復(fù)數(shù)及其運(yùn)算(1)

1復(fù)變函數(shù)2

“復(fù)變函數(shù)論”是研究自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)的基本理論及應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支.

世界著名數(shù)學(xué)家M.Kline指出：19世紀(jì)最獨(dú)特的創(chuàng)造是復(fù)變函數(shù)理論。象微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了18世紀(jì)那樣，該數(shù)學(xué)分支幾乎統(tǒng)治了19世紀(jì)。它曾被稱為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，也曾作為抽象科學(xué)中最和諧的理論。316世紀(jì)，解代數(shù)方程時(shí)引入復(fù)數(shù)(笛卡爾，韋塞爾，阿爾岡)17世紀(jì)，實(shí)變初等函數(shù)推廣到復(fù)變數(shù)情形18世紀(jì)，逐步闡明復(fù)數(shù)的幾何、物理意義。（達(dá)朗貝爾，歐拉）20世紀(jì)19181716歷史背景419世紀(jì)，奠定理論基礎(chǔ)。A.L.Cauchy、維爾斯特拉斯分別用積分和級(jí)數(shù)研究復(fù)變函數(shù)，黎曼研究復(fù)變函數(shù)的映射性質(zhì)20世紀(jì)，發(fā)展為數(shù)學(xué)分支,在解析性質(zhì)、映射性質(zhì)、多值性質(zhì)、隨機(jī)性質(zhì)、函數(shù)空間及多復(fù)變函數(shù)等方面有重要成果。5空氣動(dòng)力學(xué)流體力學(xué)電學(xué)熱學(xué)復(fù)變函數(shù)論在空氣動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)、電學(xué)、熱學(xué)、理論物理等領(lǐng)域有重要應(yīng)用（“*”內(nèi)容）。復(fù)變函數(shù)論6第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)§1-1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算§1-2復(fù)平面上的點(diǎn)集§1-3復(fù)變函數(shù)及其極限和連續(xù)§1-4復(fù)球面與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)7§1-1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算

主要介紹關(guān)于復(fù)數(shù)的基本概念，包括復(fù)數(shù)的定義、表示方法、運(yùn)算法則、基本不等式的應(yīng)用8一復(fù)數(shù)的概念及表示法則復(fù)數(shù)相等

兩個(gè)復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別相等（求解復(fù)方程的基礎(chǔ)）9

實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相反的兩個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù),共軛復(fù)數(shù)

10（1）兩個(gè)復(fù)數(shù)的和與差（2）兩個(gè)復(fù)數(shù)的積（3）兩個(gè)復(fù)數(shù)的商

全體復(fù)數(shù)并引進(jìn)上述運(yùn)算后就稱為復(fù)數(shù)域，常用C表示。推導(dǎo)運(yùn)算（3）復(fù)數(shù)系關(guān)于加法,乘法,除法是自封閉的11復(fù)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)恒為正整數(shù)或0,它的非負(fù)平方根稱為z的?；蚪^對(duì)值12例1

解13

復(fù)數(shù)的冪的計(jì)算--三角形式\指數(shù)形式解:n=0,原式=2n=1,原式=2n=2,原式=2i-2i=0n=3,原式=-4……….14二、復(fù)數(shù)的表示方法（1）定義表示形式15（2）復(fù)數(shù)的平面表示法16顯然成立：（3）復(fù)數(shù)的向量表示法注意：復(fù)數(shù)與向量的一一對(duì)應(yīng)使復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算與向量的加減運(yùn)算保持一致17（3）復(fù)數(shù)的向量表示法注意：復(fù)數(shù)與向量的一一對(duì)應(yīng)使復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算與向量的加減運(yùn)算保持一致18共軛復(fù)數(shù)的幾何性質(zhì)19和與差的模的性質(zhì)

20注意1輻角不確定，沒(méi)有輻角.注意2復(fù)數(shù)輻角的定義輻角主值的定義21例2

求下列復(fù)數(shù)的幅角22

即注：非實(shí)數(shù)的復(fù)數(shù)不能比較大小，但?？梢员容^大小。定義:設(shè)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)則

兩個(gè)復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別相等23利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系復(fù)數(shù)可以表示成（4）復(fù)數(shù)的三角表示法24利用Euler公式:（5）復(fù)數(shù)的指數(shù)表示法例3

將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:25例3

將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:解故26故27乘冪與方根積的模等于各因子的模的乘積;積的輻角等于各因子輻角的和.28n

個(gè)復(fù)數(shù)相乘的情況:29

n次冪deMoivr公式30同樣，于是31例解32例解,3cos3sin

),31(21

21ppiziz-=-=已知33使用復(fù)數(shù)的語(yǔ)言，任何平面幾何問(wèn)題都能以清晰的面貌重新呈現(xiàn)。

兩邊平方得34兩邊平方得另證：35使用復(fù)數(shù)的語(yǔ)言，復(fù)雜的幾何結(jié)果通常會(huì)有一個(gè)簡(jiǎn)潔優(yōu)雅的復(fù)變量表達(dá)。例如

要條件是：它們的交比是一個(gè)實(shí)數(shù)。

的重心（各頂點(diǎn)與其對(duì)邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn)）在點(diǎn)

3637可以推得:

n次方