專題06 三角形綜合【有答案】

《2020中考數(shù)學(xué)考前重難點(diǎn)限時(shí)訓(xùn)練》專題06三角形綜合限時(shí)：45分鐘一、選擇題（本大題共7道小題）1.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，∠B=30°，∠ADC=70°，則∠C的度數(shù)是()A.50° B.60° C.70° D.80°【答案】C[解析]∵∠ADC=70°，∠B=30°，∴∠BAD=∠ADC-∠B=70°-30°=40°.∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD=80°，∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-30°-80°=70°，故選C.2.如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD=7，BD=4，CD=3，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BD，CD，AC的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)為()A.12 B.14 C.24 D.21【答案】A[解析]∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴BC=BD2+CD∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BD，CD，AC的中點(diǎn)，∴EH=FG=12BC，EF=GH=12∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)=EH+GH+FG+EF=AD+BC.又∵AD=7，∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)=7+5=12.3.在△ABC中，若一個(gè)內(nèi)角等于另兩個(gè)內(nèi)角的差，則 ()A.必有一個(gè)內(nèi)角等于30° B.必有一個(gè)內(nèi)角等于45°C.必有一個(gè)內(nèi)角等于60° D.必有一個(gè)內(nèi)角等于90°【答案】D[解析]不妨設(shè)∠A=∠C-∠B，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故選D.4.如圖，D是AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，DE=FE，F(xiàn)C∥AB，若AB=4，CF=3，則BD的長(zhǎng)是 ()A.0.5 B.1 C.1.5 D.2【答案】B[解析]∵CF∥AB，∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F.在△ADE和△CFE中，∠∴△ADE≌△CFE(AAS)，∴AD=CF=3.∵AB=4，∴DB=AB-AD=4-3=1，故選B.5.如圖，在△ABC和△DEC中，AB=DE，再添加兩個(gè)條件使△ABC≌△DEC，不能添加的一組條件是 ()A.BC=EC，∠B=∠E B.BC=EC，AC=DCC.BC=EC，∠A=∠D D.∠B=∠E，∠A=∠D【答案】C[解析]A選項(xiàng)，已知AB=DE，再加上條件BC=EC，∠B=∠E，可利用SAS證明△ABC≌△DEC，故不合題意;B選項(xiàng)，已知AB=DE，再加上條件BC=EC，AC=DC，可利用SSS證明△ABC≌△DEC，故不合題意;C選項(xiàng)，已知AB=DE，再加上條件BC=EC，∠A=∠D，不能證明△ABC≌△DEC，故符合題意;D選項(xiàng)，已知AB=DE，再加上條件∠B=∠E，∠A=∠D，可利用ASA證明△ABC≌△DEC，故不合題意.故選C.6.將一副直角三角板按如圖所示的位置擺放，若含30°角的三角板的一條直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊放在同一條直線上，則∠α的度數(shù)是 ()A.45° B.60° C.75° D.85°【答案】C[解析]如圖，在直角三角形中，可得∠1+∠A=90°，∵∠A=45°，∴∠1=45°，∴∠2=45°.∵∠B=30°，∴∠α=∠2+∠B=75°，故選C.7.如圖，AB⊥CD，且AB=CD.E，F(xiàn)是AD上兩點(diǎn)，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE=a，BF=b，EF=c，則AD的長(zhǎng)為 ()A.a+c B.b+c C.a-b+c D.a+b-c【答案】D[解析]∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠CED=∠AFB=90°，∠A=∠C，又∵AB=CD，∴△CED≌△AFB，∴AF=CE=a，DE=BF=b，DF=DE-EF=b-c，∴AD=AF+DF=a+b-c，故選D.二、填空題（本大題共4道小題）8.如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°，得到△ADE，這時(shí)點(diǎn)B，C，D恰好在同一直線上，則∠B的度數(shù)為.

【答案】15°[解析]∵△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°得到△ADE，∴∠BAD=150°，△ABC≌△ADE，AB=AD，∴△BAD是等腰三角形，∴∠B=∠ADB=12(180°-∠BAD)=15°9.如圖，在△ABC中，分別以AC，BC為邊作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，連接AE，BD交于點(diǎn)O，則∠AOB的度數(shù)為.

【答案】120°[解析]如圖，設(shè)AC，DB的交點(diǎn)為H.∵△ACD，△BCE都是等邊三角形，∴CD=CA，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCB=∠ACE，在△DCB和△ACE中，CD∴△DCB≌△ACE，∴∠CAE=∠CDB，又∵∠DCH+∠CHD+∠BDC=180°，∠AOH+∠AHO+∠CAE=180°，∠DHC=∠OHA，∴∠AOH=∠DCH=60°，∴∠AOB=180°-∠AOH=120°.10.定義:等腰三角形的頂角與其一個(gè)底角的度數(shù)的比值k稱為這個(gè)等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中，∠A=80°，則它的特征值k=.

【答案】85或1[解析]①當(dāng)∠A為頂角時(shí)，等腰三角形兩底角的度數(shù)為:180°-80°∴特征值k=80°50°②當(dāng)∠A為底角時(shí)，頂角的度數(shù)為:180°-80°-80°=20°，∴特征值k=20°80°故答案為85或111.在邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC中，D為BC邊上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，則DE+DF=.

【答案】23[解析]如圖，作AG⊥BC于G，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°，∴AG=32AB=23連接AD，則S△ABD+S△ACD=S△ABC，∴12AB·DE+12AC·DF=12BC∵AB=AC=BC=4，∴DE+DF=AG=23.三、解答題（本大題共5道小題）12.如圖，已知:在△ABC中，∠BAC=90°，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)D，使AD=12AB，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AC的中點(diǎn).求證:

【答案】證明:連接AE，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥AB，即EF∥AD且EF=12又∵AD=12AB，∴AD=EF∴四邊形ADFE是平行四邊形，∴DF=AE.∵在Rt△ABC中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴AE=12BC=BE，∴13.如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，BE是AC邊上的中線，且BD=CE.求證:(1)點(diǎn)D在BE的垂直平分線上;(2)∠BEC=3∠ABE.

【答案】證明:(1)如圖，連接DE.∵CD是AB邊上的高，∴CD⊥AB.∴∠ADC=90°.∵AE=CE，∴DE=12∵BD=CE，∴DE=BD.∴點(diǎn)D在線段BE的垂直平分線上.(2)∵BD=DE，∴∠ADE=2∠ABE.∵DE=AE，∴∠A=∠ADE=2∠ABE.∴∠BEC=∠ABE+∠A=3∠ABE.14.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB邊上一點(diǎn)(點(diǎn)D與A，B不重合)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連接DE交BC于點(diǎn)F，連接BE.(1)求證:△ACD≌△BCE;(2)當(dāng)AD=BF時(shí)，求∠BEF的度數(shù).

【答案】解:(1)證明:∵線段CD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，∴∠DCE=90°，CD=CE.又∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DCE，∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中，∵CD∴△ACD≌△BCE.(2)∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°，∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠CBE=∠A=45°.又AD=BF，∴BE=BF，∴∠BEF=∠BFE=180°-45°2=15.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為直角邊，在AD的上方作等腰直角三角形ADF.(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(不與點(diǎn)B重合)，求證:△ACF≌△ABD;(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，猜想CF與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由.

【答案】解:(1)證明:∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，∴∠BAD+∠CAD=90°，∠CAF+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠BAD.在△ACF和△ABD中，AC∴△ACF≌△ABD(SAS).(2)CF=BD且CF⊥BD，理由如下:∵∠CAB=∠DAF=90°，∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠CAF=∠BAD.在△ACF和△ABD中，AC∴△ACF≌△ABD(SAS)，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD.∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABD=∠ACB=45°，∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=∠ABD+∠ACB=45°+45°=90°，∴CF⊥BD.16.(1)如圖①，在四邊形ABCD中，AB∥DC，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAD的平分線，試判斷AB，AD，DC之間的等量關(guān)系.解決此問題可以用如下方法:延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，易證△AEB≌△FEC，得到AB=FC，從而把AB，AD，DC轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中即可判斷.AB，AD，DC之間的等量關(guān)系為;

(2)問題探究:如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的平分線，試探究AB，AF，CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.①②【答案】解:(1)AD=AB+DC[解析]延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∵AB∥DC，∴∠BAF=∠F.∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE=BE.在△AEB和△FEC中，∠∴△AEB≌△FEC，∴AB=FC.∵AE是∠BA