2022屆高考數(shù)學(xué)真題和模擬重組卷一（新高考地區(qū)專用）（解析版）

沖刺2022年高考真題重組卷01（新高考地區(qū)專用）

數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng):

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的。

1.(2021?全國(guó)?高考真題)設(shè)集合。={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},3={2,3,4},則4口何8)=()

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{153}

【答案】B

【解析】

由題設(shè)可得48={1,5,6},故Ac(S3)={1,6},

故選：B.

2.(2020?全國(guó)?高考真題)若z=l+2i+『，則團(tuán)=()

A.0B.1

C.72D.2

【答案】C

【解析】

因?yàn)閦=l+2i+尸=l+2i—i=l+i，所以慟=/齊=0.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于容易題.

3.（2021?全國(guó)?高考真題）若ae（0,g],tan2a=J貝ljtana=（）

V2J2-sma

A.叵B..D-半

1553

【答案】A

【解析】

cosa

,/tanla=-----------

2-sina

八sin2a2sinacoscr_cosa

tan2a=--------=

cos2al-2sin2a2-sin。

f萬、,、2sma1有/日.1

,/aen0,—,二.cosa聲。，------—=-------,『件得sina=一,

V2)l-2sina2-sina4

r—-A/15sinaV15

cosor=5/1-sin-cr=------，tana=--------=-------.

4cosa15

故選:A.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)問題，解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式化簡(jiǎn)求出sina.

4.(2020?全國(guó)?高考真題)已知A為拋物線C：V=2px(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12,到y(tǒng)

軸的距離為9,則p=()

A.2B.3C.6D.9

【答案】C

【解析】

設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為巴山拋物線的定義知|AF|=4+^=12,即12=9+多解得p=6.

故選：C.

【點(diǎn)晴】

本題主要考查利用拋物線的定義計(jì)算焦半徑，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道容易題.

5.(2021?全國(guó)?高考真題)已知a=logs2,&=logs3,c=；,則下列判斷正確的是()

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【答案】C

【解析】

a=log52<log5>/5=；=logs25/2<log83=b,即a<c<b.

故選：C.

6.(2021.全國(guó)?高考真題)將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為()

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

【答案】C

【解析】

解：將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可以是：

00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100,

共10種排法，

其中2個(gè)0不相鄰的排列方法為：

01011,01101,()111(),10101,1011(),1101(),

共6種方法，

故2個(gè)0不相鄰的概率為《=0.6,

故選：c.

7.(2020?全國(guó)?高考真題)數(shù)列｛0｝中,4=2,對(duì)任意m,neN\am+n=aman,若

4+I+4+2_|1_a**,。=2"—2'，則”=()

【答案】C

【解析】

在等式%"+“=a,?a?中，令〃7=1,可得a?tl=ana1=2a,

所以，數(shù)列｛4｝是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則可=2x2"—=2”,

,010

aI+,-(l-2)2^-(1-2)

2*+I(2I0-1)=25(2,0-1)-

,ak+l+必+2+…+4+K)==

2k+>=25)則％+1=5,解得％=4.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用等比數(shù)列求和求參數(shù)的值，解答的關(guān)鍵就是求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查計(jì)算能力，屬于中等

題.

8.(2021.全國(guó).高考真題)設(shè)a*0,若x=。為函數(shù)〃x)=a(x-a)2(x-b)的極大值點(diǎn)，則()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

【答案】D

【解析】

若a=b,則f(x)=a(x-a)3為單調(diào)函數(shù)，無極值點(diǎn)，不符合題意，故a'b.

.?J(x)有x="和=8兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在。左右附近是不變號(hào)，在x=b左右附近是變號(hào)的.依題意，

x=a為函數(shù)/(x)=a(..a)2(x-/>)的極大值點(diǎn)，，在左右附近都是小于零的.

當(dāng)。<()時(shí)，由x>h,/(x)<0,畫出/(x)的圖象如下圖所示：

由圖可知匕<a,a<0,故時(shí)>/.

當(dāng)a>0時(shí),由尤〉b時(shí)，/(x)>0,畫出/(x)的圖象如下圖所示:

由圖可知〃?>0,故外>/.

綜上所述，燦>/成立.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法可以快速解答.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求,

全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))下列說法正確的有()

A.在△ABC中，若A>B,則sinA>sinB

B.等差數(shù)列僅〃｝中，田、。3、0成等比數(shù)列，則公比為g

23

C.已知。>0,b>0,a+h=1,則—的最小值為5+2通

ah

D.在△ABC中，已知一二=一2二=一1，則A=60。

cosAcosBcosC

【答案】ACD

【解析】

對(duì)于A,在△48C中，當(dāng)A>8,則由正弦定理可得sinA>sin8,所以A正確，

對(duì)于B,設(shè)等差數(shù)列｛m｝的公差為d,則〃3="i+24,〃4=?^+^,因?yàn)椤鞍顺觥ⅰǔ傻缺葦?shù)列，所

以(q+2療=q(q+3d),解得&=0或4==1",當(dāng)"=。時(shí)，公比為1,當(dāng)q=T4時(shí)，公比為3，所以

B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,因?yàn)閍>0,b>0,a+b=\,所以入。=(2+%+。)=2+即+”+325+2廬?”=5+2#,

abyab)ba\ba

當(dāng)且僅當(dāng)￥=竺時(shí)，取等號(hào)，所以c正確，

ba

對(duì)于D,因?yàn)橐唬?3==，所以由正弦定理得當(dāng)=嗎=絲二，所以tanA=tan3=tanC,

cosAcosBcosCcosAcosBcosC

因?yàn)锳,B,Ce(0,m,所以A=8=C=W，所以D正確,

故選：ACD

10.（2021?全國(guó)?高考真題）如圖，在正方體中，。為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M,N為正方體的

頂點(diǎn).則滿足MN_LOP的是（)

【答案】BC

【解析】

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,

對(duì)于A,如圖（1）所示，連接AC,則MV//AC,

故NPOC（或其補(bǔ)角）為異面直線ORMN所成的角,

在直角三角形OPC，OC=0，CP=1，故tanNPOC=*=￥，

故MN±OP不成立.，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,如圖（2）所示，取NT的中點(diǎn)為。，連接PQ,Q2,則OQLN7,PQLMN,

由正方體SBCM-NADT可得SN_L平面ANDT,而OQu平面ANDT,

故SNLOQ,而SNRMN=N,故。。,平面朝?,

又MNu平面SNTM,OQ1MN,而OQn「Q=Q，

所以MNL平面OPQ,而POu平面。PQ,故MN±OP,故B正確.

時(shí)于C,如圖(3),連接80,則BD//MN,由B的判斷可得OPJ_8。,

故OPLMN,故C正確.

對(duì)于D,如圖(4),取AD的中點(diǎn)Q,A8的中點(diǎn)K,連接AC,PQ,OQ,PK,OK,

則AC//MN,

因?yàn)?)P=PC,故PQ//AC,椒PQHMN,

所以NQPO或其補(bǔ)角為異面直線PO,MN所成的角，

圖⑷

因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2,故PQ=gAC=0,OQ=y]AO2+AQ2==^3,

PO=>/^^石產(chǎn)="[斤=石，QO2<PQ2+OP2,故NQP0不是直角，

故？O,MN不垂直，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.(2021.全國(guó).高考真題)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)6(cose,sine),g(cos/?,-sin尸)，

6(cos(c+/?),sin(<z+尸))，A(l,0),則()

A.|西=|西|B.|福卜|碉

c.OAOP3=OP.OKD.函?西=困函

【答案】AC

【解析】

A：。升=(cosa,Sina),OR,=(cos0,-sin/?),所以|西|=>/cos2a+sin2a=1.|麗|=^(cos/?)2+(-sin；0)2=1.

故|研R函I，正確：

B：AI\=(coscr-l,sina),AP2=(cos/7-l,-sin^),所以

|西|=J(cosa-l)2+sin2a=Jcos。a-2cosa+l+sin2a=J2(l-cosa)=^4sin2=2|sin-y|,同理

|砧|二J(cos夕—1尸+sin?尸=21sin4|,故|斯年|不一定相等，錯(cuò)誤；

C：由題意得：OA-OP^=1xcos(6Z4-p)+Oxsin(cr4-/?)=cos(cr+p),

Of]OP,=cosa-cos/?+sincr?(-sin/?)=cos(a+p),正確；

D：由題意得：函Oq=lxcosa+Oxsina=cosa,OR,OP3=cos(ixcos(ez4-/3)+(-sinp)xsin(a+/?)

=cos(p+(a+p))=cos(a+2p),故一般來說麗.西土漉.的故錯(cuò)誤；

故選：AC

12.（2021?全國(guó)?高考真題）設(shè)正整數(shù)〃=4-2°+q?2+…+412I+%"',其中a”{0,l},記

口（九）=%+4+???+%.則（）

A.G（2〃）=G（H）B.G（2〃+3）=磯〃）+1

C.G（8〃+5）=G（4〃+3）D.磯2"-1）=〃

【答案】ACD

【解析】

對(duì)于A選項(xiàng),G（〃）=q）+。］+??,+%,2〃=4?+q?2~+…?2"+4?2'”，

所以，況2〃）=%+4+…+%=M〃）,A選項(xiàng)正確;

對(duì)于B選項(xiàng),取〃=2,2n+3=7=l-2°4-b2,+l-22,二。⑺=3,

而2=0.2。+1.2、則少⑵=1,即0⑺。媯2）+1,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

34+30234+3

對(duì)于C選項(xiàng),8n+5=a0-2+aI-2+...+ajt-2*+5=b2+l-2+a0-2+a1-2+...+aJt-2*,

所以，G（8〃+5）=2+/+q+…+%,

4〃+3二旬?2“+4?2,+…+%.?2+3=1?2°+1?2,+4?2?+《?2,+…+%?2"?，

所以，3（4〃+3）=2+4+q+…+外,因此，3（8〃+5）=口（4〃+3）,C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，2"-l=2°+2i+…+2"-1故。（2"-1）="，D選項(xiàng)正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（2019?全國(guó)?高考真題）（1+2X2）（1+x）4的展開式中x■'的系數(shù)為

【答案】12

【解析】

由題意得/的系數(shù)為C：+2C：=4+8=12,故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)式定理，利用展開式通項(xiàng)公式求展開式指定項(xiàng)的系數(shù).

14.（2017?山東?高考真題）若直線2+；=1（a>0,匕>0）過點(diǎn)（1,2）,貝IJ24+/7的最小值為________

ab

【答案】8

【解析】

解：因?yàn)橹本€±+￥=1（a>0,。>0）過點(diǎn)（1,2）,所以1+^=1,

abab

因?yàn)閍>0,bX）

所以2.+匕=（攵+0）（，+：）=2+y+2+224+2^^=8,

當(dāng)且僅當(dāng)華=2,即a=2,b=4時(shí)取等號(hào)，

ba

所以/(X)=2cos12x-目

〃/7兀、-(11兀、，~4九、八(5九、八

因?yàn)?(-］)=2cos(---1=1,/(y)=2cosly1=0；

7jr4TT

所以由(/?-/(--))(/?-/(—))>0可得f(x)>1或f(x)<0；

43

因?yàn)椤╨)=2cos(2-￡|<28S《_￡|=1,所以,

方法一：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足/(均<0,即cos(2x-己)<0,

解得女兀+￡<x<z兀+2,z$z,令左=o,可得c<x<旦，

3636

可得x的最小正整數(shù)為2.

方法二：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足/(幻<0,又F(2)=2COS(4-E)<0,符合題意，可得X的

最小正整數(shù)為2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)圖象求解函數(shù)的解析式是本題求解的關(guān)鍵，根據(jù)周期求解。，根據(jù)特殊點(diǎn)求解心

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(2021?全國(guó)?高考真題)(10分)

已知數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記S”為｛4｝的前〃項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一

個(gè)成立.

①數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列：②數(shù)列｛后｝是等差數(shù)列；③叼=3《.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

【解析】

選①②作條件證明③：

［方法一］：待定系數(shù)法+。“與S,,關(guān)系式

設(shè)厄=an+b(a>0),則S“=(

當(dāng)〃=1時(shí)，4=S=(a+b『；

當(dāng)〃22時(shí)，an=S〃-S〃_］-^an-a+b^=a(2cin-a+2b)；

因?yàn)椋幸彩堑炔顢?shù)列，所以(a+4=a(2-力)，解得2=0；

所以%=/(2〃-1),6=",故生=3/=3%.

【方法二］：待定系數(shù)法

設(shè)等差數(shù)列｛/｝的公差為4等差數(shù)列｛瘋｝的公差為4，

則瘋=用+（〃-1）4，將5"="4+"（：Dd代入底=8+（n-D4，

化簡(jiǎn)得家+（%-〃=4>2+僅冊(cè)4-2d：）“+（"-dJ對(duì)于V〃€N*恒成立.

d=2d；,

則有，2q-d=4屈％-4d：,解得d=日,（1=2%.所以%=3q.

飆'-4=0,

選①③作條件證明②：

因?yàn)?=3q,｛%｝是等差數(shù)列，

所以公差"="2-4=2q,

2

所以S“=nat+“（：Jd=nat,即=飆""，

因?yàn)?^7_￡=用（〃+1）_用〃=瓜，

所以｛底｝是等差數(shù)列.

選②③作條件證明①：

［方法一］:定義法

設(shè),則5“=（“”+8『，

當(dāng)〃=1時(shí)，4=S［=（a+〃）2：

當(dāng)n22時(shí)，an=Sn-Sll_,=（an+t）y-（an-a+ft）'=a（2an-a+2b）；

因?yàn)椋?3q,所以a（3a+2Z））=3（a+Z>y,解得力=0或方=--￡；

當(dāng)匕=0時(shí)，卬=/,%=/（2〃-1）,當(dāng)〃22時(shí)，%-可」=2/滿足等差數(shù)列的定義，此時(shí)｛%｝為等差數(shù)列；

當(dāng)6=-當(dāng)時(shí)，y［s^=an+b=an-^a,同=~|<0不合題意，舍去.

綜上可知｛%｝為等差數(shù)列.

［方法二］【最優(yōu)解】：求解通項(xiàng)公式

因?yàn)?=34，所以店="，叵=加+出=2日,因?yàn)椋螅矠榈炔顢?shù)列，所以公差

d1=Fi-至=弧，所以心\施+（"-1）4="式，故5,="%，當(dāng)”22時(shí)，

a?=S?-S?_,=n2a,-（n-l）2^=（2?-1）?,,當(dāng)〃=1時(shí)，滿足上式，故｛4｝的通項(xiàng)公式為例=（2〃-1）4,所

以a,-=（2"-3）4，%-%=24,符合題意.

【整體點(diǎn)評(píng)】

這類題型在解答題中較為罕見，求解的關(guān)鍵是牢牢抓住己知條件，結(jié)合相關(guān)公式，逐步推演，選①②時(shí)，

法一：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于"的一次函數(shù)，直接設(shè)出其=曲+。（。>0）,平方后得到S“的關(guān)系

15.,n=1（.

式，利用4=°c、.得到｛a,J的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到。2=3q,是選擇①②證明③的通式通法：法

rt2

pn-\-p-

二：分別設(shè)出｛%｝與｛S,,｝的公差，寫出各自的通項(xiàng)公式后利用兩者的關(guān)系，對(duì)照系數(shù)，得到等量關(guān)系

4=用，"=2q,進(jìn)而得到g=3q；選①③時(shí)，按照正常的思維求出公差，表示出5“及底，進(jìn)而由

等差數(shù)列定義進(jìn)行證明；選②③時(shí)，法一：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于”的一次函數(shù)，直接設(shè)事

瘋=〃〃+優(yōu)。>0）,結(jié)合a“,S”的關(guān)系求出%,根據(jù)可求b,然后可證｛《,｝是等差數(shù)列；法:：利

用區(qū)是等差數(shù)列即前兩項(xiàng)的差4=底-店=用求出公差，然后求出￡的通項(xiàng)公式，利用

［S.,72=1（.

°c、°，求出｛%｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)而證明出結(jié)論.

18.（2021?全國(guó)?高考真題）（12分）

記AABC是內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,J已知〃=ac,點(diǎn)。在邊AC上，B￡?sinNABC=asinC.

（1）證明：BD=b；

（2）若AD=2DC,求cosNABC.

【解析】

（1）設(shè)AABC的外接圓半徑為凡山正弦定理，

bc

得sinZABC=—,sinC=—,

2R2R

bc

因?yàn)?￡>sinNABC=asinC,所以8。=a,即%）乃=四.

2R2R

又因?yàn)閆>2=ac,所以80=6.

（2）［方法一］【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理

2?2,2

因?yàn)?）=2￡心，如圖，在A45C中，cosd十一。,①

2ab

3

由①②得。2+/-，2=3/+（勺2-從,整理得2/-/從+。2=0.

又因?yàn)閎'ac,所以6〃一lkzc+3c2=0,解得〃.或a音，

2（￡）2+C2_S

當(dāng)4=￡/2=衣=J時(shí)，cosZABC=^--------3_=，（舍去）.

336

2

aa2i—）十c-------

當(dāng)4=匯,/="=二時(shí)，cosNABC=-^----2_

7

所以cos/43C=—.

12

［方法二］:等面積法和三角形相似

2

如圖，己知AD=2Z)C，則50即二^4人%，

即,x2及sinZ.ADB=—x—acxsinZ.ABC,

---------------------'（、

而。2=ac,即sinZADB=sinZABC,

故有NAZ）3=NABC,從而NAB0=NC.

bcr\RA

由。2=w,BP-=r?即[7：二=，即△ACBsaABD,

bCBBD

2

又白=ac,所以c=§〃

cosZABC=---------

［方法三］:正弦定理、余弦定理相結(jié)合

21

由（1）知3￡>=〃=AC,再由AO=2OC得AO=—Z?,CO=—8.

33

在△AQB中，由正弦定理得

sinZABDsinA

又NABD=/C,所以_6，化簡(jiǎn)得sinC=]sinA.

sinCsinA

22

在AABC中，由正弦定理知c=5%又由從=碇，所以

24222

2.2_>2CT-\--Cl~---Cl-7

在AABC中，由余弦定理，得cosZA8C=3:一一=-93一=

2時(shí)2x2/12

3

7

故cos/4BC=—.

12

［方法四I：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)

如圖，作OE〃Afi，交BC于點(diǎn)，則△DECSA/WC.

111AD=2DC,得DE=3，EC=g,BE=^.

在△應(yīng):。中，cosZBED=-^~/-----.

g2。c

33

在AABC中cosZ.ABC=---------.

2ac

因?yàn)閏osZABC=-cos/BED,

乙,—,—

33

整理得6/-1仍2+3。2=（）.

又因?yàn)閺?ac,所以6/-1lac+3。？=0,

即。=|"或a="1c.

下同解法1.

［方法五1：平面向量基本定理

?HUMUUU

因?yàn)锳0=2DC,所以AO=2OC.

_.―_.21―.

以向量BA,BC為基底，^BD=-BC+-BA.

所以而,Jm麗.就+1麗2,

999

g|Jb1=—cr+—accosZABC+—c2,

999

又因?yàn)閎'ac,W9ac=4a2+4ac-cosZABC+c2.③

由余弦定理得〃=/+C2-2/8$443（7,

所以ac=片+<?2-2accosZABC@

聯(lián)立③@,得6a2_1底+3c2=0.

31

所以“=一。或。=一。.

23

下同解法1.

［方法六］：建系求解

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為x軸，過點(diǎn)O垂直于4c的直線為y軸,

OC長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系，

如圖所示，則0（0,0）,A（-2,0）,C（l,0）.

由（1）知，BD=b=AC=3,所以點(diǎn)8在以。為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).

設(shè)3（x,y）（-3<x<3）,則j?+y2=9.⑤

由》2=〃c知，忸A(yù)H8C|=|AC「，

即J（x+2）2+y2.J（x—1）2+y2=9⑥

7795

聯(lián)立⑤⑥解得x=-（或%=戶3（舍去），y嗑,

代入⑥式得a=|BC|=3限,c=|BA|=\[6,b=3，

2

由余弦定理得cosZABC=.

lac12

【整體點(diǎn)評(píng)】

（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題：

方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問題，相似

是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；

方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；

方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將

其與余弦定理充分結(jié)合到一起；

方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加宜

觀化.

19.(2020?全國(guó)?高考真題)(12分)

如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD.AABC是底面的內(nèi)接正三角

形，P為￡>0上一點(diǎn)，PO=—DO.

(1)證明：平面PBC；

(2)求二面角B-PC-E的余弦值.

【解析】

(1)［方法一］:勾股運(yùn)算法證明

山題設(shè)，知△D4E為等邊三角形，設(shè)AE=1,

則￡>0=迫，CO=BO=1AE=1，所以20=逅。0=變，

22264

PC=\IPO2+OC2=J^=PB=PA

4

又AABC為等邊三角形，則一^=2。4,所以5A=@,

sm602

3

P^c+PB-=-=AB2,則ZAP8=90?,所以E4_LPB,

4

同理月4_LPC,又PCflPB=P,所以P4J_平面PBC；

［方法二］:空間直角坐標(biāo)系法

AR

不妨設(shè)"=26，則AE=AD=—^=4,由圓錐性質(zhì)知。平面43C,所以

sin600

DO=>JAD2-AO2=V42-22=25/3>所以PO=旦DO=拒.因?yàn)?。是AABC的外心，因此AE_LBC.

6

在底面過。作BC的平行線與?的交點(diǎn)為W,以。為原點(diǎn)，訴方向?yàn)閤軸正方向，赤方向?yàn)閥軸正方

向，歷方向?yàn)閦軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-Ayz,

則A(0,-2,0),仇外,1,0),C(-V3,l,0),￡(0,2,0),P(0,0,&).

所以衣=(0,2,夜)，麗=(-6,-1,夜)，CP=(73,-1,72).

故麗?麗=0-2+2=0，APCP=0-2+2=0.

所以APLCP.

又BPC\CP=P,故AP_L平面PBC.

［方法三］:

因?yàn)锳ABC是底面圓。的內(nèi)接正三角形，且AE為底面直徑，所以A￡_L8C.

因?yàn)椤?（即尸O）垂直于底面，BC在底面內(nèi)，所以

又因?yàn)槭琌u平面R4E,Mu平面R4E,PO\AE=O,所以8CL平面R4E.

又因?yàn)橐評(píng)平面B4E,所以叫L3C.

設(shè)AEn8C=F,則尸為8c的中點(diǎn)，連結(jié)

設(shè)￡X?=a,且PO=^DO,

6

則AF=—a,PA=立^a，PF=\a.

222

因此B42+PF2=A產(chǎn)，從而R4J_PF.

又因?yàn)镻FnBC=b,所以R4,平面P8C.

［方法四］:空間基底向量法

如圖所示，圓錐底面圓。半徑為R,連結(jié)DE,AE=AD=DE,易得OD=J5R,

D

因?yàn)槭?逅?！辏?，所以PO=^R.

62

以次,而，麗為基底，0。_1_平面486,則/=正+而=_麗+如而，

6

RP=BO+OP=-OB+—OD,h.OAOB=-^-R2,OAOD=OBOD=Q

62

2

所以加而/_礪+逅歷:\LoB+^db］=OA.OB-dA-^-OD-dB-^-OD+-dD=0.

I6JI6J666

故Q?麗=0.所以而_L而，即AP_L8P.

同理APL”.又8PnCP=P，所以APJ?平面P8C.

(2)［方法一］:空間直角坐標(biāo)系法

過O作ON〃BC交AB7點(diǎn)、N,因?yàn)镻O_L平面A3C,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，04為x軸，ON為)，軸建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系，

6C(T￥，。)，

no/16V2pT：z1

PB=一一—），PE=（--,0n,一一—）,

44424

設(shè)平面PCB的一個(gè)法向量為3=&,%4),

隔，得

Lb-::況:：St—…一

所以5=（&,0,-l）,

設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量為正=（々,%"2）

fnPC=Q—x）—_yp2.z^=0.—

由一，得《~%2,令］,得加空

22

m-PE=0-2X2-V2Z2=03

所以相=（1,，^,-&）

3

nm2&2石

,,cos<m,n>=————-

故\n\-\m\fTVio-

V3

設(shè)二面角5-PC-E的大小為6,由圖可知二面角為銳二面角，所以cosJ=2叵.

5

［方法二］【最優(yōu)解】：幾何法

設(shè)BCn4E=F，易知尸是BC的中點(diǎn)，過F作尸G〃"交PE于G,取PC的中點(diǎn)”,

聯(lián)結(jié)GH,則狼〃尸3.

由R4J-平面PBC,得FG1.平面P8C.

由（1）可得，BC2=PB2+PC2，得PB工PC.

所以根據(jù)三垂線定理，得GHLPC.

所以ZGHF是二面角B-PC-E的平面角.

設(shè)圓。的半徑為心則A/=A8sin60o=±3r,AE=2r,EF=1-r,E—F=1-,所以FG=1-PA,

22AF34

FH=$B=；PA,腎;

FG1

在RtAGFH中,tanZGHF=——=—

FH2

cosZG//F=—

5

所以二面角8-PC-E的余弦值為W.

［方法三］:射影面積法

如圖所示，在PE上取點(diǎn)兒使HE=lpE,設(shè)8CnAE=N,連結(jié)NH.

4

由（1）知NE=、AE,所以〃尸A.故M7_L平面PBC.

4

所以，點(diǎn)，在面PBC上的射影為N.

S

故山射影面積法可知二面角3-PC-E的余弦值為cosO=”里.

、”CH

在APCE中，令PC=PE=&,則CE=1,易知SJCE=且.所以S/CH=3S/CE="^

244A16

3

又以3=1/詠=3球故co八s"產(chǎn)SPCN=親義=可2V5

2O°&PCHJ

16~

所以:面角PC-E的余弦值為乎.

【整體點(diǎn)評(píng)】

本題以圓錐為載體，隱含條件是圓錐的軸垂直于底面，（1）方法一：利用勾股數(shù)進(jìn)行運(yùn)算證明，是在給出

數(shù)據(jù)去證明垂直時(shí)的常用方法；方法二：選擇建系利用空間向量法，給空間立體感較弱的學(xué)生提供了可行

的途徑；方法三：利用線面垂直，結(jié)合勾股定理可證出；方法四：利用空間基底解決問題，此解法在解答

題中用的比較少；

（2）方法一：建系利用空間向量法求解二面角，屬于解答題中求角的常規(guī)方法；方法二：利用幾何法，

通過三垂線法作出二面角，求解三角形進(jìn)行求解二面角，適合立體感強(qiáng)的學(xué)生；方法三：利用射影面積法

求解二面角，提高解題速度.

20.（2018?全國(guó)?高考真題）（12分）

某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格

品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有

產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為P（0<P<D,且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.

（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（P）,求/（P）的最大值點(diǎn)Po；

（2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的P。作為。的值.已知每件產(chǎn)品

的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.

（i）若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,求EX;

（ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？

【解析】

（1）20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p）=<4p2（l-p1.

因此尸（p）=%[2p（l-8P2（1-p）[=2C；°p（l-p）'7（l-10p）.

令f'⑺=0,得p=0.1.當(dāng)pe（（）,（）.l）時(shí)，/'（〃）>0；當(dāng)pe（0.1,l）時(shí)，

所以的最大值點(diǎn)為外=。1;

（2）由（1）知，p=0.1.

（i）令y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知y?8（180,0.1）,X=20x2+257,即

X=40+25F.

所以EX=E（40+25Y）=40+25"=490.

（ii）如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.

由于歐>400,故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)隨機(jī)變量的問題，在解題的過程中，一是需要明確獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)成功次數(shù)對(duì)應(yīng)的概率公

式，再者就是對(duì)?其用函數(shù)的思想來研究，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求得其最小值點(diǎn)，在做第二問的時(shí)候，需要明確離散型

隨機(jī)變量的可取值以及對(duì)應(yīng)的概率，應(yīng)用期望公式求得結(jié)果，再有就是通過期望的大小關(guān)系得到結(jié)論.

21.（2018?全國(guó)「高考真題）（12分）

已知斜率為左的直線/與橢圓C：占+二=1交于A,8兩點(diǎn)，線段A8的中點(diǎn)為例（1，，”）（機(jī)>0）.

43

（1）證明：

2

（2）設(shè)尸為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且麗+而+而=0.證明：周，府|而|成等差數(shù)列，并求

該數(shù)列的公差.

【解析】

（1）設(shè)Aa，x）,3（W，%），則乎+日=1,苧+[=1.

兩式相減，并由上二&=/得

43

由題設(shè)知百芋=1,且抖=〃?，于是

22

&=-3-①

4m

31

由題設(shè)得故&

（2）由題意得尸（1,0）,設(shè)尸（￡,%），則

（玉-1,%）+（與-1,乂）+伍-1,%）=（0,0）.

由（1）及題設(shè)得七=3-（玉+%2）=1,必=一（乂+%）=-2a<0.

又點(diǎn)?在c上，所以，〃=；,從而|方|=|.

于是

|FA卜J?T）'+）；=小1-1）~+3（1-曰=2-y.

同理|喝=2-5.

所以|西|+|而|=4-3&+々）=3.

故2府卜|冏+|而|,即匠尸麗|成等差數(shù)列.

設(shè)該數(shù)列的公差為d,則

2同引而呵=；|西一占卜;J（X|+》2丫-4入徑.②

3

將機(jī)=9代入①得2=-1.

4

71

所以/的方程為y=r+9代入C的方程，并整理得7/—1以+；=0.

44

故玉+工2=2//=擊，代入②解得同=嚕.

所以該數(shù)列的公差為題或-通.

2828

點(diǎn)睛：本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，等差數(shù)列的性質(zhì)，第一問利用點(diǎn)差法，設(shè)而不求可減小計(jì)算

量，第二問由已知得到所+兩=0,求出m得到直線方程很關(guān)鍵，考查了函數(shù)與方程的思想，考察學(xué)生的

計(jì)算能力，難度較大.

22.(2021?全國(guó)?高考真題)(12分)

設(shè)函數(shù)f(x)=ln(“-x),己知x=0是函數(shù)y=^(x)的極值點(diǎn).

(1)求〃；

(2)設(shè)函數(shù)gax一就丁.證明:g(x)<i.

【解析】

(1)由/(x)=ln(a_x)n/'(x)=——,y=.x/(x)=>y'=ln(a-.x)+X,

x—Clx—Cl

又x=0是函數(shù)y=W(x)的極值點(diǎn)，所以y'(0)=lna=0,解得a=l；

(2)［方法一］:轉(zhuǎn)化為有分母的函數(shù)

由(［)知，+L其定義域?yàn)?e,O)U(O,l).

xln(l-x)In(l-x)、x

』,、I111r11x-\

要證g(x)<l,即證--+-<1,即證/3-r<lt—=——.

In(l-x)xIn(l-x)xx

(i)當(dāng)/￡(0』)時(shí)?，■—)—<0,±匚<0,即證ln(l-x)>上.令/(x)=ln(l—x)-——,因?yàn)?/p>

ln(l-x)xx-lx-\

—1―1x

^(X)=--^―=^>0,所以尸(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)為增函數(shù)，所以/(x)>尸(0)=0.

(ii