復(fù)變函數(shù)第七單元拉普拉斯變換

CH7

拉普拉斯變換

1、拉普拉斯變換的概念和存在定理

2、逆變換的計(jì)算和位移性質(zhì)

3、拉普拉斯變換的微分性質(zhì)與積分性質(zhì)及其應(yīng)用§7.1拉普拉斯變換的概念和存在定理

1.定義

2.Laplace變換存在定理和象函數(shù)的微分性質(zhì)1.Laplace變換的概念?定義1：???例1.求下列函數(shù)的拉普拉斯變換.?????????????2.Laplace變換存在定理和象函數(shù)的微分性質(zhì)定理1：???例2.計(jì)算下列各式.???解：????練習(xí)：求下列函數(shù)的拉普拉斯變換.思考題：求下列函數(shù)的拉普拉斯逆變換.??§7.2逆變換的計(jì)算和位移性質(zhì)

1.用留數(shù)計(jì)算拉普拉斯逆變換

2.Laplace變換的延遲性質(zhì)

3.Laplace變換象函數(shù)的位移性質(zhì)

4.周期函數(shù)的Laplace變換

5.相似性質(zhì)1.用留數(shù)計(jì)算Laplace逆變換定理1：?證明思路：?推論：例1.計(jì)算下式.?解：練習(xí)：????例2.計(jì)算下式.?解：??2.Laplace變換的延遲性質(zhì)??證明：???例3.計(jì)算下列各式.???思考題：求如下函數(shù)的拉普拉斯變換.?3.Laplace變換象函數(shù)的位移性質(zhì)???證明：?例4.計(jì)算下列各式.???4.周期函數(shù)的Laplace變換??證明：?例5：求如下函數(shù)的拉普拉斯變換.解：?5.相似性質(zhì)???證明：例6.計(jì)算下式.???或：??解：§7.3拉普拉斯變換的微分性質(zhì)及其應(yīng)用

1.微分性質(zhì)

2.積分性質(zhì)

3.常微分方程的Laplace變換解法1.微分性質(zhì)??????證明：?推論：?例1.利用微分性質(zhì)計(jì)算下列各式.??2.積分性質(zhì)???證明：?????例2.計(jì)算下列各式.???解：??例3.計(jì)算下列各式.????解：例4.計(jì)算下列各式.解：?3.常微分方程的Laplace變換解法例5.求解微分方程.解：?例6.求解微分方程組.解：??由例題可見，利用拉普拉斯變換可以比較方便的求解常系數(shù)線性微分方程（或方程組）的初值問(wèn)題,其基本步驟如下:

（1）根據(jù)拉普拉斯變換的微分性質(zhì)和線性性質(zhì),對(duì)微分方程（或方程組）兩端取拉普拉斯變換,把微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程;

（2）從象函數(shù)的代數(shù)方程中解出象函數(shù);

（3）對(duì)象函數(shù)求拉普拉斯逆變換,求得微分方程（或方程組）的解.練習(xí)：解：?思考題：§8.1卷積和卷積定理

1.卷積的定義及其存在性

2.卷積的性質(zhì)

3.Fourier變換的卷積定理

4.Laplace變換的卷積定理第8章卷積定理和積分變換的應(yīng)用1.卷積的定義及其存在性定義：例1.求下列函數(shù)的卷積.解：解：例2.求下列函數(shù)的卷積.練習(xí)：對(duì)函數(shù)解：2.卷積的性質(zhì)證明：證明：3.Fourier變換的卷積定理?證明：??例3.證明Fourier變換的積分性質(zhì).??證明：????????3.Laplace變換的卷積定理?證明：??例4.解：