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54分專項(xiàng)練(五)18、19、20、211.已知遞增的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1·a4=16,S4=20.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若bn=(-1)n-1eq\f(2n+1,Sn),且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn.2.如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=60°,M為AD上一點(diǎn),AM=2MD=2,∠BMC=60°.(1)若△MCD為等腰三角形,求BC;(2)設(shè)∠DCM=θ,若MB=4MC,求tanθ.3.如圖,已知多面體PABCDE的底面ABCD是邊長為2的菱形,PA⊥底面ABCD,ED∥PA,且PA=2ED=2.(1)證明:平面PAC⊥平面PCE;(2)若直線PC與平面ABCD所成的角為45°,求二面角P-CE-D的余弦值.4.某大型公司為鼓勵(lì)員工與客戶溝通,與某手機(jī)通訊商合作,為員工辦理流量套餐.為了解該單位員工手機(jī)流量使用情況,通過抽樣得到100位員工近2年每人手機(jī)月平均使用流量L(單位:MB)的數(shù)據(jù),其頻率分布直方圖如下:若將每位員工的手機(jī)月平均使用流量分別視為其手機(jī)月使用流量,并將頻率視為概率,回答以下問題:(1)從該大型公司員工中隨機(jī)抽取3人,求這3人中至多有1人手機(jī)月流量不超過300MB的概率;(2)現(xiàn)該通訊商推出三款流量套餐,詳情如下:套餐名稱月套餐費(fèi)(單位:元)月套餐流量(單位:MB)A20300B30500C38700這三款套餐都有如下附加條款:套餐費(fèi)在月初一次性收取,手機(jī)使用流量一旦超出套餐流量,系統(tǒng)就自動(dòng)幫用戶充值200MB流量,資費(fèi)20元/次,如果又超出充值流量,系統(tǒng)就再次自動(dòng)幫用戶充值200MB流量,資費(fèi)20元/次,以此類推.如果當(dāng)月流量有剩余,系統(tǒng)將自動(dòng)清零,無法轉(zhuǎn)入次月使用.該公司欲訂購其中一款流量套餐,為員工支付月套餐費(fèi),并承擔(dān)系統(tǒng)自動(dòng)充值的流量資費(fèi)的75%,其余部分由員工個(gè)人承擔(dān).問公司訂購哪一款套餐最經(jīng)濟(jì)?說明理由.54分專項(xiàng)練(五)18、19、20、211.解:(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1a4=16,,S4=2(a1+a4)=20,))且a1<a4知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1=2,,a4=8,))所以公差d=eq\f(a4-a1,3)=2,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n.(2)由(1)知an=2n,所以Sn=eq\f((2n+2)n,2)=n(n+1).所以bn=(-1)n-1eq\f(2n+1,Sn)=(-1)n-1eq\f(2n+1,n(n+1))=(-1)n-1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)+\f(1,n+1))),所以Tn=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,2)))-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)+\f(1,3)))+…+(-1)n-1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)+\f(1,n+1)))=1+(-1)n-1eq\f(1,n+1).2.解:(1)由AB∥CD,∠A=60°可得∠D=120°.又△MCD為等腰三角形,所以∠DMC=∠DCM=30°,所以MC=eq\r(3)MD=eq\r(3),∠AMB=90°,所以MB=2eq\r(3).在△MBC中,由余弦定理得BC2=BM2+MC2-2BM·MC·cos∠BMC=12+3-2×2eq\r(3)×eq\r(3)×eq\f(1,2)=9,即BC=3.(2)因?yàn)椤螪CM=θ,所以∠DMC=60°-θ,所以∠DMB=120°-θ,所以∠ABM=60°-θ,0°<θ<60°.在△MCD中,由正弦定理得MC=eq\f(\r(3),2sinθ),在△MAB中,由正弦定理得MB=eq\f(\r(3),sin(60°-θ)),由MB=4MC,得eq\f(\r(3),sin(60°-θ))=eq\f(4\r(3),2sinθ),化簡得eq\r(3)cosθ-2sinθ=0,解得tanθ=eq\f(\r(3),2).3.解:(1)證明:連接BD,交AC于點(diǎn)O,設(shè)PC中點(diǎn)為F,連接OF,EF.因?yàn)镺,F(xiàn)分別為AC,PC的中點(diǎn),所以O(shè)F∥PA,且OF=eq\f(1,2)PA.因?yàn)镈E∥PA,且DE=eq\f(1,2)PA,所以O(shè)F∥DE,且OF=DE.所以四邊形OFED為平行四邊形,所以O(shè)D∥EF,即BD∥EF.因?yàn)镻A⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.因?yàn)锳BCD是菱形,所以BD⊥AC.又因?yàn)镻A∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.又因?yàn)锽D∥EF,所以EF⊥平面PAC.又因?yàn)镕E?平面PCE,所以平面PAC⊥平面PCE.(2)因?yàn)橹本€PC與平面ABCD所成角為45°,所以∠PCA=45°,所以AC=PA=2.所以AC=AB,故△ABC為等邊三角形.設(shè)BC的中點(diǎn)為M,連接AM,則AM⊥BC,所以AM⊥AD.以A為原點(diǎn),AM,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,如圖.則P(0,0,2),C(eq\r(3),1,0),E(0,2,1),D(0,2,0),所以eq\o(PC,\s\up6(→))=(eq\r(3),1,-2),eq\o(CE,\s\up6(→))=(-eq\r(3),1,1),eq\o(DE,\s\up6(→))=(0,0,1).設(shè)平面PCE的法向量為n=(x1,y1,z1),則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(PC,\s\up6(→))=0,,n·\o(CE,\s\up6(→))=0,))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)x1+y1-2z1=0,,-\r(3)x1+y1+z1=0,))令y1=1,則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1=\r(3),,z1=2,))所以n=(eq\r(3),1,2).設(shè)平面CDE的法向量為m=(x2,y2,z2),則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(DE,\s\up6(→))=0,,m·\o(CE,\s\up6(→))=0,))即,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(z2=0,,-\r(3)x2+y2+z2=0,))令x2=1,則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2=\r(3),,z2=0,))所以m=(1,eq\r(3),0),設(shè)二面角P-CE-D的大小為θ,由于θ為鈍角,所以cosθ=-|cos〈n,m〉|=-eq\f(|n·m|,|n||m|)=-eq\f(2\r(3),2\r(2)×2)=-eq\f(\r(6),4).所以二面角P-CE-D的余弦值為-eq\f(\r(6),4).4.解:(1)依題意,從該大型公司員工中隨機(jī)抽取1名員工,其手機(jī)月流量不超過300MB的概率P=(0.0008+0.0022)×100=0.3.設(shè)從該大型公司員工中隨機(jī)抽取3名員工中手機(jī)月流量不超過300MB的人數(shù)為X,則X~B(3,0.3),則從該大型公司員工中隨機(jī)抽取3人,這3人中至多有1人手機(jī)月流量不超過300MB的概率為P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=Ceq\o\al(0,3)×(1-0.3)3+Ceq\o\al(1,3)×0.31×(1-0.3)2=0.784.(2)依題意,從公司中隨機(jī)抽取一名員工的手機(jī)使用流量在(300,500]和(500,700]的概率分別為0.6,0.1.①當(dāng)訂購A套餐時(shí),設(shè)公司為一位員工承擔(dān)的月套餐費(fèi)用為Y,則Y的可能取值為20,35,50,且P(Y=20)=0.3,P(Y=35)=0.6,P(Y=50)=0.1,所以Y的分布列為Y203550P0.30.60.1所以E(Y)=20×0.3+35×0.6+50×0.1=32(元).②當(dāng)
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