2022屆云南省高三“333”高考備考診斷性聯(lián)考（二）數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2022屆云南省高三“3+3+3”高考備考診斷性聯(lián)考(二)數(shù)學(xué)

(理)試題

一、單選題

1.設(shè)集合M={x|(x+l)(x-3)40},N=卜;<x<41則MnN=()

A.1%-1<x<^|B.jx|^<x<31C.{x|3<x<4}D.{x|-l<x<4}

【答案】B

【分析】根據(jù)解一元二次不等式的方法，結(jié)合集合交集的定義進(jìn)行求解即可.

［詳解］因?yàn)镸={x|(x+l)(x_3)40}={小14x43},N=Mg<x<",

所以MAN=x

故選：B

2.產(chǎn)=()

1+1

A13?

B.C.lD.

2222~2~222

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可求出答案.

l-2i_(l-2i)(l-i)_-l-3i_13.

【詳解】解:—1

1+i(l+i)(l-i)222

故選：A.

3.如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩種商品連續(xù)10天的銷售數(shù)據(jù)，則下列說法錯(cuò)誤的

是0

A.乙銷售數(shù)據(jù)的極差為24B.甲銷售數(shù)據(jù)的眾數(shù)為93

C.乙銷售數(shù)據(jù)的均值比甲大D.甲銷售數(shù)據(jù)的中位數(shù)為92

【答案】D

【分析】根據(jù)莖葉圖中數(shù)據(jù)逐項(xiàng)分析即可判斷.

【詳解】乙銷售數(shù)據(jù)的極差是112—88=24,故A正確；

甲銷售數(shù)據(jù)的眾數(shù)為93,故B正確；

甲銷售數(shù)據(jù)的均值為(80x3+90x5+100x2+7+6+4+9+8+3+3+1+6+3)x>4=

94,

乙銷售數(shù)據(jù)的均值為(80+90x4+100x4+110+8+5+7+8+8+1+2+3+6+2)x'=

100,.?.乙銷售數(shù)據(jù)的均值比甲大，故C正確：

甲銷售數(shù)據(jù)的中位數(shù)為93,故D錯(cuò)誤.

故選：D.

4.朗伯比爾定律(Lambe片-Beerlaw)是分光光度法的基本定律，是描述物質(zhì)對(duì)某一波

長(zhǎng)光吸收的強(qiáng)弱與吸光物質(zhì)的濃度及其液層厚度間的關(guān)系，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

A=\gj=Kbc,其中A為吸光度，T為透光度，K為摩爾吸光系數(shù)，c為吸光物質(zhì)的濃

度，單位為mol/L,〃為吸收層厚度，單位為cm.保持K,〃不變，當(dāng)吸光物質(zhì)的濃度增

加為原來的兩倍時(shí)，透光度由原來的T變?yōu)?)

A.2TB.T-C.D.10T

【答案】B

【分析】根據(jù)題中所給公式用A表示增加前的T,然后再求出增加后的廠，從而可得出

答案.

【詳解】解：由A=lg)=KAc,

得所以7=(，丫，

TUOj

當(dāng)保持K,b不變，當(dāng)吸光物質(zhì)的濃度增加為原來的兩倍時(shí)，

則K6.2c=2A=lg",

所以《=限，

所以透光度由原來的T變?yōu)?2.

故選：B.

22

5.直線y="化＞0)與雙曲線C:[-多=1(〃＞0力＞0)在第一、第三象限分別交于P、

a~b~

Q兩點(diǎn)，K是C的右焦點(diǎn)，有歸閭:|Q周=1:6,且「尸21。鳥，則C的離心率是()

A.GB.V6C.百+1D.#+1

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可知可。名為矩形，求出|盟|、|Q閭即可根據(jù)雙曲線定義求出加，

從而根據(jù)離心率計(jì)算公式求解.

【詳解】由對(duì)稱性可知四邊形P[Q鳥為平行四邊形,

又由尸鳥，Q瑪?shù)盟倪呅蜳F\QF?為矩形，

：.\PQ\=\FtF2\=2c,

又忸用鑿|=1：6,.?.|Pg|=c,\QF2\=^3C,

有I。段一歸段=(6T)c=2%

故選：C.

6.甲、乙、丙三位同學(xué)中只有一人會(huì)跳拉丁舞，甲說：我會(huì)；乙說：我不會(huì)；丙說：甲

不會(huì)；如果這三人中有且只有一人說真話，由此可判斷會(huì)跳拉丁舞的是()

A.甲B.乙C.丙D.無(wú)法確定

【答案】B

【分析】先閱讀題意，再結(jié)合簡(jiǎn)單的合情推理逐一檢驗(yàn)即可得解.

【詳解】解：①若會(huì)跳拉丁舞的是甲同學(xué)，則這甲、乙說的真話，與題設(shè)矛盾，故會(huì)跳

拉丁舞的不是甲，

②若會(huì)跳拉丁舞的是乙三位同學(xué)，則這三人中有且只有丙一人說真話，與題設(shè)相符，故

會(huì)跳拉丁舞的是乙，

③若會(huì)跳拉丁舞的是丙三位同學(xué)，則這三人中乙、丙兩人說的是真話，與題設(shè)矛盾，故

會(huì)跳拉丁舞的不是丙，

綜上可得：會(huì)跳拉丁舞的是乙.

故選：B.

7.如圖，在一個(gè)正方體中，E,G分別是棱AB,CC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD靠近C的四

等分點(diǎn).平面EFG截正方體后，其中一個(gè)多面體的三視圖中，相應(yīng)的正視圖是()

【答案】D

【分析】根據(jù)條件可得平面EFG經(jīng)過點(diǎn)B',然后可得答案.

D

連接E8',GB'

因?yàn)镋,G分別是棱AB,CC'的中點(diǎn)，尸為棱CD靠近C的四等分點(diǎn)

所以EB'HFG,所以平面EFG經(jīng)過點(diǎn)B'

所以多面體A'DDA-EFGCE的正視圖為?

故選：D

8.^1=()

sin250-l

A.-正B.顯C.-2D.2

22

【答案】C

【分析】利用誘導(dǎo)公式和降塞公式化簡(jiǎn)即得解.

sin800+lcoslO+12：：cos10+1一？

【詳解】解：由題得sin?5。一11-cos100-coslO'-1.

---------------1

2

故選：C

9.如圖甲，首鋼滑雪大跳臺(tái)是冬奧歷史上第一座與工業(yè)遺產(chǎn)再利用直接結(jié)合的競(jìng)賽場(chǎng)

館，大跳臺(tái)的設(shè)計(jì)中融入了世界文化遺產(chǎn)敦煌壁畫中“飛天”的元素.如圖乙，某研究性學(xué)

習(xí)小組為了估算賽道造型最高點(diǎn)A距離地面的高度A8(AB與地面垂直)，在賽道一側(cè)

找到一座建筑物C。，測(cè)得C。的高度為〃，并從C點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為30。；在賽道與

建筑物CD之間的地面上的點(diǎn)E處測(cè)得A點(diǎn)，C點(diǎn)的仰角分別為75。和30。(其中3,E,

。三點(diǎn)共線).該學(xué)習(xí)小組利用這些數(shù)據(jù)估算得A3約為60米，則8的高/?約為()米

（參考數(shù)據(jù)：&=1.41，石=1.73,6=2.45）

A.11B.20.8C.25.4D.31.8

【答案】C

【分析】易得乙=75。,NACE=60°,ZCAE=45。，在Rt^ABE中，求出AE,在AACE

中，利用正弦定理求得CE,在解直角三角形即可得出答案.

【詳解】解：由題意可得乙4砥=75。,/。石。二30。，

則ZAEC=75°,ZACE=60°,ZC4E=45°,

AB60

在用八43石中，AE=

sin75°sin75°

AECE

在中，因?yàn)?/p>

sinZACEsinZCAE

所以C￡=2&,

sin75°

所以C0=LCEX

2sin75°

又sin75°=sin(45°+30°)=#*?

所以8=望烏=60-20辰60-20x1.73=25.4(米).

V6+V2

故選：C.

10.隨著北京冬殘奧會(huì)的開幕，吉祥物“雪容融”火遍國(guó)內(nèi)外，現(xiàn)有3個(gè)完全相同的“雪

容融”,甲、乙、丙3位運(yùn)動(dòng)員要與這3個(gè)“雪容融'’站成一排拍照留念，則有且只有2個(gè)“雪

容融”相鄰的排隊(duì)方法數(shù)為()

A.36B.72C.120D.432

【答案】B

【分析】先將三位運(yùn)動(dòng)員排成一排，形成的4個(gè)空隙，再將2組“雪容融”插入4個(gè)空隙

即可，這里要注意“雪容融’’完全相同，是沒有順序的.

【詳解】解：甲、乙、丙3位運(yùn)動(dòng)員站成一排，在三位運(yùn)動(dòng)員形成的4個(gè)空隙中選兩個(gè),

一個(gè)插入2個(gè)“雪容融”，一個(gè)插入1個(gè)“雪容融”，

共有4；吊=72種排法.

故選：B.

11.已如A,8,C是表面積為16%的球。的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC=AB=1,ZA8C=30。,

則三棱錐O-ABC的體積為()

1B-<C，D.*

A.—

12

【答案】c

【分析】設(shè)球的半徑為R,AABC外接圓的半徑為，根據(jù)題意求出r,R,再根據(jù)球心O

到的距離“MVF：/，即三棱錐O-45C的高，從而可得出答案.

【詳解】解：設(shè)球的半徑為R,AMC外接圓的半徑為「,

在AABC中，由AC=M=1,ZABC=30°,則N84c=120。

AT

得2r=EE=2,所以一],

因?yàn)榍?。的表面積為161,

則4萬(wàn)*=16%,解得R=2,

所以球心。到AABC的距離〃=VF=7=百，

即三棱錐O-A8C的高為6，

I巧

SiABC=-A8AC-sinZBAC=^-,

所以三棱錐O_ABC的體積%_4%=；、孝、6=；.

故選：C.

12.定義域?yàn)镽的函數(shù)/(X)滿足:①對(duì)任意2"不<.都有(內(nèi)一七)[/(百)-/5)]>。；

②函數(shù)y=/(x+2)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.若實(shí)數(shù)$一滿足/(2s+2f+2)<〃s+3),則當(dāng)

叱[0』時(shí),段的取值范圍為()

y_2

A.B.T2.

4,3_

-00,1u[2,+oo)

C.42D.

【答案】A

【分析】現(xiàn)根據(jù)題目對(duì)函數(shù)性質(zhì)的描述得出函數(shù)是關(guān)于X=2軸對(duì)稱，且在(H。,2)單調(diào)

遞減，在(2,+8)單調(diào)遞增，從而得至“2s+2f|4|s+l|,去絕對(duì)值得到不等式組，利用線

性規(guī)劃求解即可.

【詳解】由題，由條件①結(jié)合單調(diào)性定義可知，函數(shù)f(x)在(2,+8)上單調(diào)遞增，由條

件②可知，函數(shù)f(x)向左平移2個(gè)單位關(guān)于y軸對(duì)稱則說明/(x)關(guān)于*=2軸對(duì)稱；

所以/(X)是關(guān)于x=2軸對(duì)稱，且在(口,2)單調(diào)遞減，在(2,+8)單調(diào)遞增的函數(shù)；

若實(shí)數(shù)s,/滿足/(2s+2r+2)4/(s+3),結(jié)合圖像，則說明橫坐標(biāo)距離x=2越近，函

數(shù)值就越??；所以可得關(guān)于實(shí)數(shù)s,r的不等式|25+2仁卜+1|,兩邊平方得

⑵+2f)2V(s+l)2=>(2s+2f)2-(s+l)2VQ=>(s+2t—l)(3s+2f+l)V()所以得:

[5+2Z-1<0廣、—[s+2f-l20

[3s+2r+lN0①或13s+2f+lWO②

令s=y,x=f（04，Wl）,畫出不等式組可行域:

聯(lián)立方程組fy出++22xx-+ll==00得點(diǎn)”,I)、；

f+1—x+1一x+1_1*y-(-2)

f+s+3x+y+3x+l+y+21?y+2,令2=欠十]=工_(_])，由此z的范圍可看

X+lI)

13112

作點(diǎn)4與8,C兩點(diǎn)連線斜率的范圍，即所以y+z“n/13

所以;《品Mg

故選：A

二、填空題

13.曲線〃力=-^-在點(diǎn)（0,〃0））處的切線方程為.

X—1

【答案】2x+y+l=0

【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)，得到斜率，點(diǎn)斜式寫出切線方程.

X0*

【詳解】因?yàn)樗浴?）=念=-1，/'（力=不可（》一2）,

所以尸（。）=7^（。-2）=-2.

所以曲線/（x）=W-在點(diǎn)（O"（O））處的切線方程為y+l=-2（x—0）,即2x+y+l=0.

故答案為：2x+y+\=0

14.若欠=3同，aY（2a-b）,則￡與5夾角的余弦值為.

【答案】|

【分析】先利用￡A（2￡-5）得到Z?（2￡R=0,再結(jié)合忖=3同化簡(jiǎn)得出結(jié)果.

【詳解】設(shè)￡與石的夾角為。,由?。?￡叫得叫2a5）=0,

即a-Qq-B）=2/_“石=2向-p/|-|^|cos0=0,又忖=3"，2p/|-|o|-3|o|cos^=0,解

2

得cose=（.

故答案為：

15.已知點(diǎn)尸在圓f+y2=i上，A（-2,0）,8（0,2）,則麗.麗的最小值為

【答案】1-2夜一2近+1

【分析】設(shè)P(cosasin0),ee[0,2)],再根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合三角函數(shù)

的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】解:由點(diǎn)P在圓一+y2=i上,可設(shè)P(cos6?,sin0),0q0,2i],

則/^4=(-2-cos0,-sin0),PB=(-cos^,2-sin<?),

所以PA-PB=2cos0+cos20-2sind+sin。0=20cos(，+5)+1,

當(dāng)6+2=萬(wàn)，即。=與，即/一坐，坐]時(shí)，

44122；

蘇.麗取得最小值1-20.

故答案為：1-20.

16.在銳角三角形ABC中，。是線段BC上的一點(diǎn)，且滿足通+/=2而，AD=AB,

則tanA+tan8+tanC的最小值是.

【答案】6

【分析】根據(jù)通+元=2而，可得點(diǎn)。是8C的中點(diǎn)，不妨設(shè)5￡>=C￡)=1,作AH_L3C

交BC于點(diǎn)H,設(shè)AH=/?,(a>0),則tanB=2〃,tanC=t〃，再根據(jù)三角函數(shù)內(nèi)角關(guān)系

及兩角和的正切公式求得tanA,從而可將tanA+tanB+tanC用力表示，再利用導(dǎo)數(shù)即可

求出答案.

【詳解】解：因?yàn)橥?衣=2而，

所以福一通=而一次，即麗=麗，

所以點(diǎn)。是5c的中點(diǎn)，

不妨設(shè)班)=8=1,

作AH1.3C交3c于點(diǎn)H,設(shè)AH=/?,(〃>0),

因?yàn)?)=AB,所以BH=DH=g,

2

則tanB=2/7,tanC=—/1,

tanC+tanB8/?

則tanA=-tan(C+3)=-

1-tanCtanB4/?2-3

,,232川

lf8/7

故tanA+tanZ?+tanC=2/?+—/?+4ft2-3-3(4/?2-3)，

32/?3

令〃〃)=(/?>0),

3(4/Z2-3)

則尸㈤3二2言/（4萬(wàn)?-端9），

當(dāng)o<〃<;時(shí)，r（/i）<o,當(dāng)時(shí)，r（/z）>o,

所以函數(shù)/（S在］。，之上遞減，在C，+8）上遞增，

所以〃嘰n=f圖=6,

所以tanA+tan8+tanC的最小值是6.

故答案為：6.

三、解答題

17.冰墩墩是2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)的吉祥物，將熊貓形象與富有超能量的冰晶外殼

相結(jié)合，頭部外殼造型取自冰雪運(yùn)動(dòng)頭盔，裝飾彩色光環(huán)，整體形象酷似航天員，深受

廣大民眾的喜愛，已成為最火爆的商品，“一墩難求”.某調(diào)查機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取100人，對(duì)是

否有意向購(gòu)買冰墩墩進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下表：

年齡/歲[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80]

抽取人數(shù)102025151875

有意向購(gòu)買的

10182291042

人數(shù)

（1）若以年齡40歲為分界線，由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面的2x2列聯(lián)表，并判斷是否有

99.9%的把握認(rèn)為購(gòu)買冰墩墩與人的年齡有關(guān)？

年齡低于40歲的人數(shù)年齡不低于40歲的人數(shù)總計(jì)

有意向購(gòu)買冰墩墩的人數(shù)

無(wú)意向購(gòu)買冰墩墩的人數(shù)

總計(jì)

（2）若從年齡在［60,70）的被調(diào)查人群中隨機(jī)選出3人進(jìn)行調(diào)查，設(shè)這三人中打算購(gòu)買冰

墩墩的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n^ad-bcy

參考數(shù)據(jù)：K'其中n=a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(6+")'

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有99.9%的把握性認(rèn)為購(gòu)買冰墩墩與人的年齡有關(guān)；

12

（2）分布列見解析，y.

【分析】（1）由表格中的數(shù)據(jù)，分別求得年齡低于40歲的人數(shù)、有意向購(gòu)買的人數(shù)、

年齡不低于40歲的人數(shù)、有意向購(gòu)買的人數(shù)，得出2x2的列聯(lián)表，利用公式求得觀測(cè)

值，結(jié)合附表即可求解；

（2）根據(jù)題意得到購(gòu)買冰墩墩的人數(shù)X可能取值為0』,2,3,求得相應(yīng)的概率，利用期

望的公式，即可求解.

【詳解】（1）解：由表格中的數(shù)據(jù)，可得年齡低于40歲的人數(shù)為10+20+25=55人，其

中有意向購(gòu)買的人數(shù)為10+18+22=50人，年齡不低于40歲的人數(shù)為15+18+7+5=45

人，其中有意向購(gòu)買的人數(shù)為9+10+4+2=25人，

可得2x2的列聯(lián)表，如下表所示：

年齡低于40歲的人數(shù)年齡不低于40歲的人數(shù)總計(jì)

有意向購(gòu)買冰墩墩的人數(shù)502575

無(wú)意向購(gòu)買冰墩墩的人數(shù)52025

總計(jì)5545100

可得蜉尸匚1。。（5。乂20-2516.498>10.828,

（〃+/?）（c+d）（a+c）（/?+d）55x45x75x25

所以有99.9%的把握性認(rèn)為購(gòu)買冰墩墩與人的年齡有關(guān).

⑵解：表格中的數(shù)據(jù)，可得年齡在［60,70）的人數(shù)為7人，其中有意向購(gòu)買的人數(shù)為4

人，無(wú)意向購(gòu)買的人數(shù)為3人，

從被調(diào)查人群中隨機(jī)選出3人,打算購(gòu)買冰墩墩的人數(shù)X可能取值為01,2,3,

可得尸（x=。）哈=套尸—1）=等嚼

p（x=2）=警T，p（x=3）=￡q,

則隨機(jī)變量x的分布列為：

X0123

112184

P

35353535

所以期望為：E(X)=Ox—+lx—+2x—+3XA=12

353535357

311

18.已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，滿足天=一3一一77-

an-2凡十”

⑴求數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列｛（T）"（S"一3〃）｝的前n項(xiàng)和T?.

【答案】⑴?！?2〃+2

S、T（一1）"〃（〃+1）

⑵小-----2----

【分析】（1）由%=S“-Si（〃之2）得出數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，從而易得通項(xiàng)公式；

（2）按〃的奇偶性分類討論，在〃為偶數(shù)時(shí)，并項(xiàng)利用因式分解再由等差數(shù)列的前〃項(xiàng)

和公式計(jì)算，〃為奇數(shù)時(shí)，由】=（川-。向計(jì)算可得.

311

【詳解】（1）〃=1時(shí)，丁=---z---yr,又4>。，解得4=4,

2q〃1-267,+4

311,

由瓦二右1一千得41=可+2《，-8,

〃22時(shí)，4S“_1=a"+2a,--8,

兩式相減得4??=4S?-45?_,=?;-<,+2??-2a?_,,

-a?,i-2）=0,又%>0,所以a“-a“_|=2,

■“｝是等差數(shù)列,

所以4,=4+2(〃-1)=2〃+2；

⑵由(1)S“=〃(4+；〃+2)=/+3〃,

(-l)n(S?-3n)=(-l)".n2,

7；,=-l2+22-3n+4,,+---+(-l)n-/72,

”為偶數(shù)時(shí)，

T—(―1+2~)+(—3-+4-)+…+[—(72—1)~+n~]=1+2+3+4++(〃—1)+〃=—〃(n+1),

2

〃為奇數(shù)時(shí)，Tn=TMi-q用=g(〃+1)(〃+2)-("+1了=一改羅，

所以

19.如圖，己知直三棱柱AqG-ABC中，側(cè)面為正方形，AB=BC=2,D,E,

E分別為AC,BC,用8的中點(diǎn)，C/_LA4,G為線段OE上一動(dòng)點(diǎn).

(1)證明：C.FLAfi.

(2)求二面角C.-AG-B,的余弦值的最大值.

【答案】(1)證明見解析

⑵孚

【分析】(1)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出向量于，而

的坐標(biāo)，計(jì)算其數(shù)量積，可證明C/，AG；

(2)由(1),表示出平面GAG和平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式求得二面

角J—AG-BI的余弦值的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的知識(shí)求得最大值.

【詳解】(1)在直三棱柱A4C-ABC中，側(cè)面4A48為正方形，

所以A8||44,ABJBIB,

而C/_LA4,cC/=尸,8乃,C/u平面BB￡C,

所以平面84GC,

所以Afi_L平面BBGC,8Cu平面BBCC,,所以鉆_L8C,

故以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，以84為x軸，以8c為y軸，以BB,為z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，如圖：

則A(2,0,0),A,(2,0,2),C(0,2,0),C,(0,2,2),￡>(1,1,0),￡(0,1,0),F(0,0,1),B,(0,0,2),

故麗=(1,0,0),G為線段￡>E上一動(dòng)點(diǎn).，

設(shè)的=2而,(0<A<l)?則訪=2(1,0,0),故G(4l,0),

所以于=(0,_2,—1),而=(兒_2,1._2),

故彳廂=(0,-2,-1)(2-2,1.-2)=0,

所以于上和，即C/，AG；

⑵由(1)可知：而=(—2,2,0),而=(4—2,1.—2),麗=(—2,0,0),

沅?AG=o

設(shè)平面C0G的法向量為麗=(x,y,z),貝卜

而.而=0'

-2x+2y=0入八，一

即(4-2)x+y-2z-0‘令^=2,則’=2,z='7‘則"=(2,2,4-1),

小冉=0

設(shè)平面的法向量為力=(a,b,c),則，

萬(wàn).麗=0'

-2a=0-

即("2)a+八2c=0'則"=°'"=1'則"=2，則〃=。2,1)，

故設(shè)二面角C-AG-4的平面角為。，結(jié)合圖形，。為銳角,

故cos6=|cos〈加區(qū)〉|=|/:|=?后/]丁,

5/5,j8+(4—1)>/5,8+(幾—1)

c,IA+3IId1

,八cos6=|-1—=「—=-------.—

令4+3=f，P3,4],國(guó)8+("1)2國(guó)8+("4)2亞竺，

而函數(shù)>=4-號(hào)+1在led，」時(shí)單調(diào)遞增，故1=)時(shí)，丫=4-§+1取最小值，

ttt43t4tt

八1L

11cosJ=----,Jin

即當(dāng)上=：,BP/=4,A=1時(shí)，￡248i取得最大值為業(yè)1.

t4V5J-p--y+l5

20.已知圓0:/+;/=2與x軸交于A,B兩點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)尸滿足直線AP與直線BP的斜率

之乘積為一萬(wàn).

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；

(2)過點(diǎn)(1,0)的直線/與曲線E交于M,N兩點(diǎn)，則在x軸上是否存在定點(diǎn)Q,使得亞?麗

的值為定值？若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)和該定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴]+丁=1,(X*土&)；

(2)存在點(diǎn),。]使得西?麗為定值二，理由見解析；

【分析】(1)設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P(x,y)(xR±0),利用直接法求解軌跡方程；(2)先求出直線

/斜率為0時(shí)不合題意，得到直線斜率不等于0,從而設(shè)出直線/的方程x=l+6,聯(lián)立

第一問求出的軌跡方程，利用韋達(dá)定理得到兩根之和，兩根之積，設(shè)出Q(m,0),求解

QMQN，化簡(jiǎn)整理得到西?麗=(>-2)-誓從而得到存在點(diǎn)使得

_____7

西麗為定值-77.

16

【詳解】⑴令尸。得：x=±V2,不妨設(shè)A（-^,O）,3（0,O），*乂日1工±&）,則

kp,\'kpB=—匕后---匕大二一4，整理得：—+y2=1，（X^±V2）；動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程E

為5+y2=i,（x*±@；

⑵存在點(diǎn)Q（，％o）,使得西?麗為定值，理由如下：

當(dāng)直線/斜率為0時(shí)，則直線/為y=o,此時(shí)與1+丁=1,（xx土&）無(wú)交點(diǎn)，故不合

題意，舍去，即直線/斜率不為0

設(shè)Q（m,o）,直線/設(shè)為％=1+外，則與、+9=1,（XW土&）聯(lián)立得：

（公+2）y2+2由-1=0,設(shè)M（“|）,加（々,%），則%+%=-y^，yM=-77二，所

以QM.QN=（演-m,yx）\x2-m,y2）=（x}-m）（x2-m）+y,y2

當(dāng)4m-5=0即機(jī)=3時(shí)，西?麗為定值，即存在點(diǎn)。信，。]使得西?麗為定值

4）16

綜上：存在點(diǎn)Q仔,。]使得西?麗為定值

14）10

【點(diǎn)睛】圓錐曲線上是否存在點(diǎn)使某些量為定值的題目，經(jīng)?？疾欤话泐}目計(jì)算量大，

且變量多，此時(shí)要抓住核心不變量，進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，主要方法是分離常數(shù)法，配方法等,

47??-5

本題中，將西?麗化簡(jiǎn)整理為兩?麗=（裙-2）-是解題的關(guān)鍵所在.

V+2

21.已知函數(shù)/(x)=e2"+ae'(awR)

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

⑵設(shè)g（x）=a（l-x）e*+x2,若方程g（x）=/（x）有三個(gè)不同的解，求a的取值范圍.

【答案】（1）詳見解析

（2）a<——e

e

【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分。=0和a>0討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）參變分離后得a=再設(shè)f='，/?（￡）=?；，根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的圖象，求得

實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【詳解】（1）rW=2e2r+aev=e'（2e'+a）,

當(dāng)aNO時(shí)，f^xy0,函數(shù)在（Y>,M）單調(diào)遞增，

當(dāng)"<0時(shí)，網(wǎng)x）=0,得x=ln[*]

當(dāng)式』,-?［時(shí)，用x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，/^x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，

綜上可知，當(dāng)a20時(shí)、函數(shù)在(十,”)單調(diào)遞增，

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是

函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是1-8,In,，］)

⑵由/(x)=g(x),化簡(jiǎn)為e2^=x2-are',

設(shè)〃(力=￡_三，設(shè)"/，則A(f)=f-；,

?x)==，當(dāng)工>1時(shí)，，(x)<。，函數(shù)單調(diào)遞減,

當(dāng)X<1時(shí)，?x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)f==的V最大值r(l)」1，

ee

畫出函數(shù)〃(。=一；的圖象，由圖可知、=。與)，=一；的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的乙石，一正一負(fù)，

如圖，畫出函數(shù)，二=r7的圖象，

e