北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊 專題3.13 垂徑定理專題訓(xùn)練（培優(yōu)篇）（專項練習(xí)）

專題3.13垂徑定理專題訓(xùn)練（培優(yōu)篇）（專項練習(xí)）一、知識回顧：1.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

2、垂徑定理的推論：平分弦（該弦不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??；平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.垂徑定理的應(yīng)用：構(gòu)造由半徑、半弦（弦的一半）、弦心距組成直角三角形，勾股定理解決問題常見作輔助線方法有：連接半徑過圓心作弦的垂線常見的圖形變形H為半徑中點一、單選題1．已知⊙O的直徑CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且AB＝96cm，則AC的長為（）A．36cm或64cm B．60cm或80cm C．80cm D．60cm2．如圖，在半圓中，直徑，是半圓上一點，將弧沿弦折疊交于，點是弧的中點．連接，則的最小值為（）A． B． C． D．3．如圖，在中，點在弦上移動，連接過點作交于點．若則的最大值是（）A． B． C． D．4．如圖，在平面直角坐標系中，⊙P的圓心是(2，a)(a＞2)，半徑為2，函數(shù)y=x的圖象被⊙P截得的弦AB的長為，則a的值是（）A． B．2+ C． D．5．如圖，一圓與y軸相交于點B（0，1），C兩點，與x軸相切于點A（3，0），則點C的坐標是（）A．（0，5） B．（0，） C．（0，9） D．（0，）6．如圖，MN為⊙O的直徑，A、B是⊙O上的兩點，過A作AC⊥MN于點C，過B作BD⊥MN于點D，P為DC上的任意一點，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，則PA+PB的最小值是（）．A．20 B． C．14 D．7．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，則DE的長為（）A． B． C．6 D．8．如圖，定長弦CD在以AB為直徑的⊙O上滑動(點C、D與點A，B不重合)，M是CD的中點，過點C作CP⊥AB于點P，若CD=4，AB=10，PM=m，則m的最大值是（）A．10 B．8 C．5 D．49．如圖，四邊形內(nèi)接于，，．劣弧沿弦翻折，剛好經(jīng)過圓心．當對角線最大時，則弦的長為（）A． B． C． D．10．如圖，在半徑為3的中，是劣弧的中點，連接并延長到.使，連接、、，如果，那么等于（）A．2 B．1 C． D．11．已知∠A=Rt∠，AB=4，AE=2，點C在線段AE上運動（不與點A點E重合），過點E作ED⊥BC交BC的延長線于D，則的最大值為（）A． B． C． D．12．如圖，在平面直角坐標系中，過格點A，B，C作一圓弧，點B與下列格點的連線中，能夠與該圓弧相切的是（）A．點（0，3） B．點（2，3）C．點（5，1） D．點（6，1）13．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E是邊BC上一點，且BE＝3，以點A為圓心，3為半徑的圓分別交AB、AD于點F、G，DF與AE交于點H．并與⊙A交于點K，連結(jié)HG、CH．給出下列五個結(jié)論中正確的選（）（1）H是FK的中點（2）△HGD≌△HEC（3）S△AHG：S△DHC＝9：16（4）DK＝（5）HG⊥HCA．2個 B．3個 C．4個 D．5個14．如圖，在平面直角坐標系xOy中，半徑為2的⊙O與x軸的正半軸交于點A，點B是⊙O上一動點，點C為弦AB的中點，直線y＝x﹣3與x軸、y軸分別交于點D、E，則△CDE面積的最小值為（）A．3.5 B．2.5 C．2 D．1.2二、填空題15．如圖所示，在內(nèi)有折線，其中，則的長為__________．16．在半徑為5cm的⊙O中，弦AB∥CD，且AB=6cm，CD=8cm，則AB與CD間距離為____17．如圖，已知⊙O的半徑為5，P是直徑AB的延長線上一點，BP=1，CD是⊙O的一條弦，CD=6，以PC，PD為相鄰兩邊作平行四邊形PCED，當C，D點在圓周上運動時，線段PE長的最小值是_______________．18．已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，半徑OB＝5cm，圓心O到BC的距離為3cm，則AB的長為_____cm．19．如圖，半圓O的半徑為2，E是半圓上的一點，將E點對折到直徑AB上(EE′⊥AB)，當被折的圓弧與直徑AB至少有一個交點時，則折痕CD的長度取值范圍是_________________．20．已知⊙O的直徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，，，，則與之間的距離為________cm．21．如圖，的半徑為5，、是圓上任意兩點，且，以為邊作正方形（點，在直線兩側(cè)）．若正方形繞點旋轉(zhuǎn)一周，則邊掃過的面積為__________22．半徑為2的圓中，弦、分別長和，則的度數(shù)是____．23．如圖，圓心在軸的負半軸上，半徑為5的與軸的正半軸交于，過點的直線與交于兩點，則弦長可能的整數(shù)值有______個．24．如圖，在中，半徑，是半徑上一點，且．，是上的兩個動點，，是的中點，則的長的最大值等于__________．25．如圖，已知⊙O的半徑為10，AB⊥CD，垂足為P，且AB＝CD＝16，則OP＝_____．26．如圖中,,以為直徑的與交于點,若為的中點，則_________27．如圖，BC＝8cm，點D是線段BC上的一點，分別以BD、CD為邊在BC的同側(cè)作等邊三角形ABD和等邊三角形CDE，AC、BE相交于點P，則點D從點B運動到點C時，點P的運動路徑長（含與點B、C重合）為_____．28．如圖，、是的半徑，且，.在上一點，使，則的度數(shù)為______.三、解答題29．李老師在上課時的屏幕上有如下內(nèi)容：如圖，AB是⊙O的直徑，點C為弧BD的中點，連結(jié)AC交BD于點E，CE＝1，，老師要求同學(xué)們在矩形方框中添加一個條件和結(jié)論后，編制成一道完整的題目，并解答．（1）李老師在方框中添加的內(nèi)容是“BE＝3，求AB的長”，請你解答；（2）以下是小童和小詩的對話：小童：我加的內(nèi)容是“BE＝3，連結(jié)CD，求CD的長”．小詩：我加的內(nèi)容是“sin∠CBE，連結(jié)OC，求tan∠ABD的值”．請你幫小詩完成解答；（3）參考第（1）題中李老師添加的內(nèi)容及第（2）題中的對話，寫出你想添加的內(nèi)容（可以添線添字母，但所添內(nèi)容不能與（1）、（2）中的內(nèi)容相同），編制成一道完整的題目，并解答．30．如圖，在中，點O在斜邊上，以O(shè)為圓心，為半徑作圓，分別與相交于點，連結(jié)，作弦，垂足為點H，已知．（1）求證：是的切線．（2）若，求弦的長．31．問題提出（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．過點C作直線l，再分別過點A、B作AM⊥l于M，BN⊥l于N．則線段MN、AM、BN之間的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30，BC＝40，點P在AB上，點E、F分別是邊AC、BC上，且∠ABC＝∠FPB，PE⊥PF．設(shè)BP＝x，求四邊形CEPF的面積y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖③是一個圓形廣場，其中四邊形ACBD規(guī)劃為園林綠化區(qū)（四個頂點均在圓上），且要求∠ACB＝90°，AC＝30米，BC＝40米，連接AB、CD交于點P．為了更好的美化環(huán)境，需要在AC、BC邊上分別確定點E、F，且滿足∠ABC＝∠FPB，PE⊥PF．為了整體布局，計劃在四邊形CEPF內(nèi)種植花卉，在四邊形ACBD剩余區(qū)域種植草坪．已知花卉每平方米的價格是60元，草坪每平方米的價格是90元，從實用角度希望四邊形CEPF的面積最大．根據(jù)設(shè)計要求，求出當四邊形CEPF的面積最大時種植花卉和草坪的總費用．32．已知拋物線經(jīng)過點，與軸相交于點．（1）求的值；（2）過拋物線的頂點的直線與拋物線的另一個交點為，以線段為直徑作圓與軸交于，兩點，若，，．①求拋物線的解析式；②求的值．參考答案1．B【分析】分兩種情況討論，根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)垂徑定理求出AM的長，連接OA，由勾股定理求出OM的長，進而可得出結(jié)論．解：連接AC，AO，∵⊙O的直徑CD＝100cm，AB⊥CD，AB＝96cm，∴AM＝AB＝×96＝48（cm），OD＝OC＝50（cm），如圖1，∵OA＝50cm，AM＝48cm，CD⊥AB，∴OM＝＝＝14（cm），∴CM＝OC+OM＝50+14＝64（cm），∴AC＝＝＝80（cm）；如圖2，同理可得，OM＝14cm，∵OC＝50cm，∴MC＝＝36（cm），在Rt△AMC中，AC＝＝60（cm）；綜上所述，AC的長為80cm或60cm，故選：B．【點撥】本題考查的是垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意畫出圖形、利用垂徑定理和勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．2．D【分析】把弧AEC的圓補全為⊙F，可知點F與點O關(guān)于AC對稱，求出∠F=90°，CE長，OE的最小值為EC-OC．解：把弧AEC的圓補全為⊙F，可知點F與點O關(guān)于AC對稱，半徑為2，∴∠FCA=∠ACO，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO，∴∠FCA=∠CAO，∴CF∥AB，∵是弧的中點，∴FE⊥AB，∴∠F=∠BGE=90°，∵FC=FE=2，∴EC=，∵OE≥EC-OC即OE≥-2，的最小值為，故選：D．【點撥】本題考查了軸對稱、垂徑定理、勾股定理和圓的有關(guān)知識，解題關(guān)鍵是通過作輔助線,根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定OE的取值范圍．3．D【分析】連接OD，如圖，利用勾股定理得CD，利用垂線段最短得到當OC⊥AB時，OC最小，再求出CD即可．解：連接OD，如圖，∵CD⊥OC，∴∠DCO=90°，∴CD=，當OC的值最小時，CD的值最大，而OC⊥AB時，OC最小，此時D.

B兩點重合，∴CD=CB=AB=×2=1．即CD的最大值為1．故答案為：D．【點撥】本題考查了垂線段最短，勾股定理和垂徑定理等知識點，求出點C的位置是解題的關(guān)鍵．4．B【分析】過P點作PE⊥AB于E，過P點作PC⊥x軸于C，交AB于D，連接PA．利用垂徑定理和勾股定理求出PD、DC，相加即可．解：如圖，過P點作PE⊥AB于E，過P點作PC⊥x軸于C，交AB于D，連接PA，∵PE⊥AB，AB=，半徑為2，∴AE=AB=，PA=2，在Rt△APE中，PE===1，∵點A在直線y=x上，∴∠AOC=45°，∵∠DCO=90°，∴∠ODC=45°，∴△OCD是等腰直角三角形，∴OC=CD=2，∴∠PDE=∠ODC=45°，∴∠DPE=∠PDE=45°，∴DE=PE=1，在Rt△PDE中，PD=，∵⊙P的圓心是(2，a)，∴a=PD+CD=2+，故選：B．．【點撥】本題綜合考查了一次函數(shù)與幾何知識的應(yīng)用，垂徑定理和勾股定理，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，題中運用圓與直線的關(guān)系以及直角三角形等知識求出線段的長是解題的關(guān)鍵．注意函數(shù)y=x與x軸的夾角是45°．5．C【分析】設(shè)圓心為M，連接CM，由圓M與x軸相切，得到M的縱坐標等于半徑也等于ON，在中，設(shè)BC=x利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解，即可得到結(jié)果．解：過點M作MN⊥y軸，連接CM，∵圓M與x軸相切于點A（3，0），BC=x，∴MN=3，ON=1+，MC=ON在中，由勾股定理得：x=8又∵B（0，1），∴點C的坐標是（0，9）故答案為：C．【點撥】本題考查了切線的性質(zhì)、坐標與圖形的性質(zhì)、以及垂徑定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．B【分析】連接OA、OB，根據(jù)AC⊥MN，BD⊥MN，經(jīng)勾股定理計算得到OC、OD；延長BD與⊙O相交于點G，推導(dǎo)得當點P在直線AG上時，取最小值；過G作GH⊥AC于點H，經(jīng)證明四邊形是矩形，并經(jīng)勾股定理計算即可得到AG的值，即可完成求解．解：如圖，連接OA、OB∵AC⊥MN，BD⊥MN∴，∵MN＝20，A、B是⊙O上的兩點∴∴，∴，∴延長BD與⊙O相交于點G∵MN為⊙O的直徑，BD⊥MN∴，∴當點P在直線AG上時，取最小值，且最小值過G作GH⊥AC于點H又∵AC⊥MN，BD⊥MN∴，，∴四邊形是矩形∴，∴∴∴PA+PB的最小值是：故選：B．【點撥】本題考查了勾股定理、圓的垂徑定理、矩形、兩點之間線段最短的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理、垂徑定理、矩形、兩點之間線段最短的性質(zhì)，從而完成求解．7．A【分析】設(shè)AB與CD交于H，連接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，根據(jù)垂徑定理得出CH=DH，DM=EM，BN=CN，利用勾股定理求得OH，即可求得BH，進而求得BC，求得ON，根據(jù)三角形函數(shù)求得DG，因為MN=DG，即可求得OM，根據(jù)勾股定理求得DM，得出DE．解：設(shè)AB與CD交于H，連接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，∵DE∥BC，∴MN⊥BC，DG⊥DE，∴四邊形DMNG是矩形，∴DG=MN，∵OM⊥DE，ON⊥BC，∴DM=EM=DE，BN=CN，∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，弦DE∥CB．∴CH=DH=CD=3，∴OH==4，∴BH=9，∴BC==3，∴BN=BC=，∴ON=，∵sin∠BCH=，即，∴DG=，∴MN=DG=，∴OM=MN-ON=，∴DM==，∴DE=2DM=．故選A．【點撥】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)的知識，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．8．C【分析】當CD∥AB時，PM有最大值，連接OM、OC，得出矩形CPOM，推出PM=OC，求出OC的長即可得到答案.解：當CD∥AB時，PM有最大值，連接OC、OM，∵直徑AB=10，∴OC=5，∵M是CD的中點，∴OM⊥CD，∵CD∥AB，CP⊥AB，∴∠OPC=∠PCM=∠OMC=90°，∴四邊形OPCM是矩形，∴PM=OC=5，即m=5，故選：C.【點撥】此題考查圓的垂徑定理，矩形的判定定理及性質(zhì)定理，根據(jù)題意合理猜想并進行證明是解題的關(guān)鍵.9．A【分析】首先作好輔助線，利用翻折性質(zhì)得出△OBF為等邊三角形，進而得出OB，再利用過直徑的三角形是直角三角形得出OE=EB=，進而即可得解.解：當BD過圓心時最大，連接OA，作OE⊥AB，還原劣弧，設(shè)與點O對應(yīng)的點為F，連接FB、FC、OF，OF交BC于G，如圖所示：由翻折的性質(zhì)，得OB=BF，∠OBC=∠FBC∵翻折后剛好經(jīng)過圓心∴OB=OF∴△OBF為等邊三角形，即∠OBC=30°∵OF⊥BC∴∵∴BG=CG=1.5∴∵，OE⊥AB，OA=OB∴∠ABD=∠ADB=45°∴OE=EB=∴故選：A.【點撥】此題主要考查折疊的性質(zhì)以及圓性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是作輔助線，利用特殊角三角函數(shù)進行求解.10．D【分析】，，得是直角三角形，以為底為高和以為底為高都等于，，，，，解：∵，，∴是直角三角形，設(shè)以為底的高為,為底的高為，∴，∵，，∴，∵以為底為高與之積和以為底為高與之積都等于∴，∴，∴，∴.

本題的答案是：D【點撥】考查垂徑定理和三角形中位線的性質(zhì)的綜合應(yīng)用.11．C【解析】【分析】連接BE，作BE的中點O，連接OA、OD．由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OA=OB=OE，OD=OB=OE，從而得到A、B、E、D四點在⊙O上，過O作OG⊥AE于G，延長OG交⊙O于D，則此時DG最大．易證△ABC∽△GDC，得到，故當DG最大時，最大．在Rt△ABE中，利用勾股定理求出BE的長，得到半徑的長．由三角形中位線得到OG的長，從而得到DG的最大長度，即可得到結(jié)論．解：連接BE，作BE的中點O，連接OA、OD．∵∠A=∠BDE=90°，AO是Rt△ABE斜邊上的中線，∴OA=OB=OE，同理OD=OB=OE，∴A、B、E、D四點在⊙O上，過O作OG⊥AE于G，延長OG交⊙O于D，則此時DG最大．∵∠A=90°，∴∠A=∠DGC=90°．∵∠ACB=∠DCG，∴△ABC∽△GDC，∴，∴當DG最大時，最大．∵BE==10，∴OB=OE=OD=5．∵OG⊥AE，∴AG=GE．∵BO=EO，∴OG為△ABE的中位線，∴OG=AB=2，∴DG=OD－OG=5－2=3，∴．故選C．【點撥】本題是考查了垂徑定理、圓的基本性質(zhì)，三角形中位線定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是把轉(zhuǎn)化為，進而轉(zhuǎn)化為求DG的最大長度．12．C解：∵過格點A，B，C作一圓弧，∴三點組成的圓的圓心為：O（2，0），∵只有∠OBD+∠EBF=90°時，BF與圓相切，∴當△BOD≌△FBE時，∴EF=BD=2，F(xiàn)點的坐標為：（5，1），∴點B與下列格點的連線中，能夠與該圓弧相切的是：（5，1）．故選C．13．B【分析】（1）先證明△ABE≌△DAF，得∠AFD＋∠BAE＝∠AEB＋∠BAE＝90°，AH⊥FK，由垂徑定理，得：FH＝HK，即H是FK的中點；（2）只要證明題干任意一組對應(yīng)邊不相等即可；（3）由余弦三角函數(shù)和勾股定理算出HM，HT，再算面積，即得S△AHG：S△DHC＝9：16；（4）由余弦三角函數(shù)和勾股定理算出FK，即可得DK．（5）由(2)可得出，因為△HGD和△HEC不全等，進而可以得出，則，即HG⊥HC是錯誤的．解：（1）在△ABE與△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠AFD＝∠AEB，∴∠AFD＋∠BAE＝∠AEB＋∠BAE＝90°，∴AH⊥FK，由垂徑定理，得：FH＝HK，即H是FK的中點，故（1）正確；（2）如圖，過H作HM⊥AD于M，交BC于N，∵AB＝4，BE＝3，∴AE＝＝5，∵∠BAE＝∠HAF＝∠AHM，∴cos∠BAE＝cos∠HAF＝cos∠AHM，∴，∴AH＝，HM＝，∴HN＝4?＝，即HM≠HN，∵MNCD，∴MD＝CN，∵HD＝，HC＝，∴HC≠HD，∴△HGD≌△HEC是錯誤的，故（2）不正確；（3）過H作HT⊥CD于T，由（2）知，AM＝，∴DM＝4?，∵MNCD，∴MD＝HT＝，∴，故（3）正確；（4）由（2）知，HF＝，∴FK＝2HF＝，∴DK＝DF?FK＝，故（4）正確．（5）由(1)可知，，∴，由（2）知△HGD和△HEC不全等，∴，∴，∴即HG⊥HC是錯誤的，故（5）不正確．故選：B．【點撥】本題是圓的綜合題，考查了全等的性質(zhì)和垂徑定理，勾股定理和三角函數(shù)解直角三角形，熟練應(yīng)用三角函數(shù)快速計算是本題關(guān)鍵．14．C【分析】連接OC，得到∠ACO＝90°，確定點C在以O(shè)A為直徑的圓上（點O、A除外），以O(shè)A為直徑作⊙P，過P點作直線PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，求出點E（0，﹣3），D（4，0），利用勾股定理求出DE＝5，證明△DPH∽△DEO，求出PH＝，得到S△NED＝×5×＝2，S△MED＝×5×＝7，設(shè)△CDE面積為S，由此得到當C點與M點重合時，S最大；C點與N點重合時，S最小，由此確定答案解：連接OC，如圖，∵點C為弦AB的中點，∴OC⊥AB，∴∠ACO＝90°，∴點C在以O(shè)A為直徑的圓上（點O、A除外），以O(shè)A為直徑作⊙P，過P點作直線PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，當x＝0時，y＝x﹣3＝﹣3，則E（0，﹣3），當y＝0時，x﹣3＝0，解得x＝4，則D（4，0），∴OD＝4，∴DE＝，∵A（2，0），∴P（1，0），∴OP＝1，∴PD＝OD﹣OP＝3，∵∠PDH＝∠EDO，∠PHD＝∠EOD，∴△DPH∽△DEO，∴PH：OE＝DP：DE，即PH：3＝3：5，解得PH＝，∴MP＝PH+1＝，NH＝PH﹣1＝，∴S△NED＝×5×＝2，S△MED＝×5×＝7，設(shè)△CDE面積為S，當C點與M點重合時，S最大；C點與N點重合時，S最小，∴S的范圍為2≤S≤7，∴△CDE面積的最小值為2．故選：C．【點撥】此題考查垂徑定理，勾股定理，一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點坐標，相似三角形的判定及性質(zhì)，這是一道圖形類的綜合題，綜合掌握各知識點并熟練應(yīng)用解決問題是解題的關(guān)鍵．15．【分析】過點O分別作OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分別為點D、E，延長DO交BC于點H，連接OB，然后根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可求OD的長，進而可得BD，然后利用勾股定理及垂徑定理可求解問題．解：過點O分別作OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分別為點D、E，延長DO交BC于點H，如圖所示：∴BE=CE，∵，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，，∴OH=4，∵∠HDB=90°，∴∠HOE=30°，∴，∴，∴；故答案為．【點撥】本題主要考查垂徑定理及含30°直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理及含30°直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．1或7cm【分析】先作出圓心與兩弦的垂直距離，作圖后很容易可以用勾股定理算出AB弦與圓心的距離為3cm，CD弦與圓心的距離為4cm，若AB、CD位于圓心異側(cè)，則兩平行弦的距離為3+4=7cm，AB、CD位于圓心同側(cè)4-3=1cm．解：過點O作OE⊥AB于E，交CD于F，

∵AB∥CD，

∴OF⊥CD，

∵OE過圓心，OE⊥AB，

∴EB=AB=3cm，

∵OB=5cm，

EO=4cm，

同理，OF=3cm，

∴EF=1cm，

當AB、CD位于圓心兩旁時EF=7cm，

∴EF=1cm或EF=7cm．

故答案為：1或7cm．【點撥】本題結(jié)合勾股定理考查了垂徑定理解決與弦有關(guān)的問題，往往要作弦的弦心距，構(gòu)造以弦心距、半徑、弦長的一半為三邊的直角三角形，利用勾股定理解答問題．17．4【分析】連接OC，設(shè)CD與PE交于點K，連接OK，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合垂徑定理求出OK的長，在三角形PKO中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到線段PK的取值范圍，再由，得到結(jié)果．解：如圖，連接OC，設(shè)CD與PE交于點K，連接OK，∵四邊形PCED是平行四邊形，∴，，∴根據(jù)垂徑定理在中，，，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴線段PE的最小值是4．故答案是：4．【點撥】本題考查線段最值問題，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)和圓的垂徑定理，再利用三角形三邊的數(shù)量關(guān)系求出線段的取值范圍從而得到最小值．18．或【分析】根據(jù)A點所在的位置分類討論：①若等腰三角形的頂點A在優(yōu)弧BC上時，連接AO并延長交BC于點D，利用A、O都在BC中垂線上可得AO垂直平分BC，再利用勾股定理求出BD，從而求出AB；②若等腰三角形的頂點A在劣弧BC上時，連接AO交BC于點D，原理同上．解：①若等腰三角形的頂點A在優(yōu)弧BC上時，如圖，連接AO并延長交BC于點D，連接OB，

∵AB=AC∴點A在BC的中垂線上∵圓心O也在BC中垂線上，根據(jù)兩點確定一條直線∴AO垂直平分BC∵⊙O的半徑為5cm,點O到BC的距離為3cm∴OA=OB=5，OD=3∴AD=8根據(jù)勾股定理：∴再根據(jù)勾股定理：；②若等腰三角形的頂點A在劣弧BC上時，連接AO交BC于點D，連接OB，∵AB=AC∴點A在BC的中垂線上∵圓心O也在BC中垂線上，根據(jù)兩點確定一條直線∴AO垂直平分BC∵⊙O的半徑為6cm,點O到BC的距離為2cm∴OA=OB=5，OD=3∴AD=2根據(jù)勾股定理：∴再根據(jù)勾股定理：；綜上所述：或．【點撥】此題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理，利用等腰三角形的頂點在圓上的不同位置分類討論是解決此題的關(guān)鍵．19．【分析】先找出折痕CD取最大值和最小值時，點E的位置，再利用折疊的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理求解即可得．解：由題意，有以下兩個臨界位置：（1）如圖，當被折的圓弧與直徑AB相切時，折痕CD的長度最短，此時點與圓心O重合，連接OD，由折疊的性質(zhì)得：，，在中，，由垂徑定理得：；（2）當CD和直徑AB重合時，折痕CD的長度最長，此時，又要使被折的圓弧與直徑AB至少有一個交點，；綜上，折痕CD的長度取值范圍是，故答案為：．【點撥】本題考查了折疊的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理等知識點，正確找出兩個臨界位置是解題關(guān)鍵．20．7或1．【分析】分兩種情況考慮：當兩條弦位于圓心O同一側(cè)時，當兩條弦位于圓心O兩側(cè)時；利用垂徑定理和勾股定理分別求出OE和OF的長度，即可得到答案．解：分兩種情況考慮：當兩條弦位于圓心O一側(cè)時，如圖1所示，

過O作OE⊥CD，交CD于點E，交AB于點F，連接OC，OA，

∵AB∥CD，∴OE⊥AB，

∴E、F分別為CD、AB的中點，

∴CE=DE=CD=3cm，AF=BF=AB=4cm，

在Rt△AOF中，OA=5cm，AF=4cm，

根據(jù)勾股定理得：OF=3cm，

在Rt△COE中，OC=5cm，CE=3cm，

根據(jù)勾股定理得：OE═4cm，

則EF=OEOF=4cm3cm=1cm；

當兩條弦位于圓心O兩側(cè)時，如圖2所示，

同理可得EF=4cm+3cm=7cm，

綜上，弦AB與CD的距離為7cm或1cm．故答案為：7或1．【點撥】此題考查了垂徑定理，勾股定理，利用了分類討論的思想，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵．21．【分析】連接，過點作與點，交于點，則邊掃過的面積為以為外圓半徑、為內(nèi)圓半徑的圓環(huán)面積，利用垂徑定理即可得出，進而可得出，再根據(jù)圓環(huán)的面積公式結(jié)合勾股定理即可得出邊掃過的面積．解：連接，過點作與點，交于點，則邊掃過的面積為以為外圓半徑、為內(nèi)圓半徑的圓環(huán)面積，如圖所示．，，．又為的弦，，，邊掃過的面積為．故答案為：．【點撥】本題考查了垂徑定理、勾股定理、平行線的性質(zhì)以及圓環(huán)的面積公式，結(jié)合邊的旋轉(zhuǎn)，找出邊旋轉(zhuǎn)過程中掃過區(qū)域的形狀是關(guān)鍵．22．或【分析】先根據(jù)題意分圓心點O在的內(nèi)部和圓心點O在的外部兩種情況，再畫出相應(yīng)的圖形，然后分別利用垂徑定理、解直角三角形求解即可得．解：由題意，分以下兩種情況：（1）如圖1，圓心點O在的內(nèi)部過點O分別作于點D，作于點E，連接OA，則在中，在中，（2）如圖2，圓心點O在的外部過點O分別作于點D，作于點E，連接OA，則在中，在中，故答案為：或．【點撥】本題考查了垂徑定理、解直角三角形等知識點，依據(jù)題意，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．23．3【分析】先利用圓的性質(zhì)，確定弦長CD取得最大值與最小值時，CD的位置，再根據(jù)垂徑定理、勾股定理求解即可．解：當CD經(jīng)過圓心B時，此時CD為直徑，則如圖，當時，CD為經(jīng)過點P的最短弦則連接BC圓B的半徑為5在中，因此，弦長CD的取值范圍為則弦長可能的整數(shù)值有3個，即故答案為：3．【點撥】本題考查了勾股定理、垂徑定理等知識點，根據(jù)圓的性質(zhì)確定弦長CD取得最大值與最小值時，CD的位置是解題關(guān)鍵．24．【分析】當點F與點D運動至共線時，OF長度最大，此時F是AB的中點，則OF⊥AB，設(shè)OF為x，則DF＝x﹣4，在Rt△BOF中，利用勾股定理進行求解即可．解：∵當點F與點D運動至共線時，OF長度最大，如圖所示，∵F是AB的中點，∴OC⊥AB，設(shè)OF為x，則DF＝x﹣4，∵△ABD是等腰直角三角形，∴DF＝AB＝BF＝x﹣4，在Rt△BOF中，OB2＝OF2+BF2，∵OB＝OC＝6，∴，解得，或（舍去），∴OF的長的最大值等于，故答案為：．【點撥】本題考查了垂徑定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理等知識，確定點F與點D運動至共線時，OF長度最大是解題的關(guān)鍵．25．6【分析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，然后根據(jù)垂徑定理、勾股定理即可求得OP的長，本題得以解決．解：作OE⊥AB交AB與點E，作OF⊥CD交CD于點F，連接OB，如圖所示，則AE＝BE，CF＝DF，∠OFP＝∠OEP＝∠OEB=90°，又∵圓O的半徑為10，AB⊥CD，垂足為P，且AB＝CD＝16，∴∠FPE＝90°，OB＝10，BE＝8，∴四邊形OEPF是矩形，OE＝=6，同理可得，OF＝6，∴EP＝6，∴OP＝，故答案為：．【點撥】本題考查垂徑定理、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．26．【分析】連接、根據(jù),,可得,進而得出長，再連接,根據(jù)垂徑定理得出,求出長，長，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理進而求出長即可;解：如圖所示：連接、根據(jù),,可得,即,,得出,在中根據(jù)勾股定理得：

,即：,再連接,根據(jù)垂徑定理得出且平分,,,,且,,在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：;【點撥】本題考查圓中的知識點，其中用到相似，勾股定理等知識.27．【分析】作△BCP的外接圓⊙O，過點O作OF⊥BC于F，延長OF交⊙O于G，連接BG，CG，OB，OC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和角的和差關(guān)系可得∠BDE=∠ADC，∠ABD=∠EDC=60°，可得AB//DE，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABE=∠BED，利用SAS可證明△BDE≌△ADC，可得∠BED=∠ACD，進而可證明∠EBD+∠ACD=∠ABD=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠BPC=120°，根據(jù)圓周角定理可得點P在△BCP的外接圓上，∠BPC=∠BGC=120°，可得點D從點B運動到點C時，點P的運動路徑長（含與點B、C重合）為的長，根據(jù)圓周角定理可得∠BOC=120°，根據(jù)垂徑定理可得BF的長，利用勾股定理即可求出OB的長，利用弧長公式求出的長即可得答案.解：作△BCP的外接圓⊙O，過點O作OF⊥BC于F，延長OF交⊙O于G，連接BG，CG，OB，OC，∵△ABD和△CDE是等邊三角形，∴∠ABD=∠EDC=60°，∴AB//DE，∠ABD+∠ADE=∠EDC+∠ADE，∴∠ABE=∠BED，∠BDE=∠ADC，在△BDE和△ADC中，，∴△BDE≌△ADC，∴∠BED=∠ACD，∴∠ACD=∠ABE，∴∠ACD+∠EBC=∠ABE+∠EBC=∠ABD=60°，∴∠BPC=180°-（∠ACD+∠EBC）=120°，∴點D從點B運動到點C時，點P的運動路徑長（含與點B、C重合）為的長，∵OG⊥BC，∠BGC=∠BPC=120°，∴BF=BC=×8=4，∠OGB=∠BGC=60°，∵OB=OG，∴△OBG是等邊三角形，∴∠BOG=60°，∴∠BOC=2∠BOG=120°，∠OBF=30°，∴OF=OB，∴OB2=OF2+BF2，即OB2=(OB)2+(4)2,解得OB=8，（負值舍去），∴==，故答案為：【點撥】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理及垂徑定理，根據(jù)圓周角定理確定點P的運動軌跡是解題關(guān)鍵.28．或【分析】分兩種情況畫出圖形，構(gòu)造出直角三角形，根據(jù)垂徑定理、勾股定理求得三角形的邊長，求得∠ABO、∠OBC、∠ACB的度數(shù)，再用三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù)即可．解：如圖，分兩種情況.過點O作OD⊥BC，垂足分別為D，，OA=OB=1∴∴，，∴∴由垂徑定理得，∵OB=1，

∴由勾股定理得∴∠DBO=30°，

如圖1，∠ABC=45°+30°=75°，∴；如圖2，∠ABC=45°-30°=15°，∴，故答案為120°或60°．【點撥】本題考查了勾股定理和垂徑定理，解此類題目要注意將圓的問題轉(zhuǎn)化成直角三角形的問題再進行計算．29．（1）；（2）；（3）連接OC于BD交于F，若，求CF的長；【分析】（1）只需要證明△CAB∽△CBE，即可得到，即，然后利用勾股定理求出BC即可；（2）連接OC與BD交于F，由垂徑定理可知，DF=BF，OC⊥BD，根據(jù)可以求出BE=3，然后求出BF，OF的長即可；（3）綜合（1）（2）可以發(fā)現(xiàn)都是BE=3，因此只需要在直角三角形BCE中令，求CF的長即可．解：（1）∵C是弧BD的中點，∴∠CAB=∠CBD，又∵∠ACB=∠BCE，∴△CAB∽△CBE，∴，∴∵AB是圓的直徑，∴∠ACB=90°∴，∴；（2）如圖，連接OC與BD交于F，由垂徑定理可知，DF=BF，OC⊥BD∵∠ACB=90°∴∴，由（1）知，，，∴，∴，∴，∴；（3）連接OC于BD交于F，若，求CF的長，∵，CE=1，∴，∴，∵，∴．【點撥】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．30．（1）證明見解