專題03 等腰三角形（知識串講+6大考點）原卷版

專題03等腰三角形考點類型知識串講（一）等腰三角形（1）等腰三角形性質(zhì)：①等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。（三線合一）（2）等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）.（二）解題方法（1）三角形三個內(nèi)角的平分線交于一點，并且這一點到三邊的距離等。（2）三角形三個邊的中垂線交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。（3）常用輔助線：=1\*GB3①三線合一；=2\*GB3②過中點做平行線[來源:考點訓(xùn)練考點1：等腰三角形的性質(zhì)——求角度典例1：（2023春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，小明蕩秋千，位置從A點運動到了A'點，若∠OA

A．50° B．60° C．80° D．90°【變式1】（2023春·重慶九龍坡·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，∠ABC=66°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，則∠AED的大小是（）

A．62° B．64° C．66° D．68°【變式2】（2023春·貴州畢節(jié)·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=28°，直線a∥b，頂點C在直線b上，直線a交AB于點D，交AC于點E，若∠1=136°，則

A．32° B．36° C．40° D．42°【變式3】（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）如圖，AB∥CD，點E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，則∠B的度數(shù)為（

）A．16° B．32° C．74° D．30°考點2：等腰三角形的性質(zhì)——求線段典例2：（2023春·廣東河源·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，點M在CA的延長線上MN⊥BC于點N，交AB于點O，若AO=3，BO=4，則MC的長度為（

）

A．12 B．9 C．10 D．11【變式1】（2023春·全國·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，AB∥CD，過點B作BF⊥AC于E，交CD于點F，BD⊥CD于D，CD=8，BD=3，BF=4，△ABE的周長為（

）A．10 B．11 C．12 D．13【變式2】（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，點P是∠AOB的角平分線OC上一點，點Q是OA上一點，且PQ∥OB，若PQ=2，則線段OQ的長是（A．1.8 B．2.5 C．3 D．2【變式3】（2023秋·遼寧鐵嶺·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，過點D作直線EF平行于BC，分別交AB，AC于點E、F，若BE=2，CF=3，則線段EF的長是（

）A．6 B．5 C．4 D．3考點3：等腰三角形的性質(zhì)——三線合一典例3：（2022秋·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，AC=BC，CD⊥AB，點E，F(xiàn)，G是CD上任意三點，若AB=3，CD=4，則圖中陰影部分的面積為（

）A．12 B．6 C．3 D．1.5【變式1】（2023春·湖北黃石·七年級統(tǒng)考期中）已知，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BCD=∠ABD，DE平分∠ADB，下列說法：①AB∥CD；②ED⊥CD；③∠DFC=∠ADE+∠BCE；④A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【變式2】（2023春·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線.DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，下列選項中錯誤的是（

）

A．BD=CD且AD⊥BC B．DE=DFC．∠BDE=∠CDF D．若點P為AC上任意一點，且DE=3，則DP的取值范圍是PD【變式3】（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，E是BC上一點，AE=AB，EF垂直平分AC，AD⊥BC于點D，△ABC的周長為18cm，AC=7cm，則DC

A．4.5 B．5 C．5.5 D．6考點4：等腰三角形的判定典例4：（2023春·四川達州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，已知在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且OM∥AB，ON∥AC，若CB=6，則△OMN的周長是（）A．3 B．6 C．9 D．12【變式1】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）習(xí)題課上，張老師和同學(xué)們一起探究一個問題∶“如圖，在△ABC中，D、E分別是AC、AB上的點，BD與CE相交于點O，OB=OC，添加下列哪個條件能判定△ABCA．AE=BE B．BE=CD C．∠BEO=∠CDO D．∠BEO=∠BOE【變式2】（2023秋·重慶·八年級統(tǒng)考期末）如圖，∠1=∠2,∠C=∠D,AC與BD相交于點E，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．∠DAE=∠CBEB．△DEA≌△CEBC．CE=DAD．【變式3】（2023·全國·八年級假期作業(yè)）△ABC的三邊分別是a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（

）A．∠A:∠B:∠C=2:2:3 B．a(chǎn):b:c=2:2:3C．∠B=50°，∠C=80° D．2∠A=∠B+∠C考點5：等腰三角形的個數(shù)問題典例5：（2023春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是△ABC的角平分線，則圖中的等腰三角形共有(

)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1】（2023春·遼寧沈陽·八年級沈陽市第一二六中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在小長方形組成的網(wǎng)格中，每個小長方形的長為4，寬為2，A、B兩點在網(wǎng)格的格點上，若點C也在網(wǎng)格的格點上，且△ABC是等腰三角形，則滿足條件的點C的個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式2】（2022秋·湖南長沙·八年級校聯(lián)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點，已知點A(2,3)，在坐標(biāo)軸上找一點P，使得△AOP是等腰三角形，則這樣的點P共有（

）個．A．6 B．7 C．8 D．9【變式3】（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(3,3)，B(0,5)，若在坐標(biāo)軸上找一點C，使得△ABC是等腰三角形，則這樣的點C有（）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個考點6：等腰三角形尺規(guī)問題典例6：（2023·河北石家莊·統(tǒng)考二模）如圖（1），銳角△ABC中，AB>BC>AC，要用尺規(guī)作圖的方法在AB邊上找一點D，使△ACD為等腰三角形，關(guān)于圖（2）中的甲、乙、丙三種作圖痕跡，下列說法正確的是（

）

A．甲、乙、丙都正確B．甲、丙正確，乙錯誤C．甲、乙正確，丙錯誤 D．只有甲正確【變式1】（2023春·北京東城·九年級北京市第一六六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，給出了尺規(guī)作等腰三角形的三種作法，認真觀察作圖痕跡，下面的已知分別對應(yīng)作圖順序正確的是（

）①已知等腰三角形的底邊和底邊上的高；②已知等腰三角形的底邊和腰；③已知等腰三角形的底邊和一底角．A．①②③ B．②①③ C．③①② D．②③①【變式2】（2022秋·北京·八年級?？计谥校┤鐖D，經(jīng)過直線AB外一點C作這條直線的垂線，作法如下：（1）任意取一點K，使點K和點C在AB的兩旁．（2）以點C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點D和E．（3）分別以點D和點E為圓心，大于12DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點（4）作直線CF．則直線CF就是所求作的垂線．根據(jù)以上尺規(guī)作圖過程，若將這些點作為三角形的頂點，其中不一定是等腰三角形的為（）A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF【變式3】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC,∠A=50°，根據(jù)作圖痕跡，可知∠CBD=（

）A．80° B．60° C．45° D．50°同步過關(guān)一、單選題1．（2022秋·湖南長沙·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，延長BC到點D，使CD=AC，連接AD，則∠D的度數(shù)為（）A．35° B．40° C．42° D．50°2．（2022秋·福建福州·八年級?？计谥校┤鐖D，若△ABC內(nèi)一點P，滿足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α，則稱點P為△ABC的布洛卡點．某數(shù)學(xué)興趣小組研究一些特殊三角形的布洛卡點，得到下列兩個命題：①若∠BAC=90°，則∠APC=90°；②若AB=AC，則∠APB=∠BPC．下列說法正確的是（）A．①為真命題，②為假命題 B．①為假命題，②為真命題C．①，②均為假命題 D．①，②均為真命題3．（2023秋·廣西南寧·八年級校考期末）如圖，若AB=AC，BD=CD，∠B=20°，∠BDC=120°，則∠A等于（

）A．70° B．80° C．90° D．100°4．（2022秋·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期中）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足為C，OD∥AB，OC=12OD，A．65° B．70° C．75° D．80°5．（2023秋·黑龍江牡丹江·八年級牡丹江四中?？计谥校┑妊切蔚走呴L為5，一腰上的中線把周長分成兩部分的差為3cm，則腰長為（

）A．8cm或2cm B．2cm C．8cm D．8cm或25cm6．（2022秋·山西忻州·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示的五邊形花環(huán)是用五個全等的等腰三角形拼成的，則∠BAC的度數(shù)為（

）A．28° B．36° C．45° D．72°7．（2023秋·重慶北碚·八年級西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）如圖，在等腰直角△ABC中，∠CBA＝90°，BA＝BC，延長AB至點D，使得AD＝AC，連接CD，△ACD的中線AE與BC交于點F，連接DF，過點B作BG∥DF交AC于點G，連接DG，F(xiàn)G．則下列說法正確的個數(shù)為（

）①∠BCD＝∠CAE；②點G為AC中點；③AF＝2DE；④AB＝BD+DF；⑤S△ACDA．2個 B．3個 C．4個 D．5個8．（2022秋·新疆哈密·八年級?？计谥校┤鐖D，ΔABC中，AB=AC，∠A=36°，D是AC上一點，且BD=BC，過點D分別作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別是E,F，下列結(jié)論：①DE=DF；②D是AC的中點；③DE垂直平分AB；④AB=BC+CD；其中正確的個數(shù)為（A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．（2022秋·河北石家莊·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，∠B=65°，∠C=30°，分別以點A和點C為圓心，大于12AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，作直線MN交BC于點D，連接AD，則∠BAD的大小為(A．35° B．45° C．55° D．65°10．（2023秋·湖北黃石·八年級統(tǒng)考期末）正六邊形ABCDEF與正方形ABMN擺放如圖所示，連接NF，則∠ANF的度數(shù)為（）A．70° B．80° C．75° D．85°二、填空題11．（2022秋·湖北武漢·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點D是BC上一點，AD=BD，∠DAC=60°，∠DCA=40°，則∠ABC=___________．12．（2022秋·河北廊坊·八年級統(tǒng)考期末）在如圖所示的3×3方格中，以AB為邊，第三個頂點也在格點上的等腰三角形有______個．

13．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第四十九中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分線交AC于D，則∠CBD的度數(shù)為________度.14．（2023春·江蘇南通·七年級如皋市實驗初中?？茧A段練習(xí)）若等腰三角形的兩邊長分別為5cm和8cm，則它的周長是________cm15．（2023秋·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期末）若等腰三角形其中兩邊長a，b滿足a-216．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）定義：等腰三角形的頂角與其一個底角的度數(shù)的比值k稱為這個等腰三角形的特征值．若等腰△ABC中，∠A＝80°，則等腰△ABC的特征值k＝_____．（多選）A.85

B.58

C.14三、解答題17．（2023秋·廣東肇慶·八年級?？计谥校┤鐖D，AC和BD相交于點O，且AB∥DC，OA=OB，求證：△OCD為等腰三角形．18．（2023秋·河北唐山·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，M，N分別是AB，AC邊上的點，并且MN//（1）△AMN是否是等腰三角形？說明理由；（2）點P是MN上的一點，并且BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．①求證：△BPM是等腰三角形；②若△ABC的周長為a，BC=b(a>2b)，直接寫出△AMN的周長（用含a，b的式子表示）．19．（2022秋·浙江金華·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖在△ABC中，AB=AC=12，BC=15，AC的垂直平分線交BC于點D，垂足為E．(1)求△ABD的周長；(2)若∠B=35°，求∠BAD的度數(shù)．20．（2023秋·山東濱州·八年級校聯(lián)考期中）已知：如圖，點E在線段BC上，且△ABC≌△AED．求證：（1）∠B＝∠AEB；（2）AE平分∠BED．21．（2023·廣東汕尾·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，點E在AD上，求證：BE=CE．22．（2022春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第十七中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）△ABC中，AB=AC，點E、F分別在AB、AC上，且AE=AF，BF與CE相交于點P．(1)