1.2 展開與折疊（解析版）-2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊章節(jié)同步實(shí)驗(yàn)班培優(yōu)題型變式訓(xùn)練（北師大版）

2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊章節(jié)同步實(shí)驗(yàn)班培優(yōu)題型變式訓(xùn)練（北師大版）1.2展開與折疊題型導(dǎo)航展展開與折疊幾何體展開圖形的認(rèn)識題型1幾何體展開圖形的認(rèn)識由展開圖形計(jì)算幾何體面積題型2由展開圖形計(jì)算幾何體面積由展開圖形計(jì)算幾何體者體積題型3由展開圖形計(jì)算幾何體者體積正方體的展開圖題型4正方體的展開圖正方體相對兩個(gè)面題型5正方體相對兩個(gè)面題型變式【題型1】幾何體展開圖形的認(rèn)識1．（2022·江蘇泰州·中考真題）如圖為一個(gè)幾何體的表面展開圖，則該幾何體是(

)A．三棱錐 B．四棱錐 C．四棱柱 D．圓錐【答案】B【解析】【分析】底面為四邊形，側(cè)面為三角形可以折疊成四棱錐．【詳解】解：由圖可知，底面為四邊形，側(cè)面為三角形，∴該幾何體是四棱錐，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是幾何體的展開圖，熟記常見立體圖形的展開圖特征是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】2．（2022·江蘇常州·中考真題）下列圖形中，為圓柱的側(cè)面展開圖的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，注意其按圓柱的側(cè)面沿它的一條母線剪開，分析得到圖形的性質(zhì)，易得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，把圓柱的側(cè)面沿它的一條母線剪開展在一個(gè)平面上，得到其側(cè)面展開圖是對邊平行且相等的四邊形；又有母線垂直于上下底面，故可得是矩形．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓柱的展開圖，解題的關(guān)鍵是需要對圓柱有充分的理解；難度不大．【題型2】由展開圖形計(jì)算幾何體面積1．（2022·全國·七年級）若圓柱的底面半徑為3，母線長為5，則這個(gè)圓柱的側(cè)面積為（）A．15 B．12π C．15π D．30π【答案】D【解析】【分析】根據(jù)“圓柱側(cè)面積＝底面周長×高”進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)側(cè)面積公式可得：π×2×3×5＝30π，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是弄清圓柱的側(cè)面積的計(jì)算方法，圓柱的側(cè)面積＝底面圓的周長×高．【變式2-1】2．（2021·全國·七年級單元測試）如圖是一個(gè)食品包裝盒的表面展開圖．(1)請寫出這個(gè)包裝盒的形狀的名稱；(2)根據(jù)圖中所標(biāo)的尺寸，計(jì)算此包裝盒的表面積和體積．【答案】(1)此包裝盒是一個(gè)長方體(2)此包裝盒的表面積為：，體積為：．【解析】【分析】（1）根據(jù)圖示可知有四個(gè)長方形和2個(gè)正方形組成，故可知是長方體；（2）根據(jù)長方體的表面積公式和體積公式分別進(jìn)行計(jì)算即可．(1)由展開圖可以得出：此包裝盒是一個(gè)長方體．(2)此包裝盒的表面積為：2×b2+4×ab=2b2+4ab；體積為b2×a=ab2．【點(diǎn)睛】此題考查了幾何體的展開圖，用到的知識點(diǎn)是長方體的表面積公式和體積公式，解題的關(guān)鍵是找出長方體的長、寬和高．【題型3】由展開圖形計(jì)算幾何體體積1．（2022·臺(tái)灣·模擬預(yù)測）如圖為一個(gè)長方體的展開圖，且長方體的底面為正方形．根據(jù)圖中標(biāo)示的長度，求此長方體的體積為何？（

）A．144 B．224 C．264 D．300【答案】B【解析】【分析】根據(jù)展開圖，可以求得原來長方體的底面的邊長和高，然后根據(jù)長方體的體積公式計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)原長方體底面邊長為，長方體高為，，，解得，，長方體的體積為：，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的展開圖，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式3-1】2．（2022·河南信陽·七年級期末）如圖所示是一個(gè)幾何體的表面展開圖，則該幾何體的體積為_________．（結(jié)果用含π式子表示）【答案】【解析】【分析】由展開圖可知，該幾何體為圓柱，底面是以4為直徑的圓，高為6，根據(jù)圓柱的體積為，計(jì)算求解即可．【詳解】解：由展開圖可知，該幾何體為圓柱底面是以4為直徑的圓，高為6∴圓柱的體積故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的展開圖，幾何體的體積等知識．解題的關(guān)鍵在于明確該幾何體的表面展開圖是圓柱的表面展開圖．【題型4】正方體的展開圖2．（2021·貴州六盤水·七年級期末）下面圖形中哪一個(gè)不是正方體的表面展開圖(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】把每一個(gè)正方體的平面展開圖經(jīng)過折疊，然后再進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．經(jīng)過折疊，有兩個(gè)面重疊，不能圍成正方體，故A符合題意；B．經(jīng)過折疊，能圍成正方體，故B不符合題意；C．經(jīng)過折疊，能圍成正方體，故C不符合題意；D．經(jīng)過折疊，能圍成正方體，故D不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的表面展開圖，認(rèn)清正方體的表面展開圖的模型是解題的關(guān)鍵．正方體的表面展開圖用“口訣”：一線不過四，田凹應(yīng)棄之，相間、Z端是對面，間二、拐角鄰面知．【變式4-1】2．（2022·貴州·仁懷市教育研究室一模）下列哪個(gè)圖形是正方體的展開圖（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由平面圖形的折疊及立體圖形的表面展開圖的特點(diǎn)解題．【詳解】解：根據(jù)正方體展開圖的特征，選項(xiàng)A、C、D不是正方體展開圖；選項(xiàng)B是正方體展開圖．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方體的展開圖，正方體展開圖有11種特征，分四種類型，即：第一種：“1﹣4﹣1”結(jié)構(gòu)，即第一行放1個(gè)，第二行放4個(gè)，第三行放1個(gè)；第二種：“2﹣2﹣2”結(jié)構(gòu)，即每一行放2個(gè)正方形，此種結(jié)構(gòu)只有一種展開圖；第三種：“3﹣3”結(jié)構(gòu)，即每一行放3個(gè)正方形，只有一種展開圖；第四種：“1﹣3﹣2”結(jié)構(gòu)，即第一行放1個(gè)正方形，第二行放3個(gè)正方形，第三行放2個(gè)正方形．【題型5】正方體相對兩個(gè)面1．（2020·陜西商洛·七年級期末）如圖是正方體的展開圖，若約定用字母S表示正方體的側(cè)面，用T表示上面，A表示底面，則字母A在展開圖中的位置是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【解析】【分析】正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個(gè)正方形，根據(jù)這一特點(diǎn)作答．【詳解】解：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個(gè)正方形，∵S表示正方體的側(cè)面，用T表示上面，A表示底面，∴“S”與“②”是相對面，T與④是相對面．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方體相對兩個(gè)面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題．【變式5-1】2．（2022·遼寧阜新·七年級期末）如圖，是正方體的一種表面展開圖，各面都標(biāo)有數(shù)字，則數(shù)字為?4的面與它對面的數(shù)字之和是_______．【答案】-7【解析】【分析】根據(jù)正方體的表面展開圖找相對面的方法，“Z”字兩端是對面，判斷即可．【詳解】解：由圖可知：-4與-3相對，∴-4+（-3）=-7，故答案為：-7．【點(diǎn)睛】本題考查了正方體相對兩個(gè)面上的文字，熟練掌握根據(jù)正方體的表面展開圖找相對面的方法是解題的關(guān)鍵．專項(xiàng)訓(xùn)練一．選擇題1．（2021·廣東深圳·中考真題）如圖是一個(gè)正方體的展開圖，把展開圖折疊成小正方體后，和“建”字所在面相對的面上的字是（

）A．跟 B．百 C．走 D．年【答案】B【解析】【分析】正方體的平面展開圖中，相對面的特點(diǎn)是之間一定相隔一個(gè)正方形，據(jù)此作答．【詳解】∵正方體的平面展開圖中，相對面的特點(diǎn)是之間一定相隔一個(gè)正方形，∴在此正方體上與“建”字相對的面上的漢字是“百”．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的展開圖形，解題關(guān)鍵是從相對面入手進(jìn)行分析及解答問題．2．（2021·浙江金華·中考真題）將如圖所示的直棱柱展開，下列各示意圖中不可能是它的表面展開圖的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由直棱柱展開圖的特征判斷即可．【詳解】解：圖中棱柱展開后，兩個(gè)三角形的面不可能位于同一側(cè)，因此D選項(xiàng)中的圖不是它的表面展開圖；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了常見幾何體的展開圖，解決本題的關(guān)鍵是牢記三棱柱展開圖的特點(diǎn)，即其兩個(gè)三角形的面不可能位于展開圖中側(cè)面長方形的同一側(cè)即可．3．（2022·北京市廣渠門中學(xué)九年級階段練習(xí)）下列四個(gè)圖中，是三棱錐的表面展開圖的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三棱錐是由四個(gè)三角形組成，即可求解【詳解】解：A是四棱柱，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B是三棱錐，故該選項(xiàng)正確，符合題意；C是四棱錐，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D是三棱柱，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】．本題考查了三棱錐的側(cè)面展開圖，解題的關(guān)鍵是掌握三棱錐是由四個(gè)三角形組成．4．（2021·廣東·中考真題）下列圖形是正方體展開圖的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正方體的展開圖的特征，11種不同情況進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)正方體的展開圖的特征，只有第2個(gè)圖不是正方體的展開圖，故四個(gè)圖中有3個(gè)圖是正方體的展開圖．故選：C．【點(diǎn)睛】考查正方體的展開圖的特征，“一線不過四，田凹應(yīng)棄之”應(yīng)用比較廣泛簡潔．5．（2019·河北·石家莊市第四十一中學(xué)一模）在圖上剪去一個(gè)圖形，剩下的圖形可以折疊成一個(gè)長方體，則剪去的這個(gè)圖形是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】A【解析】【分析】根據(jù)長方體的相對面形狀、大小完全相同即可找出剪去的面．【詳解】如圖所示：①與⑤相隔一個(gè)面，④與⑤也相隔一個(gè)面，因?yàn)棰芘c⑤的形狀、大小相同，而①與⑤的形狀、大小不同，所以⑤的相對面只能是④，故剪去①，剩下的圖形可以折疊成一個(gè)長方體．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是長方體的表面展開圖，根據(jù)長方體的表面展開圖中相對面的找法即可作出判斷．6．（2021·山東煙臺(tái)·期中）觀察下列圖形，其中不是正方體的表面展開圖的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】利用正方體及其表面展開圖的特點(diǎn)解題．【詳解】解：A、C、D均是正方體表面展開圖；B、是凹字格，故不是正方體表面展開圖．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的展開圖，熟記展開圖的11種形式是解題的關(guān)鍵，利用不是正方體展開圖的“一線不過四、田凹應(yīng)棄之”（即不能出現(xiàn)同一行有多于4個(gè)正方形的情況，不能出現(xiàn)田字形、凹字形的情況）判斷也可．二、填空題7．（2021·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，將甲、乙、丙、丁四個(gè)小正方形中的一個(gè)剪掉，使余下的部分不能圍成一個(gè)正方體，則剪掉的這個(gè)小正方形是________【答案】丁【解析】【分析】能圍成正方體的“一四一”，“二三一”，“三三”，“二二二”的基本形態(tài)要記牢．解題時(shí)，據(jù)此即可判斷答案．【詳解】解：將如圖所示的圖形剪去一個(gè)小正方形，使余下的部分不能圍成一個(gè)正方體，編號為甲乙丙丁的小正方形中剪去的是丁，故答案為：丁.【點(diǎn)睛】本題考查了展開圖折疊成正方體的知識，解題關(guān)鍵是根據(jù)正方體的特征，或者熟記正方體的11種展開圖，只要有“田”，“凹”字格的展開圖都不是正方體的表面展開圖．8．（2022·湖南常德·中考真題）如圖是一個(gè)正方體的展開圖，將它拼成正方體后，“神”字對面的字是________．【答案】月【解析】【分析】正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個(gè)正方形，根據(jù)這一特點(diǎn)作答．【詳解】解：由正方體的展開圖特點(diǎn)可得：“神”字對面的字是“月”．故答案為：月．【點(diǎn)睛】此題考查了正方體相對兩個(gè)面上的文字的知識；掌握常見類型展開圖相對面上的兩個(gè)字的特點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．9．（2021·全國·七年級專題練習(xí)）一個(gè)正方體的每一個(gè)面分別標(biāo)上數(shù)字1、2、3、4、5、6，根據(jù)圖中的正方體（1）、（2）、（3）三種狀態(tài)所顯示的數(shù)字，可推出“？”處的數(shù)字是____．【答案】6【解析】【分析】由于（1）、（2）兩個(gè)正方體中都顯示了數(shù)字1，通過觀察可1周圍四個(gè)面分別是4，5，2，3，則1的對面是6；又通過（2）、（3）可知與3相鄰的數(shù)是1，2，5，6，則3的對面是4，則2與5相對，所以？定是1，6兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)，由于6同時(shí)和3、5相鄰，則？處的數(shù)是6．【詳解】由（1）、（2）可知，1周圍四個(gè)面分別是4，5，2，3，則1的對面是6；由過（2）、（3）可知與3相鄰的數(shù)是1，2，5，6，則3的對面是4，則2與5相對，所以？定是1，6兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)，又6同時(shí)和3、5相鄰，則？處的數(shù)是6．故答案為6．【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的空間想象能力和推理能力，通過三個(gè)正方體中能看到的數(shù)字推出三組相對的數(shù)字是完成本題的關(guān)鍵，也可動(dòng)手操作得到．10．（2019·河南·獲嘉縣亢村鎮(zhèn)第一初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）有一個(gè)正六面體骰子放在桌面上，將骰子沿如圖所示順時(shí)針方向滾動(dòng)，每滾動(dòng)90°算一次，則滾動(dòng)第2018次后，骰子朝下一面的數(shù)字是_____．【答案】3．【解析】【分析】觀察圖形知道點(diǎn)數(shù)3和點(diǎn)數(shù)4相對，點(diǎn)數(shù)2和點(diǎn)數(shù)5相對，分別確定出前四次滾動(dòng)后朝下的點(diǎn)數(shù)；根據(jù)題意可知四次一循環(huán)，接下來用2018除以4，根據(jù)余數(shù)即可確定答案.【詳解】觀察圖形知道點(diǎn)數(shù)3和點(diǎn)數(shù)4相對，點(diǎn)數(shù)2和點(diǎn)數(shù)5相對，則點(diǎn)數(shù)1與點(diǎn)數(shù)6相對，且骰子朝下一面的點(diǎn)數(shù)是2，3，5，4依次循環(huán)，∵2018÷4=504……2，∴滾動(dòng)第2018次后與第2次相同，∴朝下的點(diǎn)數(shù)為3.故答案為3.【點(diǎn)睛】本題考查了探究規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意掌握循環(huán)的規(guī)律.11．（2021·全國·七年級單元測試）長方體紙盒的長、寬、高分別是，若將它沿棱剪開，展成一個(gè)平面圖形那么這個(gè)平面圖形的周長的最小值是_______.【答案】【解析】【分析】分析長方體展開圖所得的平面圖形得到周長最小的情況，畫出圖形，然后計(jì)算，即可得到答案.【詳解】解：根據(jù)題意，長方體展開圖所得的平面圖形周長最小的情況：如下圖，∴最小周長為：cm；故答案為：92.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的展開圖，熟練掌握幾何體的幾種展開圖是解題的關(guān)鍵.12．（2022·全國·七年級）如圖①是一個(gè)小正方體的側(cè)面展開圖，小正方體從如圖②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，這時(shí)小正方體朝上面的字是__________．【答案】路【解析】【分析】先由圖1分析出：“國”和“興”是對面，“夢”和“中”是對面，“復(fù)”和“路”是對面，再由圖2結(jié)合空間想象得出答案．【詳解】解：由圖1可知：“國”和“興”是對面，“夢”和“中”是對面，“復(fù)”和“路”是對面，再由圖2可知，1、2、3、4、5分別對應(yīng)的面是“興”、“夢”、“中”、“興”、“復(fù)”，所以第5格朝上的字是“路”．所以答案是路．【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的展開圖，用空間想象去解決正方體的滾動(dòng)是解題的關(guān)鍵．三、解答題13．（2021·全國·七年級專題練習(xí)）如圖7，在正方體的表面展開圖內(nèi)填入適當(dāng)?shù)淖?，使與之相對的面上的字具有相反意義．（1）請你移動(dòng)圖中的一個(gè)小正方形，使之仍然是正方體的表面展開圖．（2）若圖中一個(gè)小正方形的邊長為，那么原正方體的棱長是多少？表面積是多少？【答案】（1）把填“下”的小正方形下移與“壞”相連即可．（答案不唯一）；（2）棱長為，表面積為．【解析】【分析】（1）展開圖中,若兩個(gè)在同一直線上的面相隔一個(gè)面,則它們必相對,即相間必相對；（2）根據(jù)題意及面積公式進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.【詳解】從左向右依次填“黑”“壞”“下”．(1)把填“下”的小正方形下移與“壞”相連即可．（答案不唯一）

（2）棱長為，表面積為．【點(diǎn)睛】本題考查正方體相對兩個(gè)面上的文字解題的關(guān)鍵是知道若兩個(gè)在同一直線上的面相隔一個(gè)面,則它們必相對,即相間必相對.14．（2022·全國·七年級課時(shí)練習(xí)）一個(gè)無蓋的長方體盒子的展開圖如圖所示．（1）該盒子的底面的長為（用含a的式子表示）．（2）若①，②，③，④四個(gè)面上分別標(biāo)有整式2(x+1)，3x，，4，且該盒子的相對兩個(gè)面上的整式的和相等，求x的值．（3）請?jiān)趫D中補(bǔ)充一個(gè)長方形，使該展開圖折疊成長方體盒子后有蓋（請用含a的式子標(biāo)記出所畫長方形的長和寬的長度）．【答案】（1）3a；（2）x=-4；（3）見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)無蓋的長方體盒子的高為a，底面的寬為2a，即可得到底面的長；（2）根據(jù)該盒子的相對兩個(gè)面上的整式的和相等，列方程求解即可；（3）依據(jù)長方體的展開圖的特征，即可在圖中補(bǔ)充一個(gè)長方形，使該展開圖折疊成長方體盒子后有蓋．【詳解】解:（1）依據(jù)無蓋的長方體盒子的高為a，底面的寬為2a，故底面長為：5a-2a=3a．

（2）由題意，得2（x+1）-2=3x+4．

解得

x=-4．

（3）如圖所示：（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題主要考查了長方體的展開圖，從實(shí)物出發(fā)，結(jié)合具體的問題，辨析幾何體的展開圖，通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立空間觀念是解決此類問題的關(guān)鍵．15．（2019·全國·九年級單元測試）如圖，是由幾個(gè)小立方體所搭成的幾何體從上方看到的圖形，小正方形中的數(shù)字表示在該位置小立方塊的個(gè)數(shù)，已知小立方體邊長為1，求這個(gè)幾何體的表面積．（列式子表示計(jì)算過程）【答案】36．【解析】【詳解】試題分析：由已知條件畫出主視圖和左視圖，表面積根據(jù)三視圖分類計(jì)算，進(jìn)而求出表面積即可．試題解析：主視圖和左視圖如圖所示：上下表面：5×2=10，左右表面：5×2=10，前后表面：7×2=14，整個(gè)幾何體的表面積是10+10+14=36.故這個(gè)幾何體的表面積是34.16．（2022·全國·七年級課時(shí)練習(xí)）如圖所示的是一個(gè)長方體的表面展開圖，每個(gè)面上都標(biāo)注了字母（字母朝外），回答下列問題：(1)如果面在長方體的底部放置，那么哪一個(gè)面會(huì)在它的上面？(2)如果面在前面，從左面看是面，那么哪一個(gè)面會(huì)在上面？(3)從右面看是面，面在左面，那么哪一個(gè)面會(huì)在上面？【答案】(1)F面(2)“C”面或“E面(3)“B面或“D面【解析】【分析】根據(jù)長方體表面展開圖的特征進(jìn)行