算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（二）教案及反思

教案系列算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（二）教案及反思算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（二）

第一課時(shí)一、教材分析

（一）教材所處的地位和作用

“算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)”是全日制一般高級(jí)中學(xué)教科書(shū)（試驗(yàn)修訂本·必修）數(shù)學(xué)第二冊(cè)（上）“不等式”一章的內(nèi)容，是在學(xué)完不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上對(duì)不等式的進(jìn)一步爭(zhēng)論??．本節(jié)內(nèi)容具有變通靈敏性、應(yīng)用廣泛性、條件約束性等特點(diǎn)，所以本節(jié)內(nèi)容是培育同學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)，靈敏解決實(shí)際問(wèn)題，學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)的好素材二同時(shí)本節(jié)學(xué)問(wèn)又滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學(xué)思想，所以有利于培育同學(xué)良好的思維品質(zhì)．

（二）教學(xué)目標(biāo)

1．學(xué)問(wèn)目標(biāo)：理解兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于它們之積的2倍的重要不等式的證明及其幾何說(shuō)明；把握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)定理的證明及其幾何說(shuō)明；把握應(yīng)用平均值定理解決一些簡(jiǎn)潔的應(yīng)用問(wèn)題．

2．力量目標(biāo)：培育同學(xué)數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學(xué)思想．

（三）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵

重點(diǎn)：用平均值定理求某些函數(shù)的最值及關(guān)于的應(yīng)用問(wèn)題．

難點(diǎn)：定理的使用條件，合理地應(yīng)用平均值定理．

關(guān)鍵：理解定理的約束條件，把握化歸的數(shù)學(xué)思想是突破重點(diǎn)和難點(diǎn)的關(guān)鍵．

（四）教材處理

依據(jù)新大綱和新教材，本節(jié)分為二個(gè)課時(shí)進(jìn)行教學(xué)．第一課時(shí)講解不等式（兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于它們之積的2倍）和平均值定理及它們的幾何說(shuō)明．把握應(yīng)用定理解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題．第二課時(shí)講解應(yīng)用平均值定理解決某些實(shí)際問(wèn)題．為了講好平均值定理這節(jié)內(nèi)容，在緊扣新教材的前提下，對(duì)例題作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，適當(dāng)增加例題．

二、教法分析

（－）教學(xué)方法

為了激發(fā)同學(xué)學(xué)習(xí)的主體意識(shí)，又有利于老師引導(dǎo)同學(xué)學(xué)習(xí)，培育同學(xué)的數(shù)學(xué)力量與創(chuàng)新力量，使同學(xué)能獨(dú)立實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)．在探究結(jié)論時(shí)，采納發(fā)覺(jué)法教學(xué)；在定理的應(yīng)用及其條件的教學(xué)中采納歸納法；在訓(xùn)練部分，主要采納講練結(jié)合法進(jìn)行．

（二）教學(xué)手段

依據(jù)本節(jié)學(xué)問(wèn)特點(diǎn)，為突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，增加教學(xué)容量，利用計(jì)算機(jī)輔導(dǎo)教學(xué)．

三、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

6．2算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（第一課時(shí)）

（一）導(dǎo)入新課

（老師活動(dòng)）1．老師打出字幕（提出問(wèn)題）；2．組織同學(xué)爭(zhēng)論，并點(diǎn)評(píng)．

（同學(xué)活動(dòng)）同學(xué)分組爭(zhēng)論，解決問(wèn)題．

[字幕]某種商品分兩次降價(jià)，降價(jià)的方案有三種：方案甲是第一次9折銷售，第二次再8折銷售；方案乙是第一次8折銷售，第二次再9折銷售；方案丙是兩次都是折銷售．試問(wèn)降價(jià)最少的方案是哪一種？

［爭(zhēng)論］

①設(shè)物價(jià)為t元，三種降價(jià)方案的銷售物價(jià)分別是：

方案甲：（元）；

方案乙：（元）；

方案丙：（元）．

故降價(jià)最少的方案是丙．

②若將問(wèn)題變?yōu)榈谝淮蝍折銷售，第二次b折銷售．明顯可猜想有不等式設(shè)立，即，當(dāng)時(shí)，

設(shè)計(jì)意圖：提出一個(gè)商品降價(jià)問(wèn)題，要求同學(xué)爭(zhēng)論哪一種方案降價(jià)最少．同學(xué)對(duì)問(wèn)題的背景較熟識(shí)，可能感愛(ài)好，從而達(dá)到說(shuō)明學(xué)習(xí)本節(jié)學(xué)問(wèn)的必要，激發(fā)同學(xué)求知欲望，合理引出新課．

（二）新課講授

【嘗摸索索，建立新知】

（老師活動(dòng)）打出字幕（重要不等式），引導(dǎo)同學(xué)分析、思索，講解重要不等式的證明．點(diǎn)評(píng)關(guān)于問(wèn)題．

（同學(xué)活動(dòng)）參加爭(zhēng)論??重要不等式的證明，理解關(guān)于概念．

［字幕］假如，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)）．

證明：見(jiàn)課本

［點(diǎn)評(píng)］

①?gòu)?qiáng)調(diào)的充要條件是

②說(shuō)明“當(dāng)且僅當(dāng)”是充要條件的表達(dá)方式（“當(dāng)”表示條件是充分的，“僅當(dāng)”表示條件是必要的）．

③幾何說(shuō)明，如圖。

[字幕]定理假如a，b是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)）．

證明：同學(xué)運(yùn)用“”自己證明．

［點(diǎn)評(píng)］

①?gòu)?qiáng)調(diào)；

②說(shuō)明“算術(shù)平均數(shù)”和“幾何平均數(shù)”的概念，并敘述它們之間的關(guān)系；

②比較上述兩個(gè)不等式的特征（強(qiáng)調(diào)它們的限制條件）；

④幾何說(shuō)明（見(jiàn)課本）；

＠指出定理可推廣為“n個(gè)（）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小干它們的幾何平均數(shù)”．

設(shè)計(jì)意圖：加深對(duì)重要不等式的熟悉和理解；培育同學(xué)數(shù)形結(jié)合的思想方法和對(duì)比的數(shù)學(xué)思想，多方面思索問(wèn)題的力量．

【例題示范，學(xué)會(huì)應(yīng)用】

（老師活動(dòng)）老師打出字幕（例題），引導(dǎo)同學(xué)分析，爭(zhēng)論??問(wèn)題，點(diǎn)撥準(zhǔn)確運(yùn)用定理，構(gòu)建證題思路．

（同學(xué)活動(dòng)）與老師一道履行問(wèn)題的論證．

［字幕］例題已知a，b，c，d都是正數(shù)，求證：

［分析］

①應(yīng)用定理證明；

②爭(zhēng)論??問(wèn)題與定理之間的聯(lián)系；

③留意應(yīng)用定理的條件和應(yīng)用不等式的性

質(zhì)．

證明：見(jiàn)課本．

設(shè)計(jì)意圖：鞏固對(duì)定理的理解，學(xué)會(huì)應(yīng)用定理解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題．

【課堂練習(xí)】

（老師活動(dòng)）打出字幕（練習(xí)），要求同學(xué)獨(dú)立思索，履行練習(xí)；巡察同學(xué)解題狀況，對(duì)準(zhǔn)確的解法賜予確定和鼓舞，對(duì)偏差賜予訂正；請(qǐng)甲、乙兩同學(xué)板演；點(diǎn)評(píng)練習(xí)解法．

（同學(xué)活動(dòng)）在筆記本上履行練習(xí)，甲、動(dòng)兩位同學(xué)板演．

［字幕］練習(xí)：已知都是正數(shù)，求證：

（1）；

（2）

設(shè)計(jì)意圖：把握定理及應(yīng)用，反饋課堂教學(xué)效果，調(diào)整課堂教學(xué)．

【分析歸納、小結(jié)解法】

（老師活動(dòng)）分析歸納例題和練習(xí)的解題過(guò)程，小結(jié)應(yīng)用定理解決關(guān)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題方法．

（同學(xué)活動(dòng)）與老師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄在筆記本上．

1．重要不等式可以用來(lái)證明某些不等式．

2．應(yīng)用重要不等式證明不等式時(shí)要留意不等式的結(jié)構(gòu)特征：①滿意定理的條件；②不等式一邊為和的形式，另一邊為積或常數(shù)的形式．

3．用重要不等式證明關(guān)于不等式時(shí)留意與不等式性質(zhì)結(jié)合．

設(shè)計(jì)意圖：培育同學(xué)分析歸納問(wèn)題的力量，把握應(yīng)用重要不等式解決關(guān)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的方

法．

（三）小結(jié)

（老師活動(dòng)）老師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的學(xué)問(wèn)要點(diǎn)．

（同學(xué)活動(dòng)）與老師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上．

1．本節(jié)課學(xué)習(xí)了兩個(gè)重要不等式及它們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用．

2．留意：①兩個(gè)重要不等式使用的條件；②不等式中“=”號(hào)設(shè)立的條件．

設(shè)計(jì)意圖：培育同學(xué)對(duì)所學(xué)學(xué)問(wèn)進(jìn)行概括歸納的力量，鞏固所學(xué)學(xué)問(wèn)．

（四）布置作業(yè)

1．課本作業(yè)；習(xí)題．1，3

2．思索題：已知，求證：

3．爭(zhēng)論??性題：設(shè)正數(shù)，，試盡可能多的給出含有a和b的兩個(gè)元素的不等式．

設(shè)計(jì)意圖：課本作業(yè)供同學(xué)鞏固基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)；思索題供學(xué)有余力的同學(xué)履行，靈敏把握重要不等式的應(yīng)用；爭(zhēng)論??性題是一道結(jié)論開(kāi)放性題，培育同學(xué)創(chuàng)新意識(shí)．

（五）課后點(diǎn)評(píng)

1．導(dǎo)入新課采納同學(xué)比較熟識(shí)的問(wèn)題為背景，簡(jiǎn)單被同學(xué)接受，造成或產(chǎn)生愛(ài)好，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)．使得同學(xué)學(xué)習(xí)本節(jié)課學(xué)問(wèn)自然且合理．

2．在建立新知過(guò)程中，老師力求引導(dǎo)、啟發(fā)，讓同學(xué)逐步回憶所學(xué)的學(xué)問(wèn)，并應(yīng)用它們來(lái)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，以形成比較系統(tǒng)和完整的學(xué)問(wèn)結(jié)構(gòu)．對(duì)關(guān)于概念使同學(xué)理解難確，盡量以多種形式反映學(xué)問(wèn)結(jié)構(gòu)，使同學(xué)在比較中得到深刻理解．

3．通過(guò)變式訓(xùn)練，使同學(xué)在對(duì)學(xué)問(wèn)初步理解和把握后，得到進(jìn)一步深化，對(duì)所學(xué)的學(xué)問(wèn)得到鞏固與提高，同時(shí)反饋信息，調(diào)整課堂教學(xué)．

4．本節(jié)課采納啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮老師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)同學(xué)主體地位，同學(xué)獵取學(xué)問(wèn)必需通過(guò)同學(xué)自己一系列思維活動(dòng)履行，啟發(fā)誘導(dǎo)同學(xué)深化思索問(wèn)題，有利于培育同學(xué)思維靈敏、嚴(yán)謹(jǐn)、深刻等良好思維品質(zhì)．

作業(yè)答案

思索題證明：因?yàn)椋?/p>

．又因?yàn)?，，，所以，，所?/p>

爭(zhēng)論??性題①．由條件得，…（A）利用公式…（B）．得，即．②．由（A）、（B）之和即得．③．可利用．再利用①，即可得．④．利用立方和公式得到：．利用①可得．利用①②可得．還有……

第二課時(shí)

（－）導(dǎo)入新課

（老師活動(dòng)）1．老師打出字幕（引例）；2．設(shè)置問(wèn)題，引導(dǎo)同學(xué)思索，啟發(fā)同學(xué)應(yīng)用平均值定理解決關(guān)于實(shí)際問(wèn)題．

（同學(xué)活動(dòng)）思索、回答老師設(shè)置的問(wèn)題，構(gòu)建應(yīng)用平均值定理解決實(shí)際問(wèn)題的思路．

［字幕］引例．如圖，用籬笆圍一塊面積為50的一邊靠墻的矩形籬笆墻，問(wèn)籬笆墻三邊分別長(zhǎng)多少時(shí)，所用籬笆最??？此時(shí)，籬笆墻長(zhǎng)為多少米？

[設(shè)問(wèn)]

①這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，如何把它轉(zhuǎn)化成為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題？

（同學(xué)口答：設(shè)籬笆墻長(zhǎng)為y，則（）．問(wèn)

題轉(zhuǎn)化成為求函數(shù)y的最小值及取得最值時(shí)的的值．）

②求這個(gè)函數(shù)的最小值可用哪些方法？能否用平均值定理求此函數(shù)的最小值？

（同學(xué)口答：利用函數(shù)的單調(diào)性或判別式法，也可用平均值定理．）

設(shè)計(jì)意圖：從同學(xué)熟識(shí)的實(shí)際問(wèn)題動(dòng)身，激發(fā)同學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)解決問(wèn)題的愛(ài)好，通過(guò)設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)和啟發(fā)同學(xué)用所學(xué)的平均值定理解決關(guān)于實(shí)際問(wèn)題，引入課題．

（二）新課講授

【嘗摸索索、建立新知】

（老師活動(dòng)）老師打出字幕（課本例題1），引導(dǎo)同學(xué)爭(zhēng)論??和解決問(wèn)題，關(guān)懷同學(xué)建立用平均值定理求函數(shù)最值的學(xué)問(wèn)體系．

（同學(xué)活動(dòng)）嘗試履行問(wèn)題的論證，構(gòu)建應(yīng)用平均值定理求函數(shù)最值的方法．

[字幕]已知

都是正數(shù)，求證：

（1）假如積是定值P，那么當(dāng)時(shí)，和有最小值；

（2）假如和是定值S，那么當(dāng)時(shí)，積有最大值

證明：運(yùn)用，證明（略）．

［點(diǎn)評(píng)］

①（l）的結(jié)論即，（2）的結(jié)論即

②上述結(jié)論給出了一類函數(shù)求最值的方法，即平均值定理求最值法．

③應(yīng)用平均值定理求最值要特殊留意：兩個(gè)變?cè)紴檎?；兩個(gè)變?cè)e（或和）為定值；當(dāng)且僅當(dāng)，這三個(gè)條件缺一不行，即“一正，二定，三相等”同時(shí)設(shè)立．

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)同學(xué)分析和爭(zhēng)論??問(wèn)題，建立新知——應(yīng)用平均值定理求最值的方法．

【例題示范，學(xué)會(huì)應(yīng)用】

（老師活動(dòng)）打出字幕（例題），引導(dǎo)同學(xué)分析問(wèn)題，爭(zhēng)論??問(wèn)題的解法．

（同學(xué)活動(dòng)）分析、思索，嘗試解答問(wèn)題．

[字幕]例題1求函數(shù)（）的最小值，并求相應(yīng)的的值．

［分析］因?yàn)檫@個(gè)函數(shù)中的兩項(xiàng)不都是正數(shù)且又與的積也不是常數(shù)，所以未能直接用定理求解．但把函數(shù)變形為

后，正數(shù)，的積是常數(shù)1，可以用定理求得這個(gè)函數(shù)的最小值．

解：，由，知，，且．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，（）有最小值，最小值是。

[點(diǎn)評(píng)]要準(zhǔn)確理解的意義，即方程要有解，且解在定義域內(nèi)．

[字幕]例2某工廠要建筑一個(gè)長(zhǎng)方體無(wú)蓋貯水池，其容積為4800，深為3m，假如池底每l的造價(jià)為150元，池壁每1的造價(jià)為120元，問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？

［分析］設(shè)水池底面一邊的長(zhǎng)為m，水池的總造價(jià)為y，建立y關(guān)干的函數(shù)．然后用定理求函數(shù)y的最小值．

解：設(shè)水池底面一邊的長(zhǎng)度為m，則另一邊的長(zhǎng)度為m，又設(shè)水池總造價(jià)為y元，依據(jù)題意，得

（）

所以

當(dāng)，即時(shí)，y有最小值297600．因此，當(dāng)水池的底面是邊長(zhǎng)為40m的正方形時(shí)．水池的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元．

設(shè)計(jì)意圖：加深理解應(yīng)用平均值定理求最值的方法，學(xué)會(huì)應(yīng)用平均值定理解決某些函數(shù)最值問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題，并把握分析變量的構(gòu)建思想．培育同學(xué)用數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)解決實(shí)際問(wèn)題的力量，化歸的數(shù)學(xué)思想．

【課堂練習(xí)】

（老師活動(dòng)）打出字幕（練習(xí)），要求同學(xué)獨(dú)立思索，履行練習(xí)；請(qǐng)三位同學(xué)板演；巡察同學(xué)解題狀況，對(duì)準(zhǔn)確的賜予確定，對(duì)偏差進(jìn)行訂正；講評(píng)練習(xí)．

（同學(xué)活動(dòng)）在筆記本且履行練習(xí)、板演．

［字幕〕練習(xí)

A組

1．求函數(shù)（）的最大值．

2求函數(shù)（）的最值．

3．求函數(shù)（）的最大值．

B組

1．設(shè)，且，求的最大值．

2．求函數(shù)的最值，下面解法是否準(zhǔn)確？為什么？

解：，因?yàn)?，則．所以

[講評(píng)]A組1．；2．；3．

B組1．；2．不準(zhǔn)確①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，，而函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)沒(méi)有最值．

設(shè)計(jì)意圖；A組題訓(xùn)練同學(xué)把握應(yīng)用平均值定理求最值．B組題訓(xùn)練同學(xué)把握平均值定理的綜合應(yīng)用，并對(duì)一些易消逝錯(cuò)誤的地方引起留意．同時(shí)反饋課堂教學(xué)效果，調(diào)整課堂教學(xué)．

【分析歸納、小結(jié)解法】

（老師活動(dòng)）分析歸納例題和練習(xí)的解題過(guò)程，小結(jié)應(yīng)用平均值定理解決關(guān)于函數(shù)最值問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題的解題方法．

（同學(xué)活動(dòng)）與老師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記．

1．應(yīng)用平均值定理可以解決積為定值或和為定值條件下，兩個(gè)正變量的和或積的最值問(wèn)題．

2．應(yīng)用定理時(shí)留意以下幾個(gè)條件：（?。﹥蓚€(gè)變量必需是正變量．（ⅱ）當(dāng)它們的和為定值時(shí)，其積取得最大值；當(dāng)它們的積是定值時(shí)，其和取得最小值．（iii）當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)數(shù)相等時(shí)取最值，即必需同時(shí)滿意

“正數(shù)”、“定值”、“相等”三個(gè)條件，才能求得最值．

3．在求某些函數(shù)的最值時(shí)，會(huì)恰當(dāng)?shù)暮愕茸冃巍治鲎兞?、配置系?shù)．

4．應(yīng)用平均值定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，應(yīng)留意：（l）先理解題意，沒(méi)變量，把要求最值的變量定為函數(shù)．（2）建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問(wèn)題抽象為函數(shù)的最值問(wèn)題，確定函數(shù)的定義域．（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最值，準(zhǔn)確寫出答案．

設(shè)計(jì)意圖：培育同學(xué)分析歸納問(wèn)題的力量，關(guān)懷同學(xué)形成學(xué)問(wèn)體系，全面深刻地把握平均值定理求最值和解決實(shí)際問(wèn)題的方法．

（三）小結(jié)

（老師活動(dòng)）老師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的學(xué)問(wèn)要點(diǎn)．

（同學(xué)活動(dòng)）與老師一道小結(jié)，并記錄筆記．

這節(jié)課學(xué)習(xí)了利用平均值定理求某些函數(shù)的最值問(wèn)題．現(xiàn)在我們又多了一種求正變量在定積或定和條件下的函數(shù)最值方法．這是平均值定理的一個(gè)重要應(yīng)用，也是本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容，同學(xué)們要結(jié)實(shí)把握．

應(yīng)用定理時(shí)要留意定理的適用條件，即“正數(shù)、定值、相等”三個(gè)條件同時(shí)設(shè)立，且會(huì)靈敏轉(zhuǎn)化問(wèn)題，達(dá)到化歸的目的．

設(shè)計(jì)意圖：培育同學(xué)對(duì)所學(xué)學(xué)問(wèn)進(jìn)行概括歸納的力量，鞏固所學(xué)學(xué)問(wèn)．

（四）布置作業(yè)

1．課本作業(yè)：P，6，7．

2．思索題：設(shè)，求函數(shù)的最值．

3．爭(zhēng)論??性題：某種汽車購(gòu)車時(shí)費(fèi)用為10萬(wàn)元，每年保險(xiǎn)、養(yǎng)路、汽車費(fèi)用9千元；汽車的修理費(fèi)各年為：第一年2千元，第二年4千元，依每年2千元的增量逐年遞增．問(wèn)這種汽車最多使用多少年報(bào)廢最合算（即使用多少年的平均費(fèi)用最少）？

設(shè)計(jì)意圖：課本作業(yè)供同學(xué)鞏固基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)