大學(xué)生課件-數(shù)學(xué)統(tǒng)計學(xué)：回歸模型的擴(kuò)展課件：第五節(jié) 滯后變量

第五節(jié)

滯后變量模型

一、滯后變量模型

二、分布滯后模型的參數(shù)估計

三、自回歸模型的參數(shù)估計四、滯后效應(yīng)分析五、格蘭杰因果關(guān)系檢驗

在經(jīng)濟(jì)運行過程中，廣泛存在時間滯后效應(yīng)。某些經(jīng)濟(jì)變量不僅受到同期各種因素的影響，而且也受到過去某些時期的各種因素甚至自身的過去值的影響。

通常把這種過去時期的，具有滯后作用的變量叫做滯后變量（LaggedVariable），含有滯后變量的模型稱為滯后變量模型。滯后變量模型考慮了時間因素的作用，使靜態(tài)分析的問題有可能成為動態(tài)分析。含有滯后解釋變量的模型，又稱動態(tài)模型（DynamicalModel）。一、滯后變量模型1、滯后效應(yīng)與與產(chǎn)生滯后效應(yīng)的原因

因變量受到自身或另一解釋變量的前幾期值影響的現(xiàn)象稱為滯后效應(yīng)。表示前幾期值的變量稱為滯后變量。如：消費函數(shù)通常認(rèn)為，本期的消費除了受本期的收入影響之外，還受前1期，或前2期收入的影響：

Ct=

0+1Yt+2Yt-1+3Yt-2+tYt-1，Yt-2為滯后變量。

產(chǎn)生滯后效應(yīng)的原因

1、心理因素：人們的心理定勢，行為方式滯后于經(jīng)濟(jì)形勢的變化，如中彩票的人不可能很快改變其生活方式。

2、技術(shù)原因：如當(dāng)年的產(chǎn)出在某種程度上依賴于過去若干期內(nèi)投資形成的固定資產(chǎn)。

3、制度原因：如定期存款到期才能提取，造成了它對社會購買力的影響具有滯后性。

2、滯后變量模型

以滯后變量作為解釋變量，就得到滯后變量模型。它的一般形式為：

q，s：滯后時間間隔自回歸分布滯后模型（autoregressivedistributedlagmodel,ADL）：既含有Y對自身滯后變量的回歸，還包括著X分布在不同時期的滯后變量有限自回歸分布滯后模型：滯后期長度有限

無限自回歸分布滯后模型：滯后期無限，

（1）分布滯后模型（distributed-lagmodel）

分布滯后模型：模型中沒有滯后被解釋變量，僅有解釋變量X的當(dāng)期值及其若干期的滯后值：

0：短期(short-run)或即期乘數(shù)(impactmultiplier)，表示本期X變化一單位對Y平均值的影響程度。

i(i=1,2…,s)：動態(tài)乘數(shù)或延遲系數(shù)，表示各滯后期X的變動對Y平均值影響的大小。

如果各期的X值保持不變，則X與Y間的長期或均衡關(guān)系即為稱為長期（long-run）或均衡乘數(shù)（totaldistributed-lagmultiplier），表示X變動一個單位，由于滯后效應(yīng)而形成的對Y平均值總影響的大小。

2、自回歸模型（autoregressivemodel）而

稱為一階自回歸模型（first-orderautoregressivemodel）。

自回歸模型：模型中的解釋變量僅包含X的當(dāng)期值與被解釋變量Y的一個或多個滯后值二、分布滯后模型的參數(shù)估計

無限期的分布滯后模型，由于樣本觀測值的有限性，使得無法直接對其進(jìn)行估計。

有限期的分布滯后模型，OLS會遇到如下問題：

1、沒有先驗準(zhǔn)則確定滯后期長度；2、如果滯后期較長，將影響進(jìn)行估計和檢驗的準(zhǔn)確性；3、同名變量滯后值之間可能存在高度線性相關(guān)，即模型存在高度的多重共線性。

1、分布滯后模型估計的困難

2、分布滯后模型的修正估計方法

人們提出了一系列的修正估計方法，但并不很完善。

各種方法的基本思想大致相同：都是通過對各滯后變量加權(quán)，組成線性合成變量而有目的地減少滯后變量的數(shù)目，以緩解多重共線性，保證自由度。

(1)經(jīng)驗加權(quán)法根據(jù)實際問題的特點、實際經(jīng)驗給各滯后變量指定權(quán)數(shù)，滯后變量按權(quán)數(shù)線性組合，構(gòu)成新的變量。權(quán)數(shù)據(jù)的類型有：遞減型：即認(rèn)為權(quán)數(shù)是遞減的，X的近期值對Y的影響較遠(yuǎn)期值大。如消費函數(shù)中，收入的近期值對消費的影響作用顯然大于遠(yuǎn)期值的影響。例如：滯后期為3的一組權(quán)數(shù)可取值如下：

1/2，1/4，1/6，1/8則新的線性組合變量為：即認(rèn)為權(quán)數(shù)是相等的，X的逐期滯后值對值Y的影響相同。如滯后期為3，指定相等權(quán)數(shù)為1/4，則新的線性組合變量為：常數(shù)型(又稱矩形)：

權(quán)數(shù)先遞增后遞減呈倒“V”型。

例如：在一個較長建設(shè)周期的投資中，歷年投資X為產(chǎn)出Y的影響，往往在周期期中投資對本期產(chǎn)出貢獻(xiàn)最大。如滯后期為4，權(quán)數(shù)可取為

1/6，1/4，1/2，1/3，1/5則新變量為倒V型例對一個分布滯后模型：

給定遞減權(quán)數(shù)：1/2，1/4，1/6，1/8

令

原模型變?yōu)椋?/p>

該模型可用OLS法估計。假如參數(shù)估計結(jié)果為=0.5=0.8則原模型的估計結(jié)果為：

經(jīng)驗權(quán)數(shù)法的優(yōu)點是：簡單易行缺點是：設(shè)置權(quán)數(shù)的隨意性較大通常的做法是：多選幾組權(quán)數(shù)，分別估計出幾個模型，然后根據(jù)常用的統(tǒng)計檢驗（Ｒ方檢驗，Ｆ檢驗，t檢驗，Ｄ-Ｗ檢驗），從中選擇最佳估計式。（2）阿爾蒙（Ａlmon）多項式估計法

主要思想：針對有限滯后期模型，通過阿爾蒙變換，定義新變量，以減少解釋變量個數(shù)，然后用OLS法估計參數(shù)。

主要步驟為：第一步，阿爾蒙變換

對于分布滯后模型

假定其回歸系數(shù)

i可用一個關(guān)于滯后期i的適當(dāng)階數(shù)的多項式來表示，即:

阿爾蒙變換要求先驗地確定適當(dāng)階數(shù)k，例如取k=2，得

將(*)代入分布滯后模型

得第二步，模型的OLS估計

對變換后的模型進(jìn)行OLS估計，得需注意的是，在實際估計中，阿爾蒙多項式的階數(shù)m一般取2或3，不超過4，否則達(dá)不到減少變量個數(shù)的目的。阿爾蒙多項式估計法的特點:(P144)原理巧妙,方法簡單,估計參數(shù)時有效的消除了多重共線性的影響!滯后期長度可以根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論或?qū)嶋H經(jīng)驗確定,也可以通過一些統(tǒng)計檢驗獲取信息,如1.相關(guān)系數(shù);2.調(diào)整的判決系數(shù);3.施瓦茲準(zhǔn)則(SC)施瓦茲準(zhǔn)則(SchwarzCriterion):通過比較不同分布滯后模型的擬合優(yōu)度來確定合適的滯后期長度.施瓦茲準(zhǔn)則的計算公式:施瓦茲準(zhǔn)則的檢驗過程:在模型中逐期添加滯后變量,直到SC值不再降低為止.即選擇使SC達(dá)到最小值的滯后期k.利用Eviews軟件可以實現(xiàn)上述檢驗!P146命令LSYCPDL(X,k,m,d)及例題

例

表5.2.1給出了中國電力基本建設(shè)投資X與發(fā)電量Y的相關(guān)資料，擬建立一多項式分布滯后模型來考察兩者的關(guān)系。

由于無法預(yù)見知電力行業(yè)基本建設(shè)投資對發(fā)電量影響的時滯期，需取不同的滯后期試算。

（13.62）（1.86）（0.15）（-0.67）

求得的分布滯后模型參數(shù)估計值為

經(jīng)過試算發(fā)現(xiàn)，在2階阿爾蒙多項式變換下，滯后期數(shù)取到第6期，估計結(jié)果的經(jīng)濟(jì)意義比較合理。2階阿爾蒙多項式估計結(jié)果如下：為了比較，下面給出直接對滯后6期的模型進(jìn)行OLS估計的結(jié)果：最后得到分布滯后模型估計式為：

（3）*考耶克（Koyck）方法

考耶克方法是將無限分布滯后模型轉(zhuǎn)換為自回歸模型，然后進(jìn)行估計。對于無限分布滯后模型：

考耶克變換假設(shè)

i隨滯后期i按幾何級數(shù)衰減：

其中，0<

<1，稱為分布滯后衰減率(簡稱:衰退率或下降率)，1-

稱為調(diào)整速率（Speedofadjustment）。

考耶克變換的具體做法:將科伊克假定

i=0

i代入無限分布滯后模型，得滯后一期并乘以

，得

(*)將（*）減去（**）得考耶克變換模型：

(**)整理得考耶克模型的一般形式：

考耶克模型的特點：

（1）以一個滯后因變量Yt-1代替了大量的滯后解釋變量Xt-I對的影響,大幅度減少了解釋變量個數(shù);這也解決了滯后期長度s難以確定的問題；（2）由于滯后一期的因變量Yt-1與Xt的線性相關(guān)程度可以肯定小于X的各期滯后值之間的相關(guān)程度，從而緩解了多重共線性?？家俗儞Q雖簡化了模型,但如果用OLS法估計時又產(chǎn)生了兩個新問題：（1）模型存在一階自相關(guān)性即(P151):（2）滯后被解釋變量Yt-1與隨機(jī)項vt相關(guān)(不獨立),即(P151):(這違背了古典回歸模型的基本假定!)因此,此時的OLS估計是一個有偏估計!而且偏差不會隨著樣本的增大而消失.

阿而蒙方法和考耶克方法都可以用于估計分布滯后模型,各有特點!(見P151)考耶克方法不需要事先確定滯后期長度,變換后模型形式比較簡單,有效地解決了多重共線性和自由度減少的問題,但模型只適應(yīng)于遞減的幾何分布滯后模型,且不能直接用OLS法估計變換后的模型.阿而蒙估計適用于多種類型的分布滯后模型,變換后的模型中不存在與隨機(jī)誤差項相關(guān)的解釋變量,但需要人為的確定滯后期長度和多項式次數(shù).分布滯后模型的最主要問題就是多重共線性.以上各種方法對模型參數(shù)的分布特征做了如下規(guī)定:經(jīng)驗加權(quán)法:遞減型,常數(shù)型,到V型;阿而蒙法:考耶克方法:

i=0

i

利用這些“附加信息”有效地消除了分布滯后模型中的多重共線性問題.一般,稱經(jīng)阿而蒙變換和考耶克變換后的模型為多項式分布滯后模型或幾何分布滯后模型.三、考耶克模型的經(jīng)濟(jì)理論基礎(chǔ)

經(jīng)濟(jì)理論研究表明,許多經(jīng)濟(jì)行為都可以用考耶克模型(即幾何分布滯后模型)來描述.一個無限期分布滯后模型可以通過考耶克變換轉(zhuǎn)化為自回歸模型。事實上，許多滯后變量模型都可以轉(zhuǎn)化為自回歸模型，自回歸模型是經(jīng)濟(jì)生活中更常見的模型。以兩個最著名的理論假設(shè):自適應(yīng)預(yù)期模型以及局部調(diào)整模型為例進(jìn)行說明。（一）自適應(yīng)預(yù)期（AdaptiveExpectation）模型在某些實際問題中，因變量Yt的變化并不取決于解釋變量的當(dāng)前實際值Xt，而取決于Xt的“預(yù)期水平”或“長期均衡水平”。

例如，家庭本期消費水平，取決于未來收入的預(yù)期值；市場上某種商品需求量，決定于未來該商品價格水平的預(yù)期,而不是現(xiàn)在的實際價格水平。因此，自適應(yīng)預(yù)期模型最初表現(xiàn)形式是由于預(yù)期變量是不可實際觀測的，往往作如下自適應(yīng)預(yù)期假定(AE假定):自適應(yīng)預(yù)期模型(3-32)也可以寫成:即新一期的預(yù)期值是前期實際值與預(yù)測值的加權(quán)平均值.其中：

為預(yù)期系數(shù),為預(yù)期誤差.

該式的經(jīng)濟(jì)含義為：“經(jīng)濟(jì)行為者將根據(jù)過去的經(jīng)驗修改他們的預(yù)期”（errorlearning!)，即預(yù)期值的形成是一種預(yù)期誤差逐步調(diào)整過程，預(yù)期誤差乘以系數(shù)就是兩個時期預(yù)期值的改變量.如果預(yù)期值偏高,即:下期預(yù)期就會自動調(diào)低;反之,則調(diào)高下期預(yù)期.將(3-33)帶入(3-31),整理后得:將(3-31)滯后一期并在兩邊同乘以,得:將(*)-(**),得:將上式整理后可得:模型(3-34)稱為自適應(yīng)預(yù)期模型,如取則與考耶克模型完全一致!以上推導(dǎo)過程說明:(1)如果y主要受某個預(yù)期變量得影響,且預(yù)期變量得變化滿足自適應(yīng)預(yù)期假設(shè),則y得變化可用考耶克模型來描述;(2)如果模型得解釋變量中含有不可預(yù)測得預(yù)期變量,則在自適應(yīng)預(yù)期假設(shè)假設(shè)下,可將模型轉(zhuǎn)化為只含變量實際值的自回歸模型.從而可以估計.比如,將模型(3-34)記成:直至理性預(yù)期（RationalExpectation)RE假設(shè)降臨之前，AE假設(shè)在經(jīng)驗經(jīng)濟(jì)學(xué)中一直是很流行的，即“經(jīng)濟(jì)行為者將根據(jù)過去的經(jīng)驗修改他們的預(yù)期”

AE假設(shè)曾被Cagan,Friedman等推廣而得以普及。J.Muth,Lucas等人后來認(rèn)為AE假設(shè)是不太適宜的，因它在預(yù)期的形成過程中，只依賴與一個變量的過去值。J.Muth提出RE假設(shè)：各個經(jīng)濟(jì)行為者在建立他們的期望時，利用了當(dāng)前所能獲得的有關(guān)信息，并不單純地依賴于過去的經(jīng)驗?。ǘ┚植空{(diào)整(PartialAdjustment)模型局部調(diào)整模型主要是用來研究物資儲備問題的。例如，企業(yè)為了保證生產(chǎn)和銷售，必須保持一定的原材料儲備并且存在著最佳庫存量。設(shè)最佳庫存

與對應(yīng)于一定的產(chǎn)量或銷售量

之間(局部調(diào)整模型的最初形式)存在如下線性關(guān)系:

由于生產(chǎn)條件的波動，生產(chǎn)管理方面的原因，庫存儲備的實際變化量只是預(yù)期變化的一部分所期望的最佳庫存量不易一步到位,調(diào)整需要時間和調(diào)整進(jìn)程?；颍浩渲?，

為調(diào)整系數(shù)，0<<1.(見P154數(shù)據(jù)代入)

得可見，模型(3-38)稱為局部調(diào)整模型(也是自回歸模型)與考耶克模型(除了隨機(jī)誤差項之外)完全類似!儲備按預(yù)定水平逐步進(jìn)行調(diào)整，對作如下局部調(diào)整假設(shè)：將(3-35)式代入(3-37)

自回歸模型的參數(shù)估計

對于自回歸模型

估計時的主要問題：滯后被解釋變量的存在可能導(dǎo)致它與隨機(jī)誤差項相關(guān)(OLS估計將有偏)，以及隨機(jī)誤差項可能出現(xiàn)序列相關(guān)性(自相關(guān))(OLS估計將非有效)。下面分別討論不同情況下的估計問題:

(一)不存在自相關(guān)性比如:在局部調(diào)整模型中,由于,若不存在自相關(guān)性,則也不存在自相關(guān)性!且因依賴于,而與互不相關(guān),因此與也互不相關(guān)!(二)存在自相關(guān)性1.工具變量法因為自回歸模型實際就是無限分布滯后模型,適當(dāng)選取滯后期長度s,就可以將地變化近似地用再利用廣義差分法消除的自相關(guān)性,估計出各參數(shù)!2.搜索估計法(P156)(略)將此方程逐次遞推可得:通過以上分析可以看出:在估計自回歸模型前需要先檢驗自相關(guān)性.值得注意的是:對包含滯后解釋變量的自回歸(分布滯后)模型DW統(tǒng)計量值一般總是接近于2,因此要改用h統(tǒng)計量檢驗自相關(guān)性:對大樣本,在假設(shè)成立的情況下的相關(guān)系數(shù),.故對于給定的,由正態(tài)分布表可得臨界值,若,則拒絕原假設(shè),表明存在自相關(guān);否則,認(rèn)為不存在自相關(guān)!四、滯后效應(yīng)分析(一).滯后效應(yīng)的乘數(shù)分析對分布滯后模型:利用乘數(shù)分析可以分析解釋變量對被解釋變量的滯后影響過程.例如,如估計的消費函數(shù)為:則短期乘數(shù)為0.4;延期乘數(shù)為0.3和0.2;長期乘數(shù)為0.9.即:當(dāng)收入增加1元時,消費者將在本期增加0.4元的消費;下期增加0.3元;再下期增加0.2元;增加1元對消費的長期作用為0.9元!(二).滯后效應(yīng)的速度分析解釋變量的各期乘數(shù)效應(yīng)反映了滯后期的逐漸波及和擴(kuò)散過程.我們經(jīng)常要分析分布滯后效應(yīng)的速度,即滯后效應(yīng)需要經(jīng)歷多長時間才能發(fā)揮一定的作用(或發(fā)揮一定的效果).常用的有如下一些指標(biāo):MLT反映了滯后期的平均長度.其值越小,平均滯后期越短,表明y對x變化的反應(yīng)速度越快!(三).自回歸模型的滯后效應(yīng)分析前面討論的:考耶克,自適應(yīng)預(yù)期,局部調(diào)整模型經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q,可統(tǒng)一表示成如下一階自回歸模型:由此可得到各個自回歸模型的相應(yīng)滯后效應(yīng)分析指標(biāo)(見P159表)在考耶克模型中,若,則平均滯后為4期;若,則平均滯后為1期;即值越大,滯后影響的衰減越慢,滯后效應(yīng)的時期越長.

而自適應(yīng)預(yù)期模型與局部調(diào)整模型中的預(yù)期系數(shù)和調(diào)整系數(shù)越大,則預(yù)期自適應(yīng)程度和或調(diào)整速度越快,滯后影響的時期越短!另外,自適應(yīng)預(yù)期模型與局部調(diào)整模型的長期乘數(shù)只與或的系數(shù)b有關(guān),與預(yù)期系數(shù)和調(diào)整系數(shù)無關(guān).著因為(如局部調(diào)整模型為例)長期乘數(shù)為:則說明:最佳儲備的調(diào)整過程(或預(yù)期的形成過程)是一個逐步積累的結(jié)果,經(jīng)過一段時期之后總能調(diào)整到最佳水平!例建立中國長期貨幣流通量需求模型

經(jīng)驗表明：中國改革開放以來，對貨幣需求量(Y)的影響因素，主要有資金運用中的貸款額(X)以及反映價格變化的居民消費者價格指數(shù)(P)。

長期貨幣流通量模型可設(shè)定為

由于長期貨幣流通需求量不可觀測，作局部調(diào)整:

(*)(**)將（*）式代入（**）得短期貨幣流通量需求模型：

對局部調(diào)整模型運用OLS法估計結(jié)果如下（-2.93）(2.86)(3.10)(2.87)

最后得到長期貨幣流通需求模型的估計式：

注意：盡管D.W.=1.733，但不能據(jù)此判斷自回歸模型不存在自相關(guān)(Why?)。

但LM=0.7855，=5%下，臨界值

2(1)=3.84，

判斷：模型已不存在一階自相關(guān)。如果直接對下式作OLS回歸

（-4.81）(58.79)(5.05)

得可見該模型隨機(jī)擾動項具有序列相關(guān)性，

五、格蘭杰因果關(guān)系檢驗

自回歸分布滯后模型旨在揭示：某變量的變化受其自身及其他變量過去行為的影響。因為計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的一個基本特征就是所描述的經(jīng)濟(jì)關(guān)系是因果關(guān)系.因此建立模型時第一個任務(wù)就是要根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論和實踐經(jīng)驗確定有關(guān)影響因素,即尋找事物變化的原因;然后再利用判定系數(shù),t檢驗等統(tǒng)計量判定所選因素是否有顯著影響.然而，即使兩個變量之間高度相關(guān),并不一定存在因果關(guān)系.(例如P160.GNP與貨幣供應(yīng)量間通常是高度相關(guān)的,但……)又如:許多經(jīng)濟(jì)變量有著相互的影響關(guān)系GDP消費問題：當(dāng)兩個變量在時間上有先導(dǎo)——滯后關(guān)系時，能否從統(tǒng)計上考察這種關(guān)系是單向的還是雙向的？即:主要是一個變量過去的行為在影響另一個變量的當(dāng)前行為呢？還是雙方的過去行為在相互影響著對方的當(dāng)前行為？

(一)格蘭杰因果關(guān)系檢驗（Grangertestofcausality）1.葛蘭杰檢驗的原理葛蘭杰檢驗的基本依據(jù)是:“將來不能預(yù)測過去!”即:如果y的變化是由x引起的,則x的變化應(yīng)該發(fā)生在y的變化之前.利用分布滯后的概念,葛蘭杰與1969年對變量之間的因果關(guān)系作出如下定義:如果x是引起y變化的原因,則x應(yīng)該有助于預(yù)測y,即在y關(guān)于y過去值的回歸中,添加x的過去值作為獨立的解釋變量,應(yīng)該顯著的增加回歸的解釋能力.此時稱x為y的原因(Grangercause),記為.如果添加x的滯后變量后,沒有顯著增加回歸模型的解釋能力,則稱x不是y的原因,記為:根據(jù)葛蘭杰的因果關(guān)系的定義,y和x之間有以下四種關(guān)系:2.葛蘭杰檢驗的步驟檢驗“x是否為y變化原因”的具體步驟為:(1)利用OLS法,估計兩個分布滯后模型:同理,可檢驗“y是否為x的變化原因”(只需將(a),(b)中的y與x互換即可.)3.葛蘭杰檢驗的Eviews軟件實現(xiàn)(P161)使用葛蘭杰檢驗時應(yīng)注意的兩個問題:(P162)第一:檢驗解雇對滯后期長度的變化比較敏感;即滯后期選擇的不同可能會得到不一致的檢驗結(jié)果.解決辦法是一般多選幾個不同的滯后期進(jìn)行檢驗,如果檢驗結(jié)果一致,則得出的結(jié)論是較為可信的.第二:可能還有x以外的其他變量也是引起y變化的原因,同時該變量也與x相關(guān),解決方法是在回歸模型中也引入這些變量的滯后值.辛姆斯(C.A.Sims)檢驗:(P162)根據(jù)“將來不能預(yù)測現(xiàn)在”提出另一種因果關(guān)系檢驗方法.考慮模型:模型(a)中項稱為先導(dǎo)項(leadterm).如果x是引起x變化的原因,則先導(dǎo)項的系數(shù)在統(tǒng)計上應(yīng)該顯著地等于零,即在模型(b)中添加先導(dǎo)項后不能使回歸模型的解釋能力顯著增強(qiáng).因為“將來不能預(yù)測現(xiàn)在”,即不起作用!因此假設(shè):然后分別估計模型(a),(b),計算各自的殘差平方和,再利用相應(yīng)的F統(tǒng)計量進(jìn)行檢驗,若,則原假設(shè)不成立,即x不是引起y變化的原因;若則原假設(shè)成立,認(rèn)為x是引起y變化的原因.對兩變量Y與X，格蘭杰因果關(guān)系檢驗要求估計:(*)(**)可能存在有四種檢驗結(jié)果：（