2023年新高一數(shù)學(xué)暑假課程（人教A版2019）第二十六講含參一元二次不等式的應(yīng)用

第二十六講：含參一元二次不等式的應(yīng)用【教學(xué)目標(biāo)】1．經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程．了解一元二次不等式的現(xiàn)實意義；2．掌握一元二次不等式的逆用；3．分類討論，求解含參的不等式；4．一元二次不等式整數(shù)根的情況，求解相關(guān)參數(shù)范圍.【基礎(chǔ)知識】一、解一元二次不等式的步驟：（1）使二次項系數(shù)為正；（2）等號求解兩根；（3）大于取兩邊，小于取中間.判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??二、一元二次不等式的逆用將一元二次不等式轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.三、一元二次不等式恒成立問題1．轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解集為R的情況，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0；))ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))2．分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題．【題型目錄】考點(diǎn)一：一元二次不等式求解逆用考點(diǎn)二：解含參一元二次不等式（一）考點(diǎn)三：解含參一元二次不等式（二）考點(diǎn)四：一元二次方程根的分布考點(diǎn)五：整數(shù)解個數(shù)問題考點(diǎn)六：一元二次不等式恒成立問題【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：一元二次不等式求解逆用例1．已知不等式的解集為，則（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可得：方程的兩個根分別為和，則，解得：，所以，故選：A變式訓(xùn)練1．已知關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)，的值是（） A．， B．， C．， D．，【答案】D【詳解】因為關(guān)于的不等式的解集為，所以，且，是方程的兩根，所以，，解得，，故選：D變式訓(xùn)練2．已知不等式的解集是，則不等式的解集是（） A． B．或 C． D．或【答案】A【詳解】的解集為且方程的兩根為：和，解得：即，解得：的解集為故選:變式訓(xùn)練3．（多選）已知關(guān)于的不等式解集為或，則下列結(jié)論正確的有（） A． B．不等式的解集為 C． D．不等式的解集為或【答案】AD【詳解】關(guān)于的不等式解集為或,結(jié)合二次函數(shù)和一元二次方程以及不等式的關(guān)系，可得，且是的兩根，A正確；則，故，所以即，即的解集為，B錯誤；由于的不等式解集為或,故時，，即，C錯誤；由以上分析可知不等式即，因為，故或，故不等式的解集為或，D正確，故選：AD考點(diǎn)二：解含參一元二次不等式（一）例2．若，解不等式．【答案】【詳解】解：∵，∴，原不等式可化為，解得．故原不等式的解集為．變式訓(xùn)練1．若，則不等式的解集是（） A． B． C． D．【答案】D【詳解】由于，所以,所以不等式的解集，故選：D變式訓(xùn)練2．解下列關(guān)于的不等式【答案】答案見解析【分析】討論大小關(guān)系求一元二次不等式的解集.【詳解】由，可得或，則：當(dāng)時，原不等式解集為；當(dāng)時，原不等式解集為；當(dāng)時，原不等式解集為；變式訓(xùn)練3．解下列不等式：(1)；(2).【答案】(1)；(2)答案見解析【詳解】（1）解：由不等式，可化為，解得，所以不等式的解集為.（2）解：不等式，可化為，當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為.考點(diǎn)三：解含參一元二次不等式（二）例3．解關(guān)于x的不等式.【答案】答案見解析【分析】對不等式變形為，然后對進(jìn)行合理分類討論即可.【詳解】原不等式變?yōu)?，①?dāng)時，原不等式可化為，所以當(dāng)時，解得；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解得②當(dāng)時，原不等式等價于，即.③當(dāng)時，，原不等式可化為，解得或.綜上，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為或.變式訓(xùn)練1．解下列關(guān)于的不等式．【答案】答案見解析【分析】討論參數(shù)a，結(jié)合一元二次不等式的解法求解集即可.【詳解】當(dāng)時，原不等式為，解集為；當(dāng)時，原不等式為，解集為；當(dāng)時，原不等式為，若，即時，解集為或；若，即時，解集為；若，即時，解集為或；綜上，解集為；解集為；解集為或；解集為；解集為或.變式訓(xùn)練2．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求關(guān)于x的不等式的解集．(2)若，求關(guān)于x的不等式的解集．【答案】(1)；(2)答案見解析【詳解】（1）時，，解得：，故解集為；（2）時，，變形為，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，解得，當(dāng)時，，解得，綜上：當(dāng)時，解集為，當(dāng)時，解集為，當(dāng)時，解集為.變式訓(xùn)練3．解關(guān)于的不等式.【答案】答案見解析【詳解】由題意知，①當(dāng)，即或時，方程的兩根為，所以解集為；②若，即時，當(dāng)時，原不等式可化為，即，所以，當(dāng)時，原不等式可化為，即，所以；③當(dāng)，即時，原不等式的解集為；綜上，當(dāng)或時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為.考點(diǎn)四：一元二次方程根的分布例4．若一元二次方程（不等于0）有一個正根和一個負(fù)根，則實數(shù)的取值范圍為（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為一元二次方程（不等于0）有一個正根和一個負(fù)根，設(shè)兩根為，則，解得，故選：A變式訓(xùn)練1．已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，則實數(shù)的取值范圍是（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】記，則為開口向上的二次函數(shù)，要使方程的根一個大于1一個小于1，則只需要，解得，故選：C變式訓(xùn)練2．已知二次函數(shù)與軸有兩個交點(diǎn)，一個大于1，一個小于1，則可能為（） A． B． C．0 D．1【答案】B【詳解】令，則，由題可知，，且，即，解得，故所有選項中滿足題意的的值是：.故選：B.變式訓(xùn)練3．一元二次方程有一個正根和一個負(fù)根的一個充要條件是（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為一元二次方程有一個正根和一負(fù)根，設(shè)兩根為和，所以，解得，故.故選：A.考點(diǎn)五：整數(shù)解個數(shù)問題例5．（多選）已知關(guān)于x的一元二次不等式的解集中有且僅有2個整數(shù)，則實數(shù)m的值可以是（） A．4 B．5 C．6 D．7【答案】AB【詳解】函數(shù)的圖象開口向上，其對稱軸為，因為的解集中有且僅有2個整數(shù)，因此，其它的整數(shù)都不屬于集合，由對稱性得：，即，解得，顯然選項AB滿足，CD不滿足.故選：AB變式訓(xùn)練1．關(guān)于x的不等式的解集中恰有2個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】不等式化為，當(dāng)時，不等式無解，當(dāng)時，不等式解為，這里有且只有2個整數(shù)，則，當(dāng)時，不等式解為，這里有且只有2個整數(shù)，則，綜上的取值范圍是．故選：.變式訓(xùn)練2．已知，關(guān)于的不等式的解集中有且只有個整數(shù)，則的值可以是（） A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】本題首先可以令二次函數(shù)，則開口向上且對稱軸為，然后結(jié)合題意與二次函數(shù)對稱性得出，最后通過計算即可得出結(jié)果.【詳解】令二次函數(shù)，則二次函數(shù)開口向上，且對稱軸為，根據(jù)二次函數(shù)對稱性可知：若不等式的解集中有且只有個整數(shù)，則需要滿足，即，解得，故選：D.變式訓(xùn)練3．若關(guān)于x的不等式只有一個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】不等式化為，即，當(dāng)時，不等式化為，得，有無數(shù)個整數(shù)解，不符合題意；當(dāng)時，由關(guān)于x的不等式只有一個整數(shù)解，可知，不等式的解為，由題意，，解得；當(dāng)時，不等式的解為或，有無數(shù)個整數(shù)解，不符合題意．綜上，實數(shù)a的取值范圍是.故選：C考點(diǎn)六：一元二次不等式恒成立問題例6．已知不等式對任意實數(shù)恒成立，則的取值范圍是（） A． B． C．或 D．【答案】D【詳解】①若,則恒成立，滿足題意；②,則，,∴.綜上所述.故選：D變式訓(xùn)練1．若，使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍（） A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，使得不等式成立，所以，使得不等式成立，令，，因為對稱軸為，，所以，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：D.變式訓(xùn)練2．若存在實數(shù)，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】①當(dāng)時，不等式化為，解得：，符合題意；②當(dāng)時，為開口方向向上的二次函數(shù)，只需，即；③當(dāng)時，為開口方向向下的二次函數(shù)，則必存在實數(shù)，使得成立；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故選：C.變式訓(xùn)練3．（多選）對任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)可以是（） A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)不等式恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論求得的取值范圍，結(jié)合選項，即可求解.【詳解】當(dāng)時，不等式可化為恒成立，符合題意；當(dāng)時，要使得不等式恒成立，則滿足，解得，綜上可得，實數(shù)的取值范圍為，結(jié)合選項，實數(shù)可以是.故選：ACD.【課堂小結(jié)】1．知識清單：(1)一元二次不等式逆用求參方法．(2)不等式的恒成立問題．2．方法歸納：分類討論．3．常見誤區(qū)：解含參一元二次不等式的分類討論．【課后作業(yè)】1、一元二次不等式的解集是，則的值是（） A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)條件知：方程又兩個根是；由二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：．解得．關(guān)系D2、若一元二次不等式的解集為｛或｝，則實數(shù)的值是（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】依題意由，知不等式的解集為或，由此得方程的兩個根分別為和，由韋達(dá)定理得，解得故選:.3、設(shè)一元二次不等式的解集為，則的值為（） A．1 B． C．4 D．【答案】B【詳解】由題意可知方程的根為，所以有，，解得，所以.故選：B.4、．若不等式的解集為，則函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為（） A．和 B． C． D．和【答案】A【詳解】若不等式的解集為，則方程的兩個根為且，，解得，則函數(shù)，令，解得或，故函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)為和.故選：A.5、（多選）已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（） A． B．不等式的解集為 C．不等式的解集為或 D．【答案】AC【詳解】對于A，由二次不等式解集的特點(diǎn)易知，故A正確；對于B，因為不等式的解集為或，故或是方程的兩個實根，所以由韋達(dá)定理得，，即，代入，得，即，解得，故B錯誤；對于C，將代入，得，即，因式分解得，解得或，故C正確；對于D，因為，所以，故D錯誤.故選：AC.6、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則的最小值是（） A．6 B． C． D．3【答案】C【詳解】因為關(guān)于的一元二次不等式的解集為，所以a，b是方程的兩根，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，故選：C7、（多選）已知關(guān)于的一元二次不等式的解集中有且僅有3個整數(shù)，則的值可以是（） A．12 B．13 C．14 D．15【答案】BCD【詳解】設(shè)二次函數(shù)，開口向上，其對稱軸為，因為一元二次不等式的解集中有且僅有3個整數(shù)所以3個整數(shù)解必然是3，4，5，則根據(jù)對稱性，滿足，故，且，即，且，所以的值為13,14,15.故選：BCD8、（多選）已知，關(guān)于的一元二次不等式的解集中有且僅有3個整數(shù)，則的值可以是（） A．4 B．5 C．6 D．7【答案】CD【詳解】設(shè)，其圖像為開口向上，對稱軸是的拋物線，如圖所示.若關(guān)于的一元二次不等式的解集中有且僅有3個整數(shù)，因為對稱軸為，則解得，又，故可以為6，7，8.故選：CD9、已知一元二次方程的兩根都在內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍是（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，由題意可得，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：B.10、關(guān)于x的方程至少有一個負(fù)根的充要條件是（） A． B． C．或 D．【答案】B【詳解】當(dāng)方程沒有根時，，即，解得；當(dāng)方程有根，且根都不為負(fù)根時，，解得，綜上，，即關(guān)于x的方程沒有一個負(fù)根時，，所以關(guān)于x的方程至少有一個負(fù)根的充要條件是，故選:B.11、若關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則二次函數(shù)的圖象恒在軸的上方，開口向上，且圖象與軸無公共點(diǎn)，所以，故選B.12、若一元二次不等式對一切實數(shù)都成立，則的取值范圍為（） A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：由題意，，解得．13、若不等式對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故，故，故選：A.14、若關(guān)于的不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】若關(guān)于的不等式有解,則，解得.故選：C.15、若不等式對于恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】原不等式可化為，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時，函數(shù)有最小值為2.因為恒成立，所以.故選：C.16、．已知，求解關(guān)于的不等式.【答案】答案見解析【詳解】，（1）當(dāng)時，即解得（2）當(dāng)時，解得（3）當(dāng)時①當(dāng)時，即解得②當(dāng)時，或③當(dāng)時，或綜