數(shù)學(xué)建模課件

第二章數(shù)學(xué)建模初步2.1數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模2.2數(shù)學(xué)建模的步驟和方法2.3數(shù)學(xué)建模實例分析2.4數(shù)學(xué)模型的特點和分類2.5數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)方法

與數(shù)學(xué)建模競賽簡介玩具、照片、飛機(jī)模型……~直觀模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……~符號模型模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征2.1

數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模我們常見的模型你碰到過的數(shù)學(xué)模型——“行程問題”解：設(shè)甲、乙速度分別為x、y，列出方程組：答：甲速為86米/分，乙速為74米/分.

A、B兩地相距960米，甲乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)。若相向行走，6分鐘相遇；若同向行走，80分鐘甲追上乙。問甲、乙速度各為多少?x=86y=74求解行程問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟作出簡化假設(shè)（甲、乙速度為常數(shù)）；

用符號表示有關(guān)量（x,y表示甲速和乙速）；

用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程組）；

求解得到數(shù)學(xué)解答（x=86,y=74）；

回答原問題（甲速為86米/分，乙速為74米/分）。數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)建立數(shù)學(xué)模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設(shè)，運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)2.2.1

數(shù)學(xué)建模的基本步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)建模型求解模型分析模型檢驗?zāi)Ｐ蛻?yīng)用2.2

數(shù)學(xué)建模的步驟與方法2.2.2

數(shù)學(xué)建模方法機(jī)理分析測試分析根據(jù)對客觀事物特性的認(rèn)識，找出反映

內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律將對象看作“黑箱”，通過對測量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型綜合分析用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu)，用測試分析確

定模型參數(shù)2.3

數(shù)學(xué)建模示例2.3.1

方桌問題模型假設(shè)四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形;地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)面;

把椅子放在不平的地面上，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)。然而只需稍微挪動幾次，就可以使四只腳同時著地，就放穩(wěn)了。為什么？模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性用

(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置四只腳著地距離是

的函數(shù)四個距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f(

)B,D兩腳與地面距離之和~g(

)兩個距離xBADCOD′C′B′A′

椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉(zhuǎn)正方形對稱性f(

),g(

)是連續(xù)函數(shù)對任意

,f(

),g(

)至少一個為0數(shù)學(xué)問題已知：f(

),g(

)是連續(xù)函數(shù);

對任意

，f(

)?g(

)=0;

且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在

0，使f(

0)=g(

0)=0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面椅子在任意位置至少三只腳著地模型求解將椅子旋轉(zhuǎn)900，對角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h(

)=f(

)–g(

),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的零點定理,必存在

0,使h(

0)=0,即f(

0)=g(

0).因為f(

)?g(

)=0,所以f(

0)=g(

0)=0.評注和思考建模的關(guān)鍵~假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì)考察四腳呈長方形的椅子？

和f(

),g(

)的確定2.3.2

席位的公平分配系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.5

乙6331.5

丙3417.0總和200100.020.02021席的分配比例結(jié)果10.8156.6153.57021.00021問題三個系學(xué)生共200名(甲100，乙60，丙40)，代表會議共20席，按比例分配，三個系分別為10,6,4席.因?qū)W生轉(zhuǎn)系,三系人數(shù)為103,63,34,如何分配20席?若代表會議增加1席，如何分配21席?比例加慣例對丙系公平嗎系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.3

乙6331.56.3

丙3417.03.4總和200100.020.020系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.310

乙6331.56.36

丙3417.03.44總和200100.020.02021席的分配比例結(jié)果10.815116.61573.570321.00021背景Hamilton(比例加慣例)方法------1792年美國國會用于分配各州眾議員名額已知:m方人數(shù)分別為

p1,p2,…,pm,記總?cè)藬?shù)為P=p1+p2+…+pm,待分配的總席位為N.記qi=Npi

/P,稱為第i方的份額(i=1,2,…,m)各方先分配qi的整數(shù)部分[qi],總余額為記ri

=qi-[qi],則第i方的分配名額ni為Hamilton方法的不公平性1.p1,p2,…,pm不變,N的增加會使某個ni減少(上例).系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.310

乙6331.56.36

丙3417.03.44總和200100.020.02021席的分配比例結(jié)果10.815116.61573.570321.00021Hamilton方法的不公平性2.N不變,pi比pj的增長率大,會使

ni減少nj增加(下例).pinii=110310i=2636i=3344總和20020pi1146338215增長率10.6%11.7%

ni116320“公平”分配方法衡量公平分配的數(shù)量指標(biāo)人數(shù)席位A方p1

n1B方p2n2當(dāng)p1/n1=p2/n2

時，分配公平

p1/n1–p2/n2~對A的絕對不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5實際上右面對A的不公平程度已大大降低!雖然左右兩種情況的絕對不公平度相同.若p1/n1>p2/n2

，對不公平A

p1/n1–p2/n2=5公平分配方案應(yīng)使rA

,rB

盡量小設(shè)A,B已分別有n1,n2席,若增加1席,問應(yīng)分給A,還是B?不妨設(shè)分配開始時p1/n1>p2/n2

，即對A不公平.~對A的相對不公平度將絕對度量改為相對度量類似地定義rB(n1,n2)將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動態(tài)的席位分配,即“公平”分配方法若p1/n1>p2/n2

，定義1）若p1/(n1+1)>p2/n2

，則這席應(yīng)給A2）若p1/(n1+1)<p2/n2

，3）若p1/n1>p2/(n2+1)，應(yīng)計算rB(n1+1,n2)應(yīng)計算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),則這席應(yīng)給應(yīng)討論以下幾種情況:初始p1/n1>p2/n2

問：p1/n1<p2/(n2+1)

是否會出現(xiàn)？A否!若rB(n1+1,n2)>rA(n1,n2+1),則這席應(yīng)給B“公平”分配方法當(dāng)rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),該席給ArA,rB的定義該席給A否則,該席給B

定義該席給Q值較大的一方推廣到m方分配席位計算該席給Q值最大的一方Q

值方法“公平”分配方法三系用Q值方法重新分配21個席位按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將19席分配完畢甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3用Q值方法分配第20席和第21席第20席第21席Q2,Q3同上Q3最大，第21席給丙系甲系11席,乙系6席,丙系4席Q值方法分配結(jié)果公平嗎？Q1最大，第20席給甲系模型的公理化研究Q值方法比“比例加慣例”方法更公平嗎？席位分配的公理(1974)份額qi=Npi

/P,分配名額ni

=

ni

(N,p1,…,pm)已知p1,p2,…,pm,P,N1)[qi]

ni

[qi]+1

(i=1,2,…m)~公平分配性2)ni

(N,p1,,…pm)

ni

(N+1,p1,…,pm)~名額單調(diào)性“比例加慣例”方法滿足公理1，但不滿足公理2.

Q值方法滿足公理2,但不滿足公理1（如下例）.模型的公理化研究pi9521716151000qi95.21.71.61.5100ni94222100i=1i=2i=3i=4不存在滿足上述公理的席位分配方法(1982)公平的席位分配建立“公平分配席位”模型的關(guān)鍵是建立衡量公平程度的數(shù)量指標(biāo).在以相對不公平度為衡量指標(biāo)的前提下,Q值方法比“比例加慣例”方法更加公平.如果采用公理化方法——提出公平分配席位的理想化原則，那么該問題尚未解決——已證明不存在滿足一組公理的席位分配方法.

年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長2.3.3人口發(fā)展問題指數(shù)增長模型——馬爾薩斯提出(1798)中學(xué)數(shù)學(xué)思想x(t)~時刻t的人口基本假設(shè)

:人口(相對)增長率r

是常數(shù)今年人口x0,年增長率rk年后人口隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長?阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)參數(shù)估計用阻滯增長模型作人口預(yù)報，必須先估計模型參數(shù)r,xm

利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合（用MATLAB軟件）例：美國人口數(shù)據(jù)（單位~百萬）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4阻滯增長模型r=0.2557,xm=392.1模型檢驗用模型計算2000年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較實際為281.4(百萬)模型應(yīng)用——預(yù)報美國2010年的人口Logistic模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費品的售量)阻滯增長模型(Logistic模型)x(2010)=306.0令t=2000，r=0.2557,xm=392.1相對誤差為2.5%例

商人們怎樣安全過河?問題(智力游戲)

3名商人

3名隨從隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數(shù)比商人多,就殺人搶貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析多步?jīng)Q策過程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.河小船(至多2人)模型構(gòu)成xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,

sk=(xk

,yk)~狀態(tài)S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態(tài)集合uk~第k次渡船上的商人數(shù)vk~第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk

,vk)~決策D={(u

,v)

u+v=1,2}~允許決策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,

sk+1=sk

dk

+(-1)k~狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求dk

D(k=1,2,n),使sk

S,并按轉(zhuǎn)移律由s1=(3,3)到達(dá)sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問題模型求解窮舉法~編程上機(jī)圖解法狀態(tài)s=(x,y)~16個格點

~10個點允許決策~移動1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.d1,

，d11給出安全渡河方案評注和思考規(guī)格化方法,易于推廣考慮4名商人各帶一隨從的情況xy3322110s1sn+1d1d11允許狀態(tài)S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}應(yīng)用領(lǐng)域人口、交通、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)……數(shù)學(xué)方法初等數(shù)學(xué)、微分方程、幾何、統(tǒng)計……表現(xiàn)特性優(yōu)化、預(yù)報、決策……建模目的了解程度白箱灰箱黑箱