函數(shù)極限與連續(xù)性知識點及典例

高等數(shù)學電子教案1a------高等數(shù)學------高等數(shù)學主要內(nèi)容典型例題習題

課第一章函數(shù)極限與連續(xù)2a------高等數(shù)學------高等數(shù)學一、基本要求1、理解函數(shù)的概念、了解函數(shù)的性質(zhì).2、理解數(shù)列和函數(shù)極限的定義；掌握極限的性質(zhì)、存在準則，熟練應用極限運算法則求數(shù)列和函數(shù)極限。3、了解無窮小與無窮大的定義和性質(zhì)，掌握等價無窮小的運算性質(zhì)。4、掌握函數(shù)連續(xù)性和間斷點，理解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。3a------高等數(shù)學------高等數(shù)學（一）極限的概念（二）連續(xù)的概念二、主要內(nèi)容4a------高等數(shù)學------高等數(shù)學左右極限兩個重要極限求極限的常用方法無窮小的性質(zhì)極限存在的充要條件判定極限存在的準則無窮小的比較極限的性質(zhì)數(shù)列極限函數(shù)極限等價無窮小及其性質(zhì)唯一性無窮小兩者的關(guān)系無窮大5a------高等數(shù)學------高等數(shù)學1.極限的定義6a------高等數(shù)學------高等數(shù)學7a------高等數(shù)學------高等數(shù)學左極限右極限8a------高等數(shù)學------高等數(shù)學9a------高等數(shù)學------高等數(shù)學★另兩種情形:10a------高等數(shù)學------高等數(shù)學無窮小:極限為零的變量稱為無窮小.絕對值無限增大的變量稱為無窮大.無窮大:在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.無窮小與無窮大的關(guān)系2.無窮小與無窮大11a------高等數(shù)學------高等數(shù)學定理1在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.定理2有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論1在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論3有限個無窮小的乘積也是無窮小.無窮小的運算性質(zhì)12a------高等數(shù)學------高等數(shù)學定理推論1推論23.極限的性質(zhì)13a------高等數(shù)學------高等數(shù)學4.求極限的常用方法a.多項式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.14a------高等數(shù)學------高等數(shù)學5.判定極限存在的準則(夾逼準則)15a------高等數(shù)學------高等數(shù)學(1)(2)6.兩個重要極限16a------高等數(shù)學------高等數(shù)學定義:7.無窮小的比較17a------高等數(shù)學------高等數(shù)學定理(等價無窮小替換定理)8.等價無窮小的性質(zhì)9.極限的唯一性18a------高等數(shù)學------高等數(shù)學左右連續(xù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)初等函數(shù)的連續(xù)性間斷點定義連續(xù)定義連續(xù)的充要條件連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)非初等函數(shù)的連續(xù)性

振蕩間斷點無窮間斷點跳躍間斷點可去間斷點第一類第二類19a------高等數(shù)學------高等數(shù)學1.連續(xù)的定義20a------高等數(shù)學------高等數(shù)學定理3.連續(xù)的充要條件2.單側(cè)連續(xù)21a------高等數(shù)學------高等數(shù)學4.間斷點的定義22a------高等數(shù)學------高等數(shù)學(1)跳躍間斷點(2)可去間斷點5.間斷點的分類23a------高等數(shù)學------高等數(shù)學跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.特點:可去型第一類間斷點跳躍型0yx0yx24a------高等數(shù)學------高等數(shù)學0yx無窮型振蕩型第二類間斷點0yx第二類間斷點25a------高等數(shù)學------高等數(shù)學6.閉區(qū)間的連續(xù)性7.連續(xù)性的運算性質(zhì)定理26a------高等數(shù)學------高等數(shù)學定理1

嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).定理28.初等函數(shù)的連續(xù)性定理327a------高等數(shù)學------高等數(shù)學定理4

基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.定理5

一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.9.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.28a------高等數(shù)學------高等數(shù)學定理上連續(xù)，且那末在開區(qū)間點3(零點定理)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間

[]ba,)(af與)(bf異號(即0)()(<b.faf),()ba,內(nèi)至少有函數(shù))(xf的一個零,即至少有一點x)(ba<x<，使0)(=xf.定理2(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.29a------高等數(shù)學------高等數(shù)學推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.定理4(介值定理)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間

[]ba,

上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值

Aaf=)(

及

Bbf=)(,那末，對于A與B之間的任意一個數(shù)C，在開區(qū)間()ba,內(nèi)至少有一點x，使得cf=x)(

)(ba<x<.30a------高等數(shù)學------高等數(shù)學2.1.3.

典型例題31a------高等數(shù)學------高等數(shù)學6.4.5.32a------高等數(shù)學------高等數(shù)學

典型例題解答1.33a------高等數(shù)學------高等數(shù)學解將分子、分母同乘以因子(1-x),則34a------高等數(shù)學------高等數(shù)學解解法討論2.35a------高等數(shù)學------高等數(shù)學36a------高等數(shù)學------高等數(shù)學解3.37a------高等數(shù)學------高等數(shù)學4.解38a------高等數(shù)學------高等數(shù)學39a------高等數(shù)學------高等數(shù)學40a------