復變函數(shù)第4講

1第三節(jié)

解析函數(shù)1解析函數(shù)的概念與柯西-黎曼方程3初等多值函數(shù)2初等解析函數(shù)2

§3.2導數(shù)與解析實函數(shù)的導數(shù)34

1、導數(shù)定義定義設(shè)函數(shù)w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果極限存在，則稱函數(shù)f(z)在點z0處可導。稱此極限值為f(z)在z0的導數(shù)，記作

如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導，則稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)可導.5

應當注意,定義中z0+Dz

z0(即Dz0)的方式是任意的,定義中極限值存在的要求與z0+Dz

z0的方式無關(guān),也就是說,當z0+Dz在區(qū)域D內(nèi)以任何方式趨于z0時,比值若上述極限不存在，則稱函數(shù)在z0點不可導.6導數(shù)的幾種表達方式7結(jié)果與實函數(shù)一樣.解：根據(jù)定義，得導數(shù)。82、可導與連續(xù)之間的關(guān)系與實函數(shù)一樣，可導一定連續(xù)，但反之不成立.

事實上,由在z0點可導的定義,對于任給的e>0,相應地有一個d>0,使當0<|Dz|<d時,有9連續(xù)不一定可導，請舉出反例說明.例210思考的連續(xù)性如何？zzfRe)(=例3

問：函數(shù)f(z)=x+2yi是否可導？解注：一個復變函數(shù)的可導性要求條件比較高??！11處處連續(xù)但處處不可導，這樣的函數(shù)在復變函數(shù)中極易獲得，然而在數(shù)學分析中要想得到一個處處連續(xù)但處處不可導的函數(shù)卻很不容易。在歷史上首先找到這種例子的是wercrstrass（菲赫金哥爾茨《微積分教程》第二卷第二分冊P.431人民教育出版社1954年版）12由于復函數(shù)與實函數(shù)的導數(shù)定義和極限運算法則在形式上完全一致，因而二者具有相同的求導法則：3、求導法則

13（5）反函數(shù)的導數(shù)，其中w=f(z)與z=

(w)互為單值的反函數(shù)，且

(w)

0.這樣，我們知道多項式處處可導.例如，另外，有理分式在分母不為零的點處可導.14思考題提示：例如15事實上164、微分17或由此得導函數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量的微分之比

另一解釋：185、解析函數(shù)的概念不解析的點稱為奇點.注：（1）可導與解析是兩個完全不同的概念，解析一定可導，但可導未必解析.不解析的點可能可導，即解析的條件比可導要強，但我們卻有以下結(jié)論：

定理若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)可導，則在D內(nèi)一定解析.即在區(qū)域上，可導與解析是等價的.（為什么？）19即不可能存在離散的、孤立的解析點.（3）關(guān)于解析函數(shù)一些作者不用解析而用各種不同的名稱，例如全純，正則，解析正則，單演，伴生（synectic）等20解析函數(shù)的和、差、積、商仍為解析函數(shù)，于是另外，由求導法則，不難看出：解析函數(shù)的復合函數(shù)仍為解析函數(shù).21§3.3

函數(shù)可導與解析的條件

本節(jié)內(nèi)容：介紹一種判別函數(shù)可導性、解析性的非常有效的方法；建立函數(shù)的可導性與其實、虛部的偏導之間的關(guān)系.22舉例嘗試容易求得觀察、尋找聯(lián)系后發(fā)現(xiàn)有23究竟是偶然的現(xiàn)象還是必然的規(guī)律？

？為方便起見，對于實二元函數(shù)g(x,y),記24定理1函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在點可導的充要條件是u(x,y)和v(x,y)在可微，且在該點滿足Cauchy-Riemann方程(1)此條件也被稱為達朗貝爾-歐拉條件注(2)這個條件實際上是復變函數(shù)論與偏微分方程理論之間的一座橋梁。25使用時:i)判別u(x,y)，v(x,y)偏導數(shù)的連續(xù)性；

ii)驗證C-R條件.

由此可以看出可導函數(shù)的實部與虛部有密切的聯(lián)系.當一個函數(shù)可導時,僅由其實部或虛部就可以求出導數(shù)來.26（5）利用該定理可以判斷那些函數(shù)是不可導的.兩個方向27定理2

函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)解析充要條件是u(x,y)和v(x,y)在D內(nèi)可微，且滿足Cauchy-Riemann方程28例1

判定下列函數(shù)在何處可導，在何處解析：2930例3證明31小結(jié)1、導數(shù)的概念，復變函數(shù)求導法則.2、解析的概念，解析與可導的關(guān)系.3、判別復變函數(shù)解析性的有效方法：

柯西—黎曼定理.f(z)在區(qū)域D內(nèi)可導f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析

f(z)在z0點解析

f(z)在z0點可導

f(z)在z0點連續(xù)32

思考題：1.判別真、假：××ק4五類初等解析函數(shù)通過前面的學習，人們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)復變函數(shù)論與數(shù)學分析有著十分緊密的聯(lián)系，他們所研究的內(nèi)容、方式十分相似。初等函數(shù)在數(shù)學分析中占有十分重要的位置，于是人們自然想到把實變數(shù)的初等函數(shù)推廣到復變數(shù)上來。當然，為了保證某種“和諧性”，這種推廣也不是“隨心所欲”的，而是受到某些約束。當把實變函數(shù)推廣到復變函數(shù)時，仍然保留了某些東西，同時由于推廣的結(jié)果也丟掉了某些東西，而且還增加了某些東西。冪函數(shù)及其反函數(shù)

為任意實數(shù)蘭色綠色紅色黃色粉色淡蘭冪函數(shù)及其反函數(shù)黃色蘭色綠色紅色黑色指數(shù)函數(shù)圖形黃色蘭色綠色紅色對數(shù)函數(shù)圖形黃色綠色蘭色紅色三角函數(shù)圖形認識與欣賞一、顯函數(shù)概率曲線箕舌線二、隱函數(shù)三、參數(shù)方程表示的函數(shù)星形線64x+y=a葉形線擺線(旋輪線)圓的漸開線69極坐標方程雙紐線三葉玫瑰線四葉玫瑰線對數(shù)螺線心臟線阿基米德線是在復平面上處處解析的函數(shù)，而且可以驗證，上述函數(shù)還具有性質(zhì)：對任意復數(shù)z1，z2，恒有自然地，定義復平面上的指數(shù)函數(shù)為1、

指數(shù)函數(shù)(1.1)指數(shù)函數(shù)的定義xy(z)帶形區(qū)域角形區(qū)域vu(w)這個性質(zhì)是實變指數(shù)函數(shù)所沒有的！(1.2)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)例如

求解:2、

對數(shù)函數(shù)(2.1)定義指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù).即注:故例1求下列各對數(shù)的值及其相應的主值：練習題1求下列各對數(shù)的值及其相應的主值：(2.2)性質(zhì)應當注意，由于對數(shù)函數(shù)的多值性，對于上述等式的理解應與復數(shù)的乘積和商中關(guān)于輻角的等式一樣.綜上所述，在區(qū)域內(nèi)的反函數(shù)w=lnz

是單值的。由反函數(shù)的求導法則，可知所以ln

z

在除去原點及負實軸的平面內(nèi)解析.且有

今后我們應用對數(shù)函數(shù)Lnz時,指的都是它在除去原點及負實軸的平面內(nèi)的某一單值分支.3、冪函數(shù)定義一般而言這里定義的冪函數(shù)為多值函數(shù).(為什么？)下面我們討論幾個相關(guān)問題：3.1當b=n(正整數(shù))----單值函數(shù)----n值函數(shù)----n值函數(shù)----無窮多值函數(shù)在除原點和負實軸復平面內(nèi)主值支及各分支解析，且例3練習：4、三角函數(shù)，雙曲函數(shù)據(jù)此，我們把上述公式推廣到復三角函數(shù)如下：*****復三角函數(shù)是由指數(shù)函數(shù)定義的.4.2正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)事實上，根據(jù)定義，有5)各種三角恒等式仍然成立(半角公式除外)

6)Euler公式仍然成立：

8)定義其他的三角函數(shù)：定義—稱為雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì)例題1解方程解：

本章內(nèi)容小結(jié)：1、解析函數(shù)的概念，與可導的關(guān)系2、解析的條件3、五類基本初等