2022屆高考數(shù)學(xué)大一輪基礎(chǔ)復(fù)習(xí)之省市模擬四十三橢圓含解析

2022精編復(fù)習(xí)題(四十三)

楠圓

［小題對點(diǎn)練——點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)］

對點(diǎn)練(一)橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程

1.若直線x—2y+2=0經(jīng)過橢圓的一個焦點(diǎn)和一個頂點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.y+j2=l

B依

222

C.V-y+j2=l或X4毋V=1

D.以上答案都不對

解析：選C直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(0,1),(—2,0),由題意知當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，c=2,h=l,：.a2

=5,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為力+》2=1.當(dāng)焦點(diǎn)在7軸上時，b=2,c=l,.\a2=5,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

2.已知橢圓C：?+q=1,M,N是坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且M與C的焦點(diǎn)不重合.若M關(guān)于C的

焦點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為A,B,線段的中點(diǎn)在C上，則|AN|+|BN|=()

解析：選B設(shè)的中點(diǎn)為O,橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為尸尸2,如圖，

連接。尸1,DFi,因?yàn)槭?是M4的中點(diǎn)，。是MN的中點(diǎn)，所以尸1。是△MAN

的中住線，則|DFi|=^4N］,同理|￡>「2|=；|5N|,所以|AN|+|5N|=2(|￡>FI|弋螺三方標(biāo)+1。/2|),

因?yàn)?。在橢圓上，所以根據(jù)橢圓的定義知|。/1|十|。尸2|=4,所以|AN|+|8N|=8.

3.已知三點(diǎn)P(5,2),Fi(-6,0),3(6,0),那么以尸i,f2為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)尸的橢圓的短軸長為()

解析：選B因?yàn)辄c(diǎn)P(5,2)在橢圓上，所以|尸川+『尸2|=2"，|尸產(chǎn)2|=朗，|PFi|=5壽，所以2a=6小,

即。=34，c=6,則》=3,故橢圓的短軸長為6,故選B.

4.如圖，已知橢圓C的中心為原點(diǎn)。，F(xiàn)L2點(diǎn),0)為C的左焦點(diǎn),尸為C上一

點(diǎn)，滿足|。/>|=|0月，且|"|=4,則橢圓C的方程為()

■+卷=1

"2..2

解析：選B設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，+g=l（a>8>0）,焦距為2c,右焦點(diǎn)為

F',連接尸尸'，如圖所示.因?yàn)镕L2g0）為C的左焦點(diǎn)，所以。=2芯.由\OP\=

|。尸|=|0尸'|知，ZFPF'=90",即尸尸.在RtZkPff'中，由勾股定理，得

\PF'|=四尸='產(chǎn)一|尸為2=可（44）2-42=8.由橢圓定義,得|PF|+|P尸'尸2〃=4+8

=12,所以〃=6,a2=36,于是力2=屋—。2=36—（2/產(chǎn)=16,所以橢圓。的方程為正+言=1.

5.已知點(diǎn)M（小,0）,橢圓手+爐=1與直線產(chǎn)A（x+5）交于點(diǎn)4,B,則△A5M的周長為.

解析：M電,0）與F（一小，0）是橢圓的焦點(diǎn)，則直線A8過橢圓的左焦點(diǎn)F（一小，0）,且AB|=[AF|

+\BF\,△A5M的周長等于|A3|+|AM|+\BM\=（\AF\+|AM|）+（山F|+15M）=4a=8.

答案：8

6.若方程件％■+±=1表示焦點(diǎn)在工軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

\a\-i〃十3

解析：因?yàn)榉匠?44=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，所以⑷一1>。+3>0,解得一3<av—2.

|C<I■UI

答案:（—3,—2）

對點(diǎn)練（二）橢圓的幾何性質(zhì)

1.如圖所示，已知橢圓，+8=l（a>b>0）,以。為圓心，短半軸長為f半徑作圓

O,過橢圓長軸的一端點(diǎn)尸作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,若四邊形

為正方形，則橢圓的離心率為（

由題意知|OA|=|AP|=b,|OP|=a,OA±AP,所以2房=足，即爛;，故e=

解析：選B

乎，故選B.

2.已知B,尸2為橢圓a蕓+專=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)E是橢圓C上的動點(diǎn)，麗；成的最大值、

最小值分別為（）

A.9,7

D.17,8

解析：選B由題意知歹1（一1,0）,3（1,0）,設(shè)E（x,y）,則誦=（一l-x,~y）,旗=（1一x,-y）,

所以麗?京=x2-l+y2=x2-i+8-1r2=a2+7（—3/XW3）,所以當(dāng)x=0時，肅?就有最小值7；當(dāng)

x=±3時，誦?前有最大值8.故選B.

3.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程為。+苴=l(a>b>0),短軸的一個端點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個三角形,

該三角形內(nèi)切圓的半徑為上則該橢圓的離心率為()

B.1

D.j

C2

解析：選C短軸的一個端點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個三角形的面積S=；X2cXZ)=；X(2a+2c)X4,

整理得Q=2C,即.故選C.

u乙

4.已知橢圓E：￡+苴=l(a>》>0)的右焦點(diǎn)為尸，短軸的一個端點(diǎn)為M,直線/：3x-4y=0交橢圓

4一一

E于A,8兩點(diǎn).若|4月+|3川=4,點(diǎn)M到直線/的距離不小于;，則橢圓E的離心率的取值范圍是()

B(0,J

解析：選A根據(jù)橢圓的對稱性及橢圓的定義可得A,B兩點(diǎn)到橢圓左、右焦點(diǎn)的距離和為4a=2(|A尸|

13X0—4X614c1一日,所以O(shè)VeW乎.

+0尸|)=8,所以〃=2.又d=>32+(_4,2g'所以1<1V2,而。='=

5.已知橢圓，+￡=1(0幼<2)與y軸交于4,B兩點(diǎn),點(diǎn)尸為橢圓的一個焦點(diǎn)，則f面積的最大

值為

1b2+c2

解析：由題意可知62+。2=4,則△人石尸的面積為5X2bc=5cW—1—=2,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=6時取等

號.

答案：2

6.已知橢圓方程為1+苴=l(a>b>0),4,8分別是橢圓長軸的兩個端點(diǎn)，M,N是橢圓上關(guān)于x軸

對稱的兩點(diǎn)，；3N的斜率分別為總，k2,若陶色|=不則橢圓的離心率為.

JoVovn生_1

解析：iSJo),則N(xo,-Jo),\ki-k\=

2xo+aa-xo解一嵋a2—xoa249

從.而e=

答案:申

7.已知橢圓?+產(chǎn)=1的左、右焦點(diǎn)分別為凡，F(xiàn)2,以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短軸為直徑作圓.若點(diǎn)尸

是圓。上的動點(diǎn)，則|PF1F+|PF2|2的值是

解析：由橢圓方程可知層=4,z?2=l,.,.c2=4-l=3,：.c=y/3,a=2,b=l；Fi(一小,0),尸2(小,

0).

圓O的方程為工2+,2=［.設(shè)p(x°,則)，則就+討=1.

.?.|PFIF+|PF2|2=[(XO+書產(chǎn)+聞+[(X0—5/+諭=2(蝴+M)+6=8.

答案：8

8.如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,頂點(diǎn)分別是4,A2,BI,Bi,焦點(diǎn)分別

的離心率

為Fi,F2,延長5/2與4為交于尸點(diǎn)，若乙BiBh為鈍角，則此橢圓

的取值范圍為.

22

解析：設(shè)橢圓的方程為5+臣=13>%>0),N81鹿為鈍角可轉(zhuǎn)化為

BiAi—FzB\—??所央的角為鈍角，則伍，一/>),(—c,—/>)<0,即從<砒，則/—c2<ac,故0+^—1

>0,即e2+e-l>0,€>嚀［或eV二又OVeVl,所加殍^<eVl.

答案：(與1，1)

［大題綜合練一一遷移貫通］

1.已知橢圓,+&=1(。>方>0),為，尸2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，直線A邑交橢

圓于另一點(diǎn)B.

(1)若/尸i4B=90°,求橢圓的離心率；

⑵若泰=2萬花，求橢圓的方程.

解：(1)若N尸iA3=90°,則△AO尸2為等腰直角三角形，所以有。4=0尸2,即8=C.

所以。=也(?，6=：=坐.

(2)由題知4(0,b),Fi(—c,0),尸2(c,0),其中設(shè)5(x,y).

由A尸2=2尸28,得(c,—b)=2(x—c,j),

解得x=y,y=—I，即—0.

9,b2

*224C'~4

將B點(diǎn)坐標(biāo)代入了+5y=1,得N"+*=l，

即含+2=1,解得M=3c2.①

一喏,晉H，

又由4尸「48=(—c,

22

得b—c=l9即有a?—23=1.②

由①②解得c2=l,/=3,從而有"=2.

所以橢圓的方程為半+]=1.

2.設(shè)外，廠2分別是橢圓C：|+:=13乂>0)的左、右焦點(diǎn)，M是C在第一象限上一點(diǎn)且MF2與x

軸垂直，直線MPi與C的另一個交點(diǎn)為M

.3

(1)若直線MN的斜率為不求C的離心率；

(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|BN|,求a,b.

解：(1)根據(jù)c=7出一爐及題設(shè)知M(c，勺，

b2

——0

由k\iN=kMF\=~7,得77=~7,即2b2=3ac.

4c-(一。)4

將52=。2一。2代入，解得§='=-2(舍去).

故c的離心率為;.

(2)由題意，原點(diǎn)。為F訴2的中點(diǎn)，軸，

/>2

所以直線MB與y軸的交點(diǎn)。(0,2)是線段M尸1的中點(diǎn)，故了=4,即加=4”.①

由|MN|=5|尸iN|,得/i|=2四N|.

設(shè)N(xi,ji),由題意知山<0,貝”

2(—c—xi)=c,jxi=—1c,

i，=2,X=-l.

代入C的方程，得券+/=1.②

將①及c=q工百代入②得組*=1,

解得a=7,52=4〃=28,

故a=7,b=2y[7.

3.設(shè)Fi,3分別是橢圓E：，+g=l(a>/?0)的左、右焦點(diǎn)，過外且斜率為1的直線/與E相交于

A,8兩點(diǎn)，且|