考點12 二次函數(shù)的應(yīng)用【有答案】

考點12二次函數(shù)的應(yīng)用二次函數(shù)的應(yīng)用是中考數(shù)學(xué)中二次函數(shù)出解答題較多的一個考點，其中，二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用多為小題，出題率不高，一般需要根據(jù)題意自行建議二次函數(shù)模型；而利用二次函數(shù)圖象解決實際問題和最值問題則多為簡答題，個別為填空題，此類問題需要多注意題意的理解，而且一般計算數(shù)據(jù)較大，還要求特定取值范圍，需要考生在做題過程中更為細心對待。二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用利用二次函數(shù)解決拋物線形問題利用二次函數(shù)解決最值類問題考向一、二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用利用二次函數(shù)解決生活中的實際問題時，一般先根據(jù)題意建議二次函數(shù)表達式，并確定自變量的取值范圍，然后利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決問題1．將進貨價格為35元的商品按單價40元售出時，能賣出200個．已知該商品單價每上漲1元，其銷售量就減少5個．設(shè)這種商品的售價上漲x元時，獲得的利潤為y元，則下列關(guān)系式正確的是（）A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200?10x） C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200?10x）【分析】根據(jù)售價減去進價表示出實際的利潤．【解答】解：根據(jù)題意可得：y＝（40+x﹣35）（200﹣5x）＝（x+5）（200﹣5x），故選：C．2．如圖，某學(xué)校擬建一塊矩形花圃，打算一邊利用學(xué)校現(xiàn)有的墻（墻足夠長），其余三邊除門外用柵欄圍成，柵欄總長度為38m，門寬為2m．這個矩形花圃的最大面積是200m2．【分析】直接根據(jù)題意表示出垂直與花圃的一邊長，再利用矩形面積求法列出關(guān)系式，配方可得答案．【解答】解：設(shè)花圃的長為xcm，面積為ycm，則y關(guān)于x的函數(shù)表達式為：y＝（38+2﹣x）x＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣20）2+200，，∴2≤x＜40．∴當(dāng)x＝20時，面積最大為200m2．故答案為：200m2．3．某游樂場的圓形噴水池中心O有一噴水管OA，OA＝0.5米，從A點向四周噴水，噴出的水柱為拋物線且形狀相同．如圖，以水平方向為x軸，點O為原點建立平面直角坐標(biāo)系，點A在y軸上．已知在與池中心O點水平距離為3米時，水柱達到最高，此時高度為2米．（1）求水柱所在的拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達式；（2）身高為1.67m的小穎站在距離噴水管4m的地方，她會被水噴到嗎？（3）現(xiàn)重新改建噴泉，升高噴水管，使落水點與噴水管距離7m，已知噴水管升高后，噴水管噴出的水柱拋物線形狀不變，且水柱仍在距離原點3m處達到最高，則噴水管OA要升高多少？【分析】（1）由題意得拋物線的頂點坐標(biāo)為（3，2），點A（0，0.5），設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣3）2+2，待定系數(shù)法求出解析式即可；（2）設(shè)改造后的拋物線的解析式為，將點（7，0）代入計算即可．【解答】解：（1）由題意得拋物線的頂點坐標(biāo)為（3，2），點A（0，0.5）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣3）2+2，將點A坐標(biāo)代入，得9a+2＝0.5，解得，∴拋物線的解析式為；（2）設(shè)噴水管OA要升高hm，則拋物線的解析式為，將（7，0）代入，得，∴噴水管OA要升高m．考向二、利用二次函數(shù)解決拋物線形問題解決此類問題一般步驟：合理建立直角坐標(biāo)系，把已知數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)；根據(jù)題意，把所求問題轉(zhuǎn)化為求最值或已知x的范圍就y的值的問題1．2019年在武漢市舉行了軍運會，在軍運會比賽中，某次羽毛球的運動路線可以看作是拋物線y＝x2+x+的一部分（如圖），其中出球點B離地面O點的距離是米，球落點的距離是（）A．1米 B．3米 C．5米 D．米【分析】根據(jù)解析式與x軸的交點得出球落地點A到O點的距離．【解答】解：令y＝0，則﹣x2+x+＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣1（舍去），∴球落地點A到O點的距離是5米．故選：C．2．如圖，隧道的截面由拋物線和長方形OABC構(gòu)成．按照圖中所示的平面直角坐標(biāo)系，拋物線可以用表示．在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，如果燈離地面的高度為8m．那么兩排燈的水平距離是（）A．2m B．4m C．m D．m【分析】根據(jù)長方形的長OA是12m，寬OC是4m，可得頂點的橫坐標(biāo)和點C的坐標(biāo)，即可求出拋物線解析式，再把y＝8代入解析式即可得結(jié)【解答】解：y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣6）2+10，當(dāng)y＝8時，8＝﹣（x﹣6）2+10，解得x1＝6+2，x2＝6﹣2．則x1﹣x2＝4．所以兩排燈的水平距離最小是4（m）．故選：D．3．一位籃球運動員在距離籃圈中心水平距離4m處起跳投籃，球沿一條拋物線運動，當(dāng)球運動的水平距離為2.5m時，達到最大高度3.5m，然后準(zhǔn)確落入籃框內(nèi)．已知籃圈中心距離地面高度為3.05m，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，下列說法正確的是（）A．此拋物線的解析式是y＝x2+3.5 B．籃圈中心的坐標(biāo)是（4，3.05） C．此拋物線的頂點坐標(biāo)是（3.5，0） D．籃球出手時離地面的高度是2.25m【分析】對于A，設(shè)拋物線的表達式為y＝ax2+3.5，依題意可知圖象經(jīng)過的坐標(biāo)，由此可得a的值，據(jù)此將得到的解析式與A選項對照，即可得到其正誤；對于B、C，根據(jù)函數(shù)圖象判斷，即可得到其正誤；對于D，設(shè)這次跳投時，球出手處離地面hm，將x＝﹣2.5代入y＝﹣x2+3.5計算即可求得結(jié)論．【解答】解：∵拋物線的頂點坐標(biāo)為（0，3.5），∴可設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y＝ax2+3.5（a≠0）．∵籃圈中心（1.5，3.05）在拋物線上，∴3.05＝a×1.52+3.5，解得a＝﹣，∴y＝﹣x2+3.5．故選項A錯誤，選項C錯誤；令y＝3.05，則有y＝﹣x2+3.5＝3.05，解得x＝1.5（負值舍去），可知籃圈中心的坐標(biāo)是（1.5，3.05），故選項B錯誤；設(shè)籃球出手時離地面的高度是hm．令y＝﹣x2+3.5中x＝﹣2.5，可得h＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5＝2.25．可知籃球出手時離地面的高度是2.25m．故選項D錯誤．故選：D．4．如圖，在水平地面點A處有一網(wǎng)球發(fā)射器向空中發(fā)射網(wǎng)球，網(wǎng)球在地面上的落點為B，網(wǎng)球飛行路線是一條拋物線，小明在直線AB上點C（靠點B一側(cè)）右側(cè)豎直向上擺放若干個無蓋的、直徑為0.5米，高為0.3米的圓柱形桶（網(wǎng)球的體積和圓柱形桶的厚度忽略不計）．已知AB＝4米，AC＝3米，網(wǎng)球飛行的最大高度OM＝3米，若要使網(wǎng)球能落入桶內(nèi)，則至少需擺放圓柱形桶（）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個【分析】先以AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，二次函數(shù)的圖像過M、A、B根據(jù)待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，當(dāng)桶的左側(cè)x＝1最高點位于拋物線以下，右側(cè)x＝1.5最高點位于拋物線以上時，求才能落進桶內(nèi)，分別計算出x＝1和x＝1.5時y的值，然后與桶高0.3比較，可求出m的取值范圍，從而求出m的最小值．【解答】解：先以AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，二次函數(shù)的圖像過M（0，3）、A（﹣2，0），設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+3；∵拋物線過點B（2，0），∴4a+3＝0，，拋物線的解析式為：，當(dāng)x＝1時，，當(dāng)x＝1.5時，，∵桶高0.3，∴有，解得4.375＜m＜7.5，∴m的值為5或6或7時，網(wǎng)球能落入桶中，∴至少要擺5個桶；故選：B．考向三、利用二次函數(shù)解決最值類問題利用二次函數(shù)解決銷售中最大利潤問題一般步驟設(shè)自變量，用含自變量的代數(shù)式表示銷售單價或銷售量及銷售收入用含自變量的代數(shù)式表示銷售商品成本用含自變量的關(guān)系式分別表示銷售利潤，根據(jù)銷售利潤=單件利潤×銷售量，得到函數(shù)表達式根據(jù)函數(shù)表達式求出最值及取得最值時的自變量的值1.與現(xiàn)實生活結(jié)合類問題，常需要自己先建立合適的平面直角坐標(biāo)系，之后再根據(jù)信息做題；1.與現(xiàn)實生活結(jié)合類問題，常需要自己先建立合適的平面直角坐標(biāo)系，之后再根據(jù)信息做題；2.二次函數(shù)實際應(yīng)用的問題，如果是分段函數(shù)，最后需要寫成一個整體，后邊分別寫上對應(yīng)的取值范圍3.利潤最大化問題與二次函數(shù)模型牢記兩公式：①單位利潤=售價-進價；②總利潤=單件利潤×銷量；謹記兩轉(zhuǎn)化：①銷量轉(zhuǎn)化為售價的一次函數(shù)；②總利潤轉(zhuǎn)化為售價的二次函數(shù)；函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用：常利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出在自變量取值范圍內(nèi)的函數(shù)最值；1．小明在體育訓(xùn)練中擲出的實心球的運動路線呈如圖所示的拋物線形，若實心球運動的拋物線的表達式為，其中y是實心球飛行的高度，x是實心球飛行的水平距離，則小明此次擲球過程中，實心球的最大高度是（）A．3m B．m C．m D．m【分析】令y＝0，再解關(guān)于x的方程，即可得到答案．【解答】解：在y＝﹣（x﹣3）2+中，當(dāng)x＝3時，y有最大值，∴小明此次擲球過程中，實心球的最大高度是m，故選：B．2．如圖，嘉嘉欲借助院子里的一面長15m的墻，想用長為40m的網(wǎng)繩圍成一個矩形ABCD給奶奶養(yǎng)雞，怎樣使矩形ABCD的面積最大呢？同學(xué)淇淇幫她解決了這個問題．淇淇的思路是：設(shè)BC的邊長為xm，矩形ABCD的面積為Sm2，不考慮其他因素，請幫他們回答下列問題：（1）求S與x的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出x的取值范圍；（2）x為何值時，矩形ABCD的面積最大？【分析】（1）根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式即可；（2）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）根據(jù)題意得，，（0＜x≤15）；（2）∵＝﹣（x﹣20）2+200，∴當(dāng)x＜20時，S隨x的增大而增大，而0＜x≤15，∴當(dāng)x＝15時，S有最大值，即矩形ABCD的面積最大．3．蘭州牛肉面具有“湯鏡者清，肉爛者香，面細者精”的風(fēng)味和“一清二白三紅四綠五黃”的特色．隨著電商平臺的發(fā)展，袋裝牛肉面可以銷往全國各地．某平臺銷售一種進價為8元/袋的牛肉面，售價為12元/袋，每天可賣出100袋，若每袋牛肉面的售價每上漲1元，則每天少賣出10袋．（1）假設(shè)每袋牛肉面的售價上漲x元，每天銷售該牛肉面的利潤為y元，試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（2）每袋牛肉面的售價上漲多少元時，該平臺每天銷售這種牛肉面可獲得最大利潤？此時，牛肉面的定價為多少元？獲得的最大利潤為多少？【分析】（1）根據(jù)題意，得出每件商品的利潤以及商品總的銷量，即可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)即可二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)每袋牛肉面的售價上漲x元，則每件商品的利潤為：（12﹣8+x）元，總銷量為：（100﹣10x）件，商品利潤為：y＝（12﹣8+x）（100﹣10x），＝﹣10x2+60x+400（0＜x＜10）；（2）根據(jù)題意得y＝﹣10x2+60x+400＝﹣10（x﹣3）2+490，所以，當(dāng)x＝3時，y取得最大值為490．答：每袋牛肉面的售價上漲3元時，該平臺每天銷售這種牛肉面可獲得最大利潤，此時，牛肉面的定價為15元？獲得的最大利潤為490元．4．天天鮮果是一家基于互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的現(xiàn)代農(nóng)業(yè)服務(wù)供應(yīng)商，提供高品質(zhì)新鮮水果產(chǎn)品和個性化直銷服務(wù)．天天鮮果旗下的電商平臺，在2021年5月舉行了為期一個月的新鮮水果產(chǎn)品優(yōu)惠促銷活動，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某種新鮮水果的周銷售量y（箱）是關(guān)于售價x（元/箱）的一次函數(shù)，下表僅列出了該新鮮水果的售價x（元/箱），周銷售量y（箱），周銷售利潤W（元）的三組對應(yīng)值數(shù)據(jù)．x456080y1359030W337536001800（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）若該新鮮水果進價a（元/箱），售價x為多少時，周銷售利潤W最大？并求出此時的最大利潤；（3）因疫情期間，該新鮮水果進價提高了m（元/箱）（m＞0），公司為回饋廣大消費者，規(guī)定該新鮮水果的售價x不得超過55（元/箱），且該新鮮水果在今后的銷售中，周銷售量與售價仍滿足（1）中的函數(shù)關(guān)系，若周銷售最大利潤是3150元，求m的值．【分析】（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以寫出W與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到售價x為多少時，周銷售利潤W最大，并求出此時的最大利潤；（3）根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的方程，然后求出m的值即可．【解答】解：（1）∵y是x的一次函數(shù)，∴設(shè)y＝kx+b，∴由表格知：，解得，即y關(guān)于x函數(shù)解析式是y＝﹣3x+270；（2）設(shè)售價為x（元/箱）時，周銷售利潤為W元，由（1）知，W＝y(tǒng)（x﹣a）＝（﹣3x+270）（x﹣a），由表中數(shù)據(jù)可知：3375＝（﹣3×45+270）（45﹣a），解得a＝20，∴W＝（﹣3x+270）（x﹣20）＝﹣3x2+330x﹣5400＝﹣3（x﹣55）2+3675，∴當(dāng)x＝55時，周銷售利潤w最大，最大利潤為3675元．（3）由題意W＝（﹣3x+270）（x﹣20﹣m）＝﹣3x2+3（110+m）x﹣270（20+m），∴對稱軸為直線，∵0＜x≤55，∴在0＜x≤55內(nèi)，二次函數(shù)W隨x的增大而增大，∴只有x＝55時周銷售利潤最大，∴3150＝﹣3（55﹣90）（55﹣20﹣m），解得m＝5．1．（2022?新疆）如圖，用一段長為16m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形圍欄（墻足夠長），則這個圍欄的最大面積為32m2．【分析】設(shè)與墻垂直的一邊長為xm，然后根據(jù)矩形面積列出函數(shù)關(guān)系式，從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析其最值．【解答】解：設(shè)與墻垂直的一邊長為xm，則與墻平行的一邊長為（16﹣2x）m，∴矩形圍欄的面積為x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32，∵﹣2＜0，∴當(dāng)x＝4時，矩形有最大面積為32m2，故答案為：32．2．（2022?南通）根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，如果不考慮空氣阻力，以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系是h＝﹣5t2+20t，當(dāng)飛行時間t為2s時，小球達到最高點．【分析】把二次函數(shù)解析式化為頂點式，即可得出結(jié)論．【解答】解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∵﹣5＜0，∴當(dāng)t＝2時，h有最大值，最大值為20，故答案為：2．3．（2022?黔西南州）如圖，是一名男生推鉛球時，鉛球行進過程中形成的拋物線．按照圖中所示的平面直角坐標(biāo)系，鉛球行進高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是y＝﹣x2+x+，則鉛球推出的水平距離OA的長是10m．【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和圖象可知，OA的長就是拋物線與x軸正半軸的交點的橫坐標(biāo)的值，然后令y＝0求出相應(yīng)的x的值，即可得到OA的長．【解答】解：∵y＝﹣x2+x+，∴當(dāng)y＝0時，0＝﹣x2+x+，解得x1＝﹣2，x2＝10，∴OA＝10m，故答案為：10．4．（2022?南充）如圖，水池中心點O處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，噴頭上下移動時，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點與點O在同一水平面．安裝師傅調(diào)試發(fā)現(xiàn)，噴頭高2.5m時，水柱落點距O點2.5m；噴頭高4m時，水柱落點距O點3m．那么噴頭高8m時，水柱落點距O點4m．【分析】由題意可知，在調(diào)整噴頭高度的過程中，水柱的形狀不發(fā)生變化，則當(dāng)噴頭高2.5m時，可設(shè)y＝ax2+bx+2.5，將（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1＝0；噴頭高4m時，可設(shè)y＝ax2+bx+4；將（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0，聯(lián)立可求出a和b的值，設(shè)噴頭高為h時，水柱落點距O點4m，則此時的解析式為y＝ax2+bx+h，將（4，0）代入可求出h．【解答】解：由題意可知，在調(diào)整噴頭高度的過程中，水柱的形狀不發(fā)生變化，當(dāng)噴頭高2.5m時，可設(shè)y＝ax2+bx+2.5，將（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5＝0，整理得2.5a+b+1＝0①；噴頭高4m時，可設(shè)y＝ax2+bx+4；將（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②，聯(lián)立可求出a＝﹣，b＝，設(shè)噴頭高為h時，水柱落點距O點4m，∴此時的解析式為y＝﹣x2+x+h，將（4，0）代入可得﹣×42+×4+h＝0，解得h＝8．故答案為：8．5．（2022?遼寧）某超市以每件13元的價格購進一種商品，銷售時該商品的銷售單價不低于進價且不高于18元．經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）銷售單價定為多少時，該超市每天銷售這種商品所獲的利潤最大？最大利潤是多少？【分析】（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），然后用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）根據(jù)利潤＝單件利潤×銷售量列出函數(shù)解析式，然后由函數(shù)的性質(zhì)以及自變量的取值范圍求出函數(shù)最值．【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），由所給函數(shù)圖象可知：，解得：，故y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣20x+500；（2）設(shè)每天銷售這種商品所獲的利潤為w，∵y＝﹣20x+500，∴w＝（x﹣13）y＝（x﹣13）（﹣20x+500）＝﹣20x2+760x﹣6500＝﹣20（x﹣19）2+720，∵﹣20＜0，∴當(dāng)x＜19時，w隨x的增大而增大，∵13≤x≤18，∴當(dāng)x＝18時，w有最大值，最大值為700，∴售價定為18元/件時，每天最大利潤為700元．6．（2022?淮安）端午節(jié)前夕，某超市從廠家分兩次購進A、B兩種品牌的粽子，兩次進貨時，兩種品牌粽子的進價不變．第一次購進A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，總費用為7000元；第二次購進A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，總費用為8100元．（1）求A、B兩種品牌粽子每袋的進價各是多少元；（2）當(dāng)B品牌粽子銷售價為每袋54元時，每天可售出20袋，為了促銷，該超市決定對B品牌粽子進行降價銷售．經(jīng)市場調(diào)研，若每袋的銷售價每降低1元，則每天的銷售量將增加5袋．當(dāng)B品牌粽子每袋的銷售價降低多少元時，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【分析】（1）A種品牌粽子每袋的進價是x元，B種品牌粽子每袋的進價是y元，根據(jù)兩次進貨情況，可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)：利潤＝（每臺實際售價﹣每臺進價）×銷售量，列函數(shù)關(guān)系式，配方成二次函數(shù)的頂點式可得函數(shù)的最大值；【解答】解：（1）A種品牌粽子每袋的進價是x元，B種品牌粽子每袋的進價是y元，根據(jù)題意得，，解得，答：A種品牌粽子每袋的進價是25元，B種品牌粽子每袋的進價是30元；（2）設(shè)B品牌粽子每袋的銷售價降低a元時，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大，利潤為w元，根據(jù)題意得，w＝（54﹣a﹣30）（20+5a）＝﹣5a2+100a+480＝﹣5（a﹣10）2+980，∵﹣5＜0，∴當(dāng)B品牌粽子每袋的銷售價降低10元時，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大，最大利潤是980元．7．（2022?湖北）某超市銷售一種進價為18元/千克的商品，經(jīng)市場調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）有如下表所示的關(guān)系：銷售單價x（元/千克）…2022.52537.540…銷售量y（千克）…3027.52512.510…（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)在如圖中描點（x，y），并用平滑曲線連接這些點，請用所學(xué)知識求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)該超市每天銷售這種商品的利潤為w（元）（不計其它成本）．①求出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出獲得最大利潤時，銷售單價為多少；②超市本著“盡量讓顧客享受實惠”的銷售原則，求w＝240（元）時的銷售單價．【分析】（1）描點，用平滑曲線連接這些點即可得出函數(shù)圖象是一次函數(shù)，待定系數(shù)法求解可得；（2）①根據(jù)“總利潤＝每千克利潤×銷售量”可得函數(shù)解析式，將其配方成頂點式即可得最值情況；②根據(jù)題意列方程，解方程即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）如圖，設(shè)y＝kx+b，把（20，30）和（25，25）代入y＝kx+b中得：，解得：，∴y＝﹣x+50；（2）①w＝（x﹣18）（﹣x+50）＝﹣x2+68x﹣900＝﹣（x﹣34）2+256，∵﹣1＜0，∴當(dāng)x＝34時，w有最大值，即超市每天銷售這種商品獲得最大利潤時，銷售單價為34元；②當(dāng)w＝240時，﹣（x﹣34）2+256＝240，（x﹣34）2＝16，∴x1＝38，x2＝30，∵超市本著“盡量讓顧客享受實惠”的銷售原則，∴x＝30．8．（2022?隨州）2022年的冬奧會在北京舉行，其中冬奧會吉祥物“冰墩墩”深受人們喜愛，多地出現(xiàn)了“一墩難求”的場面．某紀(jì)念品商店在開始售賣當(dāng)天提供150個“冰墩墩”后很快就被搶購一空，該店決定讓當(dāng)天未購買到的顧客可通過預(yù)約在第二天優(yōu)先購買，并且從第二天起，每天比前一天多供應(yīng)m個（m為正整數(shù)）．經(jīng)過連續(xù)15天的銷售統(tǒng)計，得到第x天（1≤x≤15，且x為正整數(shù)）的供應(yīng)量y1（單位：個）和需求量y2（單位：個）的部分數(shù)據(jù)如下表，其中需求量y2與x滿足某二次函數(shù)關(guān)系．（假設(shè)當(dāng)天預(yù)約的顧客第二天都會購買，當(dāng)天的需求量不包括前一天的預(yù)約數(shù)）第x天12…6…11…15供應(yīng)量y1（個）150150+m…150+5m…150+10m…150+14m需求量y2（個）220229…245…220…164（1）直接寫出y1與x和y2與x的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫出x的取值范圍）（2）已知從第10天開始，有需求的顧客都不需要預(yù)約就能購買到（即前9天的總需求量超過總供應(yīng)量，前10天的總需求量不超過總供應(yīng)量），求m的值；（參考數(shù)據(jù)：前9天的總需求量為2136個）（3）在第（2）問m取最小值的條件下，若每個“冰墩墩”售價為100元，求第4天與第12天的銷售額．【分析】（1）由已知直接可得y1＝150+（x﹣1）m＝mx+150﹣m，設(shè)y2＝ax2+bx+c，用待定系數(shù)法可得y2＝﹣x2+12x+209；（2）求出前9天的總供應(yīng)量為（1350+36m）個，前10天的供應(yīng)量為（1500+45m）個，根據(jù)前9天的總需求量為2136個，前10天的總需求量為2136+229＝2365（個），可得，而m為正整數(shù)，即可解得m的值為20或21；（3）m最小值為20，從而第4天的銷售量即供應(yīng)量為y1＝210，銷售額為21000元，第12天的銷售量即需求量為y2＝209，銷售額為20900元．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：y1＝150+（x﹣1）m＝mx+150﹣m，設(shè)y2＝ax2+bx+c，將（1，220），（2，229），（6，245）代入得：，解得，∴y2＝﹣x2+12x+209；（2）前9天的總供應(yīng)量為150+（150+m）+（150+2m）+......+（150+8m）＝（1350+36m）個，前10天的供應(yīng)量為1350+36m+（150+9m）＝（1500+45m）個，在y2＝﹣x2+12x+209中，令x＝10得y＝﹣102+12×10+209＝229，∵前9天的總需求量為2136個，∴前10天的總需求量為2136+229＝2365（個），∵前9天的總需求量超過總供應(yīng)量，前10天的總需求量不超過總供應(yīng)量，∴，解得19≤m＜21，∵m為正整數(shù)，∴m的值為20或21；（3）由（2）知，m最小值為20，∴第4天的銷售量即供應(yīng)量為y1＝4×20+150﹣20＝210，∴第4天的銷售額為210×100＝21000（元），而第12天的銷售量即需求量為y2＝﹣122+12×12+209＝209，∴第12天的銷售額為209×100＝20900（元），答：第4天的銷售額為21000元，第12天的銷售額為20900元．9．（2022?衢州）如圖1為北京冬奧會“雪飛天”滑雪大跳臺賽道的橫截面示意圖．取水平線OE為x軸，鉛垂線OD為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．運動員以速度v（m/s）從D點滑出，運動軌跡近似拋物線y＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某運動員7次試跳的軌跡如圖2．在著陸坡CE上設(shè)置點K（與DO相距32m）作為標(biāo)準(zhǔn)點，著陸點在K點或超過K點視為成績達標(biāo)．（1）求線段CE的函數(shù)表達式（寫出x的取值范圍）．（2）當(dāng)a＝時，著陸點為P，求P的橫坐標(biāo)并判斷成績是否達標(biāo)．（3）在試跳中發(fā)現(xiàn)運動軌跡與滑出速度v的大小有關(guān)，進一步探究，測算得7組a與v2的對應(yīng)數(shù)據(jù)，在平面直角坐標(biāo)系中描點如圖3．①猜想a關(guān)于v2的函數(shù)類型，求函數(shù)表達式，并任選一對對應(yīng)值驗證．②當(dāng)v為多少m/s時，運動員的成績恰能達標(biāo)（精確到1m/s）？（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，≈2.24）【分析】（1）由圖2可知：C（8，16），E（40，0），利用待定系數(shù)法可得出結(jié)論；（2）當(dāng)時，，聯(lián)立，可得出點P的橫坐標(biāo)，比較即可得出結(jié)論；（3）①猜想a與v2成反比例函數(shù)關(guān)系．將（100，0.250）代入表達式，求出m的值即可．將（150，0.167）代入進行驗證即可得出結(jié)論；②由K在線段上，得K（32，4），代入得y＝﹣ax2+2x+20，得．由得v2＝320，比較即可．【解答】解：（1）由圖2可知：C（8，16），E（40，0），設(shè)CE：y＝kx+b（k≠0），將C（8，16），E（40，0）代入得：，解得，∴線段CE的函數(shù)表達式為（8≤x≤40）．（2）當(dāng)時，，由題意得，解得x1＝0（舍去），x2＝22.5．∴P的橫坐標(biāo)為22.5．∵22.5＜32，∴成績未達標(biāo)．（3）①猜想a與v2成反比例函數(shù)關(guān)系．∴設(shè)，將（100，0.250）代入得，解得m＝25，∴．將（150，0.167）代入驗證：，∴能相當(dāng)精確地反映a與v2的關(guān)系，即為所求的函數(shù)表達式．②由K在線段上，得K（32，4），代入得y＝﹣ax2+2x+20，得．由得v2＝320，又∵v＞0，∴．∴當(dāng)v≈18m/s時，運動員的成績恰能達標(biāo)．10．（2022?溫州）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計拱橋景觀燈的懸掛方案？素材1圖1中有一座拱橋，圖2是其拋物線形橋拱的示意圖，某時測得水面寬20m，拱頂離水面5m．據(jù)調(diào)查，該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲1.8m達到最高．素材2為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面的橋拱上懸掛40cm長的燈籠，如圖3．為了安全，燈籠底部距離水面不小于1m；為了實效，相鄰兩盞燈籠懸掛點的水平間距均為1.6m；為了美觀，要求在符合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸對稱分布．問題解決任務(wù)1確定橋拱形狀在圖2中建立合適的直角坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達式．任務(wù)2探究懸掛范圍在你所建立的坐標(biāo)系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點的縱坐標(biāo)的最小值和橫坐標(biāo)的取值范圍．任務(wù)3擬定設(shè)計方案給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐標(biāo)系，求出最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標(biāo)．【分析】任務(wù)1：利用待定系數(shù)法可得拋物線的函數(shù)表達式；任務(wù)2：根據(jù)該河段水位再漲1.8m達到最高，燈籠底部距離水面至少1m，燈籠長0.4m，計算懸掛點的縱坐標(biāo)的最小值是﹣1.8m；任務(wù)3：介紹兩種方案：分別掛7盞和8盞．【解答】解：任務(wù)1：以拱頂為原點，建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系，則頂點為（0，0），且過點B（10，﹣5），設(shè)拋物線的解析式為：y＝ax2，把點B（10，﹣5）代入得：100a＝﹣5，∴a＝﹣，∴拋物線的函數(shù)表達式為：y＝﹣x2；任務(wù)2：∵該河段水位再漲1.8m達到最高，燈籠底部距離水面不小于1m，燈籠長0.4m，∴當(dāng)懸掛點的縱坐標(biāo)y≥﹣5+1.8+1+0.4＝﹣1.8，即懸掛點的縱坐標(biāo)的最小值是﹣1.8m，當(dāng)y＝﹣1.8時，﹣x2＝﹣1.8，∴x＝±6，∴懸掛點的橫坐標(biāo)的取值范圍是：﹣6≤x≤6；任務(wù)3：方案一：如圖2（坐標(biāo)軸的橫軸），從頂點處開始懸掛燈籠，∵﹣6≤x≤6，相鄰兩盞燈籠懸掛點的水平間距均為1.6m，∴若頂點一側(cè)懸掛4盞燈籠時，1.6×4＞6，若頂點一側(cè)懸掛3盞燈籠時，1.6×3＜6，∴頂點一側(cè)最多懸掛3盞燈籠，∵燈籠掛滿后成軸對稱分布，∴共可掛7盞燈籠，∴最左邊一盞燈籠的橫坐標(biāo)為：﹣1.6×3＝﹣4.8；方案二：如圖3，∵若頂點一側(cè)懸掛5盞燈籠時，0.8+1.6×（5﹣1）＞6，若頂點一側(cè)懸掛4盞燈籠時，0.8+1.6×（4﹣1）＜6，∴頂點一側(cè)最多懸掛4盞燈籠，∵燈籠掛滿后成軸對稱分布，∴共可掛8盞燈籠，∴最左邊一盞燈籠的橫坐標(biāo)為：﹣0.8﹣1.6×3＝﹣5.6．1．（2022?廣安）如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2米時，水面寬6米，水面下降米，水面寬8米．【分析】根據(jù)已知建立直角坐標(biāo)系，進而求出二次函數(shù)解析式，再根據(jù)通過把x＝4代入拋物線解析式得出y，即可得出答案．【解答】解：以水面所在的直線AB為x軸，以過拱頂C且垂直于AB的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，O為原點，由題意可得：AO＝OB＝3米，C坐標(biāo)為（0，2），通過以上條件可設(shè)頂點式y(tǒng)＝ax2+2，把A點坐標(biāo)（﹣3，0）代入拋物線解析式得，9a+2＝0，解得：a＝﹣，所以拋物線解析式為y＝﹣x2+2，當(dāng)x＝4時，y＝﹣×16+2＝﹣，∴水面下降米，故答案為：．2．（2022?甘肅）如圖，以一定的速度將小球沿與地面成一定角度的方向擊出時，小球的飛行路線是一條拋物線．若不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系：h＝﹣5t2+20t，則當(dāng)小球飛行高度達到最高時，飛行時間t＝2s．【分析】把一般式化為頂點式，即可得到答案．【解答】解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，且﹣5＜0，∴當(dāng)t＝2時，h取最大值20，故答案為：2．3．（2022?襄陽）在北京冬奧會自由式滑雪大跳臺比賽中，我國選手谷愛凌的精彩表現(xiàn)讓人嘆為觀止，已知谷愛凌從2m高的跳臺滑出后的運動路線是一條拋物線，設(shè)她與跳臺邊緣的水平距離為xm，與跳臺底部所在水平面的豎直高度為ym，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），當(dāng)她與跳臺邊緣的水平距離為8m時，豎直高度達到最大值．【分析】把拋物線解析式化為頂點式，由函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【解答】解：y＝x2+x+2＝﹣（x﹣8）2+4，∵﹣＜0，∴當(dāng)x＝8時，y有最大值，最大值為4，∴當(dāng)她與跳臺邊緣的水平距離為8m時，豎直高度達到最大值．故答案為：8．4．（2022?聊城）某食品零售店新上架一款冷飲產(chǎn)品，每個成本為8元，在銷售過程中，每天的銷售量y（個）與銷售價格x（元/個）的關(guān)系如圖所示，當(dāng)10≤x≤20時，其圖象是線段AB，則該食品零售店每天銷售這款冷飲產(chǎn)品的最大利潤為121元（利潤＝總銷售額﹣總成本）．【分析】利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，然后根據(jù)“利潤＝單價商品利潤×銷售量”列出二次函數(shù)關(guān)系式，從而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分析其最值．【解答】解：當(dāng)10≤x≤20時，設(shè)y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：，解得，∴每天的銷售量y（個）與銷售價格x（元/個）的函數(shù)解析式為y＝﹣x+30，設(shè)該食品零售店每天銷售這款冷飲產(chǎn)品的利潤為w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴當(dāng)x＝19時，w有最大值為121，故答案為：121．5．（2022?成都）距離地面有一定高度的某發(fā)射裝置豎直向上發(fā)射物體，物體離地面的高度h（米）與物體運動的時間t（秒）之間滿足函數(shù)關(guān)系h＝﹣5t2+mt+n，其圖象如圖所示，物體運動的最高點離地面20米，物體從發(fā)射到落地的運動時間為3秒．設(shè)w表示0秒到t秒時h的值的“極差”（即0秒到t秒時h的最大值與最小值的差），則當(dāng)0≤t≤1時，w的取值范圍是0≤w≤5；當(dāng)2≤t≤3時，w的取值范圍是5≤w≤20．【分析】利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，再利用配方法求得拋物線的頂點坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解．【解答】解：∵物體運動的最高點離地面20米，物體從發(fā)射到落地的運動時間為3秒，∴拋物線h＝﹣5t2+mt+n的頂點的縱坐標(biāo)為20，且經(jīng)過（3，0）點，∴，解得：，（不合題意，舍去），∴拋物線的解析式為h＝﹣5t2+10t+15，∵h＝﹣5t2+10t+15＝﹣5（t﹣1）2+20，∴拋物線的最高點的坐標(biāo)為（1，20）．∵20﹣15＝5，∴當(dāng)0≤t≤1時，w的取值范圍是：0≤w≤5；當(dāng)t＝2時，h＝15，當(dāng)t＝3時，h＝0，∵20﹣15＝5，20﹣0＝20，∴當(dāng)2≤t≤3時，w的取值范圍是：5≤w≤20．故答案為：0≤w≤5；5≤w≤20．6．（2022?無錫）某農(nóng)場計劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1：2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm（如圖）．（1）若矩形養(yǎng)殖場的總面積為36m2，求此時x的值；（2）當(dāng)x為多少時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？【分析】（1）根據(jù)題意知：較大矩形的寬為2xm，長為＝（8﹣x）m，可得（x+2x）×（8﹣x）＝36，解方程取符合題意的解，即可得x的值為2；（2）設(shè)矩形養(yǎng)殖場的總面積是ym2，根據(jù)墻的長度為10，可得0＜x≤，而y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，由二次函數(shù)性質(zhì)即得當(dāng)x＝時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為m2．【解答】解：（1）根據(jù)題意知：較大矩形的寬為2xm，長為＝（8﹣x）m，∴（x+2x）×（8﹣x）＝36，解得x＝2或x＝6，經(jīng)檢驗，x＝6時，3x＝18＞10不符合題意，舍去，∴x＝2，答：此時x的值為2；（2）設(shè)矩形養(yǎng)殖場的總面積是ym2，∵墻的長度為10m，∴0＜x≤，根據(jù)題意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，∵﹣3＜0，∴當(dāng)x＝時，y取最大值，最大值為﹣3×（﹣4）2+48＝（m2），答：當(dāng)x＝時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為m2．7．（2022?賀州）2022年在中國舉辦的冬奧會和殘奧會令世界矚目，冬奧會和殘奧會的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻戶曉，成為熱銷產(chǎn)品．某商家以每套34元的價格購進一批冰墩墩和雪容融套件．若該產(chǎn)品每套的售價是48元時，每天可售出200套；若每套售價提高2元，則每天少賣4套．（1）設(shè)冰墩墩和雪容融套件每套售價定為x元時，求該商品銷售量y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求每套售價定為多少元時，每天銷售套件所獲利潤W最大，最大利潤是多少元？【分析】（1）根據(jù)題意，得y＝200﹣×4（x﹣48），化簡即可；（2）根據(jù)題意，得W＝（x﹣34）（﹣2x+296），化成頂點式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．【解答】解：（1）根據(jù)題意，得y＝200﹣×4（x﹣48）＝﹣2x+296，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式：y＝﹣2x+296；（2）根據(jù)題意，得W＝（x﹣34）（﹣2x+296）＝﹣2（x﹣91）2+6498，∵a＝﹣2＜0，∴拋物線開口向下，W有最大值，當(dāng)x＝91時，W最大值＝6498，答：每套售價定為：91元時，每天銷售套件所獲利潤最大，最大利潤是6498元．8．（2022?盤錦）某商場新進一批拼裝玩具，進價為每個10元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，日銷售量y（個）與銷售單價x（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；（2）若該玩具某天的銷售利潤是600元，則當(dāng)天玩具的銷售單價是多少元？（3）設(shè)該玩具日銷售利潤為w元，當(dāng)玩具的銷售單價定為多少元時，日銷售利潤最大？最大利潤是多少元？【分析】（1）直接用待定系數(shù)法，求出一次函數(shù)的關(guān)系式；（2）根據(jù)題意，設(shè)當(dāng)天玩具的銷售單價是x元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；（3）根據(jù)題意，列出w與x的關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出答案．【解答】解：（1）設(shè)一次函數(shù)的關(guān)系式為y＝kx+b，由題圖可知，函數(shù)圖象過點（25，50）和點（35，30）．把這兩點的坐標(biāo)代入一次函數(shù)y＝kx+b，得，解得，∴一次函數(shù)的關(guān)系式為y＝﹣2x+100；（2）根據(jù)題意，設(shè)當(dāng)天玩具的銷售單價是x元，由題意得，（x﹣10）×（﹣2x+100）＝600，解得：x1＝40，x2＝20，∴當(dāng)天玩具的銷售單價是40元或20元；（3）根據(jù)題意，則w＝（x﹣10）×（﹣2x+100），整理得：w＝﹣2（x﹣30）2+800；∵﹣2＜0，∴當(dāng)x＝30時，w有最大值，最大值為800；∴當(dāng)玩具的銷售單價定為30元時，日銷售利潤最大；最大利潤是800元．9．（2022?河南）小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：測得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達到最高，最高點距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋物線的表達式為y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．（1）求拋物線的表達式．（2）爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m．身高1.6m的小紅在水柱下方走動，當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時，求她與爸爸的水平距離．【分析】（1）由拋物線頂點（5，3.2），設(shè)拋物線的表達式為y＝a（x﹣5）2+3.2，用待定系數(shù)法可得拋物線的表達式為y＝﹣x2+x+；（2）當(dāng)y＝1.6時，﹣x2+x+＝1.6，解得x＝1或x＝9，即得她與爸爸的水平距離為2m或6m．【解答】解：（1）由題意知，拋物線頂點為（5，3.2），設(shè)拋物線的表達式為y＝a（x﹣5）2+3.2，將（0，0.7）代入得：0.7＝25a+3.2，解得a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣5）2+3.2＝﹣x2+x+，答：拋物線的表達式為y＝﹣x2+x+；（2）當(dāng)y＝1.6時，﹣x2+x+＝1.6，解得x＝1或x＝9，∴她與爸爸的水平距離為3﹣1＝2（m）或9﹣3＝6（m），答：當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時，與爸爸的水平距離是2m或6m．10．（2022?臺州）如圖1，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線l的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口H離地豎直高度為h（單位：m）．如圖2，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其水平寬度DE＝3m，豎直高度為EF的長．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.5m，灌溉車到l的距離OD為d（單位：m）．（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；②求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點B的坐標(biāo)；③要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，求d的取值范圍．（2）若EF＝1m．要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，請直接寫出h的最小值．【分析】（1）①由頂點A（2，2）得，設(shè)y＝a（x﹣2）2+2，再根據(jù)拋物線過點（0，1.5），可得a的值，從而解決問題；②由對稱軸知點（0，1.5）的對稱點為（4，1.5），則下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4cm得到的，可得點B的坐標(biāo)；③根據(jù)EF＝0.5，求出點F的坐標(biāo)，利用增減性可得d的最大值為最小值，從而得出答案；（2）當(dāng)噴水口高度最低，且恰好能澆灌到整個綠化帶時，點D、F恰好分別在兩條拋物線上，故設(shè)點D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F(xiàn)（m+3，﹣（m+3﹣2）2+h+0.5），則有﹣[（m+3﹣2）2+h+0.5]﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，從而得出答案．【解答】解：（1）①如圖1，由題意得A（2，2）是上邊緣拋物線的頂點，設(shè)y＝a（x﹣2）2+2，又∵拋物線過點（0，1.5），∴1.5＝4a+2，∴a＝﹣，∴上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣2）2+2，當(dāng)y＝0時，0＝﹣（x﹣2）2+2，解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），∴噴出水的最大射程OC為6m；②∵對稱軸為直線x＝2，∴點（0，1.5）的對稱點為（4，1.5），∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4m得到的，∴點B的坐標(biāo)為（2，0）；③∵EF＝0.5，∴點F的縱坐標(biāo)為0.5，∴0.5＝﹣（x﹣2）2+2，解得x＝2±2，∵x＞0，∴x＝2+2，當(dāng)x＞2時，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)2≤x≤6時，要使y≥0.5，則x≤2+2，∵當(dāng)0≤x≤2時，y隨x的增大而增大，且x＝0時，y＝1.5＞0.5，∴當(dāng)0≤x≤6時，要使y≥0.5，則0≤x≤2+2，∵DE＝3，灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，∴d的最大值為2+2﹣3＝2﹣1，再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是d≥OB，∴d的最小值為2，綜上所述，d的取值范圍是2≤d≤2﹣1；（2）當(dāng)噴水口高度最低，且恰好能澆灌到整個綠化帶時，點D、F恰好分別在兩條拋物線上，設(shè)點D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F(xiàn)（m+3，﹣（m+3﹣2）2+h+0.5），則有﹣（m+3﹣2）2+h+0.5﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，解得m＝2.5，∴點D的縱坐標(biāo)為h﹣，∴h﹣＝0，∴h的最小值為．11．（2022?金華）“八婺”菜場指導(dǎo)菜農(nóng)生產(chǎn)和銷售某種蔬菜，提供如下信息：①統(tǒng)計售價與需求量的數(shù)據(jù)，通過描點（圖1），發(fā)現(xiàn)該蔬菜需求量y需求（噸）關(guān)于售價x（元/千克）的函數(shù)圖象可以看成拋物線，其表達式為y需求＝ax2+c，部分對應(yīng)值如下表：售價x（元/千克）…2.533.54…需求量y需求（噸）…7.757.26.555.8…②該蔬菜供給量y供給（噸）關(guān)于售價x（元/千克）的函數(shù)表達式為y供給＝x﹣1，函數(shù)圖象見圖1．③1～7月份該蔬菜售價x售價（元/千克）、成本x成本（元/千克）關(guān)于月份t的函數(shù)表達式分別為x售價＝t+2，x成本＝t2﹣t+3，函數(shù)圖象見圖2．請解答下列問題：（1）求a，c的值．（2）根據(jù)圖2，哪個月出售這種蔬菜每千克獲利最大？并說明理由．（3）求該蔬菜供給量與需求量相等時的售價，以及按此價格出售獲得的總利潤．【分析】（1）運用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)這種蔬菜每千克獲利w元，根據(jù)w＝x售價﹣x成本列出函數(shù)關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）根據(jù)題意列出方程，求出x的值，再求出總利潤即可．【解答】解：（1）把（3，7.2），（4，5.8）代入y需求＝ax2+c，，②﹣①，得7a＝﹣1.4，解得：a＝﹣，把a＝﹣代入①，得c＝9，∴a的值為﹣，c的值為9；（2）設(shè)這種蔬菜每千克獲利w元，根據(jù)題意，w＝x售價﹣x成本＝t+2﹣（t2﹣t+3）＝﹣（t﹣4）2+3，∵﹣＜0，且1≤t≤7，∴當(dāng)t＝4時，w有最大值，答：在4月份出售這種蔬菜每千克獲利最大；（3）當(dāng)y供給＝y(tǒng)需求時，x﹣1＝﹣x2+9，解得：x1＝5，x2＝﹣10（舍去），∴此時售價為5元/千克，則y供給＝x﹣1＝5﹣1＝4（噸）＝4000（千克），令t+2＝5，解得t＝6，∴w＝﹣（t﹣4）2+3＝﹣×（6﹣4）2+3＝2，∴總利潤為w?y＝2×4000＝8000（元），答：該蔬菜供給量與需求量相等時的售價為5元/千克，按此價格出售獲得的總利潤為8000元．1．（2022?豐縣二模）向空中發(fā)射一枚炮彈，經(jīng)x秒后的高度為y米，且時間與高度的函數(shù)表達式為y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮彈在第6秒與第13秒時的高度相等，則下列時間中炮彈所在高度最高的是（）A．第7秒 B．第9秒 C．第11秒 D．第13秒【分析】本題需先根據(jù)題意求出拋物線的對稱軸，即可得出頂點的橫坐標(biāo)，從而得出炮彈所在高度最高時x的值．【解答】解：∵此炮彈在第6與第13秒時的高度相等，∴拋物線的對稱軸是：x＝＝9.5，∴炮彈所在高度最高是9.5秒，∴在四個選項中炮彈所在高度最高的是9秒．故選：B．2．（2022?石家莊三模）某池塘的截面如圖所示，池底呈拋物線形，在圖中建立平面直角坐標(biāo)系，并標(biāo)出相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：m）．有下列結(jié)論：①AB＝24m；②池底所在拋物線的解析式為y＝﹣5；③池塘最深處到水面CD的距離為1.8m；④若池塘中水面的寬度減少為原來的一半，則最深處到水面的距離減少為原來的．其中結(jié)論正確的是（）A．①② B．②④ C．③④ D．①④【分析】根據(jù)圖象可以判斷①；設(shè)出池底所在拋物線的解析式為y＝ax2﹣5，再把（15，0）代入解析式求出a即可判斷②；把x＝12代入解析式求出y＝﹣1.8，再用5﹣1.8即可判斷③；把x＝6代入解析式即可判斷④．【解答】解：①觀察圖形可知，AB＝30m，故①錯誤；②設(shè)池底所在拋物線的解析式為y＝ax2﹣5，將（15，0）代入，可得a＝，故拋物線的解析式為y＝x2﹣5；故②正確；③∵y＝x2﹣5，∴當(dāng)x＝12時，y＝﹣1.8，故池塘最深處到水面CD的距離為5﹣1.8＝3.2（m），故③錯誤；④當(dāng)池塘中水面的寬度減少為原來的一半，即水面寬度為12m時，將x＝6代入y＝x2﹣5，得y＝﹣4.2，可知此時最深處到水面的距離為5﹣4.2＝0.8（m），即為原來的，故④正確．故選：B．3．（2022?徐州一模）北京冬奧會跳臺滑雪項目比賽其標(biāo)準(zhǔn)臺高度是90m．運動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，運動員起跳后的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如圖記錄了某運動員起跳后的x與y的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出該運動員起跳后飛行到最高點時，水平距離為（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m【分析】將點（0，90.0）、（20，93.9）、（40，82.2）分別代入函數(shù)解析式，求得系數(shù)的值；然后由拋物線的對稱軸公式可以得到答案．【解答】解：根據(jù)題意知，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點（0，90.0）、（20，93.9）、（40，82.2），則，解得：，所以x＝﹣＝﹣＝15（m）．故選：B．4．（2022?路北區(qū)二模）如圖是一款拋物線型落地?zé)敉彩疽鈭D，防滑螺母C為拋物線支架的最高點，燈罩D距離地面1.5米，最高點C距燈柱的水平距離為1.6米，燈柱AB＝1.5米，若茶幾擺放在燈罩的正下方，則茶幾到燈柱的距離AE為多少米（）A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6【分析】以AE所在直線為x軸、AB所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再求出y＝1.5時x的值的即可得出答案．【解答】解：如圖所示，以AE所在直線為x軸、AB所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，方法一：∵AB＝DE＝1.5m，∴點B與點D關(guān)于對稱軸對稱，∴AE＝2×1.6＝3.2（m）；方法二：根據(jù)題意知，拋物線的頂點C的坐標(biāo)為（1.6，2.5），設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1.6）2+2.5，將點B（0，1.5）代入得，2.56a+2.5＝1.5，解得a＝﹣，∴拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣1.6）2+2.5，當(dāng)y＝1.5時，﹣（x﹣1.6）2+2.5＝1.5，解得x＝0（舍）或x＝3.2，所以茶幾到燈柱的距離AE為3.2米，故選：A．5．（2022?黔西南州）如圖，是一名男生推鉛球時，鉛球行進過程中形成的拋物線．按照圖中所示的平面直角坐標(biāo)系，鉛球行進高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是y＝﹣x2+x+，則鉛球推出的水平距離OA的長是10m．【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和圖象可知，OA的長就是拋物線與x軸正半軸的交點的橫坐標(biāo)的值，然后令y＝0求出相應(yīng)的x的值，即可得到OA的長．【解答】解：∵y＝﹣x2+x+，∴當(dāng)y＝0時，0＝﹣x2+x+，解得x1＝﹣2，x2＝10，∴OA＝10m，故答案為：10．6．（2022?新樂市校級模擬）某超市銷售一款洗手液，其成本價為每瓶16元，當(dāng)銷售單價定為20元時，每天可售出80瓶．根據(jù)市場行情，現(xiàn)決定降價銷售．市場調(diào)查反映：銷售單價每降低0.5元，則每天可多售出20瓶（銷售單價不低于成本價），若設(shè)這款的銷售單價為x（元），每天的銷售量為（瓶）．（1）每天的銷售量y（瓶）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣40x+880；（2）銷售這款“洗手液”每天的最大利潤為360元．【分析】（1）銷售單價為x（元），銷售單價每降低0.5元，則每天可多售出20瓶（銷售單價不低于成本價），則為降低了多少個0.5元，再乘以20即為多售出的瓶數(shù)，然后加上80即可得出每天的銷售量y；（2）設(shè)每天的銷售利潤為w元，根據(jù)利潤等于每天的銷售量乘以每瓶的利潤，列出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，將其寫成頂點式，按照二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【解答】解：（1）由題意得：y＝80+20×＝﹣40x+880，∴每天的銷售量y（瓶）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣40x+880，故答案為：y＝﹣40x+880；（2）設(shè)每天的銷售利潤為w元，則有：w＝（﹣40x+880）（x﹣16）＝﹣40（x﹣19）2+360，∵a＝﹣40＜0，∴二次函數(shù)圖象開口向下，∵﹣40x+880≥0，解得x≤22，∴16≤x≤22，∴當(dāng)x＝19時，w有最大值，最大值為360元．故答案為：360元．7．（2022?玉環(huán)市一模）斜拋小球，小球觸地后呈拋物線反彈，每次反彈后保持相同的拋物線形狀（開口方向與開口大小前后一致），第一次反彈后的最大高度為h1，第二次反彈后的最大高度為h2．第二次反彈后，小球越過最高點落在垂直于地面的擋板C處，且離地高度BC＝h1，若OB＝90dm，OA＝2AB．則為．【分析】先求出OB＝60，OE＝30，設(shè)第一次反彈后的拋物線的解析式＝a（x﹣30）2+h1得h1＝﹣900a，設(shè)第二次反彈后的拋物線的解析式y(tǒng)＝a（x﹣m）2+h2，得，得出h2＝﹣625a即可．【解答】解：∵OB＝90，OA＝2AB，∴OA＝60，AB＝30，設(shè)第一次反彈后的拋物線解析式為y＝a（0﹣30）2+h1，∵拋物線過原點O，∴a（x﹣30）2+h1＝0，解得：h1＝﹣900a，∵每次反彈后保持相同的拋物線形狀（開口方向與開口大小前后一致），∴兩個拋物線的a是相同的，設(shè)二次反彈后的拋物線解析式為y＝a（x﹣m）2+h2，∵BC＝h1，h1＝﹣900a，∴BC＝﹣600a，∵拋物線過A，C兩點，∴，解得：，∴＝＝．故答案為：．8．（2022?金東區(qū)三模）一個玻璃杯豎直放置時的縱向截面如圖1所示，其左右輪廓線AD，BC為同一拋物線的一部分，AB，CD都與水平地面平行，當(dāng)杯子裝滿水后AB＝4cm，CD＝8cm，液體高度12cm，將杯子繞C傾斜倒出部分液體，當(dāng)傾斜角∠ABE＝45°時停止轉(zhuǎn)動．如圖2所示，此時液面寬度BE為5cm，液面BE到點C所在水平地面的距離是7cm．【分析】以AB的中點為原點，直線AB為x軸，線段AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，得出A，B，C，D的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；將杯子繞C傾斜倒出部分液體，當(dāng)傾斜角∠ABE＝45°時停止轉(zhuǎn)動，所以旋轉(zhuǎn)前BE與水平方向的夾角為45°，即∠ABE＝45°，求出BE與y軸的交點坐標(biāo)P，把點B、P代入求出直線BE的解析式，水面BE到平面的距離實際就是點C到直線BE的距離，過點C作BP的垂線交BP于點M，過點C作y軸的平行線，交直線BP于點N，根據(jù)題意可得△CMN是等腰直角三角形，由此可得出點M的坐標(biāo)，用兩點間的距離公式求出C點到BE的距離．【解答】解：如圖1，以AB的中點為原點，直線AB為x軸，線段AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意得：A（﹣2，0），B（2，0），C（4，﹣12），D（﹣4，﹣12），設(shè)拋物線的解析式為：y＝ax2+b，將B（2，0），C（4，﹣12），代入得：，解得：，∴y＝﹣x2+4；根據(jù)題意可知，∠ABE＝45°，設(shè)BE與y軸的交點坐標(biāo)P，∴△OBP是等腰直角三角形，∴OB＝OP＝2，∴P（0，﹣2），∴直線BP的解析式為：y＝x﹣2，令﹣x2+4＝x﹣2，解得x＝2（舍）或x＝﹣3，∴E（﹣3，﹣5）．∴BE＝＝5，DE＝7，水面BE到平面的距離實際就是點C到直線BE的距離，如圖1，過點C作BP的垂線交BP于點M，過點C作y軸的平行線，交直線BP于點N，∴△MNC是等腰直角三角形，∵C（4，﹣12），∴N（4，2）．∴CN＝14．過點M作MQ⊥CN于點Q，∴Q是CN的中點，且MQ＝NQ＝CQ，∴Q（4，﹣5），∴M（﹣3，﹣5）．∴CM＝＝7．故答案為：5；7．9．（2022?綠園區(qū)模擬）如圖是王明正在設(shè)計的一動畫示意圖，x軸上依次有A，B，C三個點，D在y軸上，且AB＝2，在BC上方有五個臺階（各拐角均為90°），每個臺階的高、寬分別是1和1.5，第一個臺階到x軸距離BD＝10．從點A處向右上方沿拋物線y＝﹣x2+4x+12發(fā)出一個帶光的點P．當(dāng)點P落在臺階上時，落點的坐標(biāo)是（5，7）．【分析】由題意臺階I的左邊端點（4.5，7），右邊端點的坐標(biāo)（6，7），求出x＝4.5，6時的y的值，即可判斷．【解答】解：如圖所示，由題意臺階I左邊的端點坐標(biāo)（4.5，7），右邊的端點（6，7），對于拋物線y＝﹣x2+4x+12，令y＝0，x2﹣4x﹣12＝0，解得x＝﹣2或6，∴A（﹣2，0），∴點A的橫坐標(biāo)為﹣2，當(dāng)x＝4.5時，y＝9.75＞7，當(dāng)x＝6時，y＝0＜7，當(dāng)y＝7時，7＝﹣x2+4x+12，解得x＝﹣1或5，∴拋物線與臺階I有交點，設(shè)交點為（5，7）．故答案為：（5，7）．10．（2022?興慶區(qū)校級二模）某公司購進單價為40元/件的產(chǎn)品，若月銷售單價不高于50元/件，一個月可售出5萬件；月銷售單價每漲價1元，月銷售量就減少0.1萬件．其中月銷售單價不低于成本．設(shè)月銷售單價為x（單位：元/件），月銷售量為y（單位：萬件）．（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)月銷售單價是多少元時，月銷售利潤最大，最大利潤是多少萬元？【分析】（1）根據(jù)題意寫出銷售量和銷售單價之間的關(guān)系式即可；（2）根據(jù)銷售量和銷售單價之間的關(guān)系列出銷售利潤和單價之間的關(guān)系式求最值即可．【解答】解：（1）由題知，①當(dāng)40≤x≤50時，y＝5，②當(dāng)50＜x≤100時，y＝5﹣（x﹣50）×0.1＝10﹣0.1x，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝；（2）設(shè)月銷售利潤為z，由題知，①當(dāng)40≤x≤50時，x＝50時利潤最大，此時z＝（50﹣40）×5＝50（萬元），②當(dāng)50＜x≤100時，z＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（10﹣0.1x）＝﹣0.1x2+14x﹣400＝﹣0.1（x﹣70）2+90，∴當(dāng)x＝70時，z有最大值為90萬元，即當(dāng)月銷售單價是70元時，月銷售利潤最大，最大利潤是90萬元．11．（2023?蜀山區(qū)校級一模）在籃球比賽中，東東投出的球在點A處反彈，反彈后球運動的路線為拋物線的一部分（如圖所示建立直角坐標(biāo)系），拋物線頂點為點B．（1）