空間向量與立體幾何

一、二、三、四、五、六、主要從七個方面和大家交流分享：本章教材在高中數(shù)學教學中的地位與作用本章教材課程標準的要求與課程目標分析本章內(nèi)容結(jié)構(gòu)與前后知識的橫縱聯(lián)系本章教材內(nèi)容的重難點以及突破方法學生學習中出現(xiàn)的問題以及解決方法

教學感悟、體會與教學建議如何在教學中體現(xiàn)大單元設計思想七、一、本章教材課程標準的要求，課程目標分析

本章屬于《普通高中數(shù)學課程標準（2020年版）》中選擇性必修課程主題二“幾何與代數(shù)”主線的內(nèi)容。課程標準是在必修課程學習平面向量的基礎上，學習空間向量，并運用空間向量研究立體幾何中圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系。一、本章教材課程標準的要求，課程目標分析

本單元的學習，可以幫助學生在學習平面向量的基礎上，利用類比的方法理解空間向量的概念、運算、基本定理和應用，體會平面向量和空間向量的共性和差異，運用向量的方法研究空間基本圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系，感悟向量是研究幾何問題的有效工具。

內(nèi)容包括:空間直角坐標系、空間向量及其運算、向量基本定理及坐標表示、空間向量的應用。二、本章教材在高中數(shù)學教學中的地位與作用

向量理論具有深刻的數(shù)學內(nèi)涵，豐富的物理背景。向量既是代數(shù)研究對象，也是幾何研究對象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁。向量是描述直線、曲線、平面、曲面以及高維空間數(shù)學問題的基本工具，是進一步學習和研究其他數(shù)學領(lǐng)域問題的基礎，在解決實際問題中發(fā)揮重要作用。

本章在學習平面向量的基礎上，利用類比的方法經(jīng)歷向量及其運算由平面向空間的推廣過程；探索空間向量與平面向量的共性與差異，引發(fā)學生思考維數(shù)增加所帶來的的影響，鼓勵學生運用向量的方法和綜合幾何方法研究空間基本圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系，體會向量方法的優(yōu)勢；引導學生體會向量基本定理的本質(zhì)，感悟“基”的思想，并運用它解決幾何問題。內(nèi)容安排的變化三、本章教材與原教材相應內(nèi)容的主要區(qū)別和聯(lián)系概念表述及公式的變化空間直角坐標系的建立、空間中點的坐標及空間兩點間的距離公式原教材幾何圖形向量新教材點線距、點面距、兩條異面直線所成的角、線面角、面面角的向量求法及具體公式。點的位置向量

法向量表示平面投影向量的概念點到直線的距離直線到直線的距離平面與平面的夾角三、本章教材與原教材相應內(nèi)容的主要區(qū)別和聯(lián)系增加的定義增加的公式例題及習題的變化增加利用空間向量基本定理及向量的運算求線段長度、線線位置關(guān)系的判定及求異面直線所成的角

教材P13例2

教材P13例3

教材P32例4三、本章教材與原教材相應內(nèi)容的主要區(qū)別和聯(lián)系例題及習題的變化增加了坐標法求平面的法向量、求距離，同時設置了開放性的題目

教材P28例1

教材P30例3教材P34例6教材P37例8三

、本章教材與原教材相應內(nèi)容的主要區(qū)別和聯(lián)系

教材P42練4.必修二

教材

練習11

三、本章教材與原教材相應內(nèi)容的主要區(qū)別和聯(lián)系例題及習題的變化增加了對比向量方法與幾何方法的聯(lián)系三、章節(jié)內(nèi)容與前后知識的縱橫聯(lián)系結(jié)構(gòu)框架實際背景空間向量的概念及相關(guān)定義空間向量的運算空間向量基本定理空間向量的運算的坐標表示空間向量的應用

一般地，在構(gòu)建一個向量空間后，通常會研究這個向量空間的一般規(guī)律。具體到空間向量，就是研究空間向量基本定理，為空間向量的運算化歸為數(shù)的運算奠定了基礎

從空間向量基本定理出發(fā)，通過建立空間直角坐標系，把空間向量及其運算轉(zhuǎn)化為數(shù)及其運算，把幾何問題完全“代數(shù)化”，得到用空間向量解決立體幾何問題的“坐標法”

以位移、速度等為背景，抽象出空間向量的概念，然后定義空間向量的加法、數(shù)乘等線性運算，并給出線性運算滿足的運算性質(zhì)，構(gòu)成了一個實數(shù)域上的向量空間。1.關(guān)注內(nèi)容的聯(lián)系性和整體性，構(gòu)建本章的研究框架三、章節(jié)內(nèi)容與前后知識的縱橫聯(lián)系

空間向量既是代數(shù)研究的對象，也是幾何研究的對象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁。本章的內(nèi)容安排充分考慮空間向量的這種聯(lián)系性，突出幾何直觀與代數(shù)運算之間的融合，通過形與數(shù)的結(jié)合，感悟數(shù)學知識之間的關(guān)聯(lián)，加強對數(shù)學整體性的理解。三、章節(jié)內(nèi)容與前后知識的縱橫聯(lián)系2.類比平面向量研究空間向量的概念及其運算，關(guān)注其中維數(shù)帶來的變化

平面向量與空間向量都屬于向量，平面向量是二維向量，空間向量是三維向量，兩者有密切聯(lián)系?？臻g向量是平面向量的推廣，兩者除維數(shù)不同外，在概念、運算及其幾何意義、坐標表示等方面具有一致性；平面向量基本定理與空間向量基本定理在形式上也具有一致性；利用空間向量解決立體幾何問題，是利用平面向量解決平面幾何問題的發(fā)展，主要變化是維數(shù)的增加，討論對象由二維圖形變?yōu)槿S圖形，基本方法都是將幾何問題用向量形式表示，通過向量的運算，得出相應幾何結(jié)論。由于平面向量和空間向量具有相同的線性運算性質(zhì)，在構(gòu)建空間向量及其線性運算的結(jié)構(gòu)體系時，新教材把空間向量及其線性運算的內(nèi)容進行了集中處理，相關(guān)概念和線性運算性質(zhì)通過類比平面向量的方式呈現(xiàn)。三、章節(jié)內(nèi)容與前后知識的縱橫聯(lián)系空間向量體系的建立需要借助立體幾何的基本知識，反過來，立體幾何中的問題可以用向量方法解決。因此，我們說空間向量與立體幾何有著天然的聯(lián)系。“空間向量與立體幾何”屬于“代數(shù)與幾何”內(nèi)容主線，課程標準設計這條主線的一個基點是：讓學生知道如何用代數(shù)運算解決幾何問題，這是現(xiàn)代數(shù)學的重要研究手法。例如，教材在定義共面向量時，通過畫出向量與平面平行的立體圖形幫助學生建立概念；在研究如何確定點的坐標和向量的坐標時，注意引導學生借助幾何直觀進行研究，并根據(jù)直線與平面垂直的判定定理解釋其中的道理,等等。這些安排都凸顯了教材在構(gòu)建向量體系時對立體幾何基本知識的重視。三、章節(jié)內(nèi)容與前后知識的縱橫聯(lián)系又如，在空間向量的數(shù)量積運算后，新教材安排了證明直線與平面垂直的判定定理以及其他一些簡單的立體幾何問題；在空間向量基本定理后，安排了證明直線與直線垂直或平行以及求兩條直線所成角的余弦值等簡單立體幾何問題；在完成空間向量體系的構(gòu)建后，安排了運用空間向量研究空間直線、平面的位置關(guān)系和距離、夾角等度量問題，這些安排都體現(xiàn)了“讓學生知道如何用代數(shù)運算解決幾何問題”的設計意圖，為學生后續(xù)學習打下了基礎。三、章節(jié)內(nèi)容與前后知識的縱橫聯(lián)系向量方法是解決幾何問題的常用方法。立體幾何所討論的是三維空間中的點、直線、平面等元素，由于它們可以與空間向量建立聯(lián)系，許多立體幾何問題可以轉(zhuǎn)化為空間向量問題，通過空間向量的運算得出幾何結(jié)論。解決這些問題，主要運用向量方法。向量方法有別于綜合幾何法，綜合幾何法是借助圖形直觀，從公理、定義和定理等出發(fā)，通過邏輯推理解決問題；而向量方法則是用向量表示幾何元素，通過向量運算使幾何問題得到解決。立體幾何中的向量方法表現(xiàn)為“三步曲”，“三步曲”可以概括為“表示”“運算”和“翻譯”，在解決幾何問題時具有程序性、普適性。三、章節(jié)內(nèi)容與前后知識的縱橫聯(lián)系

距離是空間中的重要度量。本章涉及的距離問題主要有：兩點間的距離，點到直線的距離，平行線之間的距離，點到平面的距離，直線到平面的距離，平行平面之間的距離等。分析上述距離的內(nèi)容，可以得到如下認識：①除兩點間距離外，垂直反映了距離的本質(zhì)，因此借助勾股定理，可以直觀地研究距離問題。②無論是對于平面還是直線，法向量都是反映垂直方向的最為直觀的表達形式，因此利用法向量可以刻畫表示“距離”的線段的方向。法向量的方向和法向量上投影向量的長度既體現(xiàn)了幾何直觀，又提供了代數(shù)定量刻畫，因此利用法向量和向量投影可以研究距離問題。三、章節(jié)內(nèi)容與前后知識的縱橫聯(lián)系6.關(guān)注用空間向量研究空間中直線、平面間的夾角問題

與距離類似，角度是立體幾何中的另一個重要的度量?？臻g直線、平面間的夾角問題，包括直線與直線所成的角、直線與平面所成的角、平面與平面所成的角，而直線、平面又都可以用它的方向向量或法向量來刻畫，因而空間直線、平面間的夾角問題就轉(zhuǎn)化為求直線的方向向量、平面的法向量間的夾角問題，進而可以利用空間向量的數(shù)量積運算加以解決。四、本章內(nèi)容的重難點以及突破方法空間向量與立體幾何重難點重點:空間向量的運算，用向量討論空間圖形的垂直與平行，空間圖形夾角和距離的計算。難點:空間向量基本定理，夾角和距離的計算。1.通過問題引導學習，重視知識的形成過程

為了使學生得到思維方法上的訓練，新教材根據(jù)知識的發(fā)生發(fā)展過程，利用“觀察”“思考”“探究”等欄目提出問題，引導學生層層深入地進行思考，在教學前，教師應深入理解新教材構(gòu)建的問題鏈，并在此基礎上進行教學設計。四、本章內(nèi)容的重難點以及突破方法1.通過問題引導學習，重視知識的形成過程(1)以“思考如何用向量表示空間中的一個點？”引導學生思考空間中點的向量表示;四、本章內(nèi)容的重難點以及突破方法例如，在用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系的學習中，新教材圍繞空間中點、直線和平面的向量表示，通過空間向量的運算，以欄目為載體，構(gòu)建了這樣一條問題鏈:(2)以“思考我們知道，空間中給定一個點A和一個方向就能唯一確定一條直線l.如何用向量表示直線l？”引導學生思考空間中直線的向量表示；(3)“思考一個定點和兩個定方向能否確定一個平面？進一步，一個定點和一個定方向能否確定一個平面？如果能確定，如何用向量表示這個平面？”引導學生思考空間中平面的向量表示；1.通過問題引導學習，重視知識的形成過程（4）“思考由直線與直線、直線與平面或平面與平面的平行關(guān)系，可以得到直線的方向向量、平面的法向量間的什么關(guān)系？”為引導，研究空間中直線、平面的平行;四、本章內(nèi)容的重難點以及突破方法（5）“思考類似空間中直線、平面平行的向量表示，在直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系中，直線的方向向量、平面的法向量之間有什么關(guān)系？”為引導學生研究空間中直線、平面的垂直

環(huán)環(huán)相扣的問題設計體現(xiàn)了“問題引導學習”的理念，逐步把學生的思維活動引向深入，發(fā)展數(shù)學實踐能力及創(chuàng)新意識，促使學生學會學習。教師要主動依托教材中的問題鏈做好教學設計。2.利用教材例題,引導學生體會幾何法、向量法、坐標法的共性與差異（1）本章中的例題有一部分是對必修（第二冊）中的定理用向量法進行了證明（如線面垂直的判定定理P8例3、面面平行的判定定理p30例2、線面平行的判定P31練習1、面面垂直的判定定理P32例5）通過這些例題，我們可以體會到向量法解決立體幾何問題的優(yōu)勢。四、本章內(nèi)容的重難點以及突破方法2.利用教材例題,引導學生體會幾何法、向量法、坐標法的共性與差異（2）向量法利用向量的概念及其運算解決問題，如教材第36頁的例7、第39頁的例9；坐標法利用數(shù)及其運算來解決問題，坐標法經(jīng)常與向量法結(jié)合起來使用，如教材第34頁的例6、第37頁的例8、第39頁的例10，這些題目都非常典型，具有代表性。（3）對例題的教學要注意解法的多樣性及變式訓練，提升學生的思維能力。四、本章內(nèi)容的重難點以及突破方法五、學生學習中出現(xiàn)的問題與解決方法問題：1、個別學生在學習空間向量時與實數(shù)混淆;向量符號漏寫。2、零向量、單位向量、共線向量、方向向量、共面向量、法向量等概念的理解和應用。3、點線距、點面距距離公式，線線角、線面角、面面角公式易混、記憶不準確。4、不能靈活的運用向量的加減法拆分向量。5、面對題目不能準確的判斷出幾何法、向量法、坐標法的優(yōu)缺點。6、幾何法直觀想象能力不足。7、向量法基底選取不直接。8、坐標法中建系的原則掌握不扎實。五、學生學習中出現(xiàn)的問題與解決方法解決方法：1、從學生角度推導公式，便于記憶。五、學生學習中出現(xiàn)的問題與解決方法解決方法：2、引導學生從題干分析方法的選取。五、學生學習中出現(xiàn)的問題與解決方法解決方法：3、多題一解，靈活應用。五、學生學習中出現(xiàn)的問題與解決方法解決方法：4、一題多解，引導學生分析三種方法的利弊。六、本章教材教學建議、感悟與體會

本章教學時間約14課時，具體分配如下：1.1空間向量及其運算

約2課時

1.2空間向量基本定理

約2課時1.3空間向量及其運算的坐標表示

約2課時1.4空間向量的應用

約6課時

章末總結(jié)

約2課時

共14課時本章的教學，特別是“空間向量的應用”的教學，應注意把具體的立體幾何問題作為學習向量方法的載體，通過問題的解決，加深對向量法和立體幾何內(nèi)容的理解，當前，教學中存在著把向量方法等同于坐標法的現(xiàn)象，究其原因，主要是沒有體會向量方法的特點，加強向量方法，應該強調(diào)綜合運用向量及其運算解決幾何問題。一個是要注意使用“向量回路”、數(shù)乘運算、數(shù)量積等解決問題，另一個強調(diào)空間向量基本定理的核心地位?！翱臻g向量的應用”的主題是立體幾何中的向量方法。教學時要注意結(jié)合例題，使學生對向量方法的認識逐步深化；結(jié)合習題進一步掌握向量方法；并通過引導學生自己歸納概括向量方法，提高他們的抽象概括能力。2.加強立體幾何中向量方法的教學六、本章教材教學建議、感悟與體會六、本章教材教學建議、感悟與體會向量是軀體，運算是靈魂.為了使學生體會向量的運算的作用，本章中提出了如下問題：你同意“向量是軀體，運算是靈魂”“沒有運算的向量只能是路標的作用”的說法嗎？安排這個問題的目的是要引導學生結(jié)合幾何問題，關(guān)注向量運算在分析和解決問題中的作用.通過向量的運算不僅能表示空間中的點、直線和平面等基本元素，而且能使空間基本元素的位置關(guān)系、大小度量得到表示.3.通過具體問題加深對向量運算作用的理解在實際教學中，我們可以從以下三個方面來處理點到直線的距離問題：（1）直接利用教材中的公式（注意加強公式的推導、記憶）（2）我們設參考向量與直線l的方向向量的夾角為

，則PQ＝

（3）我們不妨先學習點到平面的距離，得到參考向量在法向量n上的投影向量的長度的公式，即點到面的距離公式。然后把此公式應用到求參考向量在直線l上的投影向量的長度中，然后利用勾股定理求解。這樣便于學生對點線距公式的記憶，這樣距離問題都歸結(jié)為：參考向量在平面的法向量上或直線l的方向向量上的投影向量的長度問題，這樣學生只需掌握一個向量在另一個向量上的投影就解決求距離的問題了。4.加強對投影向量概念教學及利用投影向量求距離六、本章教材教學建議、感悟與體會六、本章教材教學建議、感悟與體會5.通過具體例子使學生體會維數(shù)增加對向量推廣帶來的影響

例如，類比平面向量給出空間向量的線性運算滿足的運算律時，教科書提出了如下問題：“你能證明這些運算律嗎？證明結(jié)合律時，與