人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修第一冊(cè))同步講義第13講 第一章 空間向量與立體幾何 測(cè)評(píng)卷（提高卷）（含解析）

第一章空間向量與立體幾何章節(jié)驗(yàn)收測(cè)評(píng)卷(提高卷）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．（2023春·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期末）已知直線SKIPIF1<0的方向向量SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由題可得SKIPIF1<0，所以可設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.2．（2023春·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期末）已知四棱錐SKIPIF1<0的底面為正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離是SKIPIF1<0.故選：D.3．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）在正四面體SKIPIF1<0中，過點(diǎn)SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線，垂足為SKIPIF1<0點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由題知，在正四面體SKIPIF1<0中，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中心，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.

故選：B4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，在鱉臑SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則二面角SKIPIF1<0的正弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】分別以直線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量，由SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量SKIPIF1<0，設(shè)二面角SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故選:C5．（2023春·四川成都·高二成都外國(guó)語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則面SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為矩形，以點(diǎn)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因此，面SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故選：D.6．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在線段SKIPIF1<0上取點(diǎn)M，在SKIPIF1<0上取點(diǎn)N，使得直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則線段MN長(zhǎng)度的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】解：如圖，以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的長(zhǎng)度的最小值為SKIPIF1<0．故選：D．

7．（2023·陜西銅川·統(tǒng)考二模）在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的最小值為SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0【答案】A【詳解】如圖，取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，由題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，設(shè)面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，設(shè)面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，選項(xiàng)A，因?yàn)镾KIPIF1<0，不恒為0，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，由題意，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0距離相等，從而SKIPIF1<0，所以選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取最小值SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0取最小值SKIPIF1<0，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，由題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0，故選項(xiàng)D正確.故選：A.8．（2023·江西·校聯(lián)考二模）在四棱錐SKIPIF1<0中，棱長(zhǎng)為2的側(cè)棱SKIPIF1<0垂直底面邊長(zhǎng)為2的正方形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，過直線SKIPIF1<0的平面SKIPIF1<0分別與側(cè)棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，截面SKIPIF1<0的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】A【詳解】由題意，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為正方形，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，

則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由題意，SKIPIF1<0四點(diǎn)共面，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以截面SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0.故選：A二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9．（2023春·山西晉中·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0【答案】AD【詳解】以點(diǎn)SKIPIF1<0為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.A選項(xiàng)，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，A正確.B選項(xiàng)，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不垂直，則直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0不平行，SKIPIF1<0錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0不垂直，矛盾，C錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，SKIPIF1<0，D正確.故選：AD10．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在棱長(zhǎng)為1的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）

A．不存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0B．存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0C．對(duì)于任意點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離的取值范圍為SKIPIF1<0D．對(duì)于任意點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是鈍角三角形【答案】ABC【詳解】由題知，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，建立以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，分別以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向?yàn)镾KIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，顯然方程組無解，所以不存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，即不存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，故A項(xiàng)正確；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，解得SKIPIF1<0，故B項(xiàng)正確；因?yàn)镾KIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以點(diǎn)Q到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，故C項(xiàng)正確；因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以三角形為SKIPIF1<0直角三角形或鈍角三角形，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABC11．（2023春·廣東廣州·高三華南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知四面體SKIPIF1<0的外接球球心為SKIPIF1<0，內(nèi)切球球心為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0【答案】ABCD【詳解】根據(jù)空間向量“奔馳定理”可知，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0四面體SKIPIF1<0的內(nèi)切球球心，所以SKIPIF1<0，如圖，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故A正確；因?yàn)镾KIPIF1<0和SKIPIF1<0是有公共斜邊的直角三角形，斜邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)到頂點(diǎn)SKIPIF1<0的距離都相等，且為SKIPIF1<0，所以四面體SKIPIF1<0外接球的球心為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故B正確；

因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C正確；

因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，因?yàn)槊鍿KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故D正確.故選：ABCD12．（2023春·安徽安慶·高二安徽省宿松中學(xué)?？计谥校┤鐖D，邊長(zhǎng)為4的正方形SKIPIF1<0是圓柱的軸截面，點(diǎn)SKIPIF1<0為圓弧SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0不重合）SKIPIF1<0，則（

）A．存在SKIPIF1<0值，使得SKIPIF1<0B．三棱錐SKIPIF1<0體積的最大值為SKIPIF1<0C．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0D．當(dāng)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角最大時(shí)，平面SKIPIF1<0截四棱錐SKIPIF1<0外接球的截面面積為SKIPIF1<0【答案】BCD【詳解】對(duì)于SKIPIF1<0選項(xiàng)，由題意知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，不成立，故SKIPIF1<0不正確；對(duì)于SKIPIF1<0選項(xiàng)，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0半圓面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是三棱錐SKIPIF1<0的高，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0是半圓弧SKIPIF1<0的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐SKIPIF1<0的底面積SKIPIF1<0取得最大值，三棱錐SKIPIF1<0的體積取得最大值為SKIPIF1<0，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，以SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0為原點(diǎn)，以SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0正確；對(duì)于SKIPIF1<0選項(xiàng)，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由題意知，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)的射影，則SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在RtSKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成最大角的正弦值為SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為正方形，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0為四棱錐SKIPIF1<0外接球的球心，因?yàn)镾KIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以球心SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，設(shè)截面半徑為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，所以截面面積為SKIPIF1<0，故D正確.故選：BCD.三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）13．（2023秋·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體?正六面體?正八面體?正十二面體?正二十面體.已知一個(gè)正八面體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)都是2（如圖），SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0__________.

【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】由題意，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又由正八面體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)都是SKIPIF1<0，且各個(gè)面都是等邊三角形，在SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.

14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知空間向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量的坐標(biāo)是__________．【答案】SKIPIF1<0，【詳解】空間向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量是SKIPIF1<0，所以向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量的坐標(biāo)是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<015．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在正方體SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是側(cè)面SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，滿足SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0，若該正方體的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離的最小值為__________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0//SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為平行四邊形，則SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0，故點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上（點(diǎn)SKIPIF1<0除外），點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離的最小值為異面直線SKIPIF1<0之間的距離，如圖，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，符合題意，所以點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離的最小值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.16．（2022秋·北京·高二人大附中?？计谥校┯泻芏嗔Ⅲw圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種成兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為24，棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得，這個(gè)正多面體的表面積為___________.若點(diǎn)E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，則直線DE與直線AF所成角的余弦值的取值范圍為___________.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0SKIPIF1<0【詳解】由題意得該幾何體有6個(gè)面為邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正方形，8個(gè)面為邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的等比三角形，故SKIPIF1<0，在原正方體中建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則直線DE與直線AF所成角的余弦值SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，底面SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為2的正方形，且二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的長(zhǎng)；(2)求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）如下圖所示，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸建系.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.容易看出，平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0.設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.由題，二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0的長(zhǎng)為SKIPIF1<0.（2）由（1）得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.18．（2023秋·河南鄭州·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知SKIPIF1<0平面ABCD，底面ABCD為正方形，SKIPIF1<0，M，N分別為AB，PC的中點(diǎn)．(1)求線段MN的長(zhǎng)；(2)求PD與平面PMC所成角的正弦值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）根據(jù)題意，分別以SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則SKIPIF1<0N分別為PC的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（2）易得SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0設(shè)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即PD與平面PMC所成角的正弦值為SKIPIF1<019．（2023春·湖南湘潭·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的正弦值.【答案】(1)見解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0

故SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0，進(jìn)而SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，

設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0．20．（2023秋·廣東湛江·高二統(tǒng)考期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體SKIPIF1<0中，E為AD中點(diǎn)．(1)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值；(2)探究線段SKIPIF1<0上是否存在點(diǎn)F，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，確定點(diǎn)F的位置；若不存在，說明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在，點(diǎn)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上靠近點(diǎn)SKIPIF1<0的三等分點(diǎn)見解析【詳解】（1）如圖，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角不超過SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值為SKIPIF1<0（2）假設(shè)在線段SKIPIF1<0上存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，此時(shí)點(diǎn)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上靠近點(diǎn)SKIPIF1<0的三等分點(diǎn)．21．（2023·安徽安慶·安徽省桐城中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在八面體SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0與二面角SKIPIF1<0的大小都是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心，是否在棱SKIPIF1<0上存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0，若存在，求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離，若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，SKIPIF1<0【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0為正方形，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角，即SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角，即SKIPIF1<0，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以