安徽省合肥市六校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)

合肥六校聯(lián)盟20232024學(xué)年第一學(xué)期期中聯(lián)考高一年級(jí)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共8小題，每小題5分共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.不等式的解集是（）.A. B. C. D.3.已知，則下列正確的是（）A. B. C. D.4.已知函數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.6.若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.7.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.或C D.或8.已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（）AB.C.D.10.下列說(shuō)法正確的是()A.命題“，”的否定是“，使得”B.若集合中只有一個(gè)元素，則C.關(guān)于的不等式的解集，則不等式的解集為D.若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是11.下列命題中正確的是（）A.的最小值為2B.函數(shù)的值域?yàn)镃.已知為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，D.若冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則12.若函數(shù)同時(shí)滿足：對(duì)于定義域上的任意，恒有；對(duì)于定義域上的任意，當(dāng)時(shí)，恒，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”，下列四個(gè)函數(shù)中能被稱為“理想函數(shù)”的是()A. B. C. D.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.=________.14.若為奇函數(shù)，則______.15.若不等式對(duì)一切恒成立，則的取值范圍是___________.16.已知.若，求最小值是________.四、解答題（本題共6小題，共70分,第17題10分，其余5題分別12分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、解答過(guò)程或演算步驟）17設(shè)集合，，．（1），求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求m的取值范圍．18.已知，命題：，，命題：，使得方程成立.（1）若是真命題，求的取值范圍；（2）若為真命題，為假命題，求的取值范圍.19.已知指數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增．（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)．求函數(shù)的值域．20.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)．（1）求的值；（2）判斷的單調(diào)性并用定義證明；（3）若存在，使成立，求的取值范圍．21.某校高一年段“生態(tài)水果特色區(qū)”研究小組，經(jīng)過(guò)深入調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某水果樹的單株產(chǎn)量（單位：千克）與施用肥料（單位：千克）滿足如下關(guān)系：，且單株施用肥料及其它成本總投入為元.已知這種水果的市場(chǎng)售價(jià)大約為10元/千克，且銷路暢通供不應(yīng)求.記該水果樹的單株利潤(rùn)為（單位：元）.（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)施用肥料為多少千克時(shí)，該水果樹的單株利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？請(qǐng)說(shuō)明理由.22.設(shè)，函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在單調(diào)區(qū)間；（2）記為在上的最大值，求的最小值．

合肥六校聯(lián)盟20232024學(xué)年第一學(xué)期期中聯(lián)考高一年級(jí)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共8小題，每小題5分共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求解集合，再根據(jù)交集的定義，即可求解.【詳解】由題意可知，，，所以.故選：D2.不等式的解集是（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由一元二次不等式的解法，可得答案.【詳解】由不等式，則，解得.故選：B3.已知，則下列正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合中間值“1”分析判斷.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，可得，即，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，可得，所以.故選：A.4.已知函數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件，必要條件的定義結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】由，即“”“”，由，可知當(dāng)時(shí)，可得，解得；當(dāng)時(shí)，可得，可得，即“”“”；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A5.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)為偶函數(shù)，可得在上的單調(diào)性，將所求整理為或，根據(jù)的性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】因?yàn)樵赗上的偶函數(shù)，且上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，且，則等價(jià)于或，根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性，解得或，故選：A6.若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一次函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，即可由分段函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】在上是增函數(shù),則需滿足，解得，故選：D7.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.或C. D.或【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式“1”的代換求不等式左側(cè)的最小值，根據(jù)不等式有解得，即可求參數(shù)范圍.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x，y滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取得最小值4，由有解，則，解得或．故實(shí)數(shù)m的取值范圍是或.故選：D8.已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，則，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，結(jié)合單調(diào)性及奇偶性可求.【詳解】解：令，則，因?yàn)?，，∴為奇函?shù)，又因?yàn)?，由?fù)合函數(shù)單調(diào)性知為的增函數(shù)，∵，則，∴，，∴，解得或，故故選：D.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】利用同一函數(shù)的定義，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域均為R，且，A是；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)?，而的定義域?yàn)镽，B不是；對(duì)于C，函數(shù)的定義域均為，而，C是；對(duì)于D，函數(shù)的定義域均為R，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，D是.故選：ACD10.下列說(shuō)法正確的是()A.命題“，”的否定是“，使得”B.若集合中只有一個(gè)元素，則C.關(guān)于的不等式的解集，則不等式的解集為D.若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)命題的否定即可求解A，根據(jù)即可求解B，根據(jù)一元二次方程與不等式的關(guān)系即可求解C，根據(jù)抽象函數(shù)定義域的求解即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，命題“，”的否定是“，使得”，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，集合也只有一個(gè)元素，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，不等式的解集，則是的兩個(gè)根，所以，故，則可化為，即，故，所以不等式的解為，C正確；對(duì)于D，定義域是，則函數(shù)滿足，解得，所以函數(shù)的定義域是，D正確，故選：CD11.下列命題中正確的是（）A.的最小值為2B.函數(shù)的值域?yàn)镃.已知為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，D.若冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式即可判斷A，根據(jù)指數(shù)復(fù)合型函數(shù)的單調(diào)性即可求解B，根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可求解C，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可求解D.【詳解】對(duì)于A，由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，但無(wú)實(shí)根，故等號(hào)取不到，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B,由于，所以，又，故函數(shù)的值域?yàn)?，B錯(cuò)誤，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，則，，由于，故時(shí)，，C正確，對(duì)于D，冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則，解得，故D正確，故選：CD12.若函數(shù)同時(shí)滿足：對(duì)于定義域上的任意，恒有；對(duì)于定義域上的任意，當(dāng)時(shí)，恒，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”，下列四個(gè)函數(shù)中能被稱為“理想函數(shù)”的是()A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)奇偶性和單調(diào)性的定義逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于①②可知：“理想函數(shù)”在定義域內(nèi)為奇函數(shù)且單調(diào)遞減.對(duì)于選項(xiàng)A：定義域內(nèi)為奇函數(shù)且單調(diào)遞減，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：定義域內(nèi)為奇函數(shù)且單調(diào)遞減，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)槎x域內(nèi)均為奇函數(shù)且單調(diào)遞增，所以定義域內(nèi)為奇函數(shù)且單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?故為上的奇函數(shù).而定義域內(nèi)均為單調(diào)遞減，所以定義域內(nèi)為奇函數(shù)且單調(diào)遞減，故D正確；故選：ABD.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.=________.【答案】16【解析】【分析】利用指數(shù)運(yùn)算法則和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則計(jì)算出答案.【詳解】故答案為：1614.若為奇函數(shù)，則______.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)奇函數(shù)定義域的特征求得，然后根據(jù)奇函數(shù)定義驗(yàn)證即可.【詳解】由得或，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，即.當(dāng)時(shí)，，所以為奇函數(shù).故答案為：15.若不等式對(duì)一切恒成立，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】分和兩種情況討論求解.【詳解】當(dāng)，即時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椴坏仁綄?duì)一切恒成立，所以，解得，綜上，，即的取值范圍是故答案為：16.已知.若，求的最小值是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)基本不等式乘“1”法即可求解.【詳解】由得，由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故最小值為，故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分,第17題10分，其余5題分別12分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、解答過(guò)程或演算步驟）17.設(shè)集合，，．（1），求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求m的取值范圍．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）首先應(yīng)用補(bǔ)集運(yùn)算求，再由交集運(yùn)算求即可；（2）由題設(shè)BA，討論、列不等式求參數(shù)范圍即可.【小問(wèn)1詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，故或，而，故.【小問(wèn)2詳解】由“”是“”的充分不必要條件，可得BA，當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，需滿足（、等號(hào)不能同時(shí)成立），解得，綜上，m的取值范圍為或．18.已知，命題：，，命題：，使得方程成立.（1）若是真命題，求的取值范圍；（2）若為真命題，為假命題，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)恒成立的思想可知，由二次函數(shù)最值可求得結(jié)果；（2）根據(jù)基本不等式可求得，由能成立的思想可知時(shí)；由題意可知一真一假，分別討論真假和假真兩種情況即可.【小問(wèn)1詳解】若真命題，則在上恒成立，∵，，∴當(dāng)時(shí)，，∴；【小問(wèn)2詳解】對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，若，使得方程成立，只需即可，若為真命題，為假命題，則和一真一假，當(dāng)真假時(shí)，，當(dāng)假真時(shí)，綜上，的取值范圍為.19.已知指數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增．（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)．求函數(shù)的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義和單調(diào)性可解；（2）令，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求解可得.【小問(wèn)1詳解】是指數(shù)函數(shù)，，解得或，又因在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，；【小問(wèn)2詳解】，，令，，，，的值域?yàn)椋?0.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)．（1）求的值；（2）判斷的單調(diào)性并用定義證明；（3）若存在，使成立，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）函數(shù)在上是減函數(shù)，證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）首先由是奇函數(shù)可知，得出，后面再根據(jù)當(dāng)時(shí)，有恒等式成立即可求出；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義即可證得函數(shù)單調(diào)遞減；（3）結(jié)合函數(shù)奇偶性、單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)換為，由題意可知問(wèn)題等價(jià)于，由此即可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，所以，又因?yàn)椋?，將代入，整理得，?dāng)時(shí)，有，即恒成立，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，所以，所以.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知：函數(shù)，函數(shù)在上是減函數(shù).設(shè)任意，且，則由，可得，又，則，則，則函數(shù)在上是減函數(shù).【小問(wèn)3詳解】因?yàn)榇嬖冢钩闪?，又因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以不等式可轉(zhuǎn)化為，又因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以，所以，令，由題意可知：?jiǎn)栴}等價(jià)轉(zhuǎn)化為，又因?yàn)椋?21.某校高一年段“生態(tài)水果特色區(qū)”研究小組，經(jīng)過(guò)深入調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某水果樹的單株產(chǎn)量（單位：千克）與施用肥料（單位：千克）滿足如下關(guān)系：，且單株施用肥料及其它成本總投入為元.已知這種水果的市場(chǎng)售價(jià)大約為10元/千克，且銷路暢通供不應(yīng)求.記該水果樹的單株利潤(rùn)為（單位：元）.（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)施用肥料為多少千克時(shí)，該水果樹的單株利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）當(dāng)施用肥料為3千克時(shí)，該水果樹的單株利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是390元【解析】【分析】（1）由已知，分段代入后整理得答案；（2）分段求出函數(shù)的最大值，取最大值中的最大者得結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】解：由已知，又，，整理得：；【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，，的最大值為390，故當(dāng)施用肥料為3千克時(shí)，該水果樹的單株利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是390元．22.設(shè)，函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在的單調(diào)區(qū)間；（2）記為在上的最大值，求的最小值．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）.【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)