專題11等差數(shù)列等比數(shù)列（學(xué)生版）

專題11等差數(shù)列、等比數(shù)列數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，是數(shù)學(xué)重要的研究對象，是研究其他類型的基本工具,在日常生活中也有著廣泛的應(yīng)用。本單元的學(xué)習(xí),可以幫助學(xué)生通過對日常生活中實際問題的分析，了解數(shù)列的概念；探索并掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的變化規(guī)律；能運用等差數(shù)列、等比數(shù)列解決簡單的實際問題和數(shù)學(xué)問題，通過代數(shù)運算掌握數(shù)列的項與項之間確定的關(guān)系，了解等差數(shù)列與一元一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，感受數(shù)列與函數(shù)的共性與差異，體會數(shù)學(xué)的完整性。——合肥八中中學(xué)一級教師關(guān)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，是數(shù)學(xué)重要的研究對象，是研究其他類型的基本工具,在日常生活中也有著廣泛的應(yīng)用。本單元的學(xué)習(xí),可以幫助學(xué)生通過對日常生活中實際問題的分析，了解數(shù)列的概念；探索并掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的變化規(guī)律；能運用等差數(shù)列、等比數(shù)列解決簡單的實際問題和數(shù)學(xué)問題，通過代數(shù)運算掌握數(shù)列的項與項之間確定的關(guān)系，了解等差數(shù)列與一元一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，感受數(shù)列與函數(shù)的共性與差異，體會數(shù)學(xué)的完整性?！戏拾酥兄袑W(xué)一級教師關(guān)良玲——高級教師探究1：等差、等比數(shù)列的判定與證明【典例剖析】例1.(2022·安徽省合肥市模擬)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，若2Sa2022=4048，則aA.-8 B.-3 C.-2 D.8選題意圖:選題意圖:等比數(shù)列在用定義法判定時，要特別關(guān)注新首項的值，在保證首項不為零以后，才能證明數(shù)列為等比數(shù)列.思維引導(dǎo)：題干中的和與項的關(guān)系式，消去Sn得到遞推關(guān)系，注意n的取值范圍，從而構(gòu)造出從第二項起公比為1的等比數(shù)列，表示出通項公式【變式訓(xùn)練】練11(2022·湖南省衡陽市一模)在單調(diào)遞增數(shù)列{an}中，已知a1=1，a2=2，且a2n-1，a2n，a2n+1成等比數(shù)列，a2n，練12(2021·江蘇省南京市模擬)設(shè)非常數(shù)數(shù)列{an}滿足an+2=αan+1+βanα+β，n∈N*，其中常數(shù)α，β均為非零實數(shù)，且α+β≠0．

(1)證明：數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是α+2β=0；

(2)【規(guī)律方法】1．等差數(shù)列的四個判定方法(1)定義法：an+1－an(2)等差中項法：2an＋(3)通項公式法：an＝pn＋q(p，(4)前n項和公式法：Sn＝An2+Bn(2．等比數(shù)列的四個判定方法(1)定義法：eq\f(an＋1,an)＝(2)等比中項法：aeq\o\al(2,n＋1)＝(3)通項公式法：an＝cqn(c，(4)前n項和公式法：Sn＝k·qn－注意：(1)定義法和等比中項法主要適合在解答題中使用，通項公式法和前n項和公式法主要適合在選擇題或填空題中使用．(2)若要判定一個數(shù)列不是等差（比）數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項不成等差（比）數(shù)列即可．探究2：等差、等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用【典例剖析】例2.(2022·山東省菏澤市一模)已知等比數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，且滿足：0<a1<1，a17a18+1<aA.36 B.35 C.34 D.33選題意圖：選題意圖：高考對于等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)的考查是熱點，且具有“新、巧、活”的特點，要熟記性質(zhì)，從而建立相關(guān)關(guān)系，優(yōu)化過程.思維引導(dǎo)：本題是數(shù)列性質(zhì)與基本不等式相結(jié)合考查，利用不等式a17a18+1<a17+a18得出a17<a【變式訓(xùn)練】練21(2021·四川省攀枝花市聯(lián)考)正項等比數(shù)列an中的a1,a4031是函數(shù)fA.1 B.2 C.2 D.-1練22(2021·湖北省部分重點中學(xué)高三期末)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，首項a1=1，且2S2+S4=3S3，已知m，n∈N*A.16 B.12 C.8 D.6【規(guī)律方法】已知為等差數(shù)列，為公差，為該數(shù)列的前項和．(1)等差數(shù)列中，當(dāng)時，()．特別地，若，則()．(2)相隔等距離的項組成的數(shù)列是等差數(shù)列，即，，，…仍是等差數(shù)列，公差為()．(3)也成等差數(shù)列，其首項與首項相同，公差為.(4)，，…也成等差數(shù)列，公差為.（5）若數(shù)列,均為等差數(shù)列且其前項和分別為,,則設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項和．(1)若，則，其中.特別地，若，則，其中.(2)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即，，，…仍是等比數(shù)列，公比為()．(3)若數(shù)列，是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列，和(其中，，是非零常數(shù))也是等比數(shù)列．探究3：等差、等比數(shù)列與其它知識的綜合應(yīng)用【典例剖析】例3.(2022·安徽省蚌埠市模擬)已知函數(shù)f(x)=e-x-ex，若函數(shù)h(x)=fx-4+x，則(1)函數(shù)h(x)的圖象的對稱中心為

h(a1)選題意圖：選題意圖：數(shù)列經(jīng)常與函數(shù)、基本不等式等內(nèi)容結(jié)合考查，本題是數(shù)列與函數(shù)的結(jié)合，考查等差數(shù)列的性質(zhì)與函數(shù)的對稱性，考查學(xué)生的邏輯推理能力，運算求解能力，及分析問題解決問題的能力.思維引導(dǎo)：函數(shù)hx的對稱中心為4,4，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)得出a1+a11【變式訓(xùn)練】練31(2022·遼寧省沈陽市聯(lián)考·多選)記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知Sn=an2-4an+b，在數(shù)集{-1,0,1}中隨機(jī)抽取一個數(shù)作為a，在數(shù)集A.{an}是等差數(shù)列的概率為13 B.{an}是遞增數(shù)列的概率為29練32(2022·湖北省武漢市聯(lián)考)設(shè)n∈N*，圓Cn：x2+y2=Rn2(Rn>0)與y軸正半軸的交點為Pn，與曲線y=x的交點為Qn【規(guī)律方法】等差數(shù)列與等比數(shù)列作為兩種基本的數(shù)列,是高考中數(shù)列考查的重點，考查的形式主要有等差數(shù)列、等比數(shù)列的實際應(yīng)用以及等差數(shù)列、等比數(shù)列與其他知識的綜合，及創(chuàng)新性問題.不管如何考查，都應(yīng)從最基本的概念的角度出發(fā)理解數(shù)列問題，從數(shù)列問題的本質(zhì)出發(fā)思考問題，從研究數(shù)列的一般方法出發(fā)解決問題.1.關(guān)注兩種基本方法:研究等差數(shù)列、等比數(shù)列