2022年全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽（預(yù)賽）暨2022年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試+加試試題（A卷）

2022年全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽(預(yù)賽)暨2022年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試試題（A卷)一、填空題:本大題共8小題，每小題8分,滿分64分.1.集合A=n∣2.設(shè)函數(shù)fx=x2+x+16x2≤x≤3.一枚不均勻的硬幣,若隨機(jī)拋擲它兩次均得到正面的概率是均得到反面的概率的9倍,則隨機(jī)拋擲它兩次得到正面、反面各一次的概率為.4.若復(fù)數(shù)z滿足:z-3iz+i為負(fù)實(shí)數(shù)(i為虛數(shù)單位),z-35.若四棱錐P-ABCD的棱AB,BC的長(zhǎng)均為2,其他各條棱長(zhǎng)均為1,則該四棱6.已知函數(shù)y=fx的圖像既關(guān)于點(diǎn)1,1中心對(duì)稱,又關(guān)于直線x+y=0軸對(duì)稱.若x7.在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓Ω:x24+y2=1,P為Ω上的動(dòng)點(diǎn),A,B為兩個(gè)定點(diǎn),其中B的坐標(biāo)為8.一個(gè)單位方格的四條邊中,若有兩條邊染了顏色i,另兩條邊分別染了異于i色的另兩種不同顏色,則稱該單位方格是“i色主導(dǎo)”的.如圖,一個(gè)1×3方格表的表格線共含10條單位長(zhǎng)線段,現(xiàn)要對(duì)這10條線段染色,每條線段染為紅、黃、藍(lán)三色之一,使得紅色主導(dǎo)、黃色主導(dǎo)、藍(lán)色主導(dǎo)的單位方格各有一個(gè).這樣的染色方式數(shù)為(二、解答題:本大題共3小題,滿分56分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.9.(本題滿分16分)若△ABC的內(nèi)角A,B,C滿足sin10.(本題滿分20分)給定正整數(shù)mm≥3.設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列an與正項(xiàng)等比數(shù)列bn滿足:an的首項(xiàng)等于bn的公比,{}的首項(xiàng)等于an的公差,且am=bm.11.(本題滿分20分)在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線Γ:x23-y2=1.對(duì)平面內(nèi)不在Γ上的任意一點(diǎn)P,記ΩP為過點(diǎn)P且與Γ有兩個(gè)交點(diǎn)的直線的全體.對(duì)任意直線l∈Ωp,記M,N為l與Γ的兩個(gè)交點(diǎn),定義fpl=PM?PN.若存在一條直線l0∈加試試題（A卷）一.(本題滿分40分)如圖,在凸四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,對(duì)角線BD上一點(diǎn)P滿足∠APB=2∠CPD,線段二.(本題滿分40分)設(shè)整數(shù)nn>1恰有k個(gè)互不相同的素因子,記n的所有正約數(shù)之和為σn三.(本題滿分50分)設(shè)a1,a2(1)存在正整數(shù)k≤100,使得a1≤a2(2)a1(3)a1求a1+四.(本題滿分50分)求具有下述性質(zhì)的最小正整數(shù)t：將100×100