概率論與數(shù)理統(tǒng)計 7.2(參數(shù)的區(qū)間估計)

第三節(jié)區(qū)間估計前面，我們討論了參數(shù)點估計.它是用樣本算得的一個值去估計未知參數(shù).但是，點估計值僅僅是未知參數(shù)的一個近似值。它沒有反映出這個近似值的誤差范圍，還有可信度.區(qū)間估計正好彌補了點估計的這個缺陷.點估計缺點定義7.5

設(shè)X1,X2,…,Xn為總體X的一個樣本,θ為總體X的未知參數(shù),對給定的

(0,1),如果有兩個統(tǒng)計量和滿足

則稱區(qū)間是θ的一個區(qū)間估計或置信區(qū)間，分別稱作置信下限、置信上限，1–

稱為置信水平或置信度.7.2.1區(qū)間估計的一般步驟說明：（1）是和樣本有關(guān)的隨機區(qū)間，

隨機區(qū)間以1–

的概率覆蓋了未知參數(shù)θ的真值（因為θ是未知的常數(shù))不能說θ落入的概率為1–..(2)區(qū)間長度描述了估計的精度，置信水平1–

是描述了估計的可靠性．一般而言，區(qū)間長度越小，估計的精度越高；置信水平1–

越大，估計的可靠性越高．7.2.1區(qū)間估計的一般步驟若反復(fù)抽樣多次(各次得到的樣本容量相等,都是n)按伯努利大數(shù)定理,在這樣多的區(qū)間中,例如當(dāng)我們實際上取一個樣本進(jìn)行區(qū)間估計時，有理由認(rèn)為所得置信區(qū)間包含了真參數(shù)，但這樣判斷可能會犯錯誤，犯錯誤的概率只有5%．7.2.1區(qū)間估計的一般步驟

(1)選擇一個包含樣本和待估參數(shù)θ（不能再有其他未知參數(shù)）,且分布為已知的函數(shù)（稱為樞軸量）；

(2)對給定的置信水平1–

，確定常數(shù)a,b使得

(3)將上式改寫為于是得到θ的置信水平為1–

的置信區(qū)間

7.2.1區(qū)間估計的一般步驟求區(qū)間估計的核心在于求樞軸量，一般分布的樞軸量是比較難確定的，因此我們主要考慮總體為正態(tài)分布時參數(shù)的區(qū)間估計．7.2.2正態(tài)總體均值的區(qū)間估計設(shè)X1，X2，…，Xn為X～N(

，

2)的樣本，對給定的置信水平1–

，0<

<1，我們來研究參數(shù)

的區(qū)間估計．7.2參數(shù)的區(qū)間估計

1.

2已知時，

的置信區(qū)間由于是

的無偏估計，且有容易想到將作為求

的置信區(qū)間的樞軸量．對給定的置信水平1–

，由圖7-1易知即7.2.2正態(tài)總體均值的區(qū)間估計

根據(jù)定義7.4，得到

的一個置信水平為1–

的置信區(qū)間常將該對稱區(qū)間寫成較短的形式：7.2.2正態(tài)總體均值的區(qū)間估計當(dāng)然，(7.7)式中的不等式不是唯一的，取兩個對稱的分位點–z

/2和z

/2是為了使兩點之間的長度最小，從而保證了所得置信區(qū)間的精度最大．2.

2未知時，

的置信區(qū)間

2未知時，不能再用作為求

的置信區(qū)間的樞軸量，因為其中含有另一個未知參數(shù)

2．考慮到S2是

2的無偏估計，可以用S2代替

2，由定理6.3知所以，可以選用作為樞軸量．7.2.2正態(tài)總體均值的區(qū)間估計7.2.2正態(tài)總體均值的區(qū)間估計由圖7-2，類似上面的過程，可以得到

的一個置信水平為1–

的置信區(qū)間例1.已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機抽取16只，測得其使用壽命(小時)如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間16燈泡使用壽命的數(shù)據(jù)

1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470解：已知Ｘ~N(

，2)，n=16,1-

=95%，t

/2=2.131

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得：

總體均值

在1-

置信水平下的置信區(qū)間為該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8小時～1503.2小時7.2.3正態(tài)總體方差的區(qū)間估計設(shè)X1，X2，…，Xn為來自X～N(

，

2)的樣本，對給定的置信水平1–

，0<

<1，我們來研究參數(shù)

2的區(qū)間估計．1.

已知時，

2的置信區(qū)間由于X～N(

，

2)，所以，取樞軸量由于

2概率密度不是對稱的,對給定的置信水平1–

,不容易找到最短的置信區(qū)間,習(xí)慣上仍取對稱形7.2參數(shù)的區(qū)間估計式的分位點和,如圖7.5，使即根據(jù)定義7.4，得到

2的一個置信水平為1–

的置信區(qū)間：

的一個置信水平為1–

的置信區(qū)間：7.2.3正態(tài)總體方差的區(qū)間估計2.

未知時，

2的置信區(qū)間由于

未知，不能再用作為樞軸量,考慮用代換

，由定理6.3知所以，可以取作為樞軸量.類似

已知的情形，容易得到

2的一個信水平為1–

的置信區(qū)間為即

7.2.3正態(tài)總體方差的區(qū)間估計即

的一個置信水平為1–

的置信區(qū)間為正態(tài)總體均值和方差的置信區(qū)間與后面講到的單側(cè)置信限一并放入表7.1中．7.2.3正態(tài)總體方差的區(qū)間估計

被估參數(shù)條件樞軸量及其分布參數(shù)的置信區(qū)間單側(cè)置信限μ

2已知

2未知表7.1正態(tài)總體均值和方差的置信區(qū)間與單側(cè)置信限

被估參數(shù)條件樞軸量及其分布參數(shù)的置信區(qū)間單側(cè)置信限

2μ已知μ未知7.2.4兩正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計設(shè)X1,X2,…,Xn1為來自總體X～N(

1,

12)的樣本，Y1,Y2,…,Yn2為來自總體Y～N(

2,

22)的樣本，且兩樣本相互獨立，其樣本均值分別記為和，其樣本方差分別記為S12和S22.

我們來研究參數(shù)

1–

2的區(qū)間估計．1.

12和

22已知時，

1–

2的置信區(qū)間由定理6.4知取樞軸量7.2參數(shù)的區(qū)間估計對給定的置信水平1–

，由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上

分位點的定義，易知即于是，我們得到

1–

2的一個置信水平為1–

的置信區(qū)間7.2.4兩正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計說明:

實際應(yīng)用中兩個總體方差的信息往往是未知的,在兩個樣本容量都比較大的情況下(n1,n2

30)，一般采用兩個樣本方差S12和S22近似代替

12和

22，于是，

1–

2的一個置信水平為1–

的置信區(qū)間可以由近似得到．7.2.4兩正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計2.

12和

22未知,但知

12=

22=

2時,

1–

2的置信區(qū)間由定理6.4，當(dāng)

12=

22=

2時，其中取樞軸量易知，

1–

2的一個置信水平為1–

的置信區(qū)間為7.2.4兩正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計【例2】某地區(qū)教育委員會想估計兩所中學(xué)的學(xué)生高考時的英語平均分?jǐn)?shù)之差，為此在兩所中學(xué)獨立抽取兩個隨機樣本，有關(guān)數(shù)據(jù)如右表。建立兩所中學(xué)高考英語平均分?jǐn)?shù)之差95%的置信區(qū)間

兩個樣本的有關(guān)數(shù)據(jù)

中學(xué)1中學(xué)2n1=46n1=33S1=5.8S2=7.2解:兩個總體均值之差在1-

置信水平下的置信區(qū)間為兩所中學(xué)高考英語平均分?jǐn)?shù)之差的置信區(qū)間為5.03分~10.97分7.2參數(shù)的區(qū)間估計7.2.5兩正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計

設(shè)X1,X2,…,Xn1為來自總體X～N(

1,

12)的樣本，Y1,Y2,…,Yn2為來自總體Y～N(

2,

22)的樣本，且兩樣本相互獨立，其樣本均值分別記為和，其樣本方差分別記為S12和S22.

我們來研究參數(shù)的區(qū)間估計．僅對

1，

2未知的情況，求的置信區(qū)間．由定理6.4知取樞軸量對給定的置信水平1–

，由F分布上

分位點的定義，易知即于是，我們就得到的一個置信水平為1–

的置信區(qū)間7.2.5兩正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計【例3】為了研究男女學(xué)生在生活費支出(元)上的差異，在某大學(xué)各隨機抽取25名男學(xué)生和25名女學(xué)生，得到下面的結(jié)果：男學(xué)生：女學(xué)生：試以90%置信水平估計男女學(xué)生生活費支出方差比的置信區(qū)間.解:根據(jù)自由度

n1=25-1=24，n2=25-1=24，查得F/2(24)=1.98，F(xiàn)1-/2(24)=1/1.98=0.505

12/22置信度為90%的置信區(qū)間為男女學(xué)生生活費支出方差比的置信區(qū)間為0.47~1.84

7.2.6單側(cè)置信區(qū)間上述置信區(qū)間中置信限都是雙側(cè)的.但對于有些實際問題，人們關(guān)心的只是參數(shù)在一個方向的界限．例如，購買化學(xué)藥品時，我們所關(guān)心的是化學(xué)藥品中雜質(zhì)含量平均值最多是多少，即“上限”；而購買電子產(chǎn)品時更關(guān)心的是它們的平均使用壽命至少是多少，即“下限”．這就引出了單側(cè)置信區(qū)間的概念．

7.2參數(shù)的區(qū)間估計

定義7.6

設(shè)X1，X2，…，X2為總體X的一個樣本，對于總體X的未知參數(shù)θ,如果有兩個統(tǒng)計量

,對給定的

(0,1)，

(1)若有則稱區(qū)間是θ的一個置信水平為1–

的單側(cè)置信區(qū)間，稱為單側(cè)置信上限．

(2)若有，則稱區(qū)間是θ的一個置信水平為1–

的單側(cè)置信區(qū)間，稱為單側(cè)置信下限．7.2.6單側(cè)置信區(qū)間單側(cè)置信區(qū)間的求法與雙側(cè)置信區(qū)間的求法類似，下面僅給出求正態(tài)總體均值和方差的單側(cè)置信區(qū)間的部分過程，其他各種情況只將結(jié)果列入表7-1．設(shè)X1,X2,…,Xn為X～N(

，

2)的樣本，我們來分別研究參數(shù)

，

2的單側(cè)置信區(qū)間．

(1)

2未知時，

的單側(cè)置信區(qū)間由于樞軸量對給定的置信水平1–

，如圖7-9有即7.2.6單側(cè)置信區(qū)間7.2.6單側(cè)置信區(qū)間

根據(jù)定義7.6，我們就得到了

的一個置信水平為1–

的單側(cè)置信區(qū)間

的置信水平為1–

的單側(cè)置信上限為考慮如圖易知，

的另一個置信水平為1–

的單側(cè)置信區(qū)間為

的置信水平為1–

的單側(cè)置信下限為

(2)

未知時，

2的單側(cè)置信區(qū)間由于樞軸量對給定的置信水平1–

，如圖7-11有即于是，得到了

2的一個置信水平為1–

的單側(cè)置信區(qū)間，即7.2.6單側(cè)置信區(qū)間

2的一個置信水平為1–

的單側(cè)置信上限為

考慮，如圖7-12所示，易知，

2的另一個置信水平為1–

的單側(cè)置信區(qū)間為即

2的一個置信水平為1–

的單側(cè)置信下限為7.2.6單側(cè)置信區(qū)間【例7-16】從一批汽車輪胎中隨機地取16只做磨損試驗，記錄其磨壞時所行駛路程(單位：km)，算得樣本均值，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=6346．設(shè)此樣本來自正態(tài)總體X～N(

,

),

,

均未知，問該種輪胎平均行駛路程至少是多少(置信水平95%)？

解：由于X～N(

,

2)且

,

2均未知，輪胎平均行駛路程的單側(cè)置信下限可由下面公式計算得到

其中，s=6346，n=16，

=0.05，

t

(n–1)=t0.05(15)=1.753．7.2.6單側(cè)置信區(qū)間即得置信水平為95%的單側(cè)置信下限：

故該種輪胎平均行駛路程不少于38334.87公里，其置信水平為95%．兩正態(tài)總體均值差和方差比的置信區(qū)間與單側(cè)置信限一并放入表7-2中．7.2.6單側(cè)置信區(qū)間第7章參數(shù)估計【裝配線的平衡問題】

使裝配線達(dá)到平衡是一項重要的經(jīng)營管理活動，主要目標(biāo)是確保不同操作臺的操作耗用近似相同的時間．如果裝配線不平衡，操作員就會出現(xiàn)有時無事可做，有時忙不過來的現(xiàn)象．結(jié)果，產(chǎn)品堆積在費時的操作臺上，影響整個裝配線的效率．建立裝配線，經(jīng)常要使用各種管理科學(xué)工具，常常需要估計各個操作臺的平均裝配時間，以對裝配線進(jìn)行合理的調(diào)整．下面隨機記錄了某裝配線兩個操作臺各30次的裝配時間(單位:分鐘)，如何估計操作臺的平均裝配時間？它們的平均裝配時間有無顯著差異?X