控制系統(tǒng)根軌跡的繪制

前面學(xué)習(xí)了根軌跡的基本概念和繪制基本準(zhǔn)則（性質(zhì)），這里將手工繪制控制系統(tǒng)根軌跡的步驟羅列如下：標(biāo)注開環(huán)極點(diǎn)“”和零點(diǎn)“”；○畫出n-m條漸進(jìn)線。其與實(shí)軸的交點(diǎn)（稱為重心）和傾角分別為：確定實(shí)軸上的根跡區(qū)間；計(jì)算極點(diǎn)處的出射角和零點(diǎn)處入射角：第三節(jié)控制系統(tǒng)根軌跡的繪制計(jì)算根軌跡和虛軸的交點(diǎn)；計(jì)算會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)：利用前幾步得到的信息繪制根軌跡。注意：后兩步可能不存在；在判斷大致形狀時(shí)，需知道根軌跡的支數(shù)、連續(xù)性和對(duì)稱性。一、單回路負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡

前面所討論的根軌跡（180度根軌跡）是基于單回路負(fù)反饋系統(tǒng)的。[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：，畫根軌跡。②實(shí)軸上根軌跡區(qū)間是：[-2，0]；③漸進(jìn)線傾角：與實(shí)軸的交點(diǎn)為：[解]：①標(biāo)出四個(gè)開環(huán)極點(diǎn)：0，-2，。有四條根軌跡。④-3+4j處的出射角：根據(jù)對(duì)稱性，可知-3-j4處的出射角為：⑤與虛軸的交點(diǎn)：閉環(huán)特征方程為：勞斯陣為：當(dāng)勞斯陣某一行全為零時(shí)，有共軛虛根。這時(shí)，。輔助方程為：，解得共軛虛根為：即為根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。⑥會(huì)合點(diǎn)與分離點(diǎn)（重根點(diǎn)）：分離角為由得：由上式可求出分離點(diǎn)。但高階方程求解困難，可采用下述近似方法：我們知道，分離點(diǎn)在負(fù)實(shí)軸[-2，0]區(qū)間上，所以當(dāng)s在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)，最大時(shí)為分離點(diǎn)。6.2811.4915.5918.4720.020.0118.2814.578.58-2.0-1.8-1.6-1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2s可見分離點(diǎn)在-0.8~-1.0之間，近似取-0.9。⑦繪制根軌跡，如下圖所示。-4-3-2-1012-5-4-3-2-1012345RealAxisImagAxis[解]：⑴開環(huán)零點(diǎn)，開環(huán)極點(diǎn)根軌跡有兩支。起點(diǎn)在極點(diǎn)處，終點(diǎn)一支在開環(huán)零點(diǎn)處。一支在無窮遠(yuǎn)處。⑵實(shí)軸上根軌跡區(qū)間：例4-4中已求得，分別為分離點(diǎn)=-0.33,會(huì)合點(diǎn)=-1.67，分離角⑶分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)：⑷繪制根軌跡。[例4-7]設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制根軌跡。[例4-8]設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。[解]：開環(huán)零，極點(diǎn)分別為：⑴根軌跡有四支。⑵漸近線傾角重心：⑶實(shí)軸上根軌跡區(qū)間⑷實(shí)軸上無分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。⑹與虛軸的交點(diǎn)：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：勞斯陣列：勞斯陣有一行全為0，表示有共軛虛根。令：輔助方程為：⑸出射角：對(duì)⑺繪制根軌跡圖，見下圖-4-3-2-1012-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5RealAxisImagAxis特殊情況：對(duì)于開環(huán)傳遞函數(shù)有零極點(diǎn)相對(duì)消的情況。-如：則：，引起特征方程階數(shù)的下降。處理方法見下圖：-式中：以開環(huán)傳遞函數(shù)繪制根軌跡可得的極點(diǎn)。閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)由和組合而成。由零極點(diǎn)相對(duì)消減少的極點(diǎn)由的極點(diǎn)來補(bǔ)充。見下頁圖。二、多回路系統(tǒng)的根軌跡簡(jiǎn)單處理辦法：將多回路系統(tǒng)等效為單回路系統(tǒng)，再繪制180度根軌跡或參量根軌跡。三、正反饋系統(tǒng)的根軌跡以上我們討論的都是閉環(huán)負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡繪制準(zhǔn)則。在實(shí)際的復(fù)雜系統(tǒng)中，可能有局部的正反饋的結(jié)構(gòu)。正反饋系統(tǒng)的根軌跡繪制準(zhǔn)則與負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡略有不同。如下圖所示系統(tǒng)：+開環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：相應(yīng)的跟軌跡方程為：幅值條件和相角條件為：與負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡比較，幅值條件相同，相角條件不同。負(fù)反饋系統(tǒng)的相角條件是180度等相角條件；而正反饋系統(tǒng)的相角條件是0度等相角條件。注意：負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡稱為180度根軌跡或簡(jiǎn)稱為根軌跡；正反饋系統(tǒng)根軌跡稱為0度根軌跡。繪制0度根軌跡的基本準(zhǔn)則：對(duì)稱性和連續(xù)性同常規(guī)根軌跡；起點(diǎn)、終點(diǎn)和根軌跡支數(shù)同常規(guī)根軌跡；漸進(jìn)線：與實(shí)軸的交點(diǎn)同常規(guī)根軌跡；但傾斜角不同，為：，有n-m個(gè)角度。實(shí)軸上的根軌跡：其右方實(shí)軸上的開環(huán)零極點(diǎn)之和為偶數(shù)（包括0）的區(qū)域。分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)和分離角：同常規(guī)根軌跡；與虛軸的交點(diǎn)：同常規(guī)根軌跡；閉環(huán)極點(diǎn)之和與之積：同常規(guī)根軌跡。出射角和入射角：[例4-9]：設(shè)單位正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：，試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。起點(diǎn)在0，-1，-5處，終點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處。有3支根軌跡。漸進(jìn)線：與實(shí)軸的交點(diǎn)傾角：實(shí)軸上根軌跡區(qū)間：[-5，-1]，[0，）分離角（點(diǎn)）：由得：顯然，，不在根軌跡上。分離點(diǎn)為：。[解]：比較正負(fù)反饋的根軌跡方程：若開環(huán)傳遞函數(shù)為：則正負(fù)反饋的根軌跡方程分別為：可見，正反饋根軌跡相當(dāng)與負(fù)反饋根軌跡的從時(shí)的根軌跡。所以，可將正負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡合并，得 時(shí)的整個(gè)區(qū)間的根軌跡，請(qǐng)閱讀p135,圖4-29及下頁比較圖。左圖為正反饋（0度）根軌跡圖；右圖為負(fù)反饋（180度）根軌跡圖；將例4-9的給出的開環(huán)傳遞函數(shù)分別繪制正負(fù)根軌跡圖如下：討論了開環(huán)根軌跡增益變化時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡。在實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，還常常碰到其它參數(shù)變化時(shí)對(duì)閉環(huán)特征方程的影響。比如，特殊的開環(huán)零、極點(diǎn)，校正環(huán)節(jié)的參數(shù)等。

需要繪制除以外的其它參數(shù)變化時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根的軌跡，就是參量根軌跡。-[解]：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：繪制參量根軌跡的例子：如下圖，繪制開環(huán)極點(diǎn)-p變化時(shí)的參量根軌跡（設(shè)）。參量根軌跡特征方程為：

相當(dāng)于開環(huán)傳遞函數(shù)，稱為等效開環(huán)傳遞函數(shù)。參數(shù)p稱為等效根軌跡增益。畫出時(shí)的根軌跡如下：負(fù)實(shí)軸上為跟軌跡區(qū)間；根軌跡有兩支，起點(diǎn)為，終點(diǎn)一為0零點(diǎn)，另一為無窮遠(yuǎn)零點(diǎn)。分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)：顯然會(huì)合點(diǎn)為-2，會(huì)合角為：，無分離點(diǎn)。出射角：繪制參量根軌跡的步驟：

列出系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程；以特征方程中不含參變量的各項(xiàng)除特征方程，得等效的系統(tǒng)根軌跡方程。該參量稱為等效系統(tǒng)的根軌跡增益。用已知的方法繪制等效系統(tǒng)的根軌跡，即為原系統(tǒng)的參量根軌跡。當(dāng)系統(tǒng)有兩個(gè)參數(shù)變化時(shí)，所繪出的根軌跡稱謂根軌跡族。[例]系統(tǒng)如下。試?yán)L制Kg和p分別從零變化到無窮大時(shí)的根軌跡。-[解]：有兩種方法：取Kg為不同值時(shí)，繪制參量p從零變化到無窮大時(shí)的參量根軌跡。這時(shí)，根軌跡方程為：

Kg不同時(shí)的根軌跡如下頁所示：取p為不同值