2021-2022高二下學(xué)期期末測試卷（二）

2021-2022高二下學(xué)期期末測試卷（二）

注意事項：

1.本試卷共6頁，包含單項選擇題（第1題?第8題，共40分）、多項選擇題（第

9題?第12題，共20分）、填空題（第13題?第16題，共20分）和解答題（第

17題?第22題，共70分）四部分.本卷滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填

寫在答題卡、試卷和草稿紙的指定位置上.

3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用23鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標

號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，用

0.5毫米黑色墨水的簽字筆將答案寫在答題卡上.寫在本試卷或草稿紙上均無效.

4.考試結(jié)束后，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回.

5.如需作圖，須用28鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、單項選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個

選項中，只有

一項是符合題意要小的.）

1.已知平面a的法向量為7=（3,-1,2）,而=（-3』,-2）,則直線AB與平面a的位置關(guān)系為

（）

A.AB//aB.ABuaC.AB與a相交D.48ua或AB〃a

【答案】C

【解析】

【分析】

由題可得5//而，進而即得.

【詳解】

3=（3,-1,2）,AB=（-3,l,-2）,

n=-AB'

直線AB與平面a的位置關(guān)系為相交.

故選：C.

2.口袋中有形狀和大小完全相同的四個球，球的編號分別為1,2,3,4,若從袋中隨機抽

取兩個球，則取出的兩個球的編號之和大于5的概率為（）

【答案】C

【解析】

【分析】

從4個球中隨機抽取兩個球，共有C：=6種抽法，其中滿足兩球編號之和大于5的情況有

{2,4},{3,4}共2種抽法，從而利用古典概型概率計算公式即可求解.

【詳解】

解：從4個球中隨機抽取兩個球，共有C：=6種抽法，其中滿足兩球編號之和大于5的情況

有{2,4},{3,4}2種抽法,

所以取出的兩個球的編號之和大于5的概率為P=".

故選：C.

3.設(shè)隨機變量X的分布列如下表，則實數(shù)a的值為()

X-101

11

Pa——a〃+一

66

1111

A.6-B.-34-D.2-

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)概率之和為1求得。的值.

【詳解】

依題意4-1+。+。+,=3a=l,a=—.

663

故選：B

4.已知平面a和平面夕的法向量分別為所=(3,1,—5),/?=(-6,-2,10),則()

A.a邛B.a〃4

C.a與S相交但不垂直D.以上都不對

【答案】B

【解析】

【分析】

由法向量的坐標可判斷法向量的關(guān)系，進而確定平面a和平面￡的位置關(guān)系.

【詳解】

解：??,沅=(31,-5),?=(-6,-2,10)

n=-2m，

mHn,

C.alip

故選：B.

5.變量X與y相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5)；變量［/

與k相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1).4表示變量y與X

之間的線性相關(guān)系數(shù)，4表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，則().

A.&<(<0B.0<<4

C.r2<0<rtD.r2=rt

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)變量對應(yīng)數(shù)據(jù)可確定x與y之間正相關(guān)，u與v之間負相關(guān)，由此可得相關(guān)系數(shù)的大

小關(guān)系.

【詳解】

由變量X與y相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5),可得變

量x與y之間正相關(guān)，

">0；

由變量U與V相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(0,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1),可知變

量0與丫之間負相關(guān)，

.,?丹<0；

綜上所述：4與4的大小關(guān)系是4<。<不

故選：C.

6.空間中，與向量2=(3,0,4)同向共線的單位向量工為()

A.e=(l,0,l)B.e=(l,0,0)或e=

c-工=停引d-"=停引或MW)

【答案】c

【解析】

【分析】

由己知條件，先求出向，從而即可求解.

【詳解】

解：因為2=（3,0,4）,所以帶序萬彳=5,

所以與向量￡=（3,0,4）同向共線的單位向量工=百=1（3,0,4）=停0,：）,

故選：C.

7.計算機程序每運行一次都隨機出現(xiàn)一個五位的二進制數(shù)A=44%%%，其中A的各位數(shù)

字中，4=1,外伏=2,3,4,5）出現(xiàn)0的概率為g,出現(xiàn)1的概率為記

JD

X=at+a2+a3+a4+a5,當(dāng)程序運行一次時，X=3的概率為（).

A.負B.交C.A7

D.

8127279

【答案】C

【解析】

【分析】

先分析X=3的條件，再利用獨立重復(fù)試驗的概率公式進行求解.

【詳解】

已知4=1,要使X=3,只需后四位中出現(xiàn)2個1和2個0.

故選：C

8.如圖，在正方體A88-A8CQ中，點E是線段C"上的動點,則下列判斷:

①三棱錐8-ABE的體積是定值與E點位置無關(guān)；

②若異面直線BE與AD所成的角為仇則cos。的最大值為逅；

3

③無論點上在線段CR的什么位置，都有AC,1B.E；

④當(dāng)點E與線段C0的中點重合時，與E與AG異面.

其中正確的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)CR〃平面448片,所以/牡，由此即可判斷①是否正確；建立空間直角坐標

系，利用空間向量即可判斷②和③是否正確；點E與線段CA的中點重合時，即可判斷Bg與

AG的關(guān)系，進而判斷④是否正確.

【詳解】

因為CA//平面AAB片.所以點E到平面\ABBX的距離為BC,

2

設(shè)正方體的棱長為。，則VB_ABE=V￡_A?B=lsufl8-BC=^-x-xa.a=9,即無論點E在線段

CD,的什么位置,三棱錐的體積為定值，故①正確;

建立如圖所示的直角坐標系，

設(shè)正方體棱長為1,則A(o,0,0),G(l,1,1),4(1,0,1),￡>(0,1,0),

設(shè)04m41,則回后=(-〃?,1,機-1).

又而=(0,1,0),設(shè)異面直線用EHAD所成角為區(qū)

屏西?1

C(^S---------------------------------------------------------—--------------------------------

貝IJ屏M碼+『+(%-1)2]1+3,

當(dāng)機=g時,cos0有最大值乎，此時點E是線段CD,的中點，故②正確，

又屬'=(1,1,1),所以庭?用'=一m+1+m—1=0,所以4c?，4瓦故③正確；

當(dāng)點E與線段CD,的中點重合時,CR的。=E，顯然與E與AC】均在平面題(7蜴，故④錯誤，

所以①②③正確.

故選：C.

二、多項選擇題：(本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中,

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得

0分.)

9.在卜-gj的展開式中，下列說法正確的有()

A.所有項的二項式系數(shù)和為64B.所有項的系數(shù)和為0

C.常數(shù)項為20D.二項式系數(shù)最大的項為第4項

【答案】ABD

【解析】

【分析】

由二項式系數(shù)可判斷A；令x=l可判斷B；由二項式定理以及二項式系數(shù)的性質(zhì)可判斷CD.

【詳解】

對于A,所有項的二項式系數(shù)和為26=64,故A正確；

對于B,令x=l,得所有項的系數(shù)和為(1-1)6=0,故B正確;

對于C,常數(shù)項為1j=-20,故C錯誤；

對于D,展開式有7項，二項式系數(shù)最大為第4項，故D正確.

故選：ABD.

10.記考試成績Z的均值為〃,方差為0：若Z滿足0.66<P(M-b<Z<〃+b)<0.70,則

認為考試試卷設(shè)置合理.在某次考試后，從20000名考生中隨機抽取1000名考生的成績進行

統(tǒng)計，得到成績的均值為66,方差為196,將數(shù)據(jù)分成7組，得到如圖所示的頻率分布直方

圖.用樣本估計總體，下列說法正確的是()

A.本次考試成績不低于80分的考生約為4000人

B.本次考試成績的25%分位數(shù)約為47.5

C.a=0.030

D.本次考試試卷設(shè)置合理

【答案】AC

【解析】

【分析】

對A：由頻率分布直方圖求出考試成績不低于80分的頻率即可求解；

對B：由頻率分布直方圖，根據(jù)百分位數(shù)的計算公式即可求解；

對C：由所有矩形面積和為1即可求解；

對D：由題意，〃=66,cr=14,由頻率分布直方圖求出尸(52<Z<80)即可判斷.

【詳解】

解：對A：由頻率分布直方圖可得考試成績不低于80分的頻率為10(0.005+0.015)=0.2,

所以本次考試成績不低于80分的考生約為20000x0.2=4000人，故選項A正確；

對B：由頻率分布直方圖可知，考試成績在［30,50)的頻率為0.05+0.1=0.15<0.25,

考試成績在［30,60)的頻率為0.05+0.1+0.15=0.3>0,25,

所以本次考試成績的25%分位數(shù)為50+端器a56.7,故選項B錯誤：

對C：由10(0.005+0.01+0.015+002+4+0.015+0.005)=1可得4=0.030,故選項C正確；

對D：由題意，〃=66,cr=14,所以〃-cr=52,〃+<r=80,

所以

Q

尸(〃一cr<Z<〃+cr)=P(52<Z<80)=0.015X10X而+0.02xl0+0.03xl0=0.62任(0.66,0.7)

,故選項D錯誤.

故選：AC.

11.在正方體ABCD-ABC。中，下列結(jié)論正確的有()

A.麗是平面A8CA的一個法向量B.正是平面的一個法向量

c.AC±BC.D.AC,1BD

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征及線面位置關(guān)系求解即可.

【詳解】

如圖，

由正方體中的線面位置關(guān)系，可知?平面ACL平面B8QD,

平面ACGA，所以ABD正確，

因為AC與8G所成的角為60。，所以C不正確，

故選：ABD

12.千百年來，我國勞動人民在生產(chǎn)實踐中根據(jù)云的形狀、走向速度、厚度、顏色等的變化,

總結(jié)了豐富的“看云識天氣”的經(jīng)驗，并將這些經(jīng)驗編成諺語，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”,

“日落云里走，雨在半夜后"，……小明同學(xué)為了驗證“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了A

地區(qū)的100天日落和夜晚天氣，得到如下2x2列聯(lián)表：

夜晚天氣

日落云里走

下雨不下雨

出現(xiàn)255

不出現(xiàn)2545

臨界值表

a0.10.050.010.001

2.7063.8416.63510.828

并計算得到％2=19.048,下列小明對4地區(qū)天氣判斷正確的是（）A.夜晚下雨的概

率約為g

B.在未出現(xiàn)“日落云里走”的條件下，夜晚下雨的概率約為三

14

C.樣本中出現(xiàn)“日落云里走”且夜晚下雨的頻率是不出現(xiàn)“日落云里走”且夜晚下雨的頻率的

2.5倍

D.認為“，日落云里走，是否出現(xiàn)”與“當(dāng)晚是否下雨”有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)計算出各個選項所求的數(shù)據(jù)，然后判斷即可.

【詳解】

對于A,樣本容量為100,夜晚出現(xiàn)下雨的頻數(shù)為50,概率約為喘=；，故正確；

對于B,未出現(xiàn)“日落云里走”的天數(shù)為25+45=70,

255

夜晚下雨的概率為而=R，故正確；

對于C,出現(xiàn)“日落云里走”且夜晚下雨的天數(shù)為25,不出現(xiàn)“日落云里走”且夜晚下南的天數(shù)

也為25,

其概率分別為蕓25=1:，故錯誤；

1004

對于D,出現(xiàn)“日落云里走''時，由于9.048>10.828,

由99.9%把握認為夜晚會下雨，故正確；

故選：ABD.

三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.己知樣本1+再,1+N，…，1+%的平均數(shù)為5,方差為3,則樣本3+2%,3+2》2，…，

3+2天的平均數(shù)與方差的和是.

【答案】23

【解析】

【分析】

利用期望、方差的性質(zhì)，根據(jù)已知數(shù)據(jù)的期望和方差求新數(shù)據(jù)的期望和方差.

【詳解】

由題設(shè)，E(l+x,)=5,D(l+x;)=3,

所以E(3+2±)=EU+2(l+Xj)]=l+2x5=ll,D(3+2xf)=￡>[1+2(1+x,.)]=4x3=12.

故平均數(shù)與方差的和是23.

故答案為：23.

14.如圖，圓錐的軸截面ABC為正三角形，其面積為4石，。為弧AB的中點，E為母線

BC的中點，則異面直線AC,DE所成的角的大小為.

【答案】v

【解析】

【分析】

先根據(jù)軸截面面積計算AB,然后建立空間直角坐標系，算出而，詼，最后根據(jù)空間向量

夾角公式計算即可.

【詳解】

因為圓錐的軸截面48c為正三角形，其面積為46，所以他=4.

建立如圖所示的空間直角坐標系。-孫z,

則CO=2道，A（0,—2,0）,￡＞（2,0,0）,C（0,0,2^）,E（O,1,V3）,

AC=(0,2,2x/3),詼=(一2,1訴，cos蔗，詼=義;空=°十%=坐，

<"v)|AC||DE|4X202

則異面直線AC,DE所成的角的大小為￡.

4

故答案為：--

4

15.下列說法正確的是.

①獨立性檢驗中，為了調(diào)查變量X與變量y的關(guān)系，經(jīng)過計算得至Ijp(r26.635)=0.01,表

示的意義是有99%的把握認為變量X與變量￥有關(guān)系；

②/(x)=e*—or在x=l處取極值，則。=0；③“>>是Ina>ln匕成立的充要條件.

【答案】①②

【解析】

【分析】

①根據(jù)K2的意義作出判斷即可；②分析導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)/⑴=0求解出a的值后再進行驗證:

③根據(jù)。>6與Ina>Inb互相推出的情況作出判斷.

【詳解】

解：①因為變量x與變量y沒有關(guān)系的概率為o.oi,所以有99%的把握認為變量x與變量y

有關(guān)系，故正確；

②由題意知r(x)="—a且/(1)=0,所以e—a=0,所以〃=e,

所以/'(x)="-e,令用x)=0,所以x=e,

當(dāng)xe(ro,e)時，/4x)<0,當(dāng)xe(e,E)時，所以f(x)在x=l取極值，故正

確；

③當(dāng)a>h時不一定有l(wèi)na>lnb,如a=-l,b=-2；當(dāng)lna>ln/>時，貝ij有“>〃，

所以?！笔莑na>lnb成立的必要不充分條件，故錯誤，

故答案為：①②.

16.如圖，正三棱柱ABC-AB|G的各棱長均為1,點。和點E分別為棱BC和棱的中

點，先將底面ABC置于平面a內(nèi)，再將三棱柱繞BC旋轉(zhuǎn)一周，則以下結(jié)論正確的是

(填入正確結(jié)論對應(yīng)的序號).

G

①設(shè)向量反旋轉(zhuǎn)后的向量為￡,則時=乎

②點E的軌跡是以坐為半徑的圓

③設(shè)①中的￡在平面a上的投影向量為石，則W的取值范圍是

④直線OE在平面a內(nèi)的投影與直線8c所成角的余弦值的取值范圍是y-,1

【答案】①②③

【解析】

【分析】

1

利用坐標法，由可得應(yīng)=4-44,,利用模長公式可判斷①②，利用投影向量的概念可得

B=可判斷③，利用夾角公式可判斷④.

【詳解】

如圖，取棱4G的中點F,以。B為X軸，為y軸，O尸為Z軸,建立空間直角坐標系。一型,

則0(0,0,0),，而=(1,0,0),OE=,

礪繞著BC旋轉(zhuǎn)即繞著x軸旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)后的向量為￡,則同=|而卜或，①正確；

設(shè)￡=(x,y,z),則x=；,y2+z2=(￥)-(￡)2=孩，點E的軌跡是以坐為半徑的圓，

②正確；

由題知產(chǎn)€0,\,￡在平面a上的投影向量即為其在宜為平面上的投影向量B=(；,y,o)

忖=出+Ve]'當(dāng)'③正確；

設(shè)直線OE在平面a內(nèi)的投影與直線8c所成的角為a,

\_

yiijcosa=|cos(b,CB)|=.Je[^|,1，④錯誤.

k+y2

故答案為：①②③.

四、解答題：(本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.)

17.已知具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量x,y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表所示：

⑴求x，y：

(2)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于X的線性回歸方程；并估計當(dāng)x=l()時y的值.

附：對于一組數(shù)據(jù)(%弘)，(七，%)，，優(yōu),")，其回歸方程y=隊+%的斜率和截距的.最小二

.SHT(y-S)

乘估計公式分別為：人=J------;—,》=亍-版.注：根據(jù)上表所給數(shù)據(jù)可算出71.5.

z")-

,=|

【答案】⑴x=4，y=7；

3

(2)y=-x+l,16

【解析】

【分析】

A3

(i)代入求平均數(shù)公式中進行計算；(2)代入公式求出b=〃=1，確定y關(guān)于X的線性

回歸方程；并代入％=10,求出答案.

(1)

-2+3+4+5+6)_4+5+7+10+9々

x=------------=4,y=--------------=7

55

(2)

5

丫苦(-2)x(-3)+(-l)x(-2)+0+lx3+2x2_3

/—\24+1+0+1+42

二(七-X)

*=i

-3

a=y-bx=7-—x4=1,

所以y關(guān)于X的線性回歸方程為y=]3x+l,

3

當(dāng)X=10時，y=—xl0-l-l=16.

18.如圖，在四棱柱ABCD-ABC2中，底面ABCD和側(cè)面BCC.用都是矩形，AB=26C=2,

BB、=e,E是CO的中點，D,￡=l.

⑴求證：REJ.平面ABC。；

（2）求平面BED、與平面BCC出的夾角.

【答案】（1）證明見解析

嗚

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)條件證明出BC_L平面DCCtD],進而證明出BC1D.E,利用勾股定理得到

D.ELDC,從而證明出結(jié)論；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求出面面角.

（1）

證明：因為底面AB。和側(cè)面BCq瓦都是矩形，所以BCLCO,BC1CQ,又因為

CDACC,=C,CD,CGu平面。CGA,所以BCL平面QCCA,因為〃Eu平面。CGA,

所以BCJLRE,又由題知。E=RE=1,DR=O,DE?+D0=DD：,所以RE_LOC,

又8Cn￡>C=C,所以。E，平面ABCD.

(2)

設(shè)G為AB的中點，以E為原點，EG、EC、EQ所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖

所示的空間直角坐標系,則得點E(0,0,0),3(1,1,0),C(0,l,0),q(0,2,1),D,(0,0,1),

設(shè)平面8ER的一個法向量為[=a，y,zj,乂麗=(1,1,0),西=(0,0,1),則

(ni-EB=x^+y^=0f令%=一1,則取I=設(shè)平面BCC內(nèi)的一個法向量為

(71],C%=Z]=U、/

%=(占,為"2)，又麗=(1,0,0),西=(0,1,1),貝4.:二*=°令％=1,則取

W),CC]--必+Z)=U

^=(0,1-1),設(shè)平面BER與平面BCC4的夾角為ee0弓，則

I/—.—.\|同,冬|117T

cos^=|cos(n1,n2)|=LJ=___=_；所以即得平面BER與平面8CCg的夾角

19.“雙減”政策實施后，為了解某地中小學(xué)生周末體育鍛煉的時間，某研究人員隨機調(diào)查了

600名學(xué)生，得到的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表所示：

周末體育鍛煉時間'(mi*1)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)

頻率0.10.20.30.150.150.1

(1)估計這600名學(xué)生周末體育鍛煉時間的平均數(shù)T；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值

作代表)

(2)在這600人中，用分層抽樣的方法，從周末體育鍛煉時間在［40,60)內(nèi)的學(xué)生中抽取15

人，再從這15人中隨機抽取3人，記這3人中周末體育鍛煉時間在［50,60)內(nèi)的人數(shù)為X,

求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望E(X).

【答案】⑴58.5；

(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)平均數(shù)的定義，7等于頻率乘以每一組數(shù)據(jù)的中點值之和；

(2)根據(jù)題意，X的可能取值是0,1,2,3,再根據(jù)古典概型計算方法分別計算概率即可.

(1)

估計這600名學(xué)生周末體育鍛煉時間的平均數(shù)

7=35x0.1+45x0.2+55x0.3+65x0.15+75x0.15+85x0.1=58.5.

(2)

依題意，周末體育鍛煉時間在［40,50)內(nèi)的學(xué)生抽6人，在［50,60)內(nèi)的學(xué)生抽9人，

則?(x=o)=I=宗，尸(X=l)=C：C；_27-以窗_216

k-彳尸”-2)一苛一行‘

15

P(X=3)=G上

故X的分布列為:

X0123

42721612

p

919?45565

_/_.八4.27_216.129

則￡(X)x=0x----1-1x-----F2x------F3x—

',9191455655

20.如圖.在四棱錐P-ABCQ中，B4_L平面ABC。，￡LAB=2,AD=3,PA=73,AD//BC,

AB1BC,ZADC=45°.

p

D

（1）求異面直線PC與AD所成角的余弦；

（2）求點A到平面PCD的距離.

【答案】（1）交

4

⑵在

5

【解析】

【分析】

（I）建立空間直角坐標系，利用空間向量求解異面直線的夾角；（2）先求出平面PC力的法

向量，然后利用點到平面的向量公式進行求解.

（1）

因為E4_L平面ABC。，AB,A。uPA_L平面ABCD

所以，PAYAB,PAA,AD,因為故以A為坐標原點，AB,AD,AP所在直線為x

軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，因為48=2,9=3,幺=百,4?！?€;過點C作CE1AD

于點E,則CE=AB=2,AE=BC=i,因為NADC=45°,所以DE=CE=2,故C（2,l,0）,A（0,0,0）,

￡）（0,3,0）,尸（0,0,石），PC=（2,1,-^）,而=（0,3,0）,設(shè)異面直線尸C與AD所成角為a,

所以cosa=|cos（PC,而）卜恪1,）［（。］3,0）|=乎，異面直線pc與AD所成角的余弦值

為叵

4

(2)

—..、...-..n?PC—0

AC=(2,1,0),CD=(-2,2,0),設(shè)平面PCD的法向量為w=(x,y,z),ML—_q,即

2,r+.y-石z=0,匕z=^,故5=(1,1,6)，設(shè)點A到平面尸CQ的

-2x+2y=0''

\n-Ac\33J5

距離為d,則小〒==看

21.科學(xué)數(shù)據(jù)證明，當(dāng)前嚴重威脅人類生存與發(fā)展的氣候變化，主要是工業(yè)革命以來人類活

動造成的二氧化碳排放所致.應(yīng)對氣候變化的關(guān)鍵在于“控碳”，其必由之路是先實現(xiàn)“碳達

峰”，而后實現(xiàn)“碳中和”.2020年第七十五屆聯(lián)合國大會上，我國向世界鄭重承諾：力爭在

2030年前實現(xiàn)“碳達峰”，努力爭取在2060年前實現(xiàn)“碳中和”.為了解市民對“碳達峰''和"碳

中和”的知曉程度，某機構(gòu)隨機選取了100名市民進行問卷調(diào)查，他們年齡的分布頻數(shù)及對

“碳達峰”和“碳中和”的知曉人數(shù)如下表：

年齡(單位:歲)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)

頻數(shù)102030201010

知曉人數(shù)1020251942

(1)若以“年齡45歲”為分界點，根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下面2x2列聯(lián)表，并判斷是否在犯錯誤的

概率不超過0.001的前提下認為知曉"碳達峰''和"碳中和''與人的年齡有關(guān).

年齡不低于45歲的年齡低于45歲的人

合計

人數(shù)數(shù)

知曉

不知曉

合計

（2）若從年齡在［25,35）和［55,65）的知喙△中按照分層抽樣的方法抽取6人，并從這6人中任

意選取2人擔(dān)任“碳達峰’和“碳中和”講解員，求2人年齡都在［25,35）的概率.

參考公式：K=（j）（c+d）（a+c）（Hd）,其中〃i+b+c+心

參考數(shù)據(jù)：

P（K9）0.100.050.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】⑴2x2歹U聯(lián)衣:

年齡不低于45歲的年齡低于45歲的人

合計

人數(shù)數(shù)

知曉255580

不知曉15520

合計4060100

能夠在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為知曉"碳達峰''和"碳中和''與人的年齡有關(guān).

*

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)題意統(tǒng)計個數(shù)填入2x2列聯(lián)表，根據(jù)表格數(shù)值計算K?，與P（K2N%）=0.001的

%=10.828比較大小即可；

（2）分層抽樣計算在［25,35）和［55,65）中抽取的人數(shù)，并利用超幾何分布的概率計算結(jié)果即

可.

（I）

根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)統(tǒng)計，年齡不低于45歲的人數(shù)的人數(shù)共有4（）人，其中知曉"碳達峰''和"碳中

和'’的有25人，不知曉"碳達峰''和"碳中和'’的有15人；年齡低于45歲的人數(shù)的人數(shù)共有60

人，其中知曉“碳達峰”和“碳中和”的有55人，不知曉“碳達峰”和“碳中和”的有5人；

故2x2列聯(lián)表如下:

年齡不低于45歲的年齡低于45歲的人

合計

人數(shù)數(shù)

知曉255580

不知曉15520

合計406010()

叱2n(ad-bc)2100(25x5-55xl5)21225一”

K—=x12./o,

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)80x20x40x6096

因為P(K210.828)=0.001,且12.76>10.828.

所以能夠在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為知曉“碳達峰”和“碳中和”與人的年齡有

關(guān).

(2)

年齡在［25,35)中的知曉人有20人，在的［55,65)中知曉人有4人，

所以分層抽到的年齡在［25,35)中的知曉人有6x^20J=5(人)，

20+4

分層抽到的年齡在［55,65)中的知曉人有6x-三4=1(人)，

并從這6人中任意選取2人擔(dān)任“碳達峰，和“碳中和”講解員，求2人年齡都在［25,35)的概率

C；102

為0飛=irm

22.如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A,B的點，直線PC,平面ABC,E,

F分別是PA,PC的中點.

(1)記平面BEF與平面ABC的交線為1,試判斷直線1與平面PAC的位置關(guān)系，并加以證

明；

(2)設(shè)(1)中的直線1與圓O的另一個交點為D,且點Q滿足而巧樂.記直線PQ與平

面ABC所成的角為0,異面直線PQ與EF所成的角為a,二面角E-1-C的大小為仇求

證：sin0=sinasinp.

【答案】（1）1〃平面PAC,見解析（2）見解析

【解析】

【詳解】

【分析】

（1）直線1〃平面PAC,證明如下：

連接EF,因為E,F分別是PA,PC的中點，所以EF〃AC,

又EFC平面ABC,且ACu平面ABC,所以EF〃平面ABC.

而EFu平面BEF,且平面BEFCI平面ABC=L所以EF〃I