小題基準考法(二)-空間點、線、面位置關(guān)系

小題基準考法(二)——空間點、線、面位置關(guān)系12目錄3命題點一線面位置關(guān)系的判斷命題點二空間角命題點三距離問題[一練而過]1．(2023·保定統(tǒng)考一模)設α，β是兩個不同的平面，則“α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行”是“α∥β

”的

(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件答案：B

命題點一線面位置關(guān)系的判斷解析：如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，A1B1∥平面ABCD.在平面ABB1A1內(nèi)，除直線AB外，其他所有與A1B1平行的直線，都與平面ABCD平行，但是平面ABB1A1與平面ABCD不平行；若α∥β，根據(jù)面面平行的定義可知，平面α內(nèi)的直線都與平面β平行．所以“α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行”是“α∥β”的必要不充分條件．2.如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，M，N分別是A1D，D1B的中點，則(

)A．直線A1D與直線D1B垂直，直線MN∥平面ABCDB．直線A1D與直線D1B平行，直線MN⊥平面BDD1B1C．直線A1D與直線D1B相交，直線MN∥平面ABCDD．直線A1D與直線D1B異面，直線MN⊥平面BDD1B1答案：A

解析：如圖，連接AD1.因為四邊形ADD1A1是正方形，且M是A1D的中點，所以點M是AD1的中點，A1D⊥AD1.又AB⊥平面ADD1A1，A1D

平面ADD1A1，所以AB⊥A1D.又AB∩AD1＝A，所以A1D⊥平面ABD1.又D1B

平面ABD1，所以A1D⊥D1B，所以B錯誤．由圖易知直線A1D與直線D1B異面，所以C錯誤．因為M，N分別是AD1，D1B的中點，所以MN∥AB.又MN

平面ABCD，AB

平面ABCD，所以MN∥平面ABCD，所以A正確．取AA1的中點E，連接NE，EB，ED1，ED，EB1，B1D，則B1D交D1B于點N.易證EB＝ED1，ED＝EB1.又N是D1B，B1D的中點，所以EN⊥D1B，EN⊥B1D.又D1B∩B1D＝N，所以EN⊥平面BDD1B1.而MN∩NE＝N，所以MN與平面BDD1B1不垂直，所以D錯誤．故選A.3．(2023·聊城一模)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線m，n分別在平面ABCD和平面ABB1A1內(nèi)，且m⊥n，則下列命題正確的是(

)A．若m垂直于AB，則n垂直于ABB．若m垂直于AB，則n不垂直于ABC．若m不垂直于AB，則n垂直于ABD．若m不垂直于AB，則n不垂直于AB答案：C

解析：如圖所示，若m垂直于AB，則平面ABB1A1內(nèi)的所有直線均與m垂直，無法證明n與AB的關(guān)系，故A、B錯誤；若m不垂直于AB，因為BB1⊥m，所以當m⊥n時，BB1∥n，又因為BB1⊥AB，所以n垂直于AB，故C正確，D錯誤．故選C.4.如圖，已知正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，AB＝6，A1B1＝4，BB1＝2，點M，N分別為A1B1，B1C1的中點，則下列與BB1垂直的平面是

(

)A．平面A1C1D

B．平面DMNC．平面ACNM

D．平面AB1C答案：C

解析：延長AA1，BB1，CC1，DD1交于一點P，取PB的中點Q，連接AQ，CQ，如圖所示，因為正四棱臺ABCD-A1B1C1D1，所以P-A1B1C1D1為正四棱錐．因為AB＝6，A1B1＝4，BB1＝2，且△PA1B1∽△PAB，△QB1M∽△QBA，△QB1N∽△QBC.所以∠QMB1＝∠QAB，∠QNB1＝∠QCB.因為MB1∥AB，NB1∥CB，所以M在AQ上，N在CQ上．因為AQ⊥PB，CQ⊥PB，所以AM⊥PB，CN⊥PB，即AM⊥BB1，CN⊥BB1，因為AM

平面AMNC，CN

平面AMNC，AM∩CN＝Q，所以BB1⊥平面AMNC.[一站補給]知識的“盲點”平行、垂直的判定定理與性質(zhì)定理分不清楚方法的“疑點”必要時可借助空間幾何模型，如從長方體模型、四面體模型中觀察線、面位置關(guān)系思維的“難點”當從正面入手較難時，可利用反證法，推出與題設式、公認的結(jié)論相矛盾的命題[真題導向]1．(2022·新課標Ⅰ卷)[多選]已知正方體ABCD-A1B1C1D1，則(

)A．直線BC1與DA1所成的角為90°B．直線BC1與CA1所成的角為90°C．直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°D．直線BC1與平面ABCD所成的角為45°答案：ABD

命題點二空間角解析：如圖，連接AD1，在正方形A1ADD1中，AD1⊥DA1，因為AD1∥BC1，所以BC1⊥DA1，所以直線BC1與DA1所成的角為90°，故A正確；在正方體ABCD-A1B1C1D1中，CD⊥平面BCC1B1.又BC1

平面BCC1B1，所以CD⊥BC1，連接B1C，則B1C⊥BC1，因為CD∩B1C＝C，CD，B1C

平面DCB1A1，所以BC1⊥平面DCB1A1.又CA1

平面DCB1A1，所以BC1⊥CA1.所以直線BC1與CA1所成的角為90°，故B正確；因為C1C⊥平面ABCD，所以∠CBC1為直線BC1與平面ABCD所成的角，易得∠CBC1＝45°，故D正確．故選A、B、D.2．(2023·全國乙卷)已知△ABC為等腰直角三角形，AB為斜邊，△ABD為等邊三角形，若二面角C-AB-D為150°，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為

(

)答案：C

解析：取AB的中點E，連接CE，DE，因為△ABC是等腰直角三角形，且AB為斜邊，所以CE⊥AB.又△ABD是等邊三角形，所以DE⊥AB.從而∠CED為二面角C-AB-D的平面角，即∠CED＝150°.顯然CE∩DE＝E，CE，DE

平面CDE，于是AB⊥平面CDE，又AB

平面ABC，[素養(yǎng)評價]1．[多選]正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則下列四個命題不正確的是

(

)

答案：CD

答案：B

答案：B

解得x＝4，所以PD＝4.因為平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD

平面ABCD，所以CD⊥平面PAD.又PD

平面PAD，所以CD⊥PD.所以△CDP為直角三角形，斜邊為PC.因為CD⊥平面PAD，所以PC與平面PAD所成角的平面角為∠CPD.在Rt△CDP中，CD＝AB＝2，PD＝4，所以tan∠CPD[一站補給]知識的“盲點”平移法是求線線角的常用方法；線面角是斜線與平面內(nèi)所有直線所成角中的最小角；注意二面角與平面和平面的夾角的不同方法的“疑點”定義法計算角時常利用解三角形進行計算，若建系比較方便，可用向量法求解[典例導析](1)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AA1＝3，底面是邊長為4的菱形，且∠DAB＝60°，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，E是O1A的中點，則點E到平面O1BC的距離為

(

)命題點三距離問題[解析]

(1)如圖，連接OO1，則OO1⊥平面ABCD，OO