控制系統(tǒng)的根軌跡分析法

利用根軌跡，可以對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析和校正由給定參數(shù)確定閉環(huán)系統(tǒng)的零極點(diǎn)的位置；分析參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；分析系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能；根據(jù)性能要求確定系統(tǒng)的參數(shù)；對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行校正。第四節(jié)控制系統(tǒng)的根軌跡分析法一、條件穩(wěn)定系統(tǒng)的分析

[例4-11]：設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制根軌跡并討論使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的區(qū)值范圍。開環(huán)極點(diǎn)：0，-4，-6，，零點(diǎn)：實(shí)軸上根軌跡區(qū)間：漸進(jìn)線：與實(shí)軸的交點(diǎn)：傾角：[解]根據(jù)繪制根軌跡的步驟，可得：分離角（點(diǎn)）：3.9497.4579.3758.805.97131.6280-4-3.5-3-2.5-2.0-1.5-1-0.50s的最大值為9.375，這時(shí)s=-2.5，是近似分離點(diǎn)。由：可以求得分離點(diǎn)。近似求法：分離點(diǎn)在[-4，0]之間。入射角：與虛軸的交點(diǎn)（略）。這時(shí)的增益值：由圖可知：當(dāng)和時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的（為什么？）；當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。左圖是用Matlab工具繪制的。條件穩(wěn)定系統(tǒng)：參數(shù)在一定的范圍內(nèi)取值才能使系統(tǒng)穩(wěn)定，這樣的系統(tǒng)叫做條件穩(wěn)定系統(tǒng)。具有正反饋的環(huán)節(jié)。下面的系統(tǒng)就是條件穩(wěn)定系統(tǒng)的例子：開環(huán)非最小相位系統(tǒng)，其閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡必然有一部分在s的右半平面；[例]非最小相位系統(tǒng)：，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的增益值。[解]：根軌跡如右：有閉環(huán)極點(diǎn)在右半平面，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。顯然穩(wěn)定臨界點(diǎn)在原點(diǎn)。該點(diǎn)的增益臨界值為。閉環(huán)特征方程為：，當(dāng)s=0時(shí)，，所以，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：二、瞬態(tài)性能分析和開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)的確定

利用根軌跡可以清楚的看到開環(huán)根軌跡增益或其他開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)位置及其瞬態(tài)性能的改變情況。以二階系統(tǒng)為例：開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為共軛極點(diǎn)為：在s平面上的分布如右圖：閉環(huán)極點(diǎn)的張角為：所以稱為阻尼角。斜線稱為等阻尼線。我們知道閉環(huán)二階系統(tǒng)的主要的性能指標(biāo)是超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間。這些性能指標(biāo)和閉環(huán)極點(diǎn)的關(guān)系如下：的關(guān)系如下圖若閉環(huán)極點(diǎn)落在下圖中紅線包圍的區(qū)域中，有：上述結(jié)論也可應(yīng)用于具有主導(dǎo)極點(diǎn)的高階系統(tǒng)中。如下例：[例4-12]單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：若要求閉環(huán)單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量，試確定開環(huán)放大系數(shù)。[解]：首先畫出根軌跡如右。由圖可以看出：根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為+j5,-j5，這時(shí)的臨界增益當(dāng)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。下面計(jì)算超調(diào)量和阻尼角的關(guān)系。由于：當(dāng)時(shí)解得：這是一個(gè)三階系統(tǒng)，從根軌跡上看出，隨著的增加，主導(dǎo)極點(diǎn)越顯著。所以可以用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)近似計(jì)算。在根軌跡圖上畫兩條與實(shí)軸夾角為的直線，與根軌跡交與A、B兩點(diǎn)。則A、B兩點(diǎn)就是閉環(huán)共軛主導(dǎo)極點(diǎn)，這時(shí)系統(tǒng)的超調(diào)量為18%。通過求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可以確定這時(shí)的根軌跡增益，進(jìn)而求得開環(huán)放大系數(shù)k。設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為：，則：（1）相角條件為：（2）由(1)，(2)式解得：共軛主導(dǎo)極點(diǎn)為：。計(jì)算對(duì)應(yīng)的根軌跡增益。由幅值條件：解得：開環(huán)傳遞函數(shù)以的形式表示時(shí)，k稱為開環(huán)放大系數(shù)。顯然的關(guān)系為：，式中不計(jì)0極點(diǎn)。所以，開環(huán)放大系數(shù)：由于閉環(huán)極點(diǎn)之和等于開環(huán)極點(diǎn)之和，所以另一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為：[特別提示]：開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)根軌跡形狀的影響是值得注意的。一般說，開環(huán)傳遞函數(shù)在s左半平面增加一個(gè)極點(diǎn)將使原根軌跡右移。從而降低系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，增加系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間。若在開環(huán)傳遞函數(shù)中增加一個(gè)零點(diǎn)，則原根軌跡向左移動(dòng)。從而增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性，減小系統(tǒng)響應(yīng)的調(diào)整時(shí)間。由此可知，系統(tǒng)A是一單位反饋系統(tǒng)，前向通路的傳遞函數(shù)為：。系統(tǒng)B的前向通路傳遞函數(shù)為：，反饋通路傳遞函數(shù)為：。由于系統(tǒng)A和B有相同的被控對(duì)象，因此，系統(tǒng)的A的前向通路傳遞函數(shù)可寫為：，閉環(huán)方塊圖如下圖（a）所示，系統(tǒng)B的閉環(huán)方塊圖如下圖（b）所示。圖(a)A系統(tǒng)圖(b)B系統(tǒng)根軌跡相同的系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)極點(diǎn)都相同，但閉環(huán)零點(diǎn)卻不一定相同。[例4-16]:已知單位反饋系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示。（1）寫出該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)；（2）試用適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ瓜到y(tǒng)在任意K值時(shí)均處于穩(wěn)定的狀態(tài)。[解]：①

由根軌跡圖知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：?jiǎn)挝环答佅到y(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：提示：①加入比例微分控制后，系統(tǒng)增加了開環(huán)零點(diǎn)。②在系統(tǒng)中加入零點(diǎn)后，將使根軌跡左移，有利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

②

當(dāng)在系統(tǒng)中加入比例微分控制時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)增加了一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)：這時(shí)漸近線與實(shí)軸的夾角為：，只要漸近線與負(fù)實(shí)軸相交,系統(tǒng)的根軌跡就在左半S平面。因此有： ，所以 。 從下圖可以看出：a越小，根軌跡越左，穩(wěn)定性越好。a<6時(shí)，根軌跡全部在s左半平面。a=6時(shí)，根軌跡有一部分在虛軸上。a>6時(shí)，根軌跡有一部分在s右半平面。clearall;num1=[0013];den1=[1600];num2=[0015];den2=[1600];num3=[0017];den3=[1600];h1=tf(num1,den1);h2=tf(num2,den2);h3=tf(num3,den3);rlocus(h1,h2,h3)作業(yè)：4-7，4-10，4-11小結(jié)條件穩(wěn)定