第5關 以數(shù)字及圖形規(guī)律探究問題為背景的選擇填空題【有答案】

第5關以數(shù)字及圖形規(guī)律探究問題為背景的選擇填空題【考查知識點】探索規(guī)律的題目，通常按照一定的順序給出一系列量，要求我們根據(jù)這些已知的量找出一般規(guī)律。這種類題型的題目主要考查了學生分析問題解決問題的能力，也考察了初中數(shù)學中的各種數(shù)學思想?！窘忸}思路】掌握探究規(guī)律的方法，可以通過具體到抽象、特殊到一般的方法，有時通過類比、聯(lián)想，還要充分利用已知條件或圖形特征進行透徹分析，從中找出隱含的規(guī)律；恰當合理的聯(lián)想、猜想，從簡單的、局部的特殊情況到一般情況是基本思路，經過歸納、提煉、加工，尋找出一般性規(guī)律，從而求解問題。解決規(guī)律探究性問題常常利用特殊值(特殊點、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等)進行歸納、概括,從特殊到一般,從而得出規(guī)律(符合一定的經驗與事實的數(shù)學結論),然后驗證或應用這一規(guī)律解題即可.解答時對分析問題、解決問題能力具有很高的要求.【典型例題】【例1】（2019·湖北中考真題）觀察下列一組數(shù)的排列規(guī)律：…那么，這一組數(shù)的第2019個數(shù)是_____.【答案】【解析】數(shù)據(jù)可分組觀察，每組中的數(shù)據(jù)數(shù)為組數(shù)，每組中分子為組中的序數(shù)號，分母為2n+1(n為組數(shù))，根據(jù)這個規(guī)律計算即可得答案.【詳解】觀察數(shù)據(jù)可得：第一組：=，第二組：=，=，第三組：，，，第四組：，，，，第五組：，，，，，……第n組：，，……∴每組中的數(shù)據(jù)數(shù)為組數(shù)，每組中分子為組中的序數(shù)號，分母為2n+1(n為組數(shù))，設有n組分數(shù)和x個分數(shù)的和為2019，∴+x=2019，∵n為整數(shù)，=2016，=2080，∴n=63，x=3，∴第2019個數(shù)是第64組第3個數(shù)，∴第2019個數(shù)為.故答案為：【名師點睛】本題考查數(shù)字的變化類問題，把數(shù)據(jù)的分子、分母分別找出規(guī)律是解題關鍵.【例2】（2019·遼寧中考真題）如圖，直線l1的解析式是，直線l2的解析式是，點A1在l1上，A1的橫坐標為，作交l2于點B1，點B2在l2上，以B1A1，B1B2為鄰邊在直線l1，l2間作菱形A1B1B2C1，分別以點A1，B2為圓心，以A1B1為半徑畫弧得扇形B1A1C1和扇形B1B2C1，記扇形B1A1C1與扇形B1B2C1重疊部分的面積為S1；延長B2C1交l1于點A2，點B3在l2上，以B2A2，B2B3為鄰邊在l1，l2間作菱形A2B2B3C2，分別以點A2，B3為圓心，以A2B2為半徑畫弧得扇形B2A2C2和扇形B2B3C2，記扇形B2A2C2與扇形B2B3C2重疊部分的面積為S2……按照此規(guī)律繼續(xù)作下去，則________．（用含有正整數(shù)n的式子表示）【答案】【解析】過A1作軸于D，連接B1C1，B2C2，B3C3，B4C4，根據(jù)已知條件得到點，求得，，根據(jù)勾股定理得到，求得，得到，求得，推出是等邊三角形，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結論．【詳解】過A1作軸于D，連接B1C1，B2C2，B3C3，B4C4，∵點A1在l1上，A1的橫坐標為，點，∴，，∴，∴在中，，∴，∵直線l2的解析式是，∴，∴，∴，∵交l2于點B1，∴，∴，∴，∵四邊形A1B1B2C1是菱形，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，，，同理，，，…∴．故答案為：．【名師點睛】本題考查了扇形的計算，規(guī)律型：點的坐標，菱形的性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．【例3】（2019·內蒙古中考真題）如圖，有一條折線，它是由過，，組成的折線依次平移8，16，24，…個單位得到的，直線與此折線有（且為整數(shù)）個交點，則的值為_____．【答案】【解析】觀察可得，由直線與此折線恰有（且為整數(shù)）個交點，得點在直線上，故.【詳解】∵，，，，…，∴．∵直線與此折線恰有（且為整數(shù)）個交點，∴點在直線上，∴，解得：．故答案為：．【名師點睛】一次函數(shù)圖象和點的坐標規(guī)律.數(shù)形結合分析問題，尋找規(guī)律是關鍵.【例4】（2018·內蒙古中考真題）觀察下列一組由★排列的“星陣”，按圖中規(guī)律，第n個“星陣”中的★的個數(shù)是__．【答案】【解析】排列組成的圖形都是三角形．第一個圖形中有2+1×2=4個★，第二個圖形中有2+2×3=8個★，第三個圖形中有2+3×4=14個★，…，繼而可求出第n個圖形中★的個數(shù)．【詳解】∵第一個圖形有2+1×2=4個，第二個圖形有2+2×3=8個，第三個圖形有2+3×4=14個，第四個圖形有2+4×5=22個，…∴第n個圖形共有：2+n×（n+1）=n2+n+2．故答案為：n2+n+2．【名師點睛】本題考查了規(guī)律型中的圖形變化問題，解決此類探究性問題，關鍵在觀察、分析已知數(shù)據(jù)，尋找它們之間的相互聯(lián)系，探尋其規(guī)律．【例5】（2018·山東中考真題）將從1開始的連續(xù)自然數(shù)按以下規(guī)律排列：第1行1第2行234第3行98765第4行10111213141516第5行252423222120191817…則2018在第_____行．【答案】45【解析】分析可得各行最大數(shù)依次為1、4、9、16、25，可得每行的最大數(shù)為行數(shù)的平方，接下來求得2018兩邊的平方數(shù)，再結合結論即可得到答案.【詳解】觀察可知：各行最大數(shù)依次為1、4、9、16、25，可得每行的最大數(shù)為行數(shù)的平方.因為1936＜2018＜2025，所以2018是第45行的數(shù).故答案為45.【名師點睛】本題屬于探究規(guī)律類題目，解答本題需掌握題目中數(shù)的排列規(guī)律，考慮從最大數(shù)與行數(shù)入手.【方法歸納】1.圖形循環(huán)類問題,只要找到所求值在第幾個循環(huán),便可找出答案,一般難度不大;圖形的變化規(guī)律計算問題,關鍵是根據(jù)題目中給出的圖形,通過觀察思考,歸納總結出規(guī)律,再利用規(guī)律解決問題,難度一般偏大,屬于難題.2.對于數(shù)式規(guī)律型問題,關鍵是根據(jù)已知的式子或數(shù)得出前后算式或前后數(shù)之間的變化關系和規(guī)律,然后再利用這個變化規(guī)律回到問題中去解決問題.3.對于坐標變化規(guī)律問題,解決此類問題的關鍵是從點的變化中發(fā)現(xiàn)橫坐標、縱坐標的變化規(guī)律.4.對于數(shù)形結合規(guī)律型問題，解決此類問題的關鍵是利用數(shù)形結合的思想發(fā)現(xiàn)運動的規(guī)律.綜合其用勾股定理等知識點解出相應的問題.【針對練習】1．（2018·湖北中考真題）我們將如圖所示的兩種排列形式的點的個數(shù)分別稱作“三角形數(shù)”（如1，3，6，10…）和“正方形數(shù)”（如1，4，9，16…），在小于200的數(shù)中，設最大的“三角形數(shù)”為m，最大的“正方形數(shù)”為n，則m+n的值為（）A．33 B．301 C．386 D．571【答案】C【詳解】由圖形知第n個三角形數(shù)為1+2+3+…+n=，第n個正方形數(shù)為n2，當n=19時，=190＜200，當n=20時，=210＞200，所以最大的三角形數(shù)m=190；當n=14時，n2=196＜200，當n=15時，n2=225＞200，所以最大的正方形數(shù)n=196，則m+n=386，故選C．2．（2019·山東中考真題）已知有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)是，-1的差倒數(shù)是．如果，a2是a1的差倒數(shù)，a3是a2的差倒數(shù)，a4是a3的差倒數(shù)……依此類推，那么的值是（）A．-7.5 B．7.5 C．5.5 D．-5.5【答案】A【詳解】解：∵，∴，，，……∴這個數(shù)列以-2，，依次循環(huán)，且，∵，∴，故選：A．3．（2019·湖北中考真題）觀察等式：；；已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：、、、、、．若，用含的式子表示這組數(shù)的和是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】250＋251＋252＋…＋299＋2100＝a＋2a＋22a＋…＋250a＝a＋(2＋22＋…＋250)a，∵，，，…，∴2＋22＋…＋250＝251－2，∴250＋251＋252＋…＋299＋2100＝a＋(2＋22＋…＋250)a＝a＋(251－2)a＝a＋(2a－2)a＝2a2－a，故選C.4．（2018·重慶中考真題）下列圖形都是由同樣大小的黑色正方形紙片組成，其中第①個圖中有3張黑色正方形紙片，第②個圖中有5張黑色正方形紙片，第③個圖中有7張黑色正方形紙片，…，按此規(guī)律排列下去第⑥個圖中黑色正方形紙片的張數(shù)為（）A．11 B．13 C．15 D．17【答案】B【詳解】觀察圖形知：第一個圖形有3個正方形，第二個有5=3+2×1個，第三個圖形有7=3+2×2個，…故第⑥個圖形有3+2×5=13（個），故選B．5．（2017·江蘇中考真題）如圖所示，一動點從半徑為2的上的點出發(fā)，沿著射線方向運動到上的點處，再向左沿著與射線夾角為的方向運動到上的點處；接著又從點出發(fā)，沿著射線方向運動到上的點處，再向左沿著與射線夾角為的方向運動到上的點處；…按此規(guī)律運動到點處，則點與點間的距離是()A．4 B． C． D．0【答案】A【詳解】根據(jù)題意可知每六次循環(huán)一次，可知2017÷6=331……1，所以第2017次為A1位置，由此可知其到A0的距離正好等于直徑的長4.故選：A6．（2018·山東中考真題）定義一種對正整數(shù)n的“F”運算：①當n為奇數(shù)時，F(xiàn)（n）=3n+1；②當n為偶數(shù)時，F(xiàn)（n）=（其中k是使F（n）為奇數(shù)的正整數(shù)）……，兩種運算交替重復進行，例如，取n=24，則：若n=13，則第2018次“F”運算的結果是（）A．1 B．4 C．2018 D．42018【答案】A【詳解】若n=13，第1次結果為：3n+1=40，第2次結果是：，第3次結果為：3n+1=16，第4次結果為：=1，第5次結果為：4，第6次結果為：1，…可以看出，從第四次開始，結果就只是1，4兩個數(shù)輪流出現(xiàn)，且當次數(shù)為偶數(shù)時，結果是1；次數(shù)是奇數(shù)時，結果是4，而2018次是偶數(shù)，因此最后結果是1，故選A．7．（2019·四川中考真題）如圖，過點作y軸的垂線交直線于點，過點作直線l的垂線，交y軸于點，過點作y軸的垂線交直線l于點，…，這樣依次下去，得到，，，…，其面積分別記為，，，…，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵點的坐標是，∴，∵點在直線上，∴，，∴，∴，∴，得出，∴，∴，，∵，∵，∴，∴，∴故選D．8．（2019·甘肅中考真題）觀察下列圖中所示的一系列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第2019個圖形中共有_____個〇．【答案】6058【詳解】由圖可得，第1個圖象中〇的個數(shù)為：，第2個圖象中〇的個數(shù)為：，第3個圖象中〇的個數(shù)為：，第4個圖象中〇的個數(shù)為：，……∴第2019個圖形中共有：個〇，故答案為：6058．9．（2019·山東中考真題）如圖，在以為直角頂點的等腰直角三角形紙片中，將角折起，使點落在邊上的點（不與點，重合）處，折痕是．如圖，當時，；如圖，當時，；如圖，當時，；……依此類推，當（為正整數(shù)）時，_____．【答案】【詳解】觀察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，，分母與勾股數(shù)有關系，分別是勾股數(shù)3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，，，中的中間一個．∴.故答案為．10．（2019·貴州中考真題）將從1開始的自然數(shù)按以下規(guī)律排列，例如位于第3行、第4列的數(shù)是12，則位于第45行、第8列的數(shù)是__________．【答案】2018【詳解】觀察圖表可知：第n行第一個數(shù)是n2，∴第45行第一個數(shù)是2025，∴第45行、第8列的數(shù)是2025﹣7=2018，故答案為2018．11．（2019·山東中考真題）觀察下列各式：，，，請利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計算：，其結果為____．【答案】．【詳解】，故答案為：．12．（2019·浙江中考真題）砸“金蛋”游戲：把210個“金蛋”連續(xù)編號為1，2，3，…，210，接著把編號是3的整數(shù)倍的“金蛋”全部砸碎；然后將剩下的“金蛋”重新連續(xù)編號為1，2，3，…，接著把編號是3的整數(shù)倍的“金蛋”全部砸碎……按照這樣的方法操作，直到無編號是3的整數(shù)倍的“金蛋”為止．操作過程中砸碎編號是“66”的“金蛋”共_____個．【答案】3【詳解】∵，∴第一次砸碎3的倍數(shù)的金蛋個數(shù)為70個，剩下個金蛋，重新編號為1，2，3，…，140；∵，∴第二次砸碎3的倍數(shù)的金蛋個數(shù)為46個，剩下個金蛋，重新編號為1，2，3，…，94；∵，∴第三次砸碎3的倍數(shù)的金蛋個數(shù)為31個，剩下個金蛋，∵，∴砸三次后，就不再存在編號為66的金蛋，故操作過程中砸碎編號是“66”的“金蛋”共有3個．故答案為：3．13．（2018·湖北中考真題）我國古代數(shù)學家楊輝發(fā)現(xiàn)了如圖所示的三角形，我們稱之為“楊輝三角”，從圖中取一列數(shù)：1，3，6，10，…，記，，，，…，那么的值是__________．【答案】11【詳解】由a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…，知an=1+2+3+…+n=，∴a10==55、a11==66，則a4+a11-2a10+10=10+66-2×55+10=-24，故答案為-24．14．（2019·湖南中考真題）探索與發(fā)現(xiàn)：下面是用分數(shù)（數(shù)字表示面積）砌成的“分數(shù)墻”，則整面“分數(shù)墻”的總面積是_____．【答案】n-1【詳解】由題意“分數(shù)墻”的總面積，故答案為．15．（2017·湖北中考真題）觀察下列圖形：它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第9個圖形中共有______個點.【答案】135【詳解】仔細觀察圖形：第一個圖形有3=3×1=3個點，第二個圖形有3+6=3×（1+2）=9個點；第三個圖形有3+6+9=3×（1+2+3）=18個點；…第n個圖形有3+6+9+…+3n=3×（1+2+3+…+n）=個點；當n=9時，=135個點，故答案為135．16．（2019·貴州中考真題）下面擺放的圖案，從第個起，每一個都是前一個按順時針方向旋轉得到，第個圖案與第個至第個中的第___個箭頭方向相同（填序號）．【答案】3.【詳解】解：，故第個圖案中的指針指向與第個圖案相同，故答案為：17．（2018·浙江中考真題）已知：2+=22×，3+=32×，4+=42×，5+=52×，…，若10+=102×符合前面式子的規(guī)律，則a+b=_____.【答案】109【詳解】∵2+=22×，3+=32×，4+=42×，5+=52×，…，10+=102×，∴a=10，b=102-1=99，∴a+b=10+99=109，故答案為109.18．（2019·山東中考真題）在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，如圖所示，依次作正方形，正方形，正方形，正方形，…，點，，，，…在直線上，點，，，,…在軸正半軸上，則前個正方形對角線的和是_____.【答案】【詳解】解：根據(jù)根據(jù)題意可得,,,所以可得正方形的對角線為正方形的對角線為正方形的對角線為正方形的對角線為正方形的對角線為所以前個正方形對角線的和為=故答案為.19．（2017·山東中考真題）某廣場用同一種如圖所示的地磚拼圖案.第一次拼成形如圖1所示的圖案，第二次拼成形如圖2所示的圖案，第三次拼成形如圖3的圖案，第四次拼成形如圖4的圖案……按照只有的規(guī)律進行下去，第次拼成的圖案用地磚塊.【答案】2n2+2n【詳解】第一次拼成形如圖1所示的圖案共有4塊地磚，4=2×（1×2），第二拼成形如圖2所示的圖案共有12塊地磚，12=2×（2×3），第三次拼成形如圖3所示的圖案共有24塊地磚，24=2×（3×4），第四次拼成形如圖4所示的圖案共有40塊地磚，40=2×（4×5），…第n次拼成形如圖1所示的圖案共有2×n（n+1）=2n2+2n塊地磚，故答案為2n2+2n．20．（2019·湖北中考真題）將被3整除余數(shù)為1的正整數(shù)，按照下列規(guī)律排成一個三角形數(shù)陣則第20行第19個數(shù)是_____________________【答案】625【詳解】由圖可得，第一行1個數(shù)，第二行2個數(shù)，第三行3個數(shù)，…，則前20行的數(shù)字有：1+2+3+…+19+20=210個數(shù)，∴第20行第20個數(shù)是：1+3（210-1）=628，∴第20行第19個數(shù)是：628-3=625，故答案為：625．21．（2019·西藏中考真題）觀察下列式子第個式子：第個式子：第個式子：……請寫出第個式子：_____．【答案】．【詳解】第個式子：，即，第個式子：，即，第個式子：，即，……第個等式為：．故答案為．22．（2019·廣西中考真題），…，是一列數(shù)，已知第1個數(shù)，第5個數(shù)，且任意三個相鄰的數(shù)之和為15，則第2019個數(shù)的值是___．【答案】6．【詳解】解：由任意三個相鄰數(shù)之和都是15可知：，，，…，可以推出：，，，所以，則