重要幾何模型12-5 全等三角形之手拉手模型【解析版】

第十二章重要幾何模型5全等三角形之手拉手模型1手拉手模型特點手拉手模型特：兩個等腰三角形；共頂點；頂角相等。因為頂點相連的四條邊，形象的可以看作兩雙手，所以通常稱為手拉手模型。該模型可從“旋轉(zhuǎn)”的角度進行思考，常見的模型如下圖旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)邊間的夾角相等.2常見的解題技巧遇60°旋遇90°旋遇等腰旋頂角，造旋轉(zhuǎn)全等④遇中點旋1800，造中心對稱【題型1】基本模型【典題1】如果兩個等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD，AE與DC的交點設(shè)為H,證明：(1)△ABE≌△DBC；(2)AE=DC；(3)AE與DC的夾角為60°；解析（1）∵△ABD和△BCE是等邊三角形，∴BD=BA，BE=BC，∠DBA=∠CBE=60°，∵∠DBC=∠ABE，∴△ABE≌△DBC.（2）∵△ABE≌△DBC，∴AE=DC.(3)設(shè)BC與HE交于G，∵△ABE≌△DBC，∴∠BCH=∠BEH，又∵∠HGC=∠BGE，∴∠CHE=∠CBE=60°,即AE與DC的夾角為60°.【典題2】如圖所示，在五邊形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠ABC+∠AED＝180°，求證：DA平分∠CDE．解析連接AC，延長DE到F，使EF＝BC，連接AF，∵BC+DE＝CD，EF+DE＝DF，∴CD＝FD，∵∠ABC+∠AED＝180°，∠AEF+∠AED＝180°，∴∠ABC＝∠AEF，在△ABC和△AEF中&AB∴△ABC≌△AEF(SAS)，∴AC＝AF，在△ACD和△AFD中&AC∴△ACD≌△AFD(SSS)∴∠ADC＝∠ADF，即AD平分∠CDE．【鞏固練習】1.如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，分別以AB，AC為邊作等邊△ABD和等邊△ACE，連結(jié)DE，若BC＝4，則ED＝.答案4解析∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，∴AD＝AB，AE＝AC，∠BAD＝∠EAC＝60°，∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC，∠BAC＝∠BAD﹣∠DAC，即∠EAD＝∠BAC，∴△ADE≌△ABC(SAS)，∴ED＝BC＝4.2.如圖，D為△ABC內(nèi)一點，AB＝AC，∠BAC＝50°，將AD繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)50°能與線段AE重合．(1)求證：EB＝DC；(2)若∠ADC＝125°，求∠BED的度數(shù)．答案(1)略(2)60°解析(1)證明：∵將AD繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)50°能與線段AE重合，∴AD＝AE，∠DAE＝50°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠CAD＝∠BAE，在△ACD和△ABE中&AC∴△ACD≌△ABE(SAS)，∴BE＝CD；(2)由△ACD≌△ABE得：∠ADC＝∠AEB，∵∠ADC＝125°，∴∠AEB＝125°，∵AD＝AE，∠DAE＝50°，∴∠AED＝65°，∴∠BED＝60°．3.如圖，兩個正方形ABCD和DEFG，連接AG與CE，二者相交于H，問：(1)△ADG≌△CDE；(2)AG=CE；(3)求AG與CE之間的夾角；(4)HD平分∠AHE解析（1）∵四邊形ABCD和DEFG是正方形，∴AD=CD，DE=DG，∠CDA=∠GDE=90°，∴∠GDA=∠CDE，∴△ADG≌△CDE；（2）∵△ADG≌△CDE,∴AG=CE；（3）設(shè)DG與CE交于T，∵△ADG≌△CDE,∴∠DEC=∠AGD，又∵∠HTG=∠DTE，∴∠GHE=∠GDE=90°,即AG與CE的夾角為90°（4）過點D作DM⊥AG交AG于M,作DN⊥CE交CE于N,∵△ADG≌△CDE,∴DM=DN，∴HD平分∠AHE4.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．填空：①∠AEB的度數(shù)為；②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為．(2)拓展探究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，求∠AEB的度數(shù)，并說明理由．答案(1)60°，AD＝BE(2)90°解析(1)①∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA＝CB＝AB，CD＝CE＝DE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，在△CDA和△CEB中，CA=CB∠ACD=∠BCE∴△CDA≌△CEB(SAS)，∴∠CEB＝∠ADC，∵∠CDE＝60°，∴∠ADC＝120°＝∠CEB，∴∠AEB＝120°﹣60°＝60°；②∵△CDA≌△CEB，∴AD＝BE，故答案為：60°，AD＝BE；(2)∠AEB＝90°，理由如下：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，在△CDA和△CEB中，CA=CB∠ACD=∠BCE∴△CDA≌△CEB(SAS)，∴∠CEB＝∠ADC＝135°，∴∠AEB＝135°﹣45°＝90°．【題型2】模型變式綜合練習【典題1】如圖，∠BAD=∠CAE=90°，AB＝AD(1)求證：△ABC≌△ADE；(圖1)(2)求∠FAE的度數(shù)；(圖1)(3)如圖2，延長CF到G點，使BF＝GF，連接AG．求證：CD＝CG；并猜想CD與2BF+DE的關(guān)系．解析(1)證明：∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，AB=AD∠BAC=∠DAE∴△BAC≌△DAE(SAS)；(2)解：∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由(1)知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA＝90°，∴∠CAF＝45°，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；(3)證明：∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°，在△AFB和△AFG中，BF=GF∠AFB=∠AFG∴△AFB≌△AFG(SAS)，∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，∴∠G＝∠CDA，在△CGA和△CDA中，∠GCA=∠DCA∠CGA=∠CDA∴△CGA≌△CDA，∴CG＝CD，∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴CD＝2BF+DE．【典題2】如圖1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于點M，連接CM．(1)求證：BE＝AD，并用含α的式子表示∠AMB的度數(shù)；(2)當α＝90°時，取AD，BE的中點分別為點P、Q，連接CP，CQ，PQ，如圖2，判斷△CPQ的形狀，并加以證明．(3)若連接CM，如圖1，則∠AMC與∠EMC相等嗎，若相等請加以證明．解析(1)如圖1，∵∠ACB＝∠DCE＝α，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，CA=CB∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴BE＝AD；如圖1，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，∵△ABC中，∠BAC+∠ABC＝180°﹣α，∴∠BAM+∠ABM＝180°﹣α，∴△ABM中，∠AMB＝180°﹣(180°﹣α)＝α；(2)△CPQ為等腰直角三角形．證明：如圖2，由(1)可得，BE＝AD，∵AD，BE的中點分別為點P、Q，∴AP＝BQ，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAP＝∠CBQ，在△ACP和△BCQ中，CA=CB∠CAP=∠CBQ∴△ACP≌△BCQ(SAS)，∴CP＝CQ，且∠ACP＝∠BCQ，又∵∠ACP+∠PCB＝90°，∴∠BCQ+∠PCB＝90°，∴∠PCQ＝90°，∴△CPQ為等腰直角三角形．(3)∠AMC與∠EMC相等．過C點作AM與ME的垂線段，∵△ACD≌△BCE，∴S△ACD=S△BCE=∴CF＝CG，∴∠AMC＝∠EMC．【鞏固練習】1.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，點D是△ABC內(nèi)一點，DB＝DC，∠DCB＝30°，點E是BD延長線上一點，AE＝AB．(1)求∠ADB的度數(shù)；(2)線段DE，AD，DC之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由．答案(1)120°(2)DE＝AD+CD解析(1)∵AB＝AC，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝12(180°﹣30°)＝75°∵DB＝DC，∠DCB＝30°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝45°，在△ABD和△ACD中&AB∴△ABD≌△ACD(SSS)，∴∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC＝15°∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°，∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣60°＝120°；(2)DE＝AD+CD，理由如下：在線段DE上截取DM＝AD，連接AM，∵∠ADE＝60°，DM＝AD，∴△ADM是等邊三角形，∴∠ADB＝∠AME＝120°．∵AE＝AB，∴∠ABD＝∠E，在△ABD和△AEM中&∠ABD∴△ABD≌△AEM(AAS)，∴BD＝ME，∵BD＝CD，∴CD＝ME．∵DE＝DM+ME，∴DE＝AD+CD．2.如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一點，且DE＝CE，連接BD，CD．?(1)試判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)如圖2，若將△DCE繞點E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，記AC與DE的交點為O，AC與BD的交點為F，試判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，并說明理由．(3)如圖3，若將(2)中的△ABE與△DCE都換成等邊三角形，其他條件不變，試判斷BD與AC的數(shù)量關(guān)系以及BD與AC所夾的銳角的度數(shù)，并說明理由．答案(1)BD＝AC，BD⊥AC，(2)BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系不發(fā)生變化，(3)BD＝AC，BD與AC所夾的銳角的度數(shù)為60°解析(1)BD＝AC，BD⊥AC，理由：延長BD交AC于F，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，在△BED和△AEC中&BE∴△BED≌△AEC(SAS)，∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，∵∠BED＝90°，∴∠EBD+∠BDE＝90°，∵∠BDE＝∠ADF，∴∠ADF+∠CAE＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；(2)BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系不發(fā)生變化，理由是：∵∠BEA＝∠DEC＝90°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中&BE∴△BED≌△AEC(SAS)，∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，∵∠DEC＝90°，∴∠ACE+∠EOC＝90°，∵∠EOC＝∠DOF，∴∠BDE+∠DOF＝90°，∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；(3)BD＝AC，BD與AC所夾的銳角的度數(shù)為60°，理由如下：∵△ABE和△DEC是等邊三角形，∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中&BE∴△BED≌△AEC(SAS)，∴∠BDE＝∠ACE，BD＝AC．∴∠=180即BD與AC所成的角的度數(shù)為60°．3.如圖1，△ABC是等邊三角形，點E在AC邊上，點D是BC邊上的一個動點，以DE為邊作等邊△DEF，連接CF．(1)當點D與點B重合時，如圖2，求證：CE+CF＝CD；(2)當點D運動到如圖3的位置時，猜想CE、CF、CD之間的等量關(guān)系，并說明理由；(3)只將條件“點D是BC邊上的一個動點”改為“點D是BC延長線上的一個動點”，如圖4，猜想CE、CF、CD之間的等量關(guān)系為(不必證明)．答案(1)略，(2)CE＝CF+CD，(3)CF＝CE+CD解析(1)證明：如圖2：∵△ABC與△BEF都為等邊三角形，∴∠ABC＝∠EBF＝60°，AB＝BC＝CD，EB＝BF，∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EBF﹣∠EBC，即∠ABE＝∠CBF，在△ABE和△CBF中，AB=BC∠ABE=∠CBF∴△ABE≌△CBF(SAS)，∴AE＝CF，則CD＝AC＝AE+EC＝FC+EC；(2)CE＝CF+CD，理由為：證明：過D作DG∥AB，交AC于點G，連接CF，∵DG∥AB，∴∠CGD＝∠CDG＝60°，△CDG為等邊三角形，∵△DEF為等邊三角形，∴∠EDF＝∠GDC＝60°，ED＝FD，GD＝CD，∴∠EDF﹣∠GDF＝∠GDC﹣∠GDF，即∠EDG＝∠FDC，在△EDG和△FDC中，ED=FD∠EDG=∠FDC∴△EDG≌△FDC(SAS)，∴EG＝FC，則CE＝CG+EG＝CG+CF＝CF+CD；(3)CF＝CE+CD，理由為：證明：過D作DG∥AB，交AC的延長線于點G，∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠DGC＝60°，即△GCD為等邊三角形，∵△EDF為等邊三角形，∴∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠CDF，在△EGD和△FCD中，ED=DF∠EDG=∠FDC∴△EGD≌△FCD(SAS)，∴EG＝FC，則FC＝EC+CG＝EC+CD．故答案為：(3)CF＝CE+CD．1.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點(點D與A，B不重合)，連結(jié)CD，將線段CD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連結(jié)DE交BC于點F，連結(jié)BE．當AD＝BF時，∠BEF的度數(shù)是()A．45° B．60° C．62.5° D．67.5°答案D解析由題意可知：CD＝CE，∠DCE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD與△BCE中&AC∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠A＝∠CBE，AD＝BE，∵AD＝BF，∴BE＝BF，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∴∠CBE＝45°，∴∠BEF＝67.5°，故選：D．2.如圖，在直線AC的同一側(cè)作兩個等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD交于點H，AE與DB交于點G，BE與CD交于點F，下列結(jié)論：①AE＝CD；②∠AHD＝60°；③△AGB≌△DFB；④BH平分∠GBF；⑤GF∥AC；⑥點H是線段DC的中點．正確的有()A．6個 B．5個 C．4個 D．3個答案C解析連接GF，過點B作BM⊥AE于M，BN⊥CD于N．∵△ABD，△BCE都是等邊三角形，∴∠ABD＝∠EBC＝60°，BA＝BE，BE＝BC，∴∠ABE＝∠DBC，在△ABE和△DBC中&BA∴△ABE≌△DBC(SAS)，∴AE＝CD，故①正確；∵△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC，∵∠AGB＝∠DGH，∴∠AHD＝∠ABG＝60°，故②正確；在△AGB和△DFB中&∠BAG∴△AGB≌△DFB(ASA)，故③正確；∵△AGB≌△DFB，∴BG＝BF，∵∠GBF＝60°，∴△BGF是等邊三角形，∴∠FGB＝∠ABD＝60°，∴FG∥AC，故⑤正確；∵△ABE≌△DBC，BM⊥AE，BN⊥CD，∴BM＝BN，∴BH平分∠AHC，但不一定平分∠GBF，故④錯誤；無法判斷DH＝CH，故⑥錯誤．故選：C．3.如圖，△ACB和△ECD都是等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE．(1)求證：AD＝BE；(2)求∠AEB的度數(shù)．答案(1)略；(2)60°解析證明：(1)∵△ACB和△ECD都是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，又∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴AD＝BE；(2)在等邊△ECD中，∠CDE＝∠CED＝60°，∴∠ADC＝120°，∵△ACD≌△BCE，∴∠BEC＝∠ADC＝120°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝120°﹣60°＝60°．4.在數(shù)學探究課上，老師出示了這樣的探究問題，請你一起來探究：已知：C是線段AB所在平面內(nèi)任意一點，分別以AC、BC為邊，在AB同側(cè)作等邊三角形ACE和BCD，聯(lián)結(jié)AD、BE交于點P．(1)如圖1，當點C在線段AB上移動時，線段AD與BE的數(shù)量關(guān)系是：．(2)如圖2，當點C在直線AB外，且∠ACB＜120°，上面的結(jié)論是否還成立？若成立請證明，不成立說明理由．(3)在(2)的條件下，∠APE的大小是否隨著∠ACB的大小的變化而發(fā)生變化，若變化，寫出變化規(guī)律，若不變，請求出∠APE的度數(shù)．答案(1)AD＝BE；(2)BE＝AD(3)60°解析(1)∵△ACE、△CBD均為等邊三角形，∴AC＝EC，CD＝CB，∠ACE＝∠BCD＝60°，∴∠ACD＝∠ECB；在△ACD與△ECB中，AC=EC∠ACD=∠ECB∴△ACD≌△ECB(SAS)，∴AD＝BE，故答案為AD＝BE．(2)AD＝BE成立．證明：∵△ACE和△BCD是等邊三角形，∴EC＝AC，BC＝DC，∠ACE＝∠BCD＝60°，∴∠ACE+∠ACB＝∠BCD+∠ACB，即∠ECB＝∠ACD；在△ECB和△ACD中，EC=AC∠ECB=∠ACD∴△ECB≌△ACD(SAS)，∴BE＝AD．(3))∠APE不隨著∠ACB的大小發(fā)生變化，始終是60°．如圖2，設(shè)BE與AC交于Q，由(2)可知△ECB≌△ACD，∴∠BEC＝∠DAC又∵∠AQP＝∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ＝∠EQC+∠CEQ+∠ECQ＝180°∴∠APQ＝∠ECQ＝60°，即∠APE＝60°．5.(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，D是等邊三角形ABC邊BA上一動點(點D與點B不重合)，連接DC，以DC為邊在BC上方作等邊三角形DCF，連接AF．你能發(fā)現(xiàn)線段AF與BD之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．(2)類比猜想：如圖②，當動點D運動到等邊三角形ABC邊BA的延長線上時，其他作法與(1)相同，猜想