14結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計算(清華版)詳解

第十五章結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計算§15-1兩類穩(wěn)定問題概述§15-2兩類穩(wěn)定問題計算簡例§15-3有限自由度體系的穩(wěn)定

——靜力法和能量法本課程主要內(nèi)容高強度材料應(yīng)用、結(jié)構(gòu)形式的發(fā)展，結(jié)構(gòu)趨于輕型、薄壁化，更易失穩(wěn)，穩(wěn)定計算日益重要。失穩(wěn)大到整個結(jié)構(gòu)，小到局部構(gòu)件！鋼筋的失穩(wěn)（縱筋與箍筋的綁扎－箍筋的間距）；柱模板（沿高度方向加箍）;

桁架中的受壓桿件（上弦桿）；高層結(jié)構(gòu)中受壓柱的失穩(wěn)（軸壓比）。共性：①受壓；

②幾何特征問題。（強度與長細比的關(guān)系）一、結(jié)構(gòu)設(shè)計應(yīng)滿足三方面的要求

1、強度2、剛度3、穩(wěn)定性。二、基本概念

1、失穩(wěn)：當(dāng)荷載達到某一數(shù)值時，體系由穩(wěn)定平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定狀態(tài)，而喪失原始平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，簡稱“失穩(wěn)”

2、臨界狀態(tài)：由穩(wěn)定平衡狀態(tài)過度到不穩(wěn)定狀態(tài)的中間狀態(tài)（中性平衡狀態(tài)）。

3、臨界荷載：臨界狀態(tài)時相應(yīng)的荷載。

強度問題與穩(wěn)定問題（1）兩種極限狀態(tài)：我國《規(guī)范》規(guī)定：在進行建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計時必須考慮兩種極限狀態(tài)。

1）承載能力極限狀態(tài)（Ultimatelimitstate）指結(jié)構(gòu)或構(gòu)件達到最大承載力或達到不適合繼續(xù)承載的變形的極限狀態(tài)。主要包括結(jié)構(gòu)、構(gòu)件的強度（Strength）和穩(wěn)定（Stability）的計算。

2）正常使用極限狀態(tài)（Serviceabilitylimitstate）指結(jié)構(gòu)或構(gòu)件達到正常使用或耐久性的某項規(guī)定限值，如軸心受壓桿的長細比：梁的撓度：梁的裂縫寬度：（2）強度、穩(wěn)定問題的區(qū)別：

1）強度問題指由作用（Action）對結(jié)構(gòu)或構(gòu)件產(chǎn)生的截面最大內(nèi)力（或截面上某點的最大應(yīng)力）是否超過截面的承載能力（或材料強度），因此，強度問題是應(yīng)力問題。

2）穩(wěn)定問題是要找出作用與結(jié)構(gòu)內(nèi)部抵抗力之間的不穩(wěn)定平衡狀態(tài)即變形開始急劇增大的狀態(tài)，從而設(shè)法避免進入該狀態(tài)，因此，穩(wěn)定問題是一種變形問題。說明：作用直接作用：如：永久荷載、可變荷載，等間接作用：如：地震、基礎(chǔ)沉降、砼收縮、溫度變化，等（3）彈性穩(wěn)定問題的特點：

一階分析（FOA－FirstOrderAnalysis）以未變形的結(jié)構(gòu)變形分析它的平衡，不考慮變形對作用效應(yīng)的影響。應(yīng)力問題通常采用一階分析，也稱線性分析。

二階分析（SOA－SecondOrderAnalysis）針對已變形的結(jié)構(gòu)變形分析它的平衡，考慮變形對作用效應(yīng)的影響。穩(wěn)定問題則采用二階分析，也稱幾何非線性分析。

1）穩(wěn)定問題采用二階分析小變形，可用一階分析計算。疊加原理適用條件：材料符合虎克定律：強度問題（應(yīng)力）穩(wěn)定問題（變形）

2）不能應(yīng)用疊加原理

3）穩(wěn)定問題不必區(qū)分靜定和超靜定結(jié)構(gòu)§15-1兩類穩(wěn)定問題概述平衡狀態(tài)從穩(wěn)定性角度考察穩(wěn)定平衡狀態(tài)：干擾消失后，結(jié)構(gòu)能夠回到原來的平衡位置。不穩(wěn)定平衡狀態(tài)：結(jié)構(gòu)繼續(xù)偏離，不能回到原來的位置。中性平衡狀態(tài)：由穩(wěn)定平衡到不穩(wěn)定平衡過渡的中間狀態(tài)假設(shè)結(jié)構(gòu)原來處于某個平衡狀態(tài)，后來由于受到輕微干擾而稍微偏離其原來位置分析方法大撓度理論。小撓度理論。靜力法能量法剛性小球平衡狀態(tài)(1)穩(wěn)定平衡狀態(tài)(2)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)(3)隨遇平衡狀態(tài)根據(jù)受力狀態(tài)穩(wěn)定問題分類1.完善體系：理想中心受壓桿，無初曲率或彎曲變形完善體系從穩(wěn)定到不穩(wěn)定，其受力、變形狀態(tài)將變化，也即隨荷載變大有分叉點，稱分支點穩(wěn)定。分支點失穩(wěn)失穩(wěn)前后平衡狀態(tài)的變形性質(zhì)發(fā)生變化2.非完善體系受壓桿有初曲率或受偏心荷載，為壓彎聯(lián)合受力狀態(tài)非完善體系，一般受力、變形性質(zhì)不發(fā)生改變。但隨著荷載增大存在一極值荷載（此后變形增大荷載反而減少），這類穩(wěn)定現(xiàn)象稱極值點穩(wěn)定。極值點失穩(wěn)失穩(wěn)前后變形性質(zhì)沒有變化FPcr

cr突跳失穩(wěn)FPcr

cr由受壓變成受拉，系統(tǒng)產(chǎn)生翻轉(zhuǎn)C3、失穩(wěn):隨著荷載的逐漸增大,結(jié)構(gòu)的原始平衡位置由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)為不穩(wěn)定平衡.這時原始平衡狀態(tài)喪失其穩(wěn)定性.⑴分支點失穩(wěn)：（第一類失穩(wěn)）完善體系（或稱理想體系）直桿（無初曲率），中心受壓（無初偏心）。Pl/2l/2PΔOP1<Pcr=1<PcrABP1Pcr原始平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的是唯一的P2>PcrΔⅠ(穩(wěn)定)Ⅰ(不穩(wěn)定)Ⅱ(大撓度理論)Ⅱ(小撓度理論)DD′P2原始平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。存在兩種不同形式的平衡狀態(tài)(直線、彎曲）。分支點B將原始平衡路徑Ⅰ

分為兩段。在分支點B出現(xiàn)平衡的二重性。原始平衡由穩(wěn)定轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定。臨界荷載、臨界狀態(tài)2>Pcr由于荷載自Pcr至壓潰歷程極短，故Pcr就成了失穩(wěn)的標(biāo)志。而大撓度理論和小撓度理論求出的臨界荷載十分貼近，可采用簡單的小撓度理論求Pcr。

Pcr

Pcrqcr原始平衡：軸向受壓新平衡形式：壓彎組合

Pcr原始平衡：軸向受壓新平衡形式：壓彎組合原始平衡：平面彎曲新平衡形式：斜彎曲加扭轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)的變形產(chǎn)生了質(zhì)的改變。即原來的平衡形式成為不穩(wěn)定而可能出現(xiàn)新的與原來平衡形式有質(zhì)的區(qū)別的平衡形式，同時，這種現(xiàn)象帶有突然性——質(zhì)變失穩(wěn)。分支點失穩(wěn)的特點：其它結(jié)構(gòu)的分支點失穩(wěn)⑵極值點失穩(wěn)：（第二類失穩(wěn)）非完善體系：具有初曲率的壓桿承受偏心荷載的壓桿

P

PPΔOPcr(大撓度理論)(小撓度理論)PePe接近于中心壓桿的歐拉臨界荷載穩(wěn)定問題與強度問題的區(qū)別：強度問題是在穩(wěn)定平衡狀態(tài)下：當(dāng),小變形，進行線性分析（一階分析）。當(dāng),大變形，進行幾何非線性分析（二階分析）。重點是求內(nèi)力、應(yīng)力穩(wěn)定問題重點是研究荷載與結(jié)構(gòu)抵抗力之間的平衡；找出變形急劇增長的臨界點及相應(yīng)的臨界荷載。在變形后的幾何位置上建立平衡方程，屬于幾何非線性分析（二階分析）。非線性分析，疊加原理不再適用。極值點失穩(wěn)的特點：結(jié)構(gòu)一開始受壓就處于壓彎狀態(tài)，失穩(wěn)與穩(wěn)定無明顯的界限，只是當(dāng)接近失穩(wěn)時，荷載增加很小，而撓度迅速增加。P-Δ曲線具有極值點。由于結(jié)構(gòu)的變形過大，結(jié)構(gòu)將不能正常使用——量變失穩(wěn)。一、分支點失穩(wěn)lEIP---臨界荷載穩(wěn)定平衡中性平衡不穩(wěn)定平衡PP完善體系結(jié)構(gòu)變形產(chǎn)生了性質(zhì)上的突變，帶有突然性。二、極值點失穩(wěn)偏心受壓PP有初曲率非完善體系雖不出現(xiàn)新的變形形式，但結(jié)構(gòu)原來的變形將增大或材料的應(yīng)力超過其許可值，結(jié)構(gòu)不能正常工作。pcrpe穩(wěn)定自由度P1個自由度PP2個自由度無限自由度§15-2兩類穩(wěn)定問題計算簡例在穩(wěn)定計算中，一個體系產(chǎn)生彈性變形時，確定其變形狀態(tài)所需的獨立幾何參數(shù)的數(shù)目。

穩(wěn)定問題的分析方法在穩(wěn)定分析中，有基于小變形的線性理論和基于大變形的非線性理論：線性理論(小撓度理論)中變形是一階微量，計算中將略去高階微量使計算得以簡化，其結(jié)果與大變形時的實驗結(jié)果有較大偏差。非線性理論(大撓度理論)中考慮有限變形對平衡的影響，其結(jié)果與實驗結(jié)果吻合的很好，但分析過程復(fù)雜。

Plk1、單自由度完善體系的分支點失穩(wěn)EI=∞1）按大撓度理論分析

PθRAPθOAPcrBⅠ(穩(wěn)定)Ⅰ(不穩(wěn)定)Ⅱ(大撓度理論)不穩(wěn)定平衡Ⅱ(小撓度理論)隨遇平衡分支點A處的臨界平衡也是不穩(wěn)定的。2）按小撓度理論分析

(θ<<1)小撓度理論能夠得出正確的臨界荷載,但不能反映當(dāng)θ較大時平衡路徑Ⅱ的下降(上升)趨勢。隨遇平衡狀態(tài)是簡化假設(shè)帶來的假象。注:1）平衡方程是對變形以后的結(jié)構(gòu)新位置建立的。

2）建立平衡方程時方程中各項應(yīng)是同量級的，主要力項（有限量）要考慮結(jié)構(gòu)變形對幾何尺寸的微量變化，次要力項（微量）不考慮幾何尺寸的微量變化。

Plk2、單自由度非完善體系的極值點失穩(wěn)EI=∞1）按大撓度理論分析

P

θRAεP/klθOε=0ε=0.1ε=0.210.7850.380.6600.421.371.47π/2P/klεO10.20.6600.10.7850.30.556這個非完善體系是極值點失穩(wěn).Pcr

隨ε增大而減小.

PlkEI=∞2）按小撓度理論分析

PθRAεP/klθO設(shè)：ε<<1，θ<<1，再按泰勒公式展開，并取其一階微量。ε=0ε=0.1ε=0.2ε=00.40.81.21.610.80.60.40.2(1).各曲線都以水平直線P/kl=1為漸近線,并得出相同的臨界荷載值Pcr=kl；(2).對于非完善體系，小撓度理論不能得出隨著ε的增大Pcr會逐漸減小的結(jié)論。3、幾點認(rèn)識1）一般說來，完善體系發(fā)生分支點失穩(wěn)，非完善體系生極值點失穩(wěn)。2）分支點失穩(wěn)的特征是存在不同平衡路徑的交叉，在交叉點出現(xiàn)平衡形式的二重性，極值點失穩(wěn)只存在一個平衡路徑，但平衡路徑上出現(xiàn)極值點。3）只有按大撓度理論才能得出穩(wěn)定問題的精確結(jié)論，但小撓度理論比較簡單適用，特別是在分支點失穩(wěn)問題中通常也能得出臨界荷載的正確值。但也要注意它的某些結(jié)論的局限性。4）在實際結(jié)構(gòu)中難以區(qū)分這兩類失穩(wěn)問題。但分支點失穩(wěn)問題更具有典型性，就失穩(wěn)的突發(fā)性而言，更有必要首先加以研究；另外，在許多情況下，分支點臨界荷載可作為臨界荷載的上限考慮。

以下只討論完善體系分支點失穩(wěn)問題，并由小撓度理論求臨界荷載。§15-3有限自由度體系的穩(wěn)定

——靜力法和能量法穩(wěn)定計算最基本最重要的方法靜力法：考慮臨界狀態(tài)的靜力特征。（平衡形式的二重性）能量法：考慮臨界狀態(tài)的能量特征。（勢能有駐值，位移有非零解）PlABk要點是利用臨界狀態(tài)平衡形式的二重性，在原始平衡位置之外尋找新的平衡位置，列平衡方程，由此求臨界荷載。lθ=0，原始平衡θ≠0，新平衡形式特征方程（穩(wěn)定方程）臨界荷載MA=kθ

確定體系變形形式(新的平衡形式)的獨立位移參數(shù)的數(shù)目即穩(wěn)定體系的自由度.PAB轉(zhuǎn)動剛度系數(shù)kB′λθEI=∞1、靜力法對于具有n個自由度的結(jié)構(gòu)，新的平衡形式需要n個獨立的位移參數(shù)確定，在新的平衡形式下也可列出n個獨立的平衡方程，它們是以n個獨立的位移參數(shù)為未知量的齊次代數(shù)方程組。根據(jù)臨界狀態(tài)的靜力特征，該齊次方程組除零解外（對應(yīng)于原有平衡形式），還應(yīng)有非零解（對應(yīng)于新的平衡形式），故應(yīng)使方程組的系數(shù)行列式為零，D=0即為穩(wěn)定方程，從穩(wěn)定方程求出的最小根即為臨界荷載Pcr。例1：圖示體系中AB、BC、CD各桿為剛性桿。使用兩種方法求其臨界荷載。lllPkkABCDPkky1y2λR1=ky1R2=ky2YA=Py1/lYD=Py2/l解：1）靜力法設(shè)變形狀態(tài)求支座反力列變形狀態(tài)的平衡方程（a）如果系數(shù)行列式=0y1，y2不為零，對應(yīng)新的平衡形式。ABCD1-1對稱問題可利用對稱性做。P2、能量法靜力法對等截面壓桿的穩(wěn)定分析較為簡單，而對變截面桿、有軸向分布荷載作用的桿就較為麻煩。也可從穩(wěn)定與能量的關(guān)系來分析穩(wěn)定性。剛性小球運動穩(wěn)定性與能量的關(guān)系設(shè)靜止點A、B、C點Ep=0ABCA點為穩(wěn)定平衡，偏離A點δEp＞０其勢能將增加，故知穩(wěn)定平衡位置的勢能為最小。B點為隨遇平衡，偏離B點δEp=０勢能不變。C點為不穩(wěn)定平衡，偏離C點δEp＜０其勢能將減小，故知不穩(wěn)定平衡位置的勢能為最大。

對于彈性變形體系，其穩(wěn)定性與能量的關(guān)系與剛性小球情況相似。設(shè)原始平衡狀態(tài)為零勢能點，讓體系微小偏移，荷載在位移上做功W（外力勢能UP=－W）使體系偏移，內(nèi)力在變形上產(chǎn)生變性能U，使體系恢復(fù)原位置?？倓菽蹺p=U+UP即總勢能的增量δEp。

如總勢能Ep=U+UP>0（δΠ>0），體系能恢復(fù)原位置，平衡是穩(wěn)定的；

如總勢能Ep=U+UP=0（δΠ=0），體系能在任意位置平衡，平衡為中性的；如總勢能Ep=U+UP<0（δΠ<0），體系不能恢復(fù)原位置，平衡是不穩(wěn)定的。

用能量法求臨界荷載，依據(jù)于臨界狀態(tài)的平衡條件，它等價于勢能駐值原理：彈性體系在臨界狀態(tài)，其總勢能為駐值，即δEp=0PlABklMA=kθPABB′λθEI=∞Π=0彈性體系的平衡方程

勢能駐值原理：對于彈性體系，在一切微小的可能位移中，同時又滿足平衡條件的位移（真實位移）使結(jié)構(gòu)的勢能Π為駐值，即：δEp=0,Ep=應(yīng)變能U+外力勢能UPMA=kθ22ql=2sin22ql=)cos1(qll-=MA=kθ彈性應(yīng)變能荷載勢能:應(yīng)用勢能駐值條件:位移有非零解得：PlABkB′λθEI=∞

總勢能是位移θ的二次函數(shù)，1）P<k/l，當(dāng)θ≠0，Ep恒大于零（Ep為正定）(即U>UP表示體系具有足夠的應(yīng)變能克服荷載勢能，使壓桿恢復(fù)到原有平衡位置)當(dāng)θ=0，Ep為極小值0。對于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，真實的位移使Ep為極小值2）P>k/l，當(dāng)θ≠0，Ep恒小于零（Ep為負(fù)定）(即U<UP表示體系缺少足夠的應(yīng)變能克服荷載勢能，壓桿不能恢復(fù)到原有位置)。當(dāng)θ=0，Ep為極大值0。原始的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。3）P=k/l

，當(dāng)θ為任意值時，Ep恒等于零(即U=UP)。體系處于中性平衡（臨界狀態(tài)）這時的荷載稱為臨界荷載Pcr=k/l

。θΠP<PcrθΠP>PcrθΠP=Pcr結(jié)論：1）當(dāng)體系處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)時，其總勢能必為最小。2）臨界狀態(tài)的能量特征是：勢能為駐值δEp=0

，且位移有非零解。即在荷載達到臨界值前后，總勢能由正定過渡到非正定。3）如以原始平衡位置作為參考狀態(tài)，當(dāng)體系處于中性平衡P=Pcr

時，必有總勢能=0。對于多自由度體系，結(jié)論仍然成立。Pkky1y2λR1=ky1R2=ky2YA=Py1/lYD=Py2/lABCD2）能量法在新的平衡位置各桿端的相對水平位移)(1222121+-=yyyyl])([212221221+-+=\yyyyllD點的水平位移彈性支座應(yīng)變能:)(22221+=yykU荷載勢能:)(222121+--=-=yyyylPPUPl體系總勢能:])2(2)2[(21222121-++-=+=yPklyPyyPkllUUPEp勢能駐值條件:0)2(21=-+yPklPy0)2(21=+-PyyPkl0,021=??=??yyEpEp以后的計算步驟同靜力法能量法步驟:①給出新的平衡形式;②寫出總勢能表達式;③建立勢能駐值條件;④應(yīng)用位移有非零解的條件,得出特征方程;⑤解出特征值,其中最小的即臨界荷載Pcr。勢能駐值條件等價于以位移表示的平衡方程。體系總勢能:])2(2)2[(21222121-++-=+=yPklyPyyPkllUUPEp總勢能Ep是位移y1、y2的對稱實數(shù)二次型。1）如果P<kl/3=Pcr，Π是正定的。5）如果kl/3<P<kl，Π是不定的。2）如果P=kl/3=Pcr，Π是半正定的（當(dāng)y1=－y2時，Π=0）。4）如果P=kl，Π是半負(fù)定的（當(dāng)y1=y2時，Π=0）。3）如果P>kl，Π是負(fù)定的。由此可見，多自由度體系在臨界狀態(tài)的能量特征仍然是：在荷載達到臨界值的前后，勢能Π由正定過渡到非正定。（或說：勢能達駐值，位移有非零值）非正定PPllABCk例2：用兩種方法求圖示體系的臨界荷載。并繪其失穩(wěn)曲線。1、靜力法：兩個自由度，取θ1θ2

為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲線如圖。分析受力列平衡方程：2qk()21qq-kBC:AC:由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程并求解：求失穩(wěn)曲線：實際失穩(wěn)曲線只是理論上存在的失穩(wěn)曲線2、能量法：外力勢能：PPllABCk2qk()21qq-kλ應(yīng)變能：總勢能：根據(jù)勢能駐值條件：由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：以下計算同靜力法。例3：用靜力法求圖示體系的臨界荷載。兩個自由度，取θ1θ2

為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲線如圖。分析受力列平衡方程：BC:AC:由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：lllEI2EIEI=∞EI=∞ABCPBABCPP例3：用能量法求圖示體系的臨界荷載。兩個自由度，取θ1θ2

為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲線如圖。求變形能和外力勢能：lllEI2EIEI=∞EI=∞ABCPBABCPP當(dāng)桿件上無外荷載作用時，桿端力的功=變形能。P例4：用靜力法求圖示體系的臨界荷載。EI=∞兩個自由度，取Δ1Δ2

為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲線如圖。分析受力列平衡方程：由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：AlllBCD()21qq+k()23qq-kB’C’1-1P例4：用能量法求圖示體系的臨界荷載。EI=∞兩個自由度，取Δ1Δ2

為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲線如圖。由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：AlllBCD()21qq+k()23qq-kB’C’求變形能和外力勢能：Dl/2EPlCEl/2DlP利用對稱性求

EI=∞1