工程力學(1)-第7章

第七章彎曲強度§7-1

工程中的彎曲構件§7-2

梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖§7-3

與應力分析相關的截面圖形幾何量§7-4

平面彎曲時梁橫截面上的正應力§７-5

平面彎曲正應力公式應用舉例§７-６

梁的強度計算§７-７

結論與討論1§７-1

工程中的彎曲構件Ⅰ.關于彎曲的概念受力特點：桿件在包含其軸線的縱向平面內，承受垂直于軸線的橫向外力或外力偶作用。變形特點：直桿的軸線在變形后變?yōu)榍€。梁——以彎曲為主要變形的桿件稱為梁。2彎曲變形3工程實例F2F14縱向對稱面

對稱彎曲——外力作用于梁的縱向對稱面內，因而變形后梁的軸線(撓曲線)是在該縱對稱面內的平面曲線。

非對稱彎曲——梁不具有縱對稱面(例如Z形截面梁)，因而撓曲線無與它對稱的縱向平面；或梁雖有縱對稱面但外力并不作用在縱對稱面內，從而撓曲線不與梁的縱對稱面一致。5本章討論對稱彎曲時梁的內力和應力。對稱彎曲時和特定條件下的非對稱彎曲時，梁的撓曲線與外力所在平面相重合，這種彎曲稱為平面彎曲。6Ⅱ.梁的計算簡圖對于對稱彎曲的直梁，外力為作用在梁的縱對稱面內的平面力系，故在計算簡圖中通常就用梁的軸線來代表梁。這里加“通?！倍质且驗楹喼Я涸谒矫鎯葘ΨQ彎曲時不能用軸線代表梁。F7(1)支座的基本形式1.固定端——實例如圖a，計算簡圖如圖b,c。(b)(c)MRFRxFRy(a)8

2.固定鉸支座——實例如圖中左邊的支座，計算簡圖如圖b，e。

3.可動鉸支座——實例如圖a中右邊的支座，計算簡圖如圖c，f。9懸臂梁(2)梁的基本形式簡支梁外伸梁10在豎直荷載作用下，圖a，b，c所示梁的約束力均可由平面力系的三個獨立的平衡方程求出，稱為靜定梁。(3)靜定梁和超靜定梁圖d，e所示梁及其約束力不能單獨利用平衡方程確定，稱為超靜定梁。11§７-2梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖Ⅰ.梁的剪力和彎矩(shearingforceandbendingmoment)

圖a所示跨度為l的簡支梁其約束力為梁的左段內任一橫截面m－m上的內力，由m－m左邊分離體(圖b)的平衡條件可知：12它們的指向和轉向如圖b中所示。顯然這些內力是m－m右邊的梁段對于左邊梁段的作用力和作用力矩。故根據作用與反作用原理，m－m左邊的梁段對于右邊梁段(圖c)的作用力和作用力矩數值應與上式所示相同，但指向和轉向相反。這一點也可由m－m右邊分離體的平衡條件加以檢驗：13從而有14梁的橫截面上位于橫截面內的內力FS是與橫截面左右兩側的兩段梁在與梁軸相垂直方向的錯動(剪切)相對應，故稱為剪力；梁的橫截面上作用在縱向平面內的內力偶矩是與梁的彎曲相對應，故稱為彎矩。15為使無論取橫截面左邊或右邊為分離體，求得同一橫截面上的剪力和彎矩其正負號相同，剪力和彎矩的正負號要以其所在橫截面處梁的微段的變形情況確定，如圖。16綜上所述可知：

(1)

橫截面上的剪力在數值上等于截面左側或右側梁段上外力的代數和。左側梁段上向上的外力或右側梁段上向下的外力將引起正值的剪力；反之，則引起負值的剪力。

(2)

橫截面上的彎矩在數值上等于截面左側或右側梁段上外力對該截面形心的力矩之代數和。

1.

不論在左側梁段上或右側梁段上，向上的外力均將引起正值的彎矩，而向下的外力則引起負值的彎矩。17

2.

截面左側梁段上順時針轉向的外力偶引起正值的彎矩，而逆時針轉向的外力偶則引起負值的彎矩；截面右側梁段上的外力偶引起的彎矩其正負與之相反。18Ⅱ.剪力方程和彎矩方程·剪力圖和彎矩圖剪力方程和彎矩方程實際上是表示梁的橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置變化的函數式，它們分別表示剪力和彎矩隨截面位置的變化規(guī)律。顯示這種變化規(guī)律的圖形則分別稱為剪力圖和彎矩圖。19圖a所示懸臂梁受集度為q的滿布均布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。(a)20距右端為x的任意橫截面上的剪力FS(x)和彎矩M(x)，根據截面右側梁段上的荷載有解：1.列剪力方程和彎矩方程當求懸臂梁橫截面上的內力(剪力和彎矩)時，若取包含自由端截面的一側梁段來計算，則可不求出約束力。FS(x)212.

作剪力圖和彎矩圖根據剪力方程和彎矩方程作出剪力圖和彎矩圖分別如圖b和圖c。按照習慣，剪力圖中正值的剪力值繪于x軸上方，彎矩圖中正值的彎矩值則繪于x軸的下方(即彎矩值繪于梁彎曲時其受拉的邊緣一側)。(b)(c)22由圖可見，此梁橫截面上的最大剪力其值為FS,max=ql，最大彎矩(按絕對值)其值為(負值)，它們都發(fā)生在固定端右側橫截面上。(b)(c)(a)23圖a所示簡支梁受集度為q的滿布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：1.求約束力(a)242.

列剪力方程和彎矩方程FS(x)25由圖可見，此梁橫截面上的最大剪力(按絕對值)其值為(正值，負值)，發(fā)生在兩個支座各自的內側橫截面上；最大彎矩其值為發(fā)生在跨中橫截面上。3.

作剪力圖和彎矩圖26簡支梁受滿布荷載作用是工程上常遇到的計算情況，初學者對于此種情況下的剪力圖、彎矩圖和FS,max，Mmax的計算公式應牢記在心！27圖a所示簡支梁受集中荷載F作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。F(a)解：1.

求約束力282.列剪力方程和彎矩方程此梁上的集中荷載將梁分隔成AC和CB兩段，兩段內任意橫截面同一側梁段上的外力顯然不同，可見這兩段梁的剪力方程和彎矩方程均不相同，因此需分段列出。FAC段梁FS(x)29CB段梁FFxFS(x)303.作剪力圖和彎矩圖如圖b及圖c。由圖可見，在b>a的情況下，AC段梁在0<x<a的范圍內任一橫截面上的剪力值最大，；集中荷載作用處(x=a)橫截面上的彎矩值最大，。(b)(c)314.

討論由剪力圖可見，在梁上的集中力(包括集中荷載和約束力)作用處剪力圖有突變，這是由于集中力實際上是將作用在梁上很短長度

x范圍內的分布力加以簡化所致。若將分布力看作在

x范圍內是均勻的(圖a),則剪力圖在

x范圍內是連續(xù)變化的斜直線(圖b)。從而也就可知，要問集中力作用處梁的橫截面上的剪力值是沒有意義的。32圖a所示簡支梁在C點受矩為Me的集中力偶作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：1.

求約束力332.列剪力方程和彎矩方程

此簡支梁的兩支座之間無集中荷載作用，故作用于AC段梁和BC段梁任意橫截面同一側的集中力相同，從而可知兩段梁的剪力方程相同，即xxFS(x)FS(x)34至于兩段梁的彎矩方程則不同：AC段梁：CB段梁：xxFS(x)FS(x)353.作剪力圖和彎矩圖36如圖可見，兩支座之間所有橫截面上剪力相同，均為。在b>a的情況下，C截面右側(x=a+)橫截面上的彎矩絕對值最大，為（負值)。彎矩圖在集中力偶作用處有突變，也是因為集中力偶實際上只是作用在梁上很短長度范圍內的分布力矩的簡化。37思考1：一簡支梁受移動荷載F作用，如圖所示。試問：

(a)此梁橫截面上的最大彎矩是否一定在移動荷載作用處？為什么？

(b)荷載F移動到什么位置時此梁橫截面上的最大彎矩比荷載在任何其它位置時的最大彎矩都要大？該最大彎矩又是多少？亦即要求求出對于彎矩的最不利荷載位置和絕對值最大彎矩值。38思考2：對于圖示帶中間鉸C的梁，試問：

(a)如果分別在中間鉸左側和右側作用有向下的同樣的集中力F，這兩種情況下梁的剪力圖和彎矩圖是否相同？

(b)如果分別在中間鉸左側和右側作用有同樣大小且同為順時針的力偶矩Me的力偶，這兩種情況下梁的剪力圖和彎矩圖是否相同？C39

例

簡支梁受力如圖a所示。試寫出梁的剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。解：1.求支座約束力可利用平衡方程對所求約束力進行校核。(a)

xBAl/2l/2CqFAFB402.建立剪力方程和彎矩方程

AC段：

CB段：

(a)

xBAl/2l/2CqFAFB413．求控制截面內力，繪FS,M圖

FS圖：AC段內剪力方程是x的一次函數，剪力圖為斜直線，故求出兩個端截面的剪力值即可CB段內剪力方程為常數，求出其中任一截面的內力值連一水平線即為該段剪力圖。(a)

xBAl/2l/2Cq(b)

FSx38

l18

ql38

ql42M圖：AC段內彎矩方程是x的二次函數，表明彎矩圖為二次曲線，需求出兩個端截面的彎矩。需判斷頂點位置，該處彎矩取得極值。(a)

xBAl/2l/2Cq(b)

FSx38

l18

ql38

ql(c)

Mx9128ql2116ql243我們可以發(fā)現，對于該梁來說有CB段內彎矩方程是x的一次函數，分別求出兩個端點的彎矩，并連成直線即可。(a)

xBAl/2l/2Cq(b)

FSx38

l18

ql38

ql(c)

Mx9128ql2116ql244

（a）

當梁上有向下的均布荷載時，剪力圖為一條直線，其斜率為負；而且，這微分關系也體現在該梁的剪力圖和彎矩圖中：(a)

xBAl/2l/2Cq(b)

FSx38

l18

ql38

ql(c)

Mx9128ql2116ql245(a)

xBAl/2l/2Cq(b)

FSx38

l18

ql38

ql(c)

Mx9128ql2116ql2

（b）從剪力圖可見，隨x的增大剪力FS由正值逐漸變?yōu)樨撝?，故彎矩圖切線的斜率也應隨x的增大而由正值逐漸變?yōu)樨撝担磺以诘慕孛嫣?，即彎矩圖切線的斜率為零而彎矩有極值；46

（c）由可知，彎矩圖的曲率為負，亦即在彎矩圖的縱坐標如圖中那樣取向下為正時，彎矩圖為下凸的二次曲線。(a)

xBAl/2l/2Cq(b)

FSx38

l18

ql38

ql(c)

Mx9128ql2116ql247Ⅲ.彎矩、剪力與荷載集度之間的關系及其應用M(x),FS(x)與q(x)間微分關系的導出

從圖a所示簡支梁的有分布荷載的區(qū)段內，取出長為dx的梁段，如圖b所示。這里分布荷載的集度q(x)以向上為正值，且略去荷載集度在微量dx范圍內的變化。梁的微段其左、右橫截面上的剪力和彎矩均為正值。48從而得：由梁的微段的平衡方程略去二階無窮小項，即得49應用這些關系時需要注意，向上的分布荷載集度為正值，反之則為負值。由以上兩個微分關系式又可得50常見荷載下FS，M圖的一些特征51集中力作用處集中力偶作用處若某截面的剪力FS(x)=0，根據，該截面的彎矩為極值。

52

利用以上各點，除可以校核已作出的剪力圖和彎矩圖是否正確外，還可以利用微分關系繪制剪力圖和彎矩圖，而不必再建立剪力方程和彎矩方程，其步驟如下：

(1)

求支座約束力；

(2)

分段確定剪力圖和彎矩圖的形狀；

(3)

求控制截面內力，根據微分關系繪剪力圖和彎矩圖；

(4)

確定|FS|max和|M|max

。53

例題一簡支梁在其中間部分受集度為q=100kN/m的向下的均布荷載作用，如圖a所示。試利用彎矩、剪力與分布荷載集度間的微分關系校核圖b及圖c所示的剪力圖和彎矩圖。x+-100kN100kNFSxFS

圖+100150100xMM圖（kN·m）yFAFBABCDE2m1m4mq-54而根據可知，AC段內的剪力圖應當是水平直線。該段內梁的橫截面上剪力的值顯然為1.

校核剪力圖

解：此梁的荷載及約束力均與跨中對稱，故知約束力FA，FB為+-100kN100kNFSxFS

圖yFAFBABCDE2m1m4mq該梁的AC段內無荷載，55對于該梁的CD段，分布荷載的集度q為常量，且因荷載系向下而在微分關系中應為負值，即q=-100kN/m。+-100kN100kNFSxFS

圖yFAFBABCDE2m1m4mq根據可知CD段內的剪力圖確應為向右下方傾斜的斜直線。由于C點處無集中力作用，剪力圖在該處無突變，故斜直線左端的縱坐標確為100kN。根據斜直線的斜率為，可證實D截面處的剪力確應為56對于該梁的DB段，梁上無荷載，故剪力圖應該是水平直線；且由于D點處無集中力作用，剪力圖在該處無突變，故該水平直線的縱坐標確為-100kN。作為復核，顯然支座B偏左橫截面上的剪力就是+-100kN100kNFSxFS

圖yFAFBABCDE2m1m4mq572.

校核彎矩圖這與圖中所示相符。該梁的AC段內，剪力為常量，因而根據常量可知此段梁的彎矩圖應為斜率為的正值的斜直線。據此，由支座A處橫截面上的彎矩為零可知C截面處的彎矩為+-100kN100kNFSxFS

圖+100150100xMM圖（kN·m）yFAFBABCDE2m1m4mq58事實上，這個彎矩值也可根據此式中的從幾何意義上來說，它就是AC段內剪力圖的面積。+-100kN100kNFSxFS

圖+100150100xMM圖（kN·m）通過積分來復核：59對于該梁的CD段，根據可知：彎矩圖是如圖(c)中所示曲率為負(即向下凸)的二次曲線。因為梁上C點處無集中力偶作用，故彎矩圖在C截面處應該沒有突變；+-100kN100kNFSxFS

圖+100150100xMM圖（kN·m）yFAFBABCDE2m1m4mq60由于C截面處剪力無突變，故CD段的彎矩圖在C處的切線的斜率應該與AC段梁彎矩圖在C處的斜率相等，即兩段梁的彎矩圖在C處應光滑連接。+-100kN100kNFSxFS

圖+100150100xMM圖（kN·m）yFAFBABCDE2m1m4mq61在剪力為零的跨中截面E處，彎矩圖切線的斜率為零，而彎矩有極限值，其值為同樣，根據可知，這些均與圖(c)中所示相符。+-100kN100kNFSxFS

圖+100150100xMM圖（kN·m）62對于該梁的DB段，由于剪力為負值的常量，故彎矩圖應該是斜率為負的斜直線。因為梁上D點處無集中力偶作用，故彎矩圖在D截面處不應有突變，再考慮B支座處彎矩為零，即可證實圖(c)中此段梁的彎矩圖也無誤。+-100kN100kNFSxFS

圖+100150100xMM圖（kN·m）yFAFBABCDE2m1m4mq63已知：圖中梁的約束力為思考：試指出圖示三根梁各自的剪力圖和彎矩圖中的錯誤。正確答案：(a)64圖中梁的約束力為正確答案：(b)65圖中梁的約束力為正確答案：(c)66Ⅳ.

按疊加原理作彎矩圖67

(1)在小變形情況下求梁的約束力、剪力和彎矩時，我們都是按梁未變形時的原始尺寸進行計算的，例如對于圖a所示懸臂梁，其剪力方程和彎矩方程分別為(a)68這就是說，在小變形情況下，此梁橫截面上的剪力和彎矩分別等于集中荷載F和均布荷載q單獨作用時(圖b和圖c)相應內力的代數和疊加。因此該梁的剪力圖和彎矩圖也就可以利用疊加的方法作出。(b)(c)(a)69

(2)

疊加原理當所求參數(約束力、內力、應力或位移)與梁上(或結構上)荷載成線性關系時，由幾項荷載共同作用所引起的某一參數之值，就等于每項荷載單獨作用時所引起的該參數值的疊加。70

(3)示例圖a所示受滿布均布荷載q并在自由端受集中荷載

作用的懸臂梁，其剪力圖和彎矩圖顯然就是圖b和圖c所示，該梁分別受集中荷載F和滿布均布荷載q作用時兩個剪力圖和兩個彎矩圖的疊加。F=ql/4(a)F=ql/4(b)(c)71○-﹢○F(a)﹢○○-FF=ql/4(b)(c)﹢○﹢○F○-○-72圖d為直接將圖b和圖c中兩個彎矩圖疊加后的圖形，將圖中斜直線作為彎矩圖的水平坐標軸時，它就是圖a中的彎矩圖。(c)○-○-﹢○○-(d)73作剪力圖時雖然(如上所示)也可應用疊加原理，但由于梁上通常無集度變化的分布荷載，而剪力圖由直線段組成，作圖比較簡單，故往往只說按疊加原理作彎矩圖。由圖a可見，該梁橫截面上的最大剪力為(負值),最大彎矩為(負值)，而極值彎矩并非最大彎矩?！?﹢○F(a)﹢○○-F74第一節(jié)靜矩和形心一、靜矩(面積矩）定義：微面積dA對z軸和y軸的靜矩分別為和

截面（面積A)對z軸和y軸的靜矩分別為：

靜矩為代數值。靜矩單位：

不同截面對同一坐標軸的靜矩不同；同一截面對不同坐標軸的靜矩也不同。若截面形心坐標為zc、yc，將面積視為平行力（即看作等厚、均質薄板的重力），由合力矩定理可得：當Sz=0或Sy=0時，必有yc=0或zc=0，可知截面對某軸的靜矩為零時，該軸必通過截面形心；反之，若某軸通過形心，則截面對該軸的靜矩為零。75

二、形心公式：

三、組合截面的靜矩：n個簡單圖形組成的截面，其靜矩為：四、組合截面形心公式：

例5-1求圖示T形截面形心位置。

解：取參考坐標軸y、z,由對稱圖形,zc=0。

分解圖形為１、２兩個矩形，則若分解為１、２、３三個矩形，則76

解：將此圖形分別為I、II、III三部分，以圖形的鉛垂對稱軸為y軸，過II、III的形心且與y軸垂直的軸線取為x軸，則求圖示圖形的形心。x150yCOx1y120010yC300IIIIII10由于對稱知：xc=0目錄77求圖示半徑為r的半圓形對其直徑軸x的靜矩及其形心坐標yC。OCrxydAyCydy解：過圓心O作與x軸垂直的y軸，在距x任意高度y處取一個與x軸平行的窄條，

所以

目錄78第二節(jié)慣性矩和慣性積一、極慣性矩：

定義：平面圖形中任一微面積dA與它到坐標原點Ｏ的距離ρ平方的乘積ρ2dA,稱為該面積dA對于坐標原點o的極慣性矩。

截面對坐標原點o的極慣性矩為：

簡單圖形的極慣性矩可由定義式積分計算。

實心圓截面：

空心圓截面：

二、慣性矩：

定義：平面圖形中任一微面積dA對z軸、y軸的慣性矩分別為：y2dA和Z2dA；則整個圖形（面積為A)對z軸、y軸的慣性矩分別為：79

定義:平面圖形內，微面積dA與其兩個坐標z、y的乘積zydA在整個圖形內的積分稱為該圖形對z、y軸的慣性積。

特點：①慣性積是截面對某兩個正交坐標軸而言。不同截面對同一對軸或同一截面對不同軸的慣性積均不同。慣性積是代數值。

單位：②若截面有一根為對稱軸,則該截面對包括此對稱軸在內的一對正交坐標軸的慣性積必為零。

慣性矩是對某軸而言的，同一截面對不同軸的慣性矩值不同。

慣性矩單位：m4或mm4；慣性矩恒為正值。

簡單圖形對軸的慣性矩由定義式積分計算。三、慣性積：80例5-2求矩形截面對其對稱軸的慣性矩和慣性積。

解：取yoz坐標系。取微面積dA=bdy,則：取微面積dA=hdz,則：例5-3圓形截面對其形心軸的慣性矩。解：取yoz坐標系。取微面積dA=2zdy,則：取微面積dA=dzdy，則：81第三節(jié)慣性矩和慣性積的平行移軸公式

組合截面的慣性矩和慣性積1.慣性矩和慣性積的平行移軸公式設有面積為A的任意形狀的截面。C為其形心，Cxcyc為形心坐標系。與該形心坐標軸分別平行的任意坐標系為Oxy,形心C在在Oxy坐標系下的坐標為(a,b)任意微面元dA在兩坐標系下的坐標關系為：aycyxcxCObdAxcycyx82同理，有：（此為平行移軸公式）注意：式中的a、b代表坐標值，有時可能取負值。等號右邊各首項為相對于形心軸的量。832.組合截面的慣性矩和慣性積根據慣性矩和慣性積的定義易得組合截面對于某軸的慣性矩（或慣性積）等于其各組成部分對于同一軸的慣性矩（或慣性積）之和：84求圖示直徑為d的半圓對其自身形心軸xc的慣性矩。解：（1）求形心坐標xyb(y)ycCdxc85（2）求對形心軸xc的慣性矩由平行移軸公式得：xyb(y)ycCdxc86試求圖a

所示截面對于對稱軸x的慣性矩。解：將截面看作一個矩形和兩個半圓組成。（1）矩形對x的慣性矩：（2）一個半圓對其自身形心軸xc的慣性矩（見上例）xyC(a)d=8040100a=10040

a+2d3p87（3）一個半圓對x的慣性矩：由平行移軸公式得：（4）整個截面對于對稱軸x的慣性矩：88

第四節(jié)主慣性軸和主慣性矩：

主慣性軸（主軸）—使截面對zo、yo軸的慣性積

的這對正交坐標軸；

主慣性矩（主慣矩）—截面對主慣性軸的慣性矩；

形心主慣性軸（形心主軸）—通過形心的主慣性軸；

形心主慣性矩（形心主慣矩）—截面對形心主軸的慣性矩。返回下一張上一張小結若截面有一根對稱軸，則此軸即為形心主慣性軸之一，另一形心主慣性軸為通過形心并與對稱軸垂直的軸。若截面有二根對稱軸，則此二軸即為形心主慣性軸。若截面有三根對稱軸，則通過形心的任一軸均為形心主慣性軸，且主慣性矩相等。幾個結論89303055CC2C1y221y1zC1zC2求T形截面對形心軸的慣性矩先求形心的位置：取參考坐標系如圖，則：再求截面對形心軸的慣性矩：yCzyCzC90求圖示圓對其切線AB的慣性矩。解：求解此題有兩種方法：一是按定義直接積分；二是用平行移軸定理等知識求。B建立形心坐標如圖,求圖形對形心軸的慣性矩。AdxyO圓91思考：O為直角三角形ABD斜邊上的中點，x、y軸為過點Ｏ且分別平行于兩條直角邊的兩根軸，關于慣性積和慣性矩有四種答案(已知b>a)：（A）Ixy＞０（B）Ixy<０

(C)Ixy=０（D）Ix=Iy

正確答案是(C)xABDyOab92思考：等腰直角三角形如圖所示，x、y軸是過斜邊中點的任意一對坐標軸（即圖中

為任意值），該圖形的:(1)慣性積Ixy＝＿＿(2)慣性矩Ix＝＿＿、Iy＿＿＿。yxaa

答案：0；a4/24;a4/24

93小結一、靜矩：性質：截面對某軸的靜矩為零時，該軸必通過截面形心；

二、極慣性矩：實心圓截面：空心圓截面：三、慣性矩：

四、慣性積：矩形截面：圓形截面：幾何關系：五、平行移軸公式：返回下一張上一張小結94

六、主慣性軸和主慣性矩：

形心主慣性軸（形心主軸）—通過形心的主慣性軸；

形心主慣性矩（形心主慣矩）—截面對形心主軸的慣性矩。

主慣性軸（主軸）—使

的這對正交坐標軸；

主慣性矩（主慣矩）—截面對主慣性軸的慣性矩；七、平面圖形幾何性質的幾何意義：

1.

靜矩：圖形的形心相對于指定坐標軸之間距離的遠近程度；

2.

極慣性矩：圖形的面積相對于指定坐標原點之間分布的集中或分散程度；

3.

慣性矩：圖形的面積相對于指定坐標軸之間分布的集中或分散程度；

4.慣性積：圖形面積相對于指定的一對正交坐標軸之間分布的集中或分散程度。返回下一張上一張小結95§７-4

梁橫截面上的正應力·梁的正應力強度條件

純彎曲

(purebending)━━梁或梁上的某段內各橫截面上無剪力而只有彎矩，橫截面上只有與彎矩對應的正應力。MeM96

橫力彎曲

(bendingbytransverseforce)━━梁的橫截面上既有彎矩又有剪力；相應地，橫截面既有正應力又有切應力。97Ⅰ.純彎曲時梁橫截面上的正應力計算公式的推導

(1)

幾何方面━━藉以找出與橫截面上正應力相對應的縱向線應變在該橫截面范圍內的變化規(guī)律。表面變形情況在豎直平面內發(fā)生純彎曲的梁(圖a)：(a)98彎曲變形99

1.彎曲前畫在梁的側面上相鄰橫向線mm和nn間的縱向直線段aa和bb(圖b)，在梁彎曲后成為弧線(圖a)，靠近梁的頂面的線段aa縮短，而靠近梁的底面的線段bb則伸長；100

2.相鄰橫向線mm和nn(圖b)在梁彎曲后仍為直線(圖a)，只是相對旋轉了一個角度，且與弧線aa和bb保持正交。101

根據表面變形情況，并設想梁的側面上的橫向線mm和nn是梁的橫截面與側表面的交線，可作出如下推論(假設)：平面假設梁在純彎曲時，其原來的橫截面仍保持為平面，只是繞垂直于彎曲平面(縱向平面)的某一軸轉動，轉動后的橫截面與梁彎曲后的軸線保持正交。此假設已為彈性力學的理論分析結果所證實。102橫截面的轉動使梁凹入一側的縱向線縮短，凸出一側的縱向線伸長，從而根據變形的連續(xù)性可知，中間必有一層縱向線只彎曲而無長度改變的中性層

(圖f)，而中性層與橫截面的交線就是梁彎曲時橫截面繞著它轉動的軸━━中性軸

(neutralaxis)。（f)103令中性層的曲率半徑為r(如圖c)，則根據曲率的定義有縱向線應變在橫截面范圍內的變化規(guī)律

圖c為由相距dx的兩橫截面取出的梁段在梁彎曲后的情況，兩個原來平行的橫截面繞中性軸相對轉動了角dq。梁的橫截面上距中性軸z為任意距離y處的縱向線應變由圖c可知為(c)104即梁在純彎曲時，其橫截面上任一點處的縱向線應變e與該點至中性軸的距離

y成正比。(c)彎曲變形105小變形時純彎曲情況下可假設梁的各縱向線之間無擠壓，認為梁內各點均處于單軸應力狀態(tài)。

(2)物理方面━━藉以由縱向線應變在橫截面范圍內的變化規(guī)律找出橫截面上正應力的變化規(guī)律。梁的材料在線彈性范圍內工作，且拉、壓彈性模量相同時，有這表明，直梁的橫截面上的正應力沿垂直于中性軸的方向按直線規(guī)律變化(如圖)。M106

(3)靜力學方面━━藉以找出確定中性軸位置的條件以及橫截面上正應力的計算公式。梁的橫截面上與正應力相應的法向內力元素sdA(圖d)不可能組成軸力()，也不可能組成對于與中性軸垂直的y軸(彎曲平面內的軸)的內力偶矩()，只能組成對于中性軸z的內力偶矩，即(d)107將代入上述三個靜力學條件，有(a)(b)(c)以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只與截面的形狀和尺寸相關的幾何量，統(tǒng)稱為截面的幾何性質，而108其中為截面對于z軸的靜矩(staticmomentofanarea)或一次矩，其單位為m3。為截面對于y軸和z軸的慣性積，其單位為m4。為截面對于z軸的慣性矩(momentofineritaofanarea)或二次軸矩，其單位為m4。109由于式(a)，(b)中的不可能等于零，因而該兩式要求：

1.橫截面對于中性軸z的靜矩等于零，；顯然這是要求中性軸

z通過橫截面的形心；

2.橫截面對于

y軸和

z軸的慣性積等于零，；在對稱彎曲情況下，y軸為橫截面的對稱軸，因而這一條件自動滿足。(a)(b)(c)110由式(c)可知，直梁純彎曲時中性層的曲率為上式中的EIz稱為梁的彎曲剛度。顯然，由于純彎曲時，梁的橫截面上的彎矩M不隨截面位置變化，故知對于等截面的直梁包含在中性層內的那根軸線將彎成圓弧。將上式代入得出的式子即得彎曲正應力計算公式：(c)111

應用此式時，如果如圖中那樣取y軸向下為正的坐標系來定義式中y的正負，則在彎矩M按以前的規(guī)定確定其正負的情況下，所得正應力的正負自動表示拉應力或壓應力。但實際應用中往往直接根據橫截面上彎矩的轉向及求正應力之點在中性軸的哪一側來判別彎曲正應力為拉應力還是壓應力；在此情況下可以把式中的y看作求應力的點離中性軸z的距離。112

中性軸z

為橫截面對稱軸的梁(圖a，b)其橫截面上最大拉應力和最大壓應力的值相等；中性軸z不是橫截面對稱軸的梁(圖c)，其橫截面上的最大拉應力和最大壓應力的值不相等。第四章彎曲應力dzyo(b)

yc,max

yt,maxyz

bd1

hOd2(c)hbzyo(a)113中性軸z為橫截面的對稱軸時，橫截面上最大拉、壓應力的值smax為式中，Wz為截面的幾何性質，稱為彎曲截面系數(sectionmodulusinbending)，其單位為m3。hbzyodzyo114中性軸

z不是橫截面的對稱軸時(參見圖c)，其橫截面上最大拉應力值和最大壓應力值為115簡單截面對于形心軸的慣性矩和彎曲截面系數(1)矩形截面116思考:

一長邊寬度為

b，高為

h的平行四邊形，它對于形心軸

z的慣性矩是否也是？117(2)

圓截面在等直圓桿扭轉問題(§3-4)中已求得：zoyyzdA而由圖可見，ρ2=y2+z2,

從而知118而彎曲截面系數為根據對稱性可知，原截面對于形心軸z和y的慣性矩Iz和Iy是相等的，Iz=Iy，于是得zoyyzdA119(3)

空心圓截面由于空心圓截面的面積Ａ等于大圓的面積AD減去小圓(即空心部分)的面積Ad故有式中，。dOyzD120根據對稱性可知：思考：

空心圓截面對于形心軸的慣性矩就等于大圓對形心軸的慣性矩減去小圓對于形心軸的慣性矩；但空心圓截面的彎曲截面系數并不等于大圓和小圓的彎曲截面系數之差，為什么？而空心圓截面的彎曲截面系數為第四章彎曲應力dOyzD121型鋼截面及其幾何性質：參見型鋼表需要注意的是，型鋼規(guī)格表中所示的x軸是我們所標示的z軸。122Ⅱ.純彎曲理論的推廣工程中實際的梁大多發(fā)生橫力彎曲，此時梁的橫截面由于切應力的存在而發(fā)生翹曲(warping)。此外，橫向力還使各縱向線之間發(fā)生擠壓(bearing)。因此，對于梁在純彎曲時所作的平面假設和縱向線之間無擠壓的假設實際上都不再成立。但彈性力學的分析結果表明，受滿布荷載的矩形截面簡支梁，當其跨長與截面高度之比大于5時，梁的跨中橫截面上按純彎曲理論算得的最大正應力其誤差不超過1%，故在工程應用中就將純彎曲時的正應力計算公式用于橫力彎曲情況，即123圖所示懸臂梁，自由端承受集中荷載F作用，已知：h=18cm，b=12cm，y=6cm，a=2m，F=1.5KN。計算A截面上K點的彎曲正應力。124解：先計算截面上的彎矩截面對中性軸的慣性矩(momentofinertia)A截面上的彎矩為負，K點在中性軸(neutralaxis)的上邊，所以為拉應力。

125圖a所示簡支梁由56a號工字鋼制成，其截面簡化后的尺寸見圖b。已知F=150kN。試求危險截面上的最大正應力smax和同一橫截面上翼緣與腹板交界處a點處(圖b)的正應力sa。126

解：在不考慮梁的自重()的情況下，該梁的彎矩圖如圖所示，截面C為危險截面，相應的最大彎矩值為127由型鋼規(guī)格表查得56a號工字鋼截面于是有危險截面上點a處的正應力為128該點處的正應力sa亦可根據直梁橫截面上的正應力在與中性軸z垂直的方向按直線變化的規(guī)律，利用已求得的該橫截面上的smax=160MPa來計算：129顯然，梁的自重引起的最大正應力僅為而危險截面上的最大正應力變?yōu)檫h小于外加荷載F所引起的最大正應力。如果考慮梁的自重(q=1.041kN/m)則危險截面未變，但相應的最大彎矩值變?yōu)?30Ⅲ.梁的正應力強度條件等直梁橫截面上的最大正應力發(fā)生在最大彎矩所在橫截面上距中性軸最遠的邊緣處，而且在這些邊緣處，即使是橫力彎曲情況，由剪力引起的切應力也等于零或其值很小(詳見下節(jié))，至于由橫向力引起的擠壓應力可以忽略不計。因此可以認為梁的危險截面上最大正應力所在各點系處于單軸應力狀態(tài)。于是可按單向應力狀態(tài)下的強度條件形式來建立梁的正應力強度條件：式中，[s]為材料的許用彎曲正應力。131對于中性軸為橫截面對稱軸的梁，上述強度條件可寫作由拉、壓許用應力[st]和[sc]不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁，為充分發(fā)揮材料的強度，其橫截面上的中性軸往往不是對稱軸，以盡量使梁的最大工作拉應力st,max和最大工作壓應力sc,max分別達到(或接近)材料的許用拉應力[st]和許用壓應力[sc]。132①強度校核在已知梁的材料和橫截面的形狀、尺寸，以及所受荷載的情況下，可以檢查梁是否滿足正應力強度條件。

σmax=Mmax/Wz≤［σ］②截面設計當已知荷載和梁的材料時，可根據強度條件，計算所需的抗彎截面系數

Wz≥Mmax/［σ］再根據梁的截面形狀進一步確定截面的具體尺寸。③確定許可荷載如已知梁的材料和截面尺寸，先根據強度條件，計算出梁所能承受的最大彎矩

Mmax≤Wz［σ］再由Mmax與荷載間的關系計算出許可荷載。133(a)(b)圖a所示工字鋼制成的梁，其計算簡圖可取為如圖b所示的簡支梁。鋼的許用彎曲正應力[s]=152MPa

。試選擇工字鋼的號碼。134解：在不計梁的自重的情況下，彎矩圖如圖所示135強度條件要求：此值雖略小于要求的Wz但相差不到1%，故可以選用56b工字鋼。由型鋼規(guī)格表查得56b號工字鋼的Wz為136此時危險截面上的最大工作應力為其值超過許用彎曲應力約4.6%。工程實踐中，如果最大工作應力超過許用應力不到5%，則通常還是允許的。如果計入梁的自重，危險截面仍在跨中，相應的最大彎矩則為137圖a所示為橫截面如圖b所示的槽形截面鑄鐵梁，該截面對于中性軸z的慣性矩Iz=5493×104mm4。已知圖a中，b=2m。鑄鐵的許用拉應力[st]=30MPa，許用壓應力[sc]=90MPa

。試求梁的許可荷載[F]。(a)(b)138

解：最大負彎矩所在B截面處，若截面的上邊緣處最大拉應力st,max達到[st]，則下邊緣處最大壓應力sc,max為根據可知此sc,max并未達到許用壓應力[sc]，也就是說，就B截面而言，梁的強度由最大拉應力控制。139最大正彎矩在C截面處，若截面的下邊緣處最大拉應力st,max達到[st]，則上邊緣處的最大壓應力sc,max為，它遠小于[sc]故就C截面而言，梁的強度也由最大拉應力控制。140由以上分析可知，該梁的強度條件系受最大拉應力控制。至于究竟是B截面上還是C截面上的最大拉應力控制了梁的強度，可進一步分析如下：顯然，B截面上的最大拉應力控制了梁的強度。B截面：C截面：141當然，這個許可荷載是在未考慮梁的自重的情況下得出的，但即使考慮自重，許可荷載也不會減少很多。于是由B截面上最大拉應力不得超過鑄鐵的許用拉應力[st]的條件來求該梁的許可荷載[F]：由此得F≤19200N，亦即該梁的許可荷載為[F]=19.2kN。142dx§7-5

梁橫截面上的切應力·梁的切應力強度條件Ⅰ.

梁橫截面上的切應力(1)矩形截面梁從發(fā)生橫力彎曲的梁中取出長為dx的微段，如圖所示。hbzyO143由于m－m和n－n上的彎矩不相等，故兩截面上對應點處的彎曲正應力s1和s2不相等。因此，從微段中用距離中性層為y且平行于它的縱截面AA1B1B假想地截出的體積元素mB1(圖a及圖b)，其兩個端面mm'A1A上與正應力對應的法向內力F*N1和F*N1也不相等。144它們分別為式中，為面積A*(圖b)對中性軸z的靜矩；A*為橫截面上距中性軸z為y的橫線AA1和BB1以外部分的面積(圖b中的陰影線部分)。145即由于，故縱截面AA1B1B上有切向內力dF'S(圖b)：146為確定離中性軸z為y的這個縱截面上與切向內力dF'S對應的切應力t'，先分析橫截面與該縱截面的交線AA1處橫截面上切應力t的情況：147

1.由于梁的側面為自由表面(圖a和圖b中的面mABn為梁的側表面的一部分)，其上無切應力，故根據切應力互等定理可知，橫截面上側邊處的切應力必與側邊平行；

2.對稱彎曲時，對稱軸y處的切應力必沿y軸方向，亦即與側邊平行。148從而對于狹長矩形截面可以假設：1.橫截面上各點處的切應力均與側邊平行；2.橫截面上距中性軸等遠處的切應力大小相等。zyy149于是根據切應力互等定理可知，距中性層為y的縱截面AA1B1B上在與橫截面的交線AA1處各點的切應力t'均與橫截面正交，且大小相等。至于t'在dx長度內可以認為沒有變化。這也就是認為，縱截面AA1B1B上的切應力t'在該縱截面范圍內是沒有變化的。于是有150以上式代入前已得出的式子得根據切應力互等定理可知，梁的橫截面上距中性軸z的距離為y處的切應力t必與t'互等，從而亦有151矩形截面梁橫力彎曲時切應力計算公式zyyy1式中，FS為橫截面上的剪力；Iz

為整個橫截面對于中性軸的慣性矩；b為矩形截面的寬度(與剪力FS垂直的截面尺寸)；Sz*為橫截面上求切應力t的點處橫線以外部分面積對中性軸的靜矩，。上式就是矩形截面等直梁在對稱彎曲時橫截面上任一點處切應力的計算公式。152橫截面上切應力的變化規(guī)律前已講到，等直的矩形截面梁橫力彎曲時，在對稱彎曲情況下距中性軸等遠處各點處的切應力大小相等?，F在分析橫截面上切應力t在與中性軸垂直方向的變化規(guī)律。上述切應力計算公式中，FS在一定的橫截面上為一定的量，Iz和b也是一定的，可見t沿截面高度(即隨坐標y)的變化情況系由部分面積的靜矩Sz*與坐標y之間的關