重難點(diǎn)07全等三角形中“倍長(zhǎng)中線”模型（原卷版）

重難點(diǎn)07全等三角形中“倍長(zhǎng)中線”模型【知識(shí)梳理】倍長(zhǎng)中線是指加倍延長(zhǎng)中線，使所延長(zhǎng)部分與中線相等，往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊都對(duì)應(yīng)相等。常用于構(gòu)造全等三角形。中線倍長(zhǎng)法多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系（通常用“SAS”證明）（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時(shí)用）。三角形一邊的中線（與中點(diǎn)有關(guān)的線段），或中點(diǎn)，通?？紤]倍長(zhǎng)中線或類中線，構(gòu)造全等三角形.把該中線延長(zhǎng)一倍，證明三角形全等，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的方法.圖一圖二圖三【考點(diǎn)剖析】例1、如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求證：AB=AC．【變式1】如圖1，已知中，是邊上的中線．求證：．【變式2】如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線．（1）按要求作圖：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD；連接BE．（2）求證：△ACD≌△EBD．（3）求證：AB+AC>2AD．（4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范圍．【變式3】如圖，CB是△AEC的中線，CD是△ABC的中線，且AB=AC．求證：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．例2.如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，BE=AC，BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F．求證：∠AEF=∠EAF．【變式1】EF∥AD交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G，BG=CF．求證：AD為△ABC的角平分線．例3.如圖，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)E，使BE=BD，連接AE．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）試判斷AE與CD的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明．【變式】閱讀理解：（1）如圖1，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，再連接，把，，集中在中，利用三角形三邊關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是______．（2）解決問(wèn)題：如圖2，在中，是邊上的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求證：．（3）問(wèn)題拓展：如圖3，在中，是邊上的中點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使得，求證：．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共6小題）1．（2022秋?天門期中）AD是△ABC的邊BC上的中線，AB＝12，AC＝8，中線AD的取值范圍是（）A．8＜AD＜12 B．4＜AD＜20 C．2＜AD＜10 D．4＜AD＜62．（2022秋?臨洮縣期中）如圖所示，△ABC中，AB＝5，AC＝9，則BC邊上的中線AD的取值范圍是（）A．4＜AD＜14 B．0＜AD＜14 C．2＜AD＜7 D．5＜AD＜93．（2022秋?義烏市校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，若AB＝4，AC＝2，則AD的取值范圍是（）A．1＜AD＜3 B．2＜AD＜4 C．2＜AD＜6 D．2＜AD＜34．（2022秋?如皋市校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，AD是邊BC上的中線，則AD長(zhǎng)的取值范圍是（）A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤75．（2022秋?靈山縣期中）如圖，已知AD是△ABC中BC邊上的中線，AB＝5，AC＝3，則AD的取值范圍是（）A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤86．（2022秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）老師布置的作業(yè)中有這么一道題：如圖，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，若AC＝3，AD＝4．則AB的長(zhǎng)不可能是（）A.5B.7C.8D.9甲同學(xué)認(rèn)為AB，AC，AD這條三邊不在同一個(gè)三角形中，無(wú)法解答，老師給的題目有錯(cuò)誤．乙同學(xué)認(rèn)為可以從中點(diǎn)D出發(fā)，構(gòu)造輔助線，利用全等的知識(shí)解決．丙同學(xué)認(rèn)為可以從點(diǎn)C作平行線，構(gòu)造輔助線，利用全等的知識(shí)解決．你認(rèn)為正確的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙二．填空題（共4小題）7．（2022秋?青田縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，則BC邊上的中線AD的取值范圍是．8．（2022秋?大連月考）在△ABC中，AB＝6，AC＝8，則BC邊上中線AD的取值范圍為．9．（2022秋?鄞州區(qū)校級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，連結(jié)DC，作DM⊥DC交AC于點(diǎn)M．若AB＝10，AM＝2，則CM＝．10．（2022秋?東寶區(qū)校級(jí)月考）在△ABC中，AB＝6，AC＝4，則BC邊上的中線AD的取值范圍是．三．解答題（共14小題）11．（2021秋?齊河縣期末）（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE＝AD，再連接BE，可證△ACD≌△EBD，從而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是（直接寫出范圍即可）．這種解決問(wèn)題的方法我們稱為倍長(zhǎng)中線法；（2）探究應(yīng)用：如圖②，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系并證明；（3）問(wèn)題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F、點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．12．（2021秋?南充期末）如圖，AD是△ABC的中線，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，E為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF＝DE．求證：BE∥CF．13．（2022秋?中山市期末）如圖，已知△ABC．（1）尺規(guī)作圖：作∠BAC的角平分線交BC于點(diǎn)D（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)D為BC中點(diǎn)時(shí)，求證：△ABC是等腰三角形．14．（2022秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）閱讀下面的題目及分析過(guò)程，并按要求進(jìn)行證明．已知：如圖，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個(gè)三角形中，且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等．因此，要證AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．現(xiàn)給出如下三種添加輔助線的方法，請(qǐng)任意選擇其中一種，對(duì)原題進(jìn)行證明．15．（2022秋?梅里斯區(qū)期末）閱讀下面的題目及分析過(guò)程，并按要求進(jìn)行證明．已知：如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個(gè)三角形中，且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請(qǐng)任意選出其中一種，對(duì)原題進(jìn)行證明．①如圖1，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過(guò)點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G．（2）請(qǐng)你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對(duì)原題進(jìn)行證明．16．（2022秋?常德期末）（1）【問(wèn)題情境】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，若AB＝13，AC＝9，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE，容易證得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三邊關(guān)系”可求得AD的取值范圍是．解后反思：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”等條件，可考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形之中．（2）【初步運(yùn)用】如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE＝∠AFE．若AE＝4，EC＝3，求線段BF的長(zhǎng)．（3）【拓展提升】如圖3，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥DF分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：BE+CF＞EF．17．（2022秋?句容市月考）（1）如圖1，AD是△ABC的中線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使ED＝AD，連接CE．①證明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，設(shè)AD＝x，可得x的取值范圍是；（2）如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：BE+CF＞EF．18．（2021秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）△ABC中，AB＝AC，以BC為邊，在BC右側(cè)作等邊△BCD．（1）如圖1，連接AD與BC交于點(diǎn)P，，BD＝2，求△ABD的面積；（2）如圖2，E為DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE、BE，G為AC的中點(diǎn)，連接BG、EG，AE＝DE，證明：BG⊥EG．19．（2022秋?廈門月考）（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．（2）受到（1）啟發(fā)，請(qǐng)你證明下面的問(wèn)題：如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．求證：BE+CF＞EF.20．（2022秋?南沙區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，分別以AB，BC為腰向△ABC外作等腰三角形ABM和等腰三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝120°，∠NBC＝60°，連接MN．（1）請(qǐng)寫出BD與MN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）延長(zhǎng)DB交MN于點(diǎn)F，求∠MFB的度數(shù)．21．（2022秋?桐柏縣期中）（1）閱讀理解：如圖①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC邊上的中線AD的取值范圍．可以用如下方法：將△ACD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是；（2）問(wèn)題解決：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：BE+CF＞EF；（3）問(wèn)題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C為頂點(diǎn)作一個(gè)50°的角，角的兩邊分別交AB、AD于E、F兩點(diǎn)，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．22．（2022秋?寶應(yīng)縣校級(jí)月考）（1）閱讀理解：如圖①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE＝AD，再連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷．中線AD的取值范圍是；（2）問(wèn)題解決：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：BE+CF＞EF；（3）問(wèn)題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C為頂點(diǎn)作一個(gè)70°角，角的兩邊分別交AB，AD于E、F兩點(diǎn)，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．23．（2022秋?平輿縣期末）【閱讀理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范圍是．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【問(wèn)題解決】（3）如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC