專題10 規(guī)律探究題（針對(duì)16、17、18、19題）（真題5題模擬60題）（原卷版）

專題10規(guī)律探究題（針對(duì)16、17、18、19題）（真題5題模擬60題）1．（2023?安徽）【觀察思考】【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】請(qǐng)用含n的式子填空：（1）第n個(gè)圖案中“◎”的個(gè)數(shù)為；（2）第1個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為，第2個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為，第3個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為，第4個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為，……，第n個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為．【規(guī)律應(yīng)用】（3）結(jié)合圖案中“★”的排列方式及上述規(guī)律，求正整數(shù)n，使得連續(xù)的正整數(shù)之和1+2+3+……+n等于第n個(gè)圖案中“◎”的個(gè)數(shù)的2倍．2．（2022?安徽）觀察以下等式：第1個(gè)等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2個(gè)等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3個(gè)等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4個(gè)等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，……按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫出第5個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．3．（2021?安徽）某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成，圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列．[觀察思考]當(dāng)正方形地磚只有1塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有6塊（如圖2）；當(dāng)正方形地磚有2塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有8塊（如圖3）；以此類推．[規(guī)律總結(jié)]（1）若人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加塊；（2）若一條這樣的人行道一共有n（n為正整數(shù)）塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）．[問(wèn)題解決]（3）現(xiàn)有2021塊等腰直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，要求等腰直角三角形地磚剩余最少，則需要正方形地磚多少塊？4．（2020?安徽）觀察以下等式：第1個(gè)等式：×（1+）＝2﹣，第2個(gè)等式：×（1+）＝2﹣，第3個(gè)等式：×（1+）＝2﹣，第4個(gè)等式：×（1+）＝2﹣．第5個(gè)等式：×（1+）＝2﹣．…按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫出第6個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式：（用含n的等式表示），并證明．5．（2019?安徽）觀察以下等式：第1個(gè)等式：＝+，第2個(gè)等式：＝+，第3個(gè)等式：＝+，第4個(gè)等式：＝+，第5個(gè)等式：＝+，……按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫出第6個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式：（用含n的等式表示），并證明．一．解答題（共60小題）1．（2023?淮南一模）觀察下列各式：①＝5；②＝11；③＝19；…（1）觀察①②③等式，那么第⑤個(gè)等式為；（2）根據(jù)上述規(guī)律，猜測(cè)寫出＝，并加以證明．2．（2023?濉溪縣模擬）將一些相同的“☆”按如圖所示擺放，觀察其規(guī)律并回答下列問(wèn)題：（1）圖6中的“☆”的個(gè)數(shù)有個(gè)；（2）圖n中的“☆”的個(gè)數(shù)有個(gè)；（3）圖n中的“☆”的個(gè)數(shù)可能是100個(gè)嗎；如果能，求出n的值；如果不能，試用一元二次方程的相關(guān)知識(shí)說(shuō)明理由．3．（2023?全椒縣一模）在美術(shù)課上，小明設(shè)計(jì)如圖所示的圖案，每個(gè)圖案都是由白點(diǎn)和黑點(diǎn)組成，歸納圖案中的規(guī)律，完成下列問(wèn)題．（1）在圖5中，白點(diǎn)有個(gè)，黑點(diǎn)有個(gè)；圖n中，白點(diǎn)有個(gè)，黑點(diǎn)有個(gè)；（2）在圖n中，若白點(diǎn)和黑點(diǎn)共有169個(gè)，求n的值．4．（2023?大觀區(qū)校級(jí)二模）用若干個(gè)“〇”與“▲”按如圖方式進(jìn)行拼圖：（1）觀察圖形，尋找規(guī)律，并將下面的表格填寫完整：圖1圖2圖3圖4〇的個(gè)數(shù)3921▲的個(gè)數(shù)1410（2）根據(jù)你所觀察到的規(guī)律，分別寫出圖n中“〇”與“▲”的個(gè)數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）．5．（2023?合肥二模）觀察如圖中小黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)與等式的關(guān)系，按照其圖形與等式的規(guī)律，解答下列問(wèn)題：（1）寫出第5個(gè)等式：．（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式：（用含n的等式表示）；（3）若第n組圖形中等號(hào)左右兩邊各有171個(gè)小黑點(diǎn)，求n．6．（2023?蜀山區(qū)二模）苯是最簡(jiǎn)單的芳香族化合物，在有機(jī)合成工業(yè)上有著重要的用途，德國(guó)化學(xué)家凱庫(kù)勒發(fā)現(xiàn)了苯分子的環(huán)狀結(jié)構(gòu)．將若干個(gè)苯環(huán)以直線形式相連可以得到如下類型的芳香族化合物（結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)式中六邊形每個(gè)頂點(diǎn)處代表1個(gè)C原子，通常省略H原子）．已知：苯的結(jié)構(gòu)式是，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)式為，分子式是C6H6；2個(gè)苯環(huán)相連結(jié)構(gòu)式是，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)式為，分子式是C10H8；3個(gè)苯環(huán)相連結(jié)構(gòu)式是，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)式為的分子式是C14H10；根據(jù)以上規(guī)律，回答下列問(wèn)題：（1）4個(gè)苯環(huán)相連的分子式是；（2）n個(gè)苯環(huán)相連的分子式是；（3）試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明分子式為C2622H1314是否屬于上述類型的芳香族化合物．7．（2023?鳳陽(yáng)縣二模）在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律，如圖1是2022年1月份的日歷，任意選擇圖中所示的方框，每個(gè)框四個(gè)角上的數(shù)交叉相乘后求和，再與中間的數(shù)的平方的2倍作差，例如：3×19+5×17﹣2×112＝﹣100，14×30+16×28﹣2×222＝﹣100，不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)果都是﹣100．（1）如圖2，設(shè)日歷中所示圖形左上角的數(shù)字為x，則框中其余四個(gè)數(shù)可以表示為，，，．（2）請(qǐng)用含x的式子表示發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；（3）利用整式的運(yùn)算對(duì)（2）中的規(guī)律加以證明．8．（2023?包河區(qū)三模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，…按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫出第5個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的等式表示），并證明．9．（2023?金安區(qū)一模）觀察下列等式：第1個(gè)等式：1+1+＝2第2個(gè)等式：2+第3個(gè)等式：3+第4個(gè)等式：4+…按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫出第5個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式：（用含n的等式表示），并證明．10．（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)三模）觀察下列等式的規(guī)律，解答下列問(wèn)題：第1個(gè)等式：12+22﹣32＝1×a﹣b，第2個(gè)等式：22+32﹣42＝2×0﹣b，第3個(gè)等式：32+42﹣52＝3×1﹣b，第4個(gè)等式：42+52﹣62＝4×2﹣b．…（1）根據(jù)以上等式規(guī)律：a＝，b＝；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．11．（2023?雨山區(qū)校級(jí)一模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；…按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫出第5個(gè)等式；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的等式表示），并證明．12．（2023?瑤海區(qū)校級(jí)一模）觀察下列算式：①1×3﹣22＝3﹣4＝﹣1；②2×4﹣32＝8﹣9＝﹣1；③3×5﹣42＝15﹣16＝﹣1；……按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫出第④個(gè)算式：；（2）根據(jù)這個(gè)規(guī)律寫出你猜想的第n個(gè)算式（用含n的式子表示），并證明．13．（2023?合肥三模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，.....．按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫出第5個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式：（用含n的等式表示），并證明．14．（2023?合肥三模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：．第2個(gè)等式：．第3個(gè)等式：．第4個(gè)等式：．…按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫出第5個(gè)等式：．（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的等式表示），并證明．15．（2023?安徽模擬）觀察下列等式：第1個(gè)等式：1+8×1＝52﹣16×12；第2個(gè)等式：1+8×2＝92﹣16×22；第3個(gè)等式：1+8×3＝132﹣16×32；第4個(gè)等式：1+8×4＝172﹣16×42；…根據(jù)上述規(guī)律解決下列問(wèn)題：（1）寫出第5個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的等式表示），并驗(yàn)證其正確性．16．（2023?包河區(qū)一模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，第5個(gè)等式：，……按照以上規(guī)律．解決下列問(wèn)題：（1）寫出第6個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．17．（2023?滁州二模）觀察下列等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，……按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫出第6個(gè)等式：．（2）寫出第n個(gè)等式：，并證明．18．（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）化學(xué)中把僅有碳和氫兩種元素組成的有機(jī)化合物稱為碳?xì)浠衔?，又叫烴，如圖所示是部分碳?xì)浠衔锏慕Y(jié)構(gòu)式，第1個(gè)結(jié)構(gòu)式中有1個(gè)C和四個(gè)H，分子式是CH4；第2個(gè)結(jié)構(gòu)式中有兩個(gè)C和六個(gè)H，分子式是C2H6；第3個(gè)結(jié)構(gòu)式中有三個(gè)C和八個(gè)H，分子式是C3H8；按照此規(guī)律，回答下列問(wèn)題：（1）第5個(gè)結(jié)構(gòu)式的分子式是；（2）在第n個(gè)結(jié)構(gòu)式的分子式是；（3）試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明分子式為C2023H4048是否屬于上述的碳?xì)浠衔铮?9．（2023?天長(zhǎng)市校級(jí)三模）如圖，某醫(yī)院廣場(chǎng)上的圖案由紅、白兩色正方形地磚鋪成，這些地磚除顏色外，形狀、大小均相同．當(dāng)中間的紅色地磚只有1塊時(shí)，四周的白色地磚有4塊（如圖1），當(dāng)中間的紅色地磚有4塊時(shí)，四周的白色地磚有8塊（如圖2），以此類推．（1）當(dāng)紅色正方形地磚為16塊時(shí)，白色地磚為塊；（2）當(dāng)白色正方形地磚為n（n為4的整數(shù)倍）時(shí)，紅色地磚為塊；（3）已知該醫(yī)院的另一個(gè)廣場(chǎng)上也按此規(guī)律建圖案，且紅色地磚比白色地磚多用了140塊，求這個(gè)廣場(chǎng)上的圖案分別用紅、白兩色地磚的塊數(shù)．20．（2023?裕安區(qū)校級(jí)二模）某旅游景區(qū)走廊的中間部分是用邊長(zhǎng)為1米的白色正方形地磚和彩色正方形（圖中陰影部分）地磚鋪成的，圖案如圖所示，根據(jù)圖示排列規(guī)律，解答以下問(wèn)題．（1）第4個(gè)圖案L（4）有白色地磚塊地磚；第n個(gè)圖案L（n）有白色地磚塊地磚（用含n的代數(shù)式表示）；（2）已知L（1）的長(zhǎng)度為3米，L（2）的長(zhǎng)度為5米，…，L（n）的長(zhǎng)度為2023米，求圖案L（n）中白色正方形地磚有多少塊．21．（2023?安慶模擬）如圖，設(shè)四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，以正方形ABCD的對(duì)角線AC為邊長(zhǎng)作第2個(gè)正方形ACEF，再以第2個(gè)正方形ACEF的對(duì)角線AE為邊長(zhǎng)作第3個(gè)正方形，如此進(jìn)行下去，…①記正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a1＝1，依上述方法②所作的正方形的邊長(zhǎng)依次記為a2、a3、a4，則a2＝，a3＝，a4＝；③據(jù)上述規(guī)律寫出第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)an的表達(dá)式，an＝．22．（2023?南陵縣校級(jí)一模）將黑色圓點(diǎn)按如圖所示的規(guī)律進(jìn)行排列，圖中黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次為：1，3，6，10，……，按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）第⑤個(gè)圖中有個(gè)黑色圓點(diǎn)；第⑩個(gè)圖中有個(gè)黑色圓點(diǎn)；（2）第個(gè)圖中有210個(gè)黑色圓點(diǎn)．23．（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)二模）為美化市容，某廣場(chǎng)要在人行雨道上用10×20的灰、白兩色的廣場(chǎng)磚鋪設(shè)圖案，設(shè)計(jì)人員畫(huà)出的一些備選圖案如圖所示．[觀察思考]圖1灰磚有1塊，白磚有8塊；圖2灰磚有4塊，白磚有12塊；以此類推．[規(guī)律總結(jié)]（1）圖4灰磚有塊，白磚有塊；圖n灰磚有塊時(shí)，白磚有塊；[問(wèn)題解決]（2）是否存在白磚數(shù)恰好比灰磚數(shù)少1的情形，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明你的理由．24．（2023?碭山縣二模）某校教學(xué)樓前走廊用同樣規(guī)格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚來(lái)鋪設(shè)地面，圖1表示地面的瓷磚排列方式．【觀察思考】當(dāng)黑色瓷磚有1塊時(shí)，瓷磚的總數(shù)有9塊（如圖2）；當(dāng)黑色瓷磚有2塊時(shí)，瓷磚的總數(shù)有15塊（如圖3）；當(dāng)黑色瓷磚有3塊時(shí)，瓷磚的總數(shù)有21塊（如圖4）；…；以此類推．【規(guī)律總結(jié)】（1）若該走廊每增加1塊黑色瓷磚，則瓷磚的總數(shù)增加塊；（2）若這樣的走廊一共有n（n為正整數(shù)）塊黑色瓷磚，則瓷磚的總數(shù)為塊；（用含n的代數(shù)式表示）【問(wèn)題解決】（3）現(xiàn)總共有2025塊瓷磚，若按此規(guī)律再建一條走廊，則黑色瓷磚有多少塊？25．（2023?合肥模擬）如圖，下列圖形是由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形按照一定規(guī)律擺放的“L”形圖形，觀察圖形：?（1）圖10中小正方形的數(shù)量是個(gè)：圖2023的周長(zhǎng)是個(gè)單位長(zhǎng)度；（2）若圖1中小正方形個(gè)數(shù)記作a1，圖2中小正方形圖個(gè)數(shù)記作a2…，圖n中小正方形個(gè)數(shù)記作an，則a1+a2+…+an＝個(gè)（用含n的代數(shù)式表示）．26．（2023?金安區(qū)校級(jí)三模）填空：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4；……（1）（a﹣b）（a2022+a2021b+…+ab2021+b2022）＝；（2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+?+abn﹣2+bn﹣1）＝；（其中n為正整數(shù)，且n≥2）（3）利用（2）中的猜想的結(jié)論計(jì)算：22023+22022+22021+?+22+2+1；27．（2023?天長(zhǎng)市校級(jí)二模）觀察下列等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，……請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）按以上規(guī)律列出第4個(gè)等式：；（2）用含有n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式并證明（n為正整數(shù)）．28．（2023?無(wú)為市三模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，……解決下列問(wèn)題：（1）按照以上規(guī)律，寫出第6個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明；（3）利用上述規(guī)律，直接寫出結(jié)果：＝．29．（2023?六安三模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：1+；第4個(gè)等式：；…根據(jù)以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題．（1）寫出第5個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式：（用含n的等式表示），并證明．30．（2023?花山區(qū)二模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：﹣＝；第2個(gè)等式：﹣＝；第3個(gè)等式：﹣＝；第4個(gè)等式：﹣＝；…按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫出第5個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式：（用含n的等式表示），并證明．31．（2023?無(wú)為市四模）觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；……按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫出第5個(gè)等式：．（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．32．（2023?合肥三模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：第5個(gè)等式：_……按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫出第6個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式：（用含n的等式表示），并證明．33．（2023?明光市二模）觀察下列關(guān)于自然數(shù)的等式：2×4﹣12+1＝83×5﹣22+1＝124×6﹣32+1＝165×7﹣42+1＝20…利用等式的規(guī)律，解答下列問(wèn)題：（1）若等式8×10﹣a2+1＝b（a，b都為自然數(shù)）具有以上規(guī)律，則a＝，a+b＝．（2）寫出第n個(gè)等式（用含n的代數(shù)式表示），并驗(yàn)證它的正確性．34．（2023?蚌埠二模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：12+32﹣2＝8×1；第2個(gè)等式：32+52﹣2＝8×4；第3個(gè)等式：52+72﹣2＝8×9；第4個(gè)等式：72+92﹣2＝8×16；第5個(gè)等式：92+112﹣2＝8×25；…按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫出第6個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式：（用含n的式子表示），并證明．35．（2023?包河區(qū)三模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，…按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫出第5個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的等式表示），并證明．36．（2023?合肥三模）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)這樣一組數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，…，現(xiàn)以這組數(shù)中的各個(gè)數(shù)作為正方形的邊長(zhǎng)，依次構(gòu)造一組正方形，再分別從左到右取2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)，5個(gè)正方形拼成如下的長(zhǎng)方形，并記為長(zhǎng)方形①，長(zhǎng)方形②，長(zhǎng)方形③，長(zhǎng)方形④．規(guī)律探究：（1）如圖1所示，第8個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為；（2）如圖2所示，相應(yīng)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)如表所示．序號(hào)①②③④⑥周長(zhǎng)61016xy若按此規(guī)律繼續(xù)作長(zhǎng)方形，則x＝，y＝；拓展延伸：（3）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：101，102，103，105，108，1013，…，若x、y、z表示這列數(shù)中的連續(xù)三個(gè)數(shù)且x＜y＜z，猜想x、y、z滿足的關(guān)系式是．37．（2023?宣州區(qū)三模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；……按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫出第6個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式，并證明你的結(jié)論．38．（2023?貴池區(qū)二模）觀察下列關(guān)于自然數(shù)的等式：3×1×2＝1×2×3﹣0×1×2，①3×2×3＝2×3×4﹣1×2×3，②3×3×4＝3×4×5﹣2×3×4，③…根據(jù)上述規(guī)律解決下列問(wèn)題：（1）完成第四個(gè)等式：3×4×5＝；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并驗(yàn)證其正確性；（3）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，可知1×2+2×3+3×4+…+99×100＝．（直接寫出結(jié)果即可）39．（2023?烈山區(qū)一模）觀察以下等式：第1個(gè)等式；第2個(gè)等式；第3個(gè)等式；第4個(gè)等式．……按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫出第5個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式：（用含n的等式表示），并證明你的結(jié)論．40．（2023?淮北一模）觀察下列等式：第1個(gè)等式．＝1；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；?請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)律，解答下列問(wèn)題：（1）請(qǐng)直接寫出第5個(gè)等式：；（2）猜想第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．41．（2023?花山區(qū)一模）觀察下列等式：①13+23＝3×（1﹣2+4）②23+33＝5×（4﹣6+9）③33+53＝8×（9﹣15+25）④63+103＝16×（36﹣60+100）…（1）請(qǐng)?jiān)賹懗鲆粋€(gè)符合上述規(guī)律的式子：；（2）請(qǐng)你把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用字母a、b表示出來(lái)，并證明．42．（2023?貴池區(qū)二模）觀察下列等式：第1個(gè)等式：＝1；第2個(gè)等式：＝3；第3個(gè)等式：＝5；…根據(jù)上述規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫出第5個(gè)等式；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式：（用含n的等式表示），并證明．43．（2023?歙縣校級(jí)模擬）觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；第5個(gè)等式：；……按上述規(guī)律，回答以下問(wèn)題：（1）寫出第6個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式：（用含n的等式表示），并證明．44．（2023?瑤海區(qū)一模）用相同的菱形按如圖的方式搭圖形．（1）按圖示規(guī)律完成下表：圖形123456…所用菱形個(gè)數(shù)1346…（2）按這種方式搭下去，搭第2n+1（n為自然數(shù)）個(gè)圖形需要個(gè)菱形；（用含n的式子表示）（3）小亮同學(xué)說(shuō)他按這種方式搭出來(lái)的一個(gè)圖形用了2023個(gè)菱形，你認(rèn)為可能嗎？如果能那是第幾個(gè)圖形？如果不可能請(qǐng)說(shuō)明理由．45．（2023?霍邱縣二模）如圖是用棋子擺成的圖案：?根據(jù)圖中棋子的排列規(guī)律解決下列問(wèn)題：（1）第4個(gè)圖中有顆棋子，第5個(gè)圖中有顆棋子；（2）寫出你猜想的第n個(gè)圖中棋子的顆數(shù)（用含n的式子表示）是．（3）請(qǐng)求出第多少個(gè)圖形中棋子的個(gè)數(shù)是274個(gè)．46．（2023?蜀山區(qū)校級(jí)三模）圖形規(guī)律．序號(hào)12345……梯形數(shù)12469……？如圖，按此規(guī)律擺放，（1）第6個(gè)圖中梯形數(shù)為，第7個(gè)圖中梯形數(shù)為；第8個(gè)圖中梯形數(shù)為，第9個(gè)圖中梯形數(shù)為；（2）第（2n+2）個(gè)圖中梯形數(shù)與第（2n﹣1）個(gè)圖中梯形數(shù)的差為．?47．（2023?蕪湖三模）觀察與思考：我們知道，那么13+23+33+…+n3結(jié)果等于多少呢？請(qǐng)你仔細(xì)觀察，找出下面圖形與算式的關(guān)系，解決下列問(wèn)題：?（1）嘗試：第5個(gè)圖形可以表示的等式是；（2）概括：13+23+33+…+n3＝；（3）拓展應(yīng)用：求的值．48．（2023?合肥模擬）豐艷花卉市場(chǎng)將深色和淺色兩種花齊擺成如圖所示的排列圖案，第1個(gè)圖案需要5盆花卉，第2個(gè)圖案需要13盆花卉，第3個(gè)圖案需要25盆花卉，以此類推．??按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）第4個(gè)圖案需要花卉盆；（2）第n個(gè)圖案需要花卉盆（用含n的代數(shù)式表示）；（3）已知豐艷花卉市場(chǎng)春節(jié)期間所擺的花卉圖案中深色花卉比淺色花卉多101盆，求該花卉圖案中深色花卉的盆數(shù)．49．（2023?金安區(qū)校級(jí)一模）為了渲染新年喜慶氛圍，某人民廣場(chǎng)用鮮花擺出不同的造型，小明同學(xué)把每盆花用點(diǎn)在紙上表示出來(lái)，如圖所示．[觀察思考]第1個(gè)圖形有4盆花，第2個(gè)圖形有6盆花，第3個(gè)圖形有8盆花，第4個(gè)圖形有10盆花，以此類推．[規(guī)律總結(jié)]（1）第5個(gè)圖形有盆花；（2）第n個(gè)圖形中有盆花（用含n的代數(shù)式表示）；[問(wèn)題解決]（3）現(xiàn)有2023盆花，若按此規(guī)律擺出一個(gè)圖形，要求剩余花盆數(shù)最少，則可擺出第幾個(gè)圖形？50．（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)一模）用同樣大小的兩種不同顏色（白色．灰色）的正方形紙片，按如圖方式拼成長(zhǎng)方形．[觀察思考]第（1）個(gè)圖形中有2＝1×2張正方形紙片；第（2）個(gè)圖形中有2×（1+2）＝6＝2×3張正方形紙片；第（3）個(gè)圖形中有2×（1+2+3）＝12＝3×4張正方形紙片；第（4）個(gè)圖形中有2×（1+2+3+4）＝20＝4×5張正方形紙片；……以此類推[規(guī)律總結(jié)]（1）第（5）個(gè)圖形中有張正方形紙片（直接寫出結(jié)果）；（2）根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn)我們可以猜想：1+2+3+……+n＝；（用含n的代數(shù)式表示）[問(wèn)題解決]（3）根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)計(jì)算：101+102+103+……+200．51．（2023?安慶二模）設(shè)一個(gè)兩位數(shù)可表示為10a+3，當(dāng)a取不同的值時(shí)，的平方如下：第1個(gè)等式：13×13＝169＝（10×1+6）×10×1+9；第2個(gè)等式：23×23＝529＝（10×2+6）×10×2+9；第3個(gè)等式：33×33＝1089＝（10×3+6）×10×3+9；…（1）請(qǐng)寫出第4個(gè)等式：；（2）根據(jù)上述規(guī)律，請(qǐng)寫出的平方的一般性規(guī)律，并予以證明．52．（2023?安徽模擬）某學(xué)習(xí)小組在研究?jī)蓴?shù)的和與這兩數(shù)的積相等的等式時(shí)，有下面一些有趣的發(fā)現(xiàn)：①由等式3+＝3×發(fā)現(xiàn)：（3﹣1）×（﹣1）＝1；②由等式+（﹣2）＝×（﹣2）發(fā)現(xiàn)：（﹣1）×（﹣2﹣1）＝1；③由等式﹣3+＝﹣3×發(fā)現(xiàn)：（﹣3﹣1）×（﹣1）＝1；…按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）由等式a+b＝ab猜想：，并證明你的猜想；（2）若等式a+b＝ab中，a，b都是整數(shù)，試求a，b的值．53．（2023?迎江區(qū)校級(jí)二模）觀察下列一組等式，解答后面的問(wèn)題：＝＝﹣1＝＝﹣（1）化簡(jiǎn)：＝，＝（n為正整數(shù)）；（2）比較大?。憨仼仯ㄌ睢埃尽保埃肌被颉埃健保?；（3）根據(jù)上面的結(jié)論，找規(guī)律，請(qǐng)直接寫出下列算式的結(jié)果：+++…+＝．54．（2023?安徽模擬）【觀察思考】如圖，五邊形ABCDE內(nèi)部有若干個(gè)點(diǎn)，用這些點(diǎn)以及五邊形ABCDE的頂點(diǎn)ABCDE把原五邊形分割成一些三角形（互相