復(fù)習(xí)-工程數(shù)學(xué)

122.4拉普拉斯變換的應(yīng)用3主要內(nèi)容1、線性微分方程2、常系數(shù)線性微分方程組4求解線性微分方程解線性微分方程和微分方程組的基本思想：微分方程＋初始條件L變換代數(shù)方程像解原解51、常系數(shù)線性微分方程根據(jù)微分性質(zhì)：因此求解時(shí)注意f(0)678穩(wěn)定振蕩幅度不變幅度指數(shù)衰減9m其他同上10112、解常系數(shù)線性微分方程組通過拉普拉斯變換，將微分方程組轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組求解最后通過拉普拉斯逆變換求解出系數(shù)1213141516總復(fù)習(xí)一、復(fù)變函數(shù)二、積分變換17一、復(fù)變函數(shù)18主要內(nèi)容1、復(fù)數(shù)2、復(fù)變函數(shù)3、導(dǎo)數(shù)4、復(fù)函數(shù)的積分5、復(fù)函數(shù)的級(jí)數(shù)6、留數(shù)7、保形映照191、復(fù)數(shù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件：當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)部與虛部分別相等代數(shù)運(yùn)算：滿足交換律、結(jié)合律、分配率共軛復(fù)數(shù)

201、復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)z=x+iy可以用橫坐標(biāo)為x，縱坐標(biāo)為y的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)z=x+iy可以用模值和幅角表示復(fù)數(shù)z的三角表達(dá)式復(fù)數(shù)z的指數(shù)表達(dá)式211復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的乘冪與方根乘冪方根數(shù)學(xué)歸納法22平面點(diǎn)集單連通區(qū)域設(shè)D為平面上任一區(qū)域 若在D內(nèi)任作一條簡(jiǎn)單閉曲線，而曲線所圍部分總屬于D， 則稱D為單連通區(qū)域多連通區(qū)域不是單連通的區(qū)域稱為多連通區(qū)域或復(fù)連通區(qū)域232、復(fù)變函數(shù)復(fù)平面映照z平面

平面復(fù)變函數(shù)表示了z平面點(diǎn)集D到w平面上的點(diǎn)集G之間的一種變換，即映照24初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)冪函數(shù)三角函數(shù)單值函數(shù)——Lnz的主值25初等函數(shù)反三角函數(shù)26初等函數(shù)雙曲與反雙曲函數(shù)27初等函數(shù)反雙曲函數(shù)283、導(dǎo)數(shù)復(fù)變函數(shù)的極限極限的e-d

定義極限的運(yùn)算：（1）加減乘除的極限等于極限的加減乘除（2）注意：極限存在要求與z->z0的方式無(wú)關(guān)，而意味著從四面八方趨于z0

，這與實(shí)函數(shù)情形時(shí)x->x0只有左右兩個(gè)方向是不同的29復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)的判別準(zhǔn)則連續(xù)的性質(zhì)（1）連續(xù)函數(shù)的加減乘除仍連續(xù)（2）連續(xù)函數(shù)的復(fù)合仍然連續(xù)（3）連續(xù)函數(shù)必有界，有界函數(shù)不一定連續(xù)30復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義：導(dǎo)數(shù)存在的充分必要條件：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算31微分微分32解析解析的概念：在某點(diǎn)處解析，是指在該點(diǎn)及其鄰域內(nèi)可導(dǎo)；在某區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)與在某區(qū)域內(nèi)解析完全等價(jià)解析的判別：（1）實(shí)部與虛部可微（導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)）（2）滿足C－R方程33調(diào)和函數(shù)調(diào)和的概念：（1）具有二階偏導(dǎo)數(shù)（2）滿足拉普拉斯方程：共軛調(diào)和的概念：（1）實(shí)部和虛部是調(diào)和函數(shù)（2）一階導(dǎo)數(shù)滿足C－R方程調(diào)和與解析的關(guān)系：解析的充分必要條件是虛部是實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù)或者說(shuō)，負(fù)實(shí)部是虛部的共軛調(diào)和函數(shù)344、積分定積分的計(jì)算方法：極限和：實(shí)部虛部：參數(shù)方程：35柯西積分定理柯西積分定理若函數(shù)f(z)在單連通域D內(nèi)處處解析則函數(shù)f(z)沿D內(nèi)的任何一條封閉曲線C的積分為零：36復(fù)合閉路定理構(gòu)成復(fù)合閉路37柯西積分公式Cauchy積分公式38高階導(dǎo)數(shù)求積分公式

不在于通過積分來(lái)求導(dǎo),而在于通過求導(dǎo)來(lái)求積分.高階導(dǎo)數(shù)公式的作用:39定積分的計(jì)算Cauchy積分定理原函數(shù)的概念復(fù)合閉路定理Cauchy積分公式高階導(dǎo)數(shù)公式積分公式及計(jì)算405、級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的判斂（1）首先判別（2）基本判別方法：（3）實(shí)部和虛部：（4）絕對(duì)收斂：復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題41函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）冪級(jí)數(shù)部分和斂散性判別：收斂圓和收斂半徑級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂,若級(jí)數(shù)發(fā)散,那末對(duì)滿足的級(jí)數(shù)必發(fā)散.的滿足如果級(jí)數(shù)在收斂,那末對(duì)42（2）Taylor級(jí)數(shù)常見函數(shù)的泰勒展開式4344（3）羅朗級(jí)數(shù)45羅朗級(jí)數(shù)展開的方法（1）直接法（2）間接法

根據(jù)解析函數(shù)Laurent級(jí)數(shù)展開式的唯一性,可運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開.466、留數(shù)孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)的定義：可去奇點(diǎn)：級(jí)數(shù)沒有負(fù)冪項(xiàng)

極點(diǎn)：級(jí)數(shù)有有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)

為常數(shù)47本性奇點(diǎn)展開式有無(wú)窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)零點(diǎn)零點(diǎn)的判別48無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于z=0的特殊點(diǎn)49留數(shù)留數(shù)定義50留數(shù)計(jì)算留數(shù)計(jì)算可去奇點(diǎn)：本性奇點(diǎn)：極點(diǎn)：51留數(shù)定理留數(shù)定理將沿封閉曲線C積分轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在C內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù).52處留數(shù)的計(jì)算用1/t替換，更好求時(shí)級(jí)數(shù)展開較方便時(shí)求孤立奇點(diǎn)的留數(shù)較方便時(shí)53用留數(shù)計(jì)算積分三角有理式的積分2.積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化:1.被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化:當(dāng)在變化時(shí),正方向繞行一周.z沿單位圓周54有理函數(shù)的無(wú)窮積分若有理函數(shù)f(x)的分母至少比分子高兩次,并且分母在實(shí)軸上無(wú)孤立奇點(diǎn)，計(jì)算步驟：2.積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化:取一條連接區(qū)間兩端的按段光滑曲線,使與區(qū)間一起構(gòu)成一條封閉曲線,并使f(z)在其內(nèi)部除有限孤立奇點(diǎn)外處處解析.(此法常稱為“圍道積分法”)1.被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化:(當(dāng)z在實(shí)軸上的區(qū)間內(nèi)變動(dòng)時(shí),f(z)=f(x))55有理函數(shù)與三角函數(shù)乘積的積分2.積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化:取一條連接區(qū)間兩端的按段光滑曲線,使與區(qū)間一起構(gòu)成一條封閉曲線,并使f(z)在其內(nèi)部除有限孤立奇點(diǎn)外處處解析.1.被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化:(當(dāng)z在實(shí)軸上的區(qū)間內(nèi)變動(dòng)時(shí),f(z)=f(x))f(x)f(z)cos(ax)sin(ax)eiaz567、保形映照導(dǎo)數(shù)的幾何意義保角性映射具有保持曲線間夾角的大小與方向不變的性質(zhì)伸縮率的不變性：即通過z0的任何一條曲線的伸縮率 均為|f(z0)|而與其形狀和方向無(wú)關(guān)57保形映照定義若函數(shù)w=f(z)在D內(nèi)處處有f’(z)0,那么映射w=f(z)是D內(nèi)的保形映照判別：58分式線性映照分式線性函數(shù)由四種函數(shù)復(fù)合而成：平移旋轉(zhuǎn)放大關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱映照關(guān)于圓|z|=1的對(duì)稱映照59分式線性函數(shù)的確定（1）對(duì)稱點(diǎn)（2）圓對(duì)于擴(kuò)充z平面上的點(diǎn)z1,z2,z3和擴(kuò)充w平面上的點(diǎn)w1,w2,w3存在唯一的分式線性函數(shù)，把點(diǎn)z1,z2,z3映照成點(diǎn)w1,w2,w3擴(kuò)充z平面上的任何一個(gè)圓，可以用一個(gè)分式線性函數(shù)映照成擴(kuò)充w平面上任何一個(gè)圓60典型分式線性函數(shù)單位圓單位圓61指數(shù)函數(shù)映照特別的：62冪函數(shù)確定的映照冪函數(shù)映照的特點(diǎn)把以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域映照成以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域但張角變成了原來(lái)的n倍就采用冪函數(shù)帶形區(qū)域映照到角形區(qū)域(可有割痕），用指數(shù)函數(shù)角形區(qū)域（可有割痕）映照到帶形區(qū)域，用指數(shù)函數(shù)角形區(qū)域映照到帶形區(qū)域，用對(duì)數(shù)函數(shù)圓映照到角形區(qū)域角形區(qū)域映照到圓分式線性函數(shù)求解角形區(qū)域到角形區(qū)域的映照，63解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義模值幅角保形映照對(duì)應(yīng)角相等對(duì)應(yīng)邊成比例分式線映照指數(shù)函數(shù)冪函數(shù)上半平面映照為上半平面上半平面映照為單位圓單位圓映照為單位圓水平帶狀區(qū)域映射為角形區(qū)域角形區(qū)域映射為角形區(qū)域(頂點(diǎn)在原點(diǎn)，張角為n倍）64第二篇積分變換65主要內(nèi)容1、傅立葉變換2、拉普拉斯變換661、傅立葉變換傅立葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)的頻譜序列該式從物理上可看作是頻率為的振動(dòng)的疊加67頻譜序列的幅值由系數(shù)確定：68非周期函數(shù)的傅立葉變換F(w)被稱為頻譜函數(shù)f(x)是角頻率為w的振動(dòng)的疊加69卷積定義卷積運(yùn)算的性質(zhì)：交換律：分配律：70傅立葉變換性質(zhì)一覽線性af(t)+bg(t)aF(w)+bG(w)位移相似微分積分卷積F1(w)F2(w)71d函數(shù)的定義工程定義：工程定義：

d函數(shù)

d（t-t0)函數(shù)72d函數(shù)的定義數(shù)學(xué)定義：

d函數(shù)

d（t-t0)函數(shù)73d函數(shù)的性質(zhì)（1）篩選性質(zhì)（2）d函數(shù)為偶函數(shù)（3）相似性（4）d函數(shù)是單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)74d函數(shù)傅立葉變換

d函數(shù)的傅立葉變換常