2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬(浙江卷)數(shù)學(xué)

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬(浙江卷)數(shù)學(xué)本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘?？忌⒁猓?．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填在試題卷和答題紙規(guī)定的位置上。2．答題時(shí)，請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無效。選擇題部分（共60分）選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，則（

）A． B．C． D．2．已知為虛部單位，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．3．在中，a，b，c分別為A，B，C的對(duì)邊，，且，則的面積為（

）A． B． C． D．4．將7個(gè)相同的小球投入甲、乙、丙、丁4個(gè)不同的小盒中，每個(gè)小盒中至少有1個(gè)小球，那么甲盒中恰好有3個(gè)小球的概率為(

)A． B． C． D．5．已知公比為q的等比數(shù)列中，，平面向量，，則下列與共線的是（

）A． B． C． D．6．如圖，正方體的棱長為4，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)在棱上，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在棱AD，CD上．若，，，（大于零），則四面體PEFQ的體積（

）A．與都有關(guān) B．與m有關(guān)，與無關(guān)C．與p有關(guān)，與無關(guān) D．與π有關(guān)，與無關(guān)7．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且在區(qū)間上恰好取得一次最大值為2，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A．B．C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則（）A． B． C． D．10．某人射箭9次，射中的環(huán)數(shù)依次為：7，8，9，7，6，9，8，10，8，關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（

）A．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是8B．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8C．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是6D．這組數(shù)據(jù)的方差是11．拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，設(shè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為，則（

）A．B．的最小值為C．直線與拋物線相交所得弦的長度為4D．過點(diǎn)且與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線共有兩條12．設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，且，則下列說法正確的是（

）A．為奇函數(shù)B．的解析式唯一C．若是周期為的函數(shù)，則D．若時(shí)，，則是上的增函數(shù)非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．14．已知，則不等式的解集為______.15．已知圓、為圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足為線段的中點(diǎn)，.當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在某個(gè)位置使為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.16．已知點(diǎn)是橢圓：的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于另一點(diǎn)（點(diǎn)P在第一象限）.以原點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓在點(diǎn)處的切線與x軸交于點(diǎn)Q.若|PA|≥|PQ|，則的最大值是.四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，.(1)求角B的大小；(2)若，，求的面積.18．由于“新冠肺炎”對(duì)抵抗力差的人的感染率相對(duì)更高，特別是老年人群體，因此某社區(qū)在疫情控制后，及時(shí)給老年人免費(fèi)體檢，通過體檢發(fā)現(xiàn)“高血糖，高血脂，高血壓”，即“三高”老人較多.為此社區(qū)根據(jù)醫(yī)生的建議為每位老人提供了一份詳細(xì)的健康安排表，還特地建設(shè)了一個(gè)老年人活動(dòng)中心，老年人每天可以到該活動(dòng)中心去活動(dòng)，以增強(qiáng)體質(zhì)，通過統(tǒng)計(jì)每周到活動(dòng)中心去運(yùn)動(dòng)的老年人的活動(dòng)時(shí)間，得到了以下頻率分布直方圖.（1）從到活動(dòng)中心參加活動(dòng)的老人中任意選取5人.①若將頻率視為概率，求至少有3人每周活動(dòng)時(shí)間在[8，9)(單位：)的概率；②若抽取的5人中每周活動(dòng)時(shí)間在[8，11](單位：)的人數(shù)為2人，從5人中選出3人進(jìn)行健康情況調(diào)查，記3人中每周活動(dòng)時(shí)間在[8，11](單位：h)的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望；（2）將某人的每周活動(dòng)時(shí)間量與所有老人的每周平均活動(dòng)時(shí)間量比較，當(dāng)超出所有老人的每周平均活動(dòng)量不少于0.74時(shí)，則稱該老人為“活動(dòng)愛好者”，從參加活動(dòng)的老人中隨機(jī)抽取10人，且抽到k人為“活動(dòng)愛好者”的可能性最大，試求k的值.(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)19．在正項(xiàng)數(shù)列中，，，其中．（1）寫出，及；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和，設(shè)，試判斷與1的大小關(guān)系；（3）對(duì)于（2）中的，不等式對(duì)任意大于1的整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且.(1)證明：平面；(2)若，，且三棱錐的體積為18，求平面與平面的夾角的余弦值.21．已知雙曲線：與雙曲線有相同的漸近線，直線被雙曲線所截得的弦長為6．(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線右焦點(diǎn)的直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，求證：以為直徑的圓恒過軸上的定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)坐標(biāo)．22．設(shè)函數(shù).(1)求的極值；(2)已知，有最小值，求的取值范圍.參考解析1．A【解析】因?yàn)榛颍?，所以，故選：A2．D【解析】為純虛數(shù)，，解得：，，，則的虛部為.故選：D.3．B【解析】，，即，由正弦定理可知，，即，所以，由余弦定理，解得（負(fù)值舍），故三角形面積為，故選：B4．C【解析】將7個(gè)相同的小球投入甲、乙、丙、丁4個(gè)不同的小盒中，每個(gè)小盒中至少有1個(gè)小球有種放法，甲盒中恰好有3個(gè)小球有種放法，結(jié)合古典概型計(jì)算公式可得題中問題的概率值為.故選：C5．D【解析】等比數(shù)列公比為q，而，則，解得，，，則，對(duì)于A，，因，則A不是；對(duì)于B，，因，則B不是；對(duì)于C，，因，則C不是；對(duì)于D，，因，則D是.故選：D6．C【解析】如下圖所示，連接、交于點(diǎn)，作，在正方體中，平面，且平面，，又四邊形為正方形，則，且，平面，即平面，，平面，且，易知四邊形是矩形，且，點(diǎn)到直線的距離為，的面積為，所以，四面體的體積為，因此，四面體的體積與有關(guān)，與、無關(guān)，故選C.7．D【解析】函數(shù)則函數(shù)在上是含原點(diǎn)的遞增區(qū)間；又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增，則，得不等式組又因?yàn)椋越獾?又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上恰好取得一次最大值為2，可得，所以，綜上所述，可得.故選：D.8．A【解析】因?yàn)?，，，所以，．．設(shè)，則．令，則易知在上單調(diào)遞增．令，解得，且，所以當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，即，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又因?yàn)椋?，即，則，即，所以．故選:A．9．AC【解析】∵，由在上是增函數(shù)知A正確；由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)是減函數(shù)，為，∴，即，B錯(cuò)；由是減函數(shù)得，C正確；由于不一定在的單調(diào)增區(qū)間內(nèi)，不能比較的大小，因此錯(cuò)誤，D錯(cuò)；故選：AC．10．ABD【解析】數(shù)據(jù)從小到大排列為：，所以眾數(shù)為，A選項(xiàng)正確；中位數(shù)為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；平均數(shù)為，所以B選項(xiàng)正確；方差為，所以D選項(xiàng)正確.故選：ABD11．BC【解析】A選項(xiàng)，代入拋物線方程，解得，故A錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由A知，此時(shí)拋物線方程為，故準(zhǔn)線為，由題意，于是過點(diǎn)且和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，過斜率不存在的線顯然和拋物線不相交，故設(shè)，和拋物線聯(lián)立得到，整理得，由，解得或，于是，是拋物線的兩條切線，綜上，過點(diǎn)且與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線共有三條，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，注意到，故軸，設(shè)直線與拋物線相交所得弦為，根據(jù)對(duì)稱性，，C選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，設(shè)準(zhǔn)線，垂足為，由題意，，根據(jù)拋物線的性質(zhì)，，于是，當(dāng)落在線段上取等號(hào)，故B選項(xiàng)正確.故選：BC12．ACD【解析】因?yàn)?，令，可得，解得，再令，所以，即，所以，所以為奇函?shù)，故A正確；令，則，，滿足，故的解析式不唯一，即B錯(cuò)誤；若是周期為的函數(shù)，則，所以，又，所以，故C正確；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，則，設(shè)任意的，且，則，所以，因?yàn)?，且，所以，，，，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，又，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則，所以是上的增函數(shù)，故D正確；故選：ACD13．【解析】因?yàn)?，所以?所以切線方程為,即.14．【解析】的定義域?yàn)?，且，即有，即為偶函?shù)；又時(shí)，，則在遞增，不等式，即為，即有，可得，即有，即或，解得或，則解集為.15．【解析】由題意得，在以為圓心，以1為半徑的圓上，設(shè)的中點(diǎn)為，則，且，當(dāng)、在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在某個(gè)位置使為鈍角，∴圓與以為圓心以為半徑的圓相交，，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為，16．2【解析】直線AP的方程為：，由結(jié)合P在第一象限可得，聯(lián)立化為：，解得，，∴，∵OP⊥PQ，∴，在中，，∵tan∠PAQ＝，∴sin∠PAQ＝.∵tan∠PQA＝，∴sin∠PQA＝.∴，化為：，∴，解得或，∵，∴1＜＜4，∴，因此則的最大值是2.17．【解析】（1）解：由，得，因?yàn)锽，，則且，所以，即，則，得，所以.（2），又，所以，所以，故.18．【解析】（1）由圖表的直方圖可知，事件“到活動(dòng)中心參加活動(dòng)的老人任意選取1人，每周活動(dòng)時(shí)間在[8，9)內(nèi)”概率為p=，記“至少有3人每周活動(dòng)時(shí)間在[8，9)(單位：h)”為事件A，則；隨機(jī)變量ξ所以可能的取值為0，1，2，則，ξ的分布列如下：ξ012P故；（2）老人的周活動(dòng)時(shí)間的平均值為：6.5×0.06+7.5×0.35+8.5×0.40+9.5×0.15+10.5×0.04=8.26(h)，則老人中“活動(dòng)愛好者”的活動(dòng)時(shí)間為[9，11]，參加活動(dòng)的老人中為“活動(dòng)愛好者”的概率為P=0.19，若從參加活動(dòng)的老人中隨機(jī)抽取10人，且抽到X人為“活動(dòng)愛好者”，則X~B(10，0.19)，若k人的可能性最大，則，由，即且，解得：1.09≤k≤2.09，由于，故k=2.19．【解析】（1）∵，，∴，，且數(shù)列為等差數(shù)列，∴；（2）由（1）可得，∴，∴，∵，∴；（3）由（2）可得，，，由得，，又，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．20．【解析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面平面，所以平面，又平面，所以，又平面平面，則，又因?yàn)槠矫妫云矫?；?）由（1）知平面平面，得，又，所以，以為原點(diǎn)，分別以為軸、軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，又因?yàn)椋?，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即，所以可取，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則即，所以可取，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.21．【解析】（1）由雙曲線，可得其漸近線為，∴雙曲線：的漸近線為，∴，即，∴雙曲線：，由，可得，解得，∴直線被雙曲線所截得的弦長為，解得，所以雙曲線的方程為；（2）當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，可設(shè)，由，可得，設(shè)，則，，∴，，設(shè)以為直徑的圓上任意一點(diǎn)，則，∴以為直徑的圓的方程為，令，可得，∴，∴，由，可得，即以為直徑的圓恒過定點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)為實(shí)軸端點(diǎn)，顯然以為直徑的圓過點(diǎn)，綜上，以為直徑的圓恒