專題01 一元二次方程的解法重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（原卷版）

專題01一元二次方程的解法重難點(diǎn)題型專訓(xùn)【題型目錄】題型一用直接開(kāi)方法解一元二次方程題型二用配方法解一元二次方程題型三用公式法解一元二次方程題型四用因式分解法解一元二次方程題型五用換元法解一元二次方程題型六根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況題型七根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)題型八配方法的應(yīng)用【經(jīng)典例題一用直接開(kāi)方法解一元二次方程】【解題技巧】開(kāi)平方法：對(duì)于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，可用開(kāi)平方法求解.形如的方程的解法：當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根?！纠?】（2023春·安徽·八年級(jí)淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）若一元二次方程的兩根分別是和，則的值為（

）A．16 B． C．25 D．或25【變式訓(xùn)練】1．（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）下列哪個(gè)是一元二次方程的解（

）A．， B．，C．， D．，2．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與的正半軸、的負(fù)半軸相交于兩點(diǎn)，已知的面積等于，則的值為_(kāi)_____．3．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）解關(guān)于的方程：．【經(jīng)典例題二用配方法解一元二次方程】【解題技巧】配方法：通過(guò)配方的方法把一元二次方程轉(zhuǎn)化為的方程，再運(yùn)用開(kāi)平方法求解。配方法的一般步驟：①移項(xiàng)：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；②“系數(shù)化1”：根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；③配方：將方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程變形為的形式；④求解：若時(shí)，方程的解為，若時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解。【例2】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）用配方法解下列方程時(shí)，配方正確的是（

）A．化為 B．化為C．化為 D．化為【變式訓(xùn)練】1．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）將方程配方成的形式，下列配方結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·河南駐馬店·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若定義如果存在一個(gè)數(shù)i，使，那么當(dāng)時(shí)，有，從而是方程的兩個(gè)根．據(jù)此可知：方程的兩根為_(kāi)__________（根用i表示）．3．（2022春·廣東揭陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）把代數(shù)式通過(guò)配湊等手段，得到局部完全平方式．再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式②，利用配方法求的最小值，解：∵，∴當(dāng)時(shí)，有最小值1．請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問(wèn)題：(1)在橫線上添加一個(gè)常數(shù)，使之成為完全平方式：______．(2)用配方法因式分解：．(3)若，求的最小值．(4)已知，則的值為_(kāi)_____．【經(jīng)典例題三用公式法解一元二次方程】【解題技巧】公式法：一元二次方程的根當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根不相等；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根相等，寫(xiě)為；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.公式法的一般步驟：①把一元二次方程化為一般式；②確定的值；③代入中計(jì)算其值，判斷方程是否有實(shí)數(shù)根；④若代入求根公式求值，否則，原方程無(wú)實(shí)數(shù)根。（因?yàn)檫@樣可以減少計(jì)算量。另外，求根公式對(duì)于任何一個(gè)一元二次方程都適用，其中也包括不完全的一元二次方程。）【例3】（2023春·浙江溫州·八年級(jí)?？计谥校┍环Q為“幾何之父”的古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得，在他的幾何原本中，記載了用圖解法解方程的方法，類似地我們可以用折紙的方法求方程的一個(gè)正根如圖，一張邊長(zhǎng)為的正方形的紙片，先折出，的中點(diǎn)，，再沿過(guò)點(diǎn)的直線折疊使落在線段上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，折痕為，點(diǎn)在邊上，連接，，則長(zhǎng)度恰好是方程的一個(gè)正根的線段為（

）A．線段 B．線段 C．線段 D．線段【變式訓(xùn)練】1．（2021·浙江·九年級(jí)自主招生）已知正數(shù)x，y滿足方程，求（

）A． B． C．0 D．12．（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）將方程化成一般形式為，則________，此方程的根是________．3．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【經(jīng)典例題四用因式分解法解一元二次方程】【解題技巧】因式分解法：①因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個(gè)因式的積等于0，那么這兩個(gè)因式至少有一個(gè)為0，即：若，則；②因式分解法的一般步驟：若方程的右邊不是零，則先移項(xiàng)，使方程的右邊為零；把方程的左邊分解因式；令每一個(gè)因式都為零，得到兩個(gè)一元一次方程；解出這兩個(gè)一元一次方程的解可得到原方程的兩個(gè)解。（5）選用適當(dāng)方法解一元二次方程①對(duì)于無(wú)理系數(shù)的一元二次方程，可選用因式分解法，較之別的方法可能要簡(jiǎn)便的多，只不過(guò)應(yīng)注意二次根式的化簡(jiǎn)問(wèn)題。②方程若含有未知數(shù)的因式，選用因式分解較簡(jiǎn)便，若整理為一般式再解就較為麻煩。（6）解含有字母系數(shù)的方程（1）含有字母系數(shù)的方程，注意討論含未知數(shù)最高項(xiàng)系數(shù)，以確定方程的類型；（2）對(duì)于字母系數(shù)的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可選用別的方法，此時(shí)一定不要忘記對(duì)字母的取值進(jìn)行討論?！纠?】（2023·貴州遵義·統(tǒng)考二模）對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b，我們規(guī)定符號(hào)表示a，b中的較大值，如：，因此，；按照這個(gè)規(guī)定，若，則x的值是（

）A．5 B．5或 C．或 D．5或【變式訓(xùn)練】1．（2023春·上海靜安·八年級(jí)上海市回民中學(xué)?？计谥校┤魓為實(shí)數(shù)，且滿足，則（）A． B． C．或 D．無(wú)法確定2．（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)，另外兩邊的長(zhǎng)恰好是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，則的周長(zhǎng)為_(kāi)__________3．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）對(duì)于m，n，定義：若，則稱m與n是關(guān)于1的“對(duì)稱數(shù)”．(1)填空：7與______是關(guān)于1的“對(duì)稱數(shù)”；與______是關(guān)于1的“對(duì)稱數(shù)”；(2)已知，其中a，b均為常數(shù)，且無(wú)論x取何值，A與B都是關(guān)于1的“對(duì)稱數(shù)”，求a，b的值；(3)若，且C與D是關(guān)于1的“對(duì)稱數(shù)”，求滿足條件的x的值．【經(jīng)典例題五用換元法解一元二次方程】【解題技巧】把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法；換元的實(shí)質(zhì)轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造圓和設(shè)元【例5】（2021秋·新疆·九年級(jí)新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若實(shí)數(shù)滿足方程，那么的值為（

）A．或5 B．5 C． D．3或【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)新疆師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知x為實(shí)數(shù)，且，則的值為（）A．4 B．4或 C． D．或32．（2023春·浙江溫州·八年級(jí)溫州市第十二中學(xué)校考期中）已知方程的根為，，則方程的根是________．3．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）（換元法）解方程：解：設(shè)則原方程可化為解得：當(dāng)時(shí)，，解得當(dāng)時(shí)，，解得∴原方程的根是，根據(jù)以上材料，請(qǐng)解方程：(1)．(2)【經(jīng)典例題六根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況】【解題技巧】了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并會(huì)用判別式求一元二次方程中符合題意的參數(shù)取值范圍。（1）=（2）根的判別式定理及其逆定理：對(duì)于一元二次方程（）①當(dāng)方程有實(shí)數(shù)根；（當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；）②當(dāng)方程無(wú)實(shí)數(shù)根；從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理?！纠?】（2023·山東日照·統(tǒng)考三模）對(duì)于函數(shù)，規(guī)定，例如若則有，已知函數(shù)，則方程的解的情況是（

）A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B．有一個(gè)實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根【變式訓(xùn)練】1．（2023·河北衡水·校聯(lián)考二模）若是一元二次方程的一個(gè)根，那么方程的根的情況是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有一個(gè)根是C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根2．（2021秋·江蘇徐州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若（a2﹣2a）2﹣9＝0，則代數(shù)式a2﹣2a的值為_(kāi)____．3．（2023·廣東廣州·?？家荒＃┮阎P(guān)于x的一元二次方程，其中a、b、c分別為三邊的長(zhǎng)．(1)如果是方程的根，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由．(2)如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由．(3)如果是等邊三角形，試求這個(gè)一元二次方程的根．【經(jīng)典例題七根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)】【例7】1（2023·寧夏銀川·?？家荒＃┮阎P(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為（

）A． B． C．且 D．且【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江紹興·八年級(jí)校聯(lián)考期中）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且2．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a的最大整數(shù)解是______．3．（2023春·浙江衢州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程．(1)求證：無(wú)論m為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程根的判別式的值為5，求m的值及方程的根．【經(jīng)典例題八配方法的應(yīng)用】【例8】（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期中）已知，，下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值是0 B．的最小值是C．當(dāng)時(shí)，為正數(shù) D．當(dāng)時(shí)，為負(fù)數(shù)【變式訓(xùn)練】1．（2020·福建泉州·九年級(jí)福建省泉州第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，，滿足，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023春·江蘇南通·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)x，y滿足關(guān)系式，則的最大值為_(kāi)_____．3．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在研究函數(shù)的圖像時(shí)提出了下列問(wèn)題：①函數(shù)的自變量x的取值范圍是；②容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．由此可見(jiàn)，圖像在第象限；③閱讀材料：當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最小值是2．請(qǐng)仿照上述過(guò)程，求出當(dāng)時(shí)，的最大值；（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（3）如圖，四邊形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，、的面積分別為4和9，求四邊形面積的最小值．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）解一元二次方程時(shí)，配方后得到方程，則c等于（

）A．6 B．4 C．2 D．2．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值是（

）A． B．0 C．4 D．83．（2023·浙江金華·校聯(lián)考二模）若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）．A． B． C．且 D．且4．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）代數(shù)式的最小值為（

）．A． B．0 C．3 D．55．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，將直線向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．6．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）在講解一元二次方程時(shí)，老師故意把常數(shù)項(xiàng)“□”空下了，讓同學(xué)們填一個(gè)正整數(shù)，使這個(gè)一元二次方程有兩不等實(shí)根，問(wèn)大家其中所填的值可能有（

）A．6個(gè) B．8個(gè) C．9個(gè) D．10個(gè)7．（2023春·湖北恩施·九年級(jí)校考階段練習(xí)）若關(guān)于的方程有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍（

）A． B． C． D．8．（2023春·浙江舟山·八年級(jí)校聯(lián)考期中）對(duì)于一元二次方程，有下列說(shuō)法：①若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；③若c是方程的一個(gè)根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)9．（2023春·北京房山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是_________．10．（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值為_(kāi)_____．11．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）用配方法解一元二次方程時(shí)，將它化為的形式，則的值為_(kāi)_____．12．（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）已知，則的值是_____．13．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)；(2)；(3)；(4)．14．（2023·北京大興·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于x的方程．(1)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若該方程有一個(gè)根小于1，求m的取值范圍．15．（2023·貴州貴陽(yáng)·?？家荒＃?）已知不等式，請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)不等式______，使它與已知不等式組成的不等式組的解集為．（2）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出了一道一元二次方程的試題：“”讓同學(xué)們解答，甲、乙兩位同學(xué)的做法如下：甲同學(xué)乙同學(xué)解：原方程可化為：，解：原方程可化為：，當(dāng)時(shí)，解得，，當(dāng)時(shí)，解得，，∴，．∴，∴，．小組在交流過(guò)程中發(fā)現(xiàn)甲、乙兩位同學(xué)的結(jié)果不同，請(qǐng)判斷哪位同學(xué)的做法有誤______（填“甲”或“乙”），并根據(jù)該同學(xué)使用的方法寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．16．（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）已知關(guān)于的方程．(1)求證：無(wú)論取什么數(shù)，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若已知方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根是，試求出另一個(gè)實(shí)數(shù)根．17．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）把代數(shù)式通過(guò)配湊等手段，得到局部完全平方式，再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式②，利用配方法求M的最小值：解：因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，M有最小值5請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問(wèn)題：(1)在橫線上添加一個(gè)常數(shù)，使之成為完全平方式；(2)用配方法因式分解；(3)若，求M的最小值．18．（2023春·廣東深圳·八年級(jí)深圳市南山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校聯(lián)考期中）閱讀材料：①用配方法因式分解：．解：原式．②若，利用配方法求M的最小值．解：．∵，，∴當(dāng)時(shí)，M有最小值1．請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問(wèn)題：(1)在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之稱為完全平方式：_____=______．(2)用配方法因式分解：．(3)若，求M的最大值．19．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形是證明勾股定理時(shí)用到的一個(gè)圖形，a，b，c是和邊長(zhǎng)，易知，這時(shí)我們把關(guān)于x的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．請(qǐng)解決下列問(wèn)題：(1)寫(xiě)出一個(gè)“勾系一元二次方程”；(2)求證：關(guān)于x的“勾系一元二次方程”必有實(shí)數(shù)根；(3)若是“勾系一元二次方程”的一個(gè)根，且四邊形的周長(zhǎng)是，求面積．20．（2022春·浙江杭州·八年級(jí)杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校?duì)于任意一個(gè)三位數(shù)k，如果k滿足各個(gè)數(shù)位上的