整式乘法與因式分解-解答壓軸題二（原卷版）

整式乘法與因式分解（解答壓軸題二）1．學(xué)習(xí)了乘法公式后，老師向同學(xué)們提出了如下問題：①將多項式因式分解；②求多項式的最小值．①．②由①知：，因為，所以，所以當(dāng)時，的值最小，最小值為．請你運用上述的方法解決下列問題：(1)將多項式因式分解．(2)求多項式的最大值．2．閱讀理解并解答：【方法呈現(xiàn)】(1)我們把多項式及叫做完全平方式．在運用完全平方公式進行因式分解時，關(guān)鍵是判斷這個多項式是不是一個完全平方式，同樣地，把一個多項式進行局部因式分解可以來解決代數(shù)式值的最小或最大問題．例如：，，．則這個代數(shù)式的最小值是______，這時相應(yīng)的的值是______．【嘗試應(yīng)用】(2)求代數(shù)式的最小或最大值，并寫出相應(yīng)的的值．(3)已知，，是的三邊長，滿足，且是中最長的邊，求的取值范圍．3．【任務(wù)一】下面是慧慧同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，其中一部分不小心被墨跡所覆蓋，請你把覆蓋部分補充完整．10月20日

星期四

晴我發(fā)現(xiàn)：借助拼圖可以解決整式乘法及因式分解的相關(guān)問題．如圖，我有，，三種類型的卡片各若干張，已知，是邊長分別為，的正方形卡片，是長為，寬為的長方形卡片．我利用，，三種類型的卡片拼成如圖所示的長方形，該長方形的面積可以用多項式表示為，還可以用整式乘積的形式表示為，利用上述面積的不同表達方式可以得到等式．我利用，，三種類型的卡片拼成如圖所示的大長方形．從而可以將進行因式分解為．【任務(wù)二】善于思考的慧慧同學(xué)又編了以下兩個問題，請你任選一題進行解答．問題1：先計算，再用圖形的面積解釋它的正確性．問題2：請寫出一個代數(shù)恒等式，然后用圖形的面積解釋它的正確性．4．[閱讀材料]因式分解：．解：將“”看成整體，令，則原式．再將“A”還原，原式．上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法．[問題解決](1)因式分解：；(2)因式分解：；(3)證明：若n為正整數(shù)，則代數(shù)式的值一定是某個整數(shù)的平方．5．為慶祝泉州一中80周年校慶，兩校區(qū)初一數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們一起研究了以下一個有趣的數(shù)學(xué)問題：如果一個兩位正整數(shù)的個位數(shù)為，那么就稱為“一中數(shù)”．(1)求證：對任意“一中數(shù)”，一定為20的倍數(shù)；(2)若，且、為正整數(shù)，則稱數(shù)對為“一中數(shù)對”，并規(guī)定：，例如，稱數(shù)對為“一中數(shù)對”，則，求小于的“一中數(shù)”中，所有“一中數(shù)對”的的最大值．6．有足夠多的長方形和正方形卡片（如圖1），分別記為1號，2號，3號卡片．(1)如果選取4張3號卡片，拼成如圖2所示的一個正方形，請用2種不同的方法表示陰影部分的面積（用含，的式子表示）．①方法1：________；方法2：________；②請寫出，，三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系：________．(2)若，求的值．(3)如圖3，選取1張1號卡片，2張2號卡片，3張3號卡片，可拼成一個長方形（無縫隙不重疊），請畫出該長方形，根據(jù)圖形的面積關(guān)系，分解因式：________．7．如圖1，是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖）．(1)自主探究：如果用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積，從而發(fā)現(xiàn)一個等量關(guān)系是；(2)知識運用：運用你所得到的公式，計算：若，，則；(3)知識延伸：已知，求的值．(4)知識拓展：用完全平方公式和非負數(shù)的性質(zhì)解決下列問題：若，求代數(shù)式：的最小值．8．閱讀：把多項式分解因式得，由此對于方程可以變形為，解得或．觀察多項式的因式、，與方程的解或之間的關(guān)系．可以發(fā)現(xiàn)，如果、是方程的解，那么、是多項式的因式．這樣，若要把一個多項式分解因式，可以通過其對應(yīng)方程的解來確定其中的因式．例如：對于多項式．觀察可知，當(dāng)時，．則，其中為整式，即是多項式的一個因式．若要確定整式，則可用豎式除法：∴．填空：(1)分解因式：______；(2)觀察可知，當(dāng)______時，，可得______是多項式的一個因式．分解因式：______．(3)已知：，其中為整式，則分解因式：______．9．請閱讀以下材料，解決問題．我們知道：在實數(shù)體系中，一個實數(shù)的平方不可能為負數(shù)，即．但是，在復(fù)數(shù)體系中，如果一個數(shù)的平方等于，記為，這個數(shù)叫做虛數(shù)單位，那么形如（、為實數(shù)）的數(shù)就叫做復(fù)數(shù)，叫做這個復(fù)數(shù)的實部，叫做這個復(fù)數(shù)的虛部．它的加，減，乘法運算與整式的加，減，乘法運算類似，例如計算：；若兩個復(fù)數(shù)，他們的實部和虛部分別相等，則稱這兩個復(fù)數(shù)相等；若它們的實部相等，虛部互為相反數(shù)，則稱這兩個復(fù)數(shù)共軛，如的共軛復(fù)數(shù)為．根據(jù)材料回答：(1)填空：①；②將（為實數(shù)）因式分解成兩個復(fù)數(shù)的積：；(2)若是的共軛復(fù)數(shù)，求的值；(3)已知，求的值．10．做一做計算：探究歸納，如圖甲、圖乙是兩個長和寬都相等的長方形，其中長為，寬為．(1)根據(jù)圖甲、圖乙的特征用不同的方法計算長方形的面積，得到關(guān)于字母x的系數(shù)是1的兩個一次式相乘的計算規(guī)律，用數(shù)學(xué)式表達式為．嘗試運用，利用因式分解與整式乘法的關(guān)系，我們可以利用上述表達式得到一些二次三項式的因式分解．(2)若，則．(3)若可以分解成關(guān)于x的兩個一次式乘積的形式，則整數(shù)p的值一定是．(4)若可以分解成關(guān)于x的兩個一次式乘積的形式，則整數(shù)q的值一定是．A．4

B．0

C．有限個

D．有無數(shù)個11．閱讀材料：把形如的二次三項式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆寫，即．例如：、、是的三種不同形式的配方即“余項”分別是常數(shù)項、一次項、二次項．請根據(jù)閱讀材料解決下列問題：(1)比照上面的例子，寫出三種不同形式的配方；(2)已知，，求的值；(3)當(dāng)，何值時，代數(shù)式取得最小值，最小值為多少？12．【閱讀理解，自主探究】把代數(shù)式通過配湊等手段，得到完全平方式，再運用完全平方式是非負數(shù)這一性質(zhì)增加問題的條件，這種解題方法叫做配方法，配方法在代數(shù)式求值，解方程，最值問題等都有著廣泛的應(yīng)用．例1用配方法因式分解：a2＋6a＋8．原式＝a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）．例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值；a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1；∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0，∴當(dāng)a＝b＝1時，M有最小值1．請根據(jù)上述自主學(xué)習(xí)材料解決下列問題：(1)在橫線上添上一個常數(shù)項使之成為完全平方式：a2＋10a＋________；(2)用配方法因式分解：a2－12a＋35．(3)若M＝a2－3a+1，則M的最小值為________；(4)已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，則a＋b＋c的值為________；13．如圖所示，圖甲由長方形①，長方形②組成，圖甲通過移動長方形②得到圖乙．(1)_______，__________（用含a、b的代數(shù)式分別表示）；(2)利用（1）的結(jié)果，說明、、的等量關(guān)系：(3)應(yīng)用所得的公式計算：(4)如圖丙，現(xiàn)有一塊如圖丙尺寸的長方形紙片，請通過對它分割，再對分割的各部分移動，組成新的圖形，畫出圖形，利用圖形說明、、三者的等量關(guān)系．14．方法探究：已知二次多項式，我們把代入多項式，發(fā)現(xiàn)，由此可以推斷多項式中有因式（x＋3）．設(shè)另一個因式為（x＋k），多項式可以表示成，則有，因為對應(yīng)項的系數(shù)是對應(yīng)相等的，即，解得，因此多項式分解因式得：．我們把以上分解因式的方法叫“試根法”．問題解決：(1)對于二次多項式，我們把x＝代入該式，會發(fā)現(xiàn)成立；(2)對于三次多項式，我們把x＝1代入多項式，發(fā)現(xiàn)，由此可以推斷多項式中有因式（），設(shè)另一個因式為（），多項式可以表示成，試求出題目中a，b的值；(3)對于多項式，用“試根法”分解因式．15．閱讀下列材料解決問題：將一個多位數(shù)從左向右，每限三位數(shù)分段（如果最右段不足三位，可在這個多位數(shù)的右方添0再分段），然后將這些三位數(shù)相加，如果其和能被37整除，則這個多位數(shù)也能被37整除；反之，也成立．我們稱這樣的多位數(shù)為“三七巧數(shù)”，如：78477，784+770＝1554，1554是37的42倍，所以78477能被37整除；反之，78477÷37＝2121，則一定有784+770＝1554＝37×42，我們稱78477為“三七巧數(shù)”．(1)若一個六位數(shù)的前三位數(shù)和后三位數(shù)之和能被37整除，求證：這個六位數(shù)也能被37整除；(2)已知一個五位自然數(shù)是“三七巧數(shù)”，其末三位為m＝500+10y+52，末三位以前的數(shù)為n＝10(x+1)+y（其中1≤x≤8，1≤y≤4且為整數(shù)），求這個五位數(shù)．16．閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3．(1)上述分解因式的方法是，共應(yīng)用了次；(2)若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…x（x+1）2019，則需應(yīng)用上述方法次，結(jié)果是；(3)分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…x（x+1）n（n為正整數(shù)）結(jié)果是．(4)請利用以上規(guī)律計算：（1+2x）3．17．【知識介紹】換元法是數(shù)學(xué)中重要的解題方法，通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易于解決．換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元．均值換元法是換元法主要形式之一．【典例分析】已知實數(shù)x，y滿足x+y＝4，試求代數(shù)式x2+y2的最小值．【分析】均值換元法：由x+y＝4，得x與y的均值為2，所以可以設(shè)x＝2+t，再代入代數(shù)式換元求解．【解法】∵x+y＝4，∴設(shè)x＝2+t，y＝2﹣t，∴x2+y2＝（2+t）2+（2﹣t）2＝2t2+8≥8，∴x2+y2的最小值是8．【理解應(yīng)用】根據(jù)以上知識背景，回答下列問題：(1)若實數(shù)a，b滿足a+b＝2，求代數(shù)式a2+b2+2的最小值；(2)已知△ABC的三邊長a，b，c，滿足b+c＝8，bc＝a2﹣8a+32，請判斷△ABC的形狀，并求△ABC的周長．(3)若實數(shù)a，b，c滿足a+b+2c＝6，ab＝2c2﹣4c+10，求a，b，c的值．18．教科書中這樣寫道：“我們把多項式及叫做完全平方式”，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等問題．例如：分解因式求代數(shù)式的最小值，．當(dāng)時，有最小值，最小值是，根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：（1）分解因式：__________．（2）當(dāng)x為何值時，多項式有最大值？并求出這個最大值．（3）若，求出a，b的值．19．我們知道對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積可以得到一個數(shù)學(xué)等式．例如：由圖1可得到（1）寫出由圖2所表示的數(shù)學(xué)等式：_________________；（2）寫出由圖3所表示的數(shù)學(xué)等式（利用陰影部分）：________________；（3）已知實數(shù)滿足．求：①的值；②的值