概率論與數(shù)理統(tǒng)計第七講

7參數(shù)估計內(nèi)容1

未知參數(shù)的點估計2

未知參數(shù)的區(qū)間估計學(xué)習(xí)目標(biāo)1.參數(shù)估計，矩法、極大似然估計2.估計量優(yōu)劣的評價標(biāo)準3.一個正態(tài)總體均值和方差的置信區(qū)間4.兩個正態(tài)總體均值和方差比的置信區(qū)間根據(jù)樣本的觀測值，對總體分布律或分布密度的未知參數(shù)進行估計的理論和方法稱為總體分布中未知參數(shù)的估計，簡稱為參數(shù)估計?！?.1點估計(PointEstimation)設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x;θ)，θ∈Θ.θ是未知參數(shù)。要求θ的點估計就是要設(shè)法根據(jù)樣本(X1,…,Xn)構(gòu)造一個統(tǒng)計量T=T(X1,…,Xn),通過抽樣獲得樣本觀測值(x1,…,xn)后，用T(x1,…,xn)的值來估計參數(shù)θ的值，稱T(X1,…,Xn)為θ的估計量。記作(X1,…,Xn)，稱T(x1,…,xn)為θ的估計值。記作(x1,…,xn)。簡記為。1矩估計法用樣本矩來代替總體矩，這種估計方法稱為矩估計法。用矩估計法構(gòu)造未知參數(shù)估計量的步驟：特別地，當(dāng)總體的數(shù)學(xué)期望存在時，總體數(shù)學(xué)期望的矩估計量就是樣本的均值。優(yōu)點計算較簡便精髓替換試求各分布中未知參數(shù)的矩估計。例設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為其中θ>0,θ,μ是未知參數(shù)，(X1,…,Xn)是總體X的樣本，求θ,μ的矩估計量。2.最大似然估計法(Maximumlikelihoodestimate)

它是在總體類型已知條件下使用的一種參數(shù)估計方法

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它首先是由德國數(shù)學(xué)家高斯在1821年提出的.

然而,這個方法常歸功于英國統(tǒng)計學(xué)家費歇爾.GaussFisher

費歇爾在1922年重新發(fā)現(xiàn)了這一方法，并首先研究了這種方法的一些性質(zhì).例

有外形相同的兩箱子，甲有99個白球1個黑球，乙有1個白球99個黑球，現(xiàn)隨機取一箱從中抽一球，發(fā)現(xiàn)是白球。問是從哪個箱中取出。例

醫(yī)生給病人看病的過程可以看作是在求一個點估計。醫(yī)生先要詢問病人的發(fā)病的癥狀，測量病人的體溫、心跳次數(shù)、血壓高低，必要時還要拍片，驗血等。這相當(dāng)于數(shù)理統(tǒng)計中的抽樣，樣本觀測值相同于詢問與檢查的結(jié)果。病人究竟得哪一種病是未知的，但總是某種病之一(記A1,A2,…)。如果醫(yī)生在詢問與檢查結(jié)果的基礎(chǔ)上根據(jù)醫(yī)學(xué)知識和經(jīng)驗，認為得A1病可能性最大，則醫(yī)生便判斷該病人得了A1病。定義為似然函數(shù)。定義一般步驟：(1)構(gòu)成似然函數(shù)L(θ)；(2)寫出lnL(θ)；(3)以θ為自變量求lnL(θ)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)；(4)令lnL(θ)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)等于零解方程。例設(shè)總體X的分布律為其中θ是未知參數(shù)（0<θ<1),設(shè)有樣本觀測值為x1=1,x2=2,x3=1。求θ的最大似然估計值。例設(shè)(X1,…,Xn)是取自總體X的一個樣本，X的概率密度為其中θ是未知參數(shù)，θ>-1,求θ的矩估計和最大似然估計。例設(shè)(X1,…,Xn)是取自正態(tài)總體X的一個樣本，求未知參數(shù)μ，σ2的最大似然估計。性質(zhì)：§7.2基于截尾樣本的最大似然估計§7.3估計量的評判標(biāo)準1無偏性定義若例設(shè)總體X服從[0,θ]上的均勻分布.試證θ的矩估計量是θ的無偏估計量,θ最大似然估計量是θ的漸近無偏估計量.例設(shè)總體X~P(λ),(X1,X2,X3)是X的樣本，試證下列三個估計量都是λ的無偏估計量.7.2.2有效性及C-R不等式定義定理(Cramer-Rao不等式)即可以在積分號下求導(dǎo)數(shù)；且等號成立的充分必要條件是以概率1有關(guān)系式其中C(θ)與樣本無關(guān)。3相合性（一致性）§7.4區(qū)間估計(IntervalEstimation)定義設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x;θ),θ是未知參數(shù)，X1,…,Xn是來自總體X的樣本，α是給定的值(0<α<1),若兩個統(tǒng)計量求置信區(qū)間的步驟：§7.5正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計（一）單個正態(tài)總體的N(μ，σ2)情況1.σ2已知時μ的區(qū)間估計選取函數(shù)利用分位點，有2.σ2未知時μ的區(qū)間估計選取函數(shù)利用t分布的分位點，有例設(shè)某種清漆的9個樣品，其干燥時間(單位：小時)分別為6.0,5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,6.1,5.0,設(shè)干燥時間服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，若(1)σ=0.6（h),(2)σ未知。求μ的置信度為0.95的置信區(qū)間。解已知3.μ已知時σ2的區(qū)間估計選取函數(shù)4.μ未知時σ2的區(qū)間估計選取函數(shù)例隨機地取某種炮彈9發(fā)做試驗，得炮口速度的樣本標(biāo)準差s=11(m/s)。設(shè)炮口速度服從正態(tài)分布，求這種炮彈的炮口速度的標(biāo)準差σ的置信水平為0.95的置信區(qū)間。（二）兩個正態(tài)總體的情況且兩組樣本相互獨立，記例為比較Ⅰ，Ⅱ兩種型號步槍子彈的槍口速度，隨機地?、裥妥訌?0發(fā)，得到槍口速度的平均值,標(biāo)準差，隨機地?、蛐妥訌?0發(fā)，得到槍口速度的平均值，標(biāo)準差。假設(shè)兩總體都服從正態(tài)分布，并認為方差相等，求兩個總體均值差的一個置信水平為0.95的置信區(qū)間。利用F分布的分位點，§7.6（0-