奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)

主要內(nèi)容幅角定理奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)（極坐標(biāo)）奈氏穩(wěn)定判據(jù)在Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)中的應(yīng)用在波德圖或尼柯?tīng)査箞D上判別系統(tǒng)穩(wěn)定性

奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)是用開(kāi)環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。不僅能判斷系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性，而且可根據(jù)相對(duì)穩(wěn)定的概念，討論閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，指出改善系統(tǒng)性能的途徑。第五節(jié)奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)一、幅角定理：

設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：，其中： 為前向通道傳遞函數(shù)，為反饋通道傳遞函數(shù)。閉環(huán)傳遞函數(shù)為：，如下圖所示：令：則開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：……………(a)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：……………(b)

顯然，輔助方程即是閉環(huán)特征方程。其階數(shù)為n階，且分子分母同階。則輔助方程可寫(xiě)成以下形式：。式中，為F(s)的零、極點(diǎn)。由上頁(yè)(a)、(b)及(c)式可以看出：F(s)的極點(diǎn)為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；F(s)的零點(diǎn)為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；將閉環(huán)特征方程與開(kāi)環(huán)特征方程之比構(gòu)成一個(gè)輔助方程，得：……………..(c)F(s)是復(fù)變量s的單值有理函數(shù)。如果函數(shù)F(s)在s平面上指定的區(qū)域內(nèi)是解析的，則對(duì)于此區(qū)域內(nèi)的任何一點(diǎn)都可以在F(s)平面上找到一個(gè)相應(yīng)的點(diǎn)，稱(chēng)為在F(s)平面上的映射。

同樣，對(duì)于s平面上任意一條不通過(guò)F(s)任何奇異點(diǎn)的封閉曲線，也可在F(s)平面上找到一條與之相對(duì)應(yīng)的封閉曲線（為的映射）。[例]輔助方程為：，則s平面上點(diǎn)（-1，j1），映射到F(s)平面上的點(diǎn)為（0，-j1）,見(jiàn)下圖：同樣我們還可以發(fā)現(xiàn)以下事實(shí)：s平面上曲線映射到F(s)平面的曲線為，如下圖：示意圖

曲線是順時(shí)針運(yùn)動(dòng)的，且包圍了F(s)的一個(gè)極點(diǎn)（0），不包圍其零點(diǎn)（-2）；曲線包圍原點(diǎn)，且逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)。再進(jìn)一步試探，發(fā)現(xiàn)：若順時(shí)針包圍F(s)的一個(gè)極點(diǎn)（0）和一個(gè)零點(diǎn)（-2），則不包圍原點(diǎn)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)；若順時(shí)針只包圍F(s)的一個(gè)零點(diǎn)（-2），則包圍原點(diǎn)且順時(shí)針運(yùn)動(dòng)。

這里有一定的規(guī)律，就是下面介紹的柯西幅角定理。[柯西幅角定理]：s平面上不通過(guò)F(s)任何奇異點(diǎn)的封閉曲線包圍s平面上F(s)的z個(gè)零點(diǎn)和p個(gè)極點(diǎn)。當(dāng)s以順時(shí)針?lè)较蜓胤忾]曲線移動(dòng)一周時(shí)，在F(s)平面上相對(duì)應(yīng)于封閉曲線將以順時(shí)針?lè)较蚶@原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)N圈。N，z，p的關(guān)系為：N=z-p。若N為正，表示順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，包圍原點(diǎn)；若N為0，表示順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，不包圍原點(diǎn)；若N為負(fù)，表示逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，包圍原點(diǎn)。二、奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)：

對(duì)于一個(gè)控制系統(tǒng)，若其特征根處于s右半平面，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對(duì)于上面討論的輔助方程，其零點(diǎn)恰好是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)，因此，只要搞清F(s)的的零點(diǎn)在s右半平面的個(gè)數(shù)，就可以給出穩(wěn)定性結(jié)論。如果F(s)的右半零點(diǎn)個(gè)數(shù)為零，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

我們這里是應(yīng)用開(kāi)環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此開(kāi)環(huán)頻率特性是已知的。設(shè)想：

如果有一個(gè)s平面的封閉曲線能包圍整個(gè)s右半平面，則根據(jù)柯西幅角定理知：該封閉曲線在F(s)平面上的映射包圍原點(diǎn)的次數(shù)應(yīng)為：當(dāng)已知開(kāi)環(huán)右半極點(diǎn)數(shù)時(shí)，便可由N判斷閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)。這里需要解決兩個(gè)問(wèn)題：1、如何構(gòu)造一個(gè)能夠包圍整個(gè)s右半平面的封閉曲線，并且它是滿(mǎn)足柯西幅角條件的？2、如何確定相應(yīng)的映射F(s)對(duì)原點(diǎn)的包圍次數(shù)N，并將它和開(kāi)環(huán)頻率特性相聯(lián)系？它可分為三部分：Ⅰ部分是正虛軸，Ⅱ部分是右半平面上半徑為無(wú)窮大的半圓；；Ⅲ部分是負(fù)虛軸，。第1個(gè)問(wèn)題：先假設(shè)F(s)在虛軸上沒(méi)有零、極點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蜃鲆粭l曲線包圍整個(gè)s右半平面，這條封閉曲線稱(chēng)為奈魁斯特路徑。如下圖：ⅠⅡⅢF(s)平面上的映射是這樣得到的：以代入F(s)并令從 變化，得第一部分的映射；在F(s)中取使角度由 ，得第二部分的映射；令從，得第三部分的映射。稍后將介紹具體求法。得到映射曲線后，就可由柯西幅角定理計(jì)算，式中： 是F(s)在s右半平面的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)。確定了N，可求出 。當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。第2個(gè)問(wèn)題：輔助方程與開(kāi)環(huán)頻率特性的關(guān)系。我們所構(gòu)造的的輔助方程為，為開(kāi)環(huán)頻率特性。因此，有以下三點(diǎn)是明顯的：②F(s)對(duì)原點(diǎn)的包圍，相當(dāng)于對(duì)(-1,j0)的包圍；因此映射曲線F(s)對(duì)原點(diǎn)的包圍次數(shù)N與對(duì)(-1,j0)點(diǎn)的包圍的次數(shù)一樣。奈魁斯特路徑的第Ⅰ部分的映射是曲線向右移1；第Ⅱ部分的映射對(duì)應(yīng)，即F(s)=1;第Ⅲ部分的映射是第Ⅰ部分映射的關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱(chēng)。③F(s)的極點(diǎn)就是的極點(diǎn)，因此F(s)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)就是在右半平面的極點(diǎn)數(shù)。①由可求得，而是開(kāi)環(huán)頻率特性。一般在中，分母階數(shù)比分子階數(shù)高，所以當(dāng)時(shí)，，即F(s)=1。（對(duì)應(yīng)于映射曲線第Ⅱ部分）F(s)與的關(guān)系圖。ⅠⅡⅢ

根據(jù)上面的討論，如果將柯西幅角定理中的封閉曲線取奈魁斯特路徑，則可將柯西幅角定理用于判斷閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。就是下面所述的奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)。[奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)]：若系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面上有個(gè)極點(diǎn)，且開(kāi)環(huán)頻率特性曲線對(duì)(-1,j0)點(diǎn)包圍的次數(shù)為N，（N>0順時(shí)針，N<0逆時(shí)針），則閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)為：。若，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。因?yàn)榉€(wěn)定性是看閉環(huán)，而F的零點(diǎn)數(shù)就是閉環(huán)的極點(diǎn)數(shù)，所以有此判斷閉環(huán)的穩(wěn)定性，即在右半面是否有極點(diǎn)[奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)的另一種描述]：設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點(diǎn)數(shù)為，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：在 平面上的開(kāi)環(huán)頻率特性曲線極其映射當(dāng)從變化到時(shí)，將以逆時(shí)針的方向圍繞(-1,j0)點(diǎn)圈。對(duì)于開(kāi)環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的情況，，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是開(kāi)環(huán)頻率特性曲線極其映射不包圍(-1,j0)點(diǎn)。不穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為：。[例5-6]開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。首先要畫(huà)極坐標(biāo)圖啊，根據(jù)型數(shù)哪里?。。。解]：開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖如右。在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為0，繞(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)N=0，則閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的個(gè)數(shù)： 。故閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。p是在右半平面的的極點(diǎn)數(shù)[例5-7]設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。[解]：開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為-1，-1j2，都在s左半平面，所以。奈氏圖如右。從圖中可以看出：奈氏圖順時(shí)針圍繞(-1,j2)點(diǎn)2圈。所以閉環(huán)系統(tǒng)在s右半極點(diǎn)數(shù)為： ，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。N>O是順時(shí)針[例5-8]系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右：試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性并討論穩(wěn)定性和k的關(guān)系。-[解]：開(kāi)環(huán)系統(tǒng)奈氏圖是一個(gè)半徑為，圓心在的圓。顯然，k>=1時(shí)，包圍(-1,j0)點(diǎn)，k<1時(shí)不包圍(-1,j0)點(diǎn)。由圖中看出：當(dāng)k>1時(shí)，奈氏曲線逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)一圈，N=-1，而，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)k=1時(shí)，奈氏曲線通過(guò)(-1,j0)點(diǎn)，屬臨界穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)k<1時(shí)，奈氏曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)，N=0，，所以，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

上面討論的奈魁斯特判據(jù)和例子，都是假設(shè)虛軸上沒(méi)有開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，即開(kāi)環(huán)系統(tǒng)都是0型的，這是為了滿(mǎn)足柯西幅角定理的條件。但是對(duì)于Ⅰ、Ⅱ型的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)，由于在虛軸上（原點(diǎn)）有極點(diǎn)，因此不能使用柯西幅角定理來(lái)判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為了解決這一問(wèn)題，需要重構(gòu)奈魁斯特路徑。三、奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)在Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)中的應(yīng)用：具有開(kāi)環(huán)0極點(diǎn)系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：

可見(jiàn)，在原點(diǎn)有重0極點(diǎn)。也就是在s=0點(diǎn)，不解析，若取奈氏路徑同上時(shí)（通過(guò)虛軸的整個(gè)s右半平面），不滿(mǎn)足柯西幅角定理。為了使奈氏路徑不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)而仍然能包圍整個(gè)s右半平面，重構(gòu)奈氏路徑如下：以原點(diǎn)為圓心，半徑為無(wú)窮小做右半圓。這時(shí)的奈氏路徑由以下四部分組成：Ⅰ部分：正虛軸，，Ⅱ部分為半徑為無(wú)窮大的右半圓；Ⅲ部分負(fù)虛軸，，Ⅳ部分為半徑為無(wú)窮小的右半圓，下面討論對(duì)于這種奈魁斯特路徑的映射：1、第Ⅰ和第Ⅲ部分：常規(guī)的奈氏圖，關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)；2、第Ⅱ部分：，。假設(shè)的分母階數(shù)比分子階數(shù)高；3、第Ⅳ部分：(a)對(duì)于Ⅰ型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點(diǎn)代入中得：ⅠⅡⅢⅣ(b)對(duì)于Ⅱ型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點(diǎn)代入中得：所以這一段的映射為：半徑為，角度從變到的整個(gè)圓（順時(shí)針）。所以這一段的映射為：半徑為，角度從變到的右半圓。[結(jié)論]用上述形式的奈氏路徑，奈氏判據(jù)仍可應(yīng)用于Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)。[例5-9]設(shè)Ⅰ型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性如下圖所示。開(kāi)環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒(méi)有極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。[解]：顯然這是1型系統(tǒng)。先根據(jù)奈氏路徑畫(huà)出完整的映射曲線。從圖上看出：映射曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)一圈，逆時(shí)針包圍(-1,j0)一圈，所以N=1-1=0，而，故，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。[例5-10]某Ⅱ型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性如下圖所示，且s右半平面無(wú)極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。[解]：首先畫(huà)出完整的奈氏曲線的映射曲線。如右圖：從圖上可以看出：映射曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)兩圈。因，所以，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。[特殊情況]：1、若開(kāi)環(huán)系統(tǒng)在虛軸上有極點(diǎn)，這時(shí)應(yīng)將奈氏路徑做相應(yīng)的改變。如下圖：以極點(diǎn)為圓心，做半徑為無(wú)窮小的右半圓，使奈氏路徑不通過(guò)虛軸上極點(diǎn)（確保滿(mǎn)足柯西幅角定理?xiàng)l件），但仍能包圍整個(gè)s右半平面。映射情況，由于較復(fù)雜，略。2、如果開(kāi)環(huán)頻率特性曲線通過(guò)(-1,j0)點(diǎn)，說(shuō)明閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，閉環(huán)系統(tǒng)在虛軸上有極點(diǎn)。通常，只畫(huà)出的開(kāi)環(huán)奈氏圖，這時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面上的極點(diǎn)數(shù)為：。式中，為變化時(shí)，開(kāi)環(huán)奈氏圖順時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)。不包圍(-1,j0)點(diǎn)，0型系統(tǒng)包圍(-1,j0)點(diǎn)，Ⅰ型系統(tǒng)和Ⅱ型系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的奈魁斯特路徑分別為：這時(shí)奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)可以描述為：設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)在右半平面的極點(diǎn)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)從 時(shí)，頻率特性曲線在實(shí)軸段的正負(fù)穿越次數(shù)差為。

頻率特性曲線對(duì)(-1,j0)點(diǎn)的包圍情況可用頻率特性的正負(fù)穿越情況來(lái)表示。當(dāng)增加時(shí)，頻率特性從上半s平面穿過(guò)負(fù)實(shí)軸的段到下半s平面，稱(chēng)為頻率特性對(duì)負(fù)實(shí)軸的段的正穿越（這時(shí)隨著的增加，頻率特性的相角也是增加的）；意味著逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)。反之稱(chēng)為負(fù)穿越。正穿越負(fù)穿越四、在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性：

開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖（奈氏圖）和對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（波德圖）有如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：1、奈氏圖上單位圓對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的零分貝線； 。2、奈氏圖上的負(fù)實(shí)軸對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的-180度相位線。

奈氏圖頻率特性曲線在上的正負(fù)穿越在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的對(duì)應(yīng)關(guān)系：在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的范圍內(nèi)，當(dāng)增加時(shí)，相頻特性曲線從下向上穿過(guò)-180度相位線稱(chēng)為正穿越。因?yàn)橄嘟侵翟黾恿恕７粗Q(chēng)為負(fù)穿越。對(duì)照?qǐng)D如下：正穿越負(fù)穿越正穿越負(fù)穿越相角方向?yàn)檎?/p>

增加時(shí)，相角增大對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上奈氏穩(wěn)定判據(jù)如下：

設(shè)開(kāi)環(huán)頻率特性在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上幅頻特性的所有頻段內(nèi)，當(dāng)頻率增加時(shí)，對(duì)數(shù)相頻特性對(duì)-180度線的正負(fù)穿越次數(shù)差為P/2。閉環(huán)系統(tǒng)右半s極點(diǎn)數(shù)為：，式中為正負(fù)穿越次數(shù)差。若Z=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若Z>0，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。五、最小相位系統(tǒng)的奈氏判據(jù)：開(kāi)環(huán)頻率特性在s右半平面無(wú)零點(diǎn)和極點(diǎn)的系統(tǒng)稱(chēng)為最小相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件可簡(jiǎn)化為：奈氏圖（開(kāi)環(huán)頻率特性曲線）不包圍(-1,j0)點(diǎn)。因?yàn)槿鬘=0，且P=0，所以Z=包含了（-1,0）就不穩(wěn)定，在就臨界，不包含就穩(wěn)定奈氏圖幅值和相角關(guān)系為：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，式中，分別稱(chēng)為相角、幅值穿越頻率上述關(guān)系在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的對(duì)應(yīng)關(guān)系:當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，小結(jié)

柯西幅角定理。滿(mǎn)足該定理的條件。N=z-p

輔助方程。其極點(diǎn)為開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，其零點(diǎn)為閉環(huán)極點(diǎn)。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。幾種描述形式；Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)的奈氏路徑極其映射；最小相位系統(tǒng)的奈氏判據(jù)；對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上奈氏判據(jù)的描述。對(duì)數(shù)頻率特性圖和奈奎斯特頻率特性圖的關(guān)系。

當(dāng)頻率特性曲線穿過(guò)(-1,j0)點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。這時(shí)：

。對(duì)于最小相位系統(tǒng)，可以用 和來(lái)表示頻率特性曲線接近(-1,j0)點(diǎn)的程度，或稱(chēng)為穩(wěn)定裕度。穩(wěn)定裕度越大，穩(wěn)定性越好。[定義]：和為幅值穩(wěn)定裕度和相位穩(wěn)定裕度。在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上，用表示的分貝值。即第六節(jié)穩(wěn)定裕度顯然，當(dāng)時(shí)，即和時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則是不穩(wěn)定的。對(duì)于最小相位系統(tǒng)，和是同時(shí)發(fā)生或同時(shí)不發(fā)生的，所以經(jīng)常只用一種穩(wěn)定裕度來(lái)表示系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。常用相角裕度。[幅值穩(wěn)定裕度物理意義]：穩(wěn)定系統(tǒng)在相角穿越頻率處將幅值增加倍（奈氏圖）或增加分貝（波德圖），則系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。若增加的倍數(shù)大于倍（或分貝），則系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定。比如，若增加開(kāi)環(huán)放大系數(shù)K，則對(duì)數(shù)幅頻特性曲線將上升，而相角特性曲線不變?？梢?jiàn)，開(kāi)環(huán)放大系數(shù)太大，容易引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定。[相位穩(wěn)定裕度的物理意義]：穩(wěn)定系統(tǒng)在幅值穿越頻率處將相角減小度，則系統(tǒng)變?yōu)榕R界穩(wěn)定；再減小，就會(huì)變?yōu)椴环€(wěn)定。[例]設(shè)控制系統(tǒng)如下圖所示k=10和k=100時(shí)，試求系統(tǒng)的相位穩(wěn)定裕度和幅值裕度。-[解]：相位穩(wěn)定裕度和幅值裕度可以很容易地從波德圖中求得。當(dāng)k=10時(shí)，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)波德圖如右所示。這時(shí)系統(tǒng)的相位穩(wěn)定裕度和幅值裕度大約是8dB和21度。因此系統(tǒng)在不穩(wěn)定之前，增益可以增加8dB.相位裕度和幅值裕度的計(jì)算：記得這一章用的是尾1?。。。?！相位裕度：先求穿越頻率在穿越頻率處，

，所以，解此方程較困難，可采用近似解法。由于較?。ㄐ∮?），所以：穿越頻率處的相角為：相角裕度為：

幅值裕度：先求相角穿越頻率相角穿越頻率處的相角為：由三角函數(shù)關(guān)系得：所以，幅值裕度為：當(dāng)增益從k=10增大到k=100時(shí)，幅值特性曲線上移20dB，相位特性曲線不變。這時(shí)系統(tǒng)的相位穩(wěn)定裕度和幅值裕度分別是-12dB和-30度。因此系統(tǒng)在k=10時(shí)是穩(wěn)定的，在k=100時(shí)是不穩(wěn)定的。[例5-11]某系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示。試確定當(dāng)k=10時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其使相位穩(wěn)定裕度為30度時(shí)的開(kāi)環(huán)放大系數(shù)k。-[解]：當(dāng)k=10時(shí)，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：手工繪制波德圖步驟：1、確定轉(zhuǎn)折頻率：10、40，在(1,20log200)點(diǎn)畫(huà)斜率為-20的斜線至；2、在之間畫(huà)斜率為-40的斜線；3、后畫(huà)斜率為-60的斜線。上圖藍(lán)線為原始波德圖。，顯然閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。為了使相位穩(wěn)定裕度達(dá)到30度，可將幅頻曲線向下平移。即將開(kāi)環(huán)放大系數(shù)減小，這時(shí)相頻特性不變。截止頻率左移至，移到哪里？

，從圖中看出：。所以原始幅頻曲線向下移動(dòng)的分貝數(shù)為:所以當(dāng)開(kāi)環(huán)放大系數(shù)下降到15時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的相位穩(wěn)定裕度是30度，這時(shí)的幅頻穩(wěn)定裕度為：由圖中看出，所以設(shè)新的開(kāi)環(huán)放大系數(shù)為，原始的開(kāi)環(huán)放大系數(shù)為k=200，則有 （討論時(shí)較明顯）。解得：帶有延遲環(huán)節(jié)系統(tǒng)的相位裕度的求法：設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：，我們知道增加了延遲環(huán)節(jié)后系統(tǒng)的幅值特性不變，相角特性滯后了。表現(xiàn)在奈氏圖和波德圖上的情況如下（假設(shè)Gk(s)）為最小相位系統(tǒng)。左圖中，紅色曲線為Gk(s)頻率特性，蘭色曲線為增加了延遲環(huán)節(jié)后的頻率特性。其幅值和相角穿越頻率分別為和，相角裕度分別為。顯然增加了延遲環(huán)節(jié)后，系統(tǒng)的穩(wěn)定性下降了。若要確保穩(wěn)定性，其相位裕度必須大于零。即：[穩(wěn)定裕度概念使用時(shí)的局限性]：1、在高階系統(tǒng)中，奈氏圖中幅值為的點(diǎn)或相角為-180度的點(diǎn)可能不止一個(gè)，這時(shí)使用幅值和相位穩(wěn)定裕度可能會(huì)出現(xiàn)歧義；2、非最小相位系統(tǒng)不能使用該定義；3、有時(shí)幅值和相位穩(wěn)定裕度都滿(mǎn)足，但仍有部分曲線很靠近(-1,j0)點(diǎn)，這時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性依然不好。見(jiàn)下圖：一、穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)分析：

如果通過(guò)頻率特性曲線能確定系統(tǒng)的無(wú)差度階數(shù)（即積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)）和開(kāi)環(huán)放大系數(shù)k的話，則可求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。（見(jiàn)第三章第六節(jié)穩(wěn)態(tài)誤差分析）在波德圖上，低頻漸進(jìn)線的斜率和的關(guān)系如下：由，可求得值；也可由 ，求。開(kāi)環(huán)放大系數(shù)k的求法有兩種：①低頻漸進(jìn)線為：當(dāng)時(shí)，有：，故： 低頻漸進(jìn)線斜率=-20v第七節(jié)頻率特性和時(shí)域性能指標(biāo)的關(guān)系②當(dāng)時(shí)，k也可由與橫軸的交點(diǎn)來(lái)求。當(dāng)時(shí)，，有：二、頻域性能指標(biāo)（一）、開(kāi)環(huán)頻率特性性能指標(biāo)幅值穩(wěn)定裕度系統(tǒng)開(kāi)環(huán)相頻特性為時(shí)，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性幅值的倒數(shù)定義為幅值穩(wěn)定裕度。所對(duì)應(yīng)的頻率稱(chēng)為相角穿越頻率。即 ，滿(mǎn)足 。實(shí)際中常用對(duì)數(shù)幅值穩(wěn)定