡即得解?

【詳解】

■—>—>/日一2—>2_>—

r-|a-^|=6f>ra+b-2a-b=36,

所以25+9-2標=36,;.a-b=-l-

故答案為：—1

17

14.（本題5分）曲線y=-2在點處的切線的傾斜角為

【答案】45°

【分析】

求出函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求得曲線丁=；1/一2在點（-1,-’7處的切

線的斜率，從而可求得答案.

【詳解】

解：y'=x2,

???當x=-i時，y=i

1,7

???曲線y=-2在點(-1,-二)處的切線的斜率為1,傾斜角為45。.

故答案為：45°.

15.(本題5分)已知定義在R上的奇函數(shù)〃x),滿足/("2)=-/(*),且當xe［O,l］時,

/(x)=Y+x+sinx,若方程f(x)="(加＞0)在區(qū)間［-4,4］上有四個不同的根玉,天,毛,匕，

貝I」X,+x2+x3+x4的值為.

【答案】-4

【分析】

根據(jù)函數(shù)的條件，判斷函數(shù)的周期，利用函數(shù)的奇偶性和周期性即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：?j/(x-2)=-/(x),

.-.f(x-4)=-f(x-2)=f(x),

即函數(shù)的周期是4,

且/(x-2)=-/(x)=/(-x),

則函數(shù)的對稱軸為：X=-l,〃x)是奇函數(shù)，

所以x=l也是對稱軸，xe［0,1］時，/(x)=x2+x+sinx,

函數(shù)是增函數(shù)，

作出函數(shù)/")的簡圖如下：

有四個不同的根X1,x2,x3,x4,

則四個根分別關(guān)于X=-3和x=1對稱,

不妨設(shè)辦＜々＜與＜匕,

則玉+々=_6,x3+x4=2,

貝！JXj+W+七+/=_6+2=_4,

故答案為：-4.

TT

16.體題5分)當xe0,-時，不等式m<sinx(cosx->/3sinx)4-m+2恒成立，則

2

實數(shù)機的取值范圍為

【答案】(一1，一￥

【分析】

設(shè)/(x)=sinx(cosx-V3sinx)+^,根據(jù)三角恒等變換及正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)

m<f(尤)

“X)的最值，再根據(jù)已知可得[mM從而可得出答案.

加>/(幻3一2

【詳解】

解：設(shè)〃x)=sinx(cosx-Gsinx)+

2x—y/31-cos2x出

則/(X)=sinx-cosx-V3sin2x+~~~=Jsinx-----------+——

22

cos2x=sin2x+—.

22I3j

,n3n717i4,sinf2x+—71G-1.

:X￡0,—,.?.2x+—w—,一4

23-333

冗

由題意知ni<fix)<m+2在x￡0,—上恒成立,

即2?.實數(shù)，”的取值范圍為-L

m>〃X)max-2,

m>-1,I

故答案為：-1，-今

\7

三、解答題(共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟，第17?21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、

23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.)

(-)必考題：共60分

17.體題12分)已知數(shù)列｛%｝滿足q=lM,=a,i+2("eN*,〃W2)

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式;

(2)若數(shù)列｛2｝滿足。=力(〃eN),5“是數(shù)列｛"｝的前"項和，求S”.

【答案】

(1)a?=2n-l

(2)S,,=」一

"2n+l

【分析】

(1)根據(jù)題意可得｛”,J為以1為首項以2為公差的等差數(shù)列；

(2)由(1)可得"=((不'-不二)，利用裂項相消法即可求出前〃項和S”.

22〃-12/7+1

(1)

由題意知，4=1，。〃=。k+2(/i>2),

所以d=a“-=2,故=4+(〃-l)d=2〃-1,對立=1也成立.

綜上所述，數(shù)列｛〃.｝的通項公式為：=2/2-1；

(2)

,111z11、

由(1)得，bn=fl_7一三二T)，

---=―(2—n-lM)(2n-+l)22n-12n+\

c1/11111、I”1、〃

JT［以S=-(----l------F…M----------)=—(1-----)=-----,

“213352n-\2n+\22??+12〃+1

即數(shù)列出"的前〃項和s,,=不三

18.(本題12分)某企業(yè)有甲、乙兩條生產(chǎn)線，其產(chǎn)量之比為4:1.現(xiàn)從兩條生產(chǎn)線上按

分層抽樣的方法得到一個樣本，其部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表(單位：件)，且每件產(chǎn)品都有各

自生產(chǎn)線的標記.

產(chǎn)品件數(shù)一等品二等品總計

甲生產(chǎn)線2

乙生產(chǎn)線7

總計50

(1)請將2x2列聯(lián)表補充完整，并根據(jù)獨立性檢驗估計；大約有多大把握認為產(chǎn)品的

等級差異與生產(chǎn)線有關(guān)？

P(K匕/)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

(2)從樣本的所有二等品中隨機抽取2件，求至少有1件為甲生產(chǎn)線產(chǎn)品的概率.

【答案】

(1)列聯(lián)表見解析，有97.5%的把握認為產(chǎn)品的等級差異與生產(chǎn)線有關(guān)；

(2)—

10

【分析】

(1)完善列聯(lián)表，計算出卡方，再與觀測值比較即可判斷；

(2)記甲生產(chǎn)線的2個二等品為A,B,乙生產(chǎn)線的3個二等品為b,c,用列舉

法列出所有可能結(jié)果，再根據(jù)古典概型的概率公式計算可得；

(1)

解：依題意可得2x2列聯(lián)表如下：

產(chǎn)品件數(shù)一等品二等品總計

甲生產(chǎn)線38240

乙生產(chǎn)線7310

總計45550

所以因為5.024<5.556<6.635,所以有97.5%的把握認

10x40x5x45

為產(chǎn)品的等級差異與生產(chǎn)線有關(guān)；

(2)

解：依題意，記甲生產(chǎn)線的2個二等品為A,B,乙生產(chǎn)線的3個二等品為。，b,c.

則從中隨機抽取2件，所有可能結(jié)果有AS,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Be,ab,",

反共10個，至少有1件為甲生產(chǎn)線產(chǎn)品的有A8，AafAb,Ac,Ba,劭，反共7

個，所以至少有1件為甲生產(chǎn)線產(chǎn)品的概率尸=工7；

19.(本題12分)22.如圖，正三棱柱ABC-AMG的底面AABC的邊長為2,且滿足

AB_L8C.

(1)證明:BtClCtA.

(2)求三棱錐4-ABC的體積V.

【答案】

(1)證明見解析

⑵逅

3

【分析】

(1)如圖，連結(jié)AC,交AG于點N,取BC的中點"，連接AM,MN,則由三角形

中位線定理結(jié)合可得.山平面ABC_L平面BCG用，可推得

B.C±AM.然后由線面垂直的判定定理可得4c±平面AMN.從而得BQ±C,A,

(2)由(1)可證得可得與ACB用相似，從而求得BB]=CJ=啦.

由償//84，得力,MBC=以-馬5c=By-ABC，從而可求出體積

【解析】

(1)如圖，連結(jié)AC,交AC1于點N,則點N是AC的中點.

取BC的中點M，連接AM,MN,則MN//A8

乂AB_LBC，所以4c_LMM

又“ABC是正三角形，

所以4〃J_BC.

又平面ABCL平面BCGg,

平面ABCD平面BCG與=BC,AMu平面ABC,

所以AM，平面8CG片.

又BCu平面BCQB、,

所以4CJ.4M.

乂AA/u平面AMN,MNu平面AMN,

AMcMN=M,所以4C_L平面AMV.

又RAu平面所以BC^CA

（2）由（1）知50，平面4WN,而GMu平面AMN,所以BC^GM.

C.CCBC.C2L

由AGCM與ACB4相似，-^77=—,即十=7777,BB\=CC\=E

Cz/WDE?11C|C

根據(jù)//BB1,%LABC=匕！-“C=%-四8c=%1-AEC，于是

%ABC=%_48C=；S.ABC，BBI=〈X（；.22§）X6=埠.

，、乙乙3

22

20.(本題12分)設(shè)Fi,B分別是橢圓C:二+4=l(a?>0)的左，右焦點，M是C上一

a-b~

點且MB與x軸垂直，直線與C的另一個交點為N.

3

(1)若直線MN的斜率為二，求C的離心率；

4

(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN=5|FiN，求a,b.

【答案】

⑴I

(2)a=7,b=2不

【分析】

(1)求出點M的坐標，再通過直線MN的斜率為g建立aS,c的關(guān)系，再通過"=.2/

可得離心率;

(2)根據(jù)條件可得直線MQ與y軸的交點￡)(0,2)是線段W的中點，設(shè)Mw，V)，

利用比例關(guān)系將x”》用c表示出來，再代入橢圓方程可得a,b.

(1)

令尤=c,得G+g=i,則>2/2卜一鼻=/.且F=<

a~\a)aa~

所以M(c,—),

a

歐

e_3,即2b2=3ac.

',2c~4

將代啟c2代入2按=3ac,解得￡二,￡=-2(舍去).

a2a

故C的離心率為g；

(2)

由題意，原點。為尸的中點，A/B〃y軸，

所以直線MQ與y軸的交點D(0,2)是線段MB的中點,

故邑=4,即b2=4a.①

a

由|MA1=5|尸iM得|。尸1|=2/陽.

設(shè)N(xi，yi)，由題意知yi<0，則

[2—c,即再=”c,

I*=2,[….

9c2[

代入C的方程，得三+W=1.②

將①及C="萬代入②得9,丁)+；=1

4a24a

解得“=7,加=4斫28,

故a-1,h-2幣

21.(本題12分)已知函數(shù)/(x)=x3,x>0,g(x)=ax+b,其中

(1)若4+/?=0,且f(x)的圖象與g(x)的圖象相切，求〃的值;

(2)若/(x)2g(x)對任意的x>0恒成立，求a+6的最大值.

【答案】

(2)1

【分析】

ci—3x()

(1)求導得到廣(幻=3%2,根據(jù)切線方程公式得到.y°=片,解得答案.

%=時)一。

(2)令甲(4=Q—ax—b,考慮心0和〃>0,根據(jù)導數(shù)的正負得到函數(shù)單調(diào)性，計算

最小值得至1」。+匕4a-竿/，令力(0=。一手j(a>0),求導得到單調(diào)區(qū)間，計算最

值得到答案.

(1)

因為/(x)的圖象與g(x)的圖象相切,設(shè)切點為因,％),

a=3XQ

327

又/")=3f,所以%=￡,解得/=彳，。=彳.

yQ=ax0-a

(2)

因為/(x)Ng(x)等價于/一雙一。之0，令叭x)=2-ax-b,夕'0)=3/2一。

當〃《0時，夕'。)=3爐_。>0對于任意正實數(shù)x恒成立，e(x)單調(diào)遞增，

故由。(。)=一力20得bK0,此時a+bV0.

當〃>0時，由“*)=0,得戈=器，

又當0<x<A時，。3<0,函數(shù)單調(diào)遞減；

當x啡時,尹*)>0，函數(shù)單調(diào)遞增.

所以當x=的時，。(幻有最小值儀器)=一|。器一8=-竽a3-b,

所以一即64-也所以〃+64〃一亞7，

999

令人(a)=>0),則"(a)=1"(3)=0,

當0<"3時,h'(a)>0,人⑷為增函數(shù),

當a>3時，"(a)<0,〃5)為減函數(shù),

所以〃(a)max=〃(3)=1,故a+6Wl,所以a+6的最大值為1,此時”=3,b=-2.

綜上所述，a+b的最大值為1.

【點睛】

本題考查了切線問題和利用導數(shù)解決恒成立問題，意