專題14 比例線段、黃金分割、平行線分線段成比例之六大考點(diǎn)(原卷版)

專題14比例線段、黃金分割、平行線分線段成比例【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一成比例線段】 1【考點(diǎn)二比例的性質(zhì)】 2【考點(diǎn)三利用黃金分割求線段的長】 3【考點(diǎn)四與黃金分割有關(guān)的證明】 5【考點(diǎn)五由平行判斷成比例的線段】 9【考點(diǎn)六由平行截線求相關(guān)線段的常或比值】 11【過關(guān)檢測】 14【典型例題】【考點(diǎn)一成比例線段】例題：（2023·廣東湛江·嶺師附中校聯(lián)考三模）下列四組線段中，成比例線段的是（

）A．4，1，3，8 B．3，4，5，6 C．4，8，3，5 D．15，5，6，2【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·陜西咸陽·九年級統(tǒng)考期末）下列給出長度的四條線段中，是成比例線段的是（

）A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，2．（2023秋·陜西渭南·九年級統(tǒng)考期末）已知a，b，c，d是成比例線段，其中，，，則（）A． B． C． D．【考點(diǎn)二比例的性質(zhì)】例題：（2023春·江西九江·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·遼寧遼陽·九年級統(tǒng)考期末）已知，則．2．（2023·湖南株洲·統(tǒng)考一模）已知，且，若，則．【考點(diǎn)三利用黃金分割求線段的長】例題：（2023·全國·九年級假期作業(yè)）點(diǎn)P是長度為10的線段上的黃金分割點(diǎn)，則較短線段的長度為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·黑龍江大慶·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）在長度為1的線段上有一點(diǎn)P．滿足，則長為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．如圖（1），點(diǎn)把線段分成兩部分，如果，那么稱點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)．如圖（2），點(diǎn)分別是線段的黃金分割點(diǎn)，（），若，則的長是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)四與黃金分割有關(guān)的證明】例題：（2023·全國·九年級假期作業(yè)）中，D是上一點(diǎn)，若，則稱為的黃金分割線．(1)求證：若為的黃金分割線，則D是的黃金分割點(diǎn)；(2)若，求的面積．（結(jié)果保留根號）【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·九年級單元測試）如圖所示，以長為2的定線段為邊作正方形，取的中點(diǎn)P，連接，在的延長線上取點(diǎn)F，使，以AF為邊作正方形，點(diǎn)M在上．(1)求的長；(2)點(diǎn)M是的黃金分割點(diǎn)嗎？為什么？2．（2023秋·山西運(yùn)城·九年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：黃金分割：兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯（Eudoxus，約前408年一前355年）發(fā)現(xiàn)：如圖1，將一條線段AB分割成長、短兩條線段AP、PB，若短段與長段的長度之比等于長段的長度與全長之比，即（此時線段AP叫做線段PB，AB的比例中項(xiàng)），則可得出這一比值等于（0.618…）．這種分割稱為黃金分割，這個比值稱為黃金比，點(diǎn)P叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．采用如下方法可以得到黃金分割點(diǎn)：如圖2，設(shè)AB是已知線段，經(jīng)過點(diǎn)B作BD⊥AB于點(diǎn)B，且使BD＝AB，連接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是線段AB的黃金分割點(diǎn)．任務(wù)：（1）求證：C是線段AB的黃金分割點(diǎn)．（2）若BD＝1，則BC的長為．【考點(diǎn)五由平行判斷成比例的線段】例題：（2023春·山西臨汾·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在中，，，則下列比例式中正確的是（）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，在平行四邊形中，E是上一點(diǎn)，連接并延長交的延長線于點(diǎn)F，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A． B． C． D．2．（2023秋·廣東佛山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，分別交直線m、n于點(diǎn)A、C、E、B、D、F，下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)六由平行截線求相關(guān)線段的?；虮戎怠坷}：（2023春·吉林長春·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，、相交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別在、上，，如果，，，，那么．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇南京·南師附中樹人學(xué)校?？既＃┤鐖D，已知直線，如果，，那么線段的長是．

2．（2023秋·河南周口·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)分別在的邊上，且，過點(diǎn)作，分別交、的平分線于點(diǎn)．若，平分線段，則．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023春·安徽·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）下列各組種的四條線段成比例的是（

）A．、、、 B．、、、C．、、、 D．、、、2．（2023春·湖南株洲·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）已知，那么的值是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·福建莆田·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，點(diǎn)D在邊上，，若，則的值是(

)

A． B． C． D．4．（2023春·河北邢臺·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，是葉脈的黃金分割點(diǎn)，則（

）

A． B． C． D．5．（2023秋·湖南益陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是平行四邊形對角線上的點(diǎn)，若，，則的長為（

）

A．6 B．7 C．8 D．9二、填空題6．（2023·上海嘉定·模擬預(yù)測）已知：，則．7．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）已知三條線段a、b、c，其中，c是a、b的比例中項(xiàng)，則cm．8．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線AD，BC交于點(diǎn)O，.若，，.則的值為．

9．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，在中，D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段上，的延長線交邊于點(diǎn)F，若，，則線段的長為．

10．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）鸚鵡螺是一類古老的軟體動物．鸚鵡螺曲線的每個半徑和后一個半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，P是的黃金分割點(diǎn)（），若線段的長為8cm，則的長為cm．（結(jié)果保留根號）三、解答題11．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，，，，，求、的長．12．（2022秋·安徽六安·九年級?？茧A段練習(xí)）已知，且．(1)求的值；(2)若，求的值．13．（2022秋·九年級單元測試）與在網(wǎng)格中的位置如圖所示，且每個小正方形的邊長都是．

(1)求，，的值(2)在，，，，，這六條線段中，指出其中三組成比例的線段．14．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考三模）小明在學(xué)習(xí)角平分線知識的過程中，做了進(jìn)一步探究：如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)．小明想通過證明來驗(yàn)證這個結(jié)論．

證明：延長至，使得，請你完成上述證明過程：結(jié)論應(yīng)用：已知在中，，，邊上有一動點(diǎn)，連接，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．(1)如圖2，當(dāng)，，求的值．(2)如圖3，當(dāng)，與的邊垂直時，求的值．

15．（2023·河南南陽·統(tǒng)考三模）綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．(1)【操作判斷】操作一：如圖1，將矩形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在上的點(diǎn)E處，折痕為，把紙片展平，連接；操作二：如圖2，將矩形紙片再次折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，得到折痕為，把紙片展平；操作三：如圖3，連接，并把折到上的