高考數學二輪復習 第二部分 （五） 18、19、20、21（含解析）試題VIP

54分專項練(五)18、19、20、211．已知遞增的等差數列{an}的前n項和為Sn，若a1·a4＝16，S4＝20.(1)求數列{an}的通項公式；(2)若bn＝(－1)n－1eq\f(2n＋1,Sn)，且數列{bn}的前n項和為Tn，求Tn.2.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，M為AD上一點，AM＝2MD＝2，∠BMC＝60°.(1)若△MCD為等腰三角形，求BC；(2)設∠DCM＝θ，若MB＝4MC，求tanθ.3．如圖，已知多面體PABCDE的底面ABCD是邊長為2的菱形，PA⊥底面ABCD，ED∥PA，且PA＝2ED＝2.(1)證明：平面PAC⊥平面PCE；(2)若直線PC與平面ABCD所成的角為45°，求二面角P-CE-D的余弦值．4．某大型公司為鼓勵員工與客戶溝通，與某手機通訊商合作，為員工辦理流量套餐．為了解該單位員工手機流量使用情況，通過抽樣得到100位員工近2年每人手機月平均使用流量L(單位：MB)的數據，其頻率分布直方圖如下：若將每位員工的手機月平均使用流量分別視為其手機月使用流量，并將頻率視為概率，回答以下問題：(1)從該大型公司員工中隨機抽取3人，求這3人中至多有1人手機月流量不超過300MB的概率；(2)現該通訊商推出三款流量套餐，詳情如下：套餐名稱月套餐費(單位：元)月套餐流量(單位：MB)A20300B30500C38700這三款套餐都有如下附加條款：套餐費在月初一次性收取，手機使用流量一旦超出套餐流量，系統(tǒng)就自動幫用戶充值200MB流量，資費20元/次，如果又超出充值流量，系統(tǒng)就再次自動幫用戶充值200MB流量，資費20元/次，以此類推．如果當月流量有剩余，系統(tǒng)將自動清零，無法轉入次月使用．該公司欲訂購其中一款流量套餐，為員工支付月套餐費，并承擔系統(tǒng)自動充值的流量資費的75%，其余部分由員工個人承擔．問公司訂購哪一款套餐最經濟？說明理由．54分專項練(五)18、19、20、211．解：(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1a4＝16，,S4＝2（a1＋a4）＝20，))且a1<a4知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,a4＝8，))所以公差d＝eq\f(a4－a1,3)＝2，所以數列{an}的通項公式為an＝2n.(2)由(1)知an＝2n，所以Sn＝eq\f(（2n＋2）n,2)＝n(n＋1)．所以bn＝(－1)n－1eq\f(2n＋1,Sn)＝(－1)n－1eq\f(2n＋1,n（n＋1）)＝(－1)n－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)＋\f(1,n＋1)))，所以Tn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,3)))＋…＋(－1)n－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)＋\f(1,n＋1)))＝1＋(－1)n－1eq\f(1,n＋1).2．解：(1)由AB∥CD，∠A＝60°可得∠D＝120°.又△MCD為等腰三角形，所以∠DMC＝∠DCM＝30°，所以MC＝eq\r(3)MD＝eq\r(3)，∠AMB＝90°，所以MB＝2eq\r(3).在△MBC中，由余弦定理得BC2＝BM2＋MC2－2BM·MC·cos∠BMC＝12＋3－2×2eq\r(3)×eq\r(3)×eq\f(1,2)＝9，即BC＝3.(2)因為∠DCM＝θ，所以∠DMC＝60°－θ，所以∠DMB＝120°－θ，所以∠ABM＝60°－θ，0°<θ<60°.在△MCD中，由正弦定理得MC＝eq\f(\r(3),2sinθ)，在△MAB中，由正弦定理得MB＝eq\f(\r(3),sin（60°－θ）)，由MB＝4MC，得eq\f(\r(3),sin（60°－θ）)＝eq\f(4\r(3),2sinθ)，化簡得eq\r(3)cosθ－2sinθ＝0，解得tanθ＝eq\f(\r(3),2).3．解：(1)證明：連接BD，交AC于點O，設PC中點為F，連接OF，EF.因為O，F分別為AC，PC的中點，所以OF∥PA，且OF＝eq\f(1,2)PA.因為DE∥PA，且DE＝eq\f(1,2)PA，所以OF∥DE，且OF＝DE.所以四邊形OFED為平行四邊形，所以OD∥EF，即BD∥EF.因為PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD.因為ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又因為PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.又因為BD∥EF，所以EF⊥平面PAC.又因為FE?平面PCE，所以平面PAC⊥平面PCE.(2)因為直線PC與平面ABCD所成角為45°，所以∠PCA＝45°，所以AC＝PA＝2.所以AC＝AB，故△ABC為等邊三角形．設BC的中點為M，連接AM，則AM⊥BC，所以AM⊥AD.以A為原點，AM，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系A-xyz，如圖．則P(0，0，2)，C(eq\r(3)，1，0)，E(0，2，1)，D(0，2，0)，所以eq\o(PC,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，1，－2)，eq\o(CE,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，1，1)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(0，0，1)．設平面PCE的法向量為n＝(x1，y1，z1)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(PC,\s\up6(→))＝0，,n·\o(CE,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)x1＋y1－2z1＝0，,－\r(3)x1＋y1＋z1＝0，))令y1＝1，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\r(3)，,z1＝2，))所以n＝(eq\r(3)，1，2)．設平面CDE的法向量為m＝(x2，y2，z2)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(DE,\s\up6(→))＝0，,m·\o(CE,\s\up6(→))＝0，))即，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(z2＝0，,－\r(3)x2＋y2＋z2＝0，))令x2＝1，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝\r(3)，,z2＝0，))所以m＝(1，eq\r(3)，0)，設二面角P-CE-D的大小為θ，由于θ為鈍角，所以cosθ＝－|cos〈n，m〉|＝－eq\f(|n·m|,|n||m|)＝－eq\f(2\r(3),2\r(2)×2)＝－eq\f(\r(6),4).所以二面角P-CE-D的余弦值為－eq\f(\r(6),4).4．解：(1)依題意，從該大型公司員工中隨機抽取1名員工，其手機月流量不超過300MB的概率P＝(0.0008＋0.0022)×100＝0.3.設從該大型公司員工中隨機抽取3名員工中手機月流量不超過300MB的人數為X，則X～B(3，0.3)，則從該大型公司員工中隨機抽取3人，這3人中至多有1人手機月流量不超過300MB的概率為P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝Ceq\o\al(0,3)×(1－0.3)3＋Ceq\o\al(1,3)×0.31×(1－0.3)2＝0.784.(2)依題意，從公司中隨機抽取一名員工的手機使用流量在(300，500]和(500，700]的概率分別為0.6，0.1.①當訂購A套餐時，設公司為一位員工承擔的月套餐費用為Y，則Y的可能取值為20，35，50，且P(Y＝20)＝0.3，P(Y＝35)＝0.6，P(Y＝50)＝0.1，所以Y的分布列為Y203550P0.30.60.1所以E(Y)＝20×0.3＋35×0.6＋50×0.1＝32(元)．②當