人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修第一冊(cè))同步講義第29講 3.2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（含解析）

第04講3.2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①掌握雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，了解雙曲線中a，b，c，e的幾何意義及范圍。②會(huì)根據(jù)雙曲線的方程解決雙曲線的幾何性質(zhì)，會(huì)用雙曲線的幾何意義解決相關(guān)問(wèn)題。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握雙曲線的幾何量a，b，c，e的意義，會(huì)利用幾何量之間的關(guān)系，求相關(guān)幾何量的大小，會(huì)利用雙曲線的幾何性質(zhì)解決與雙曲線有關(guān)的點(diǎn)、弦、周長(zhǎng)、面積等問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)01：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）圖形性質(zhì)范圍或或?qū)ΨQ(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)，,漸近線離心率，，a，b，c間的關(guān)系【即學(xué)即練1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)殡p曲線方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以，由于焦點(diǎn)在軸上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為：.故選：C.知識(shí)點(diǎn)02：等軸雙曲線（，）當(dāng)時(shí)稱(chēng)雙曲線為等軸雙曲線①；②離心率；③兩漸近線互相垂直，分別為；④等軸雙曲線的方程，；【即學(xué)即練2】（2023春·四川南充·高二四川省南充高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)且對(duì)稱(chēng)軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的方程為【答案】【詳解】設(shè)所求雙曲線方程為：，雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，所求雙曲線方程為：.故答案為：.知識(shí)點(diǎn)03：直線與雙曲線的位置關(guān)系1、代數(shù)法：設(shè)直線，雙曲線聯(lián)立解得：（1）時(shí)，，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（左支一個(gè)點(diǎn)右支一個(gè)點(diǎn)）；，，或k不存在時(shí)，直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)；（2）時(shí)，存在時(shí)，若，，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)；若，時(shí)，，直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)；時(shí)，，直線與雙曲線相離，沒(méi)有交點(diǎn)；時(shí)，直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)；相切不存在，時(shí)，直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)；直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)；【即學(xué)即練3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）直線與雙曲線上支的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為．【答案】2【詳解】由，可得，解得或．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以直線與雙曲線上支的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．故答案為：2知識(shí)點(diǎn)04：弦長(zhǎng)公式1、直線被雙曲線截得的弦長(zhǎng)公式，設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則為直線斜率2、通徑的定義：過(guò)焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng).【即學(xué)即練4】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作傾斜角為30°的直線l，直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B，則AB的長(zhǎng)為．【答案】【詳解】雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以直線l的方程為．由，得．設(shè)，，則，，所以．故答案為：知識(shí)點(diǎn)05：雙曲線與漸近線的關(guān)系1、若雙曲線方程為漸近線方程：2、若雙曲線方程為（，）漸近線方程：3、若漸近線方程為，則雙曲線方程可設(shè)為，4、若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上，，焦點(diǎn)在軸上）【即學(xué)即練5】（2023·四川成都·?？家荒＃┮阎行脑谠c(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)?，所以，則，所以漸近線方程為.故選：C.知識(shí)點(diǎn)06：雙曲線中點(diǎn)弦的斜率公式設(shè)為雙曲線弦（不平行軸）的中點(diǎn)，則有證明：設(shè)，，則有，兩式相減得：整理得：，即，因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，所以：，所以【即學(xué)即練6】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：設(shè)，則，兩式相減得直線的斜率為，又直線過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn).故選：A題型01由雙曲線的方程求幾何性質(zhì)【典例1】（多選）（2023·海南·?？寄M預(yù)測(cè)）下列關(guān)于雙曲線說(shuō)法正確的是（

）A．實(shí)軸長(zhǎng)為6 B．與雙曲線有相同的漸近線C．焦點(diǎn)到漸近線距離為4 D．與橢圓有同樣的焦點(diǎn)【答案】ABD【詳解】由題意，雙曲線滿足，即，于是，故A選項(xiàng)正確；雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，故漸近線方程為：，而雙曲線焦點(diǎn)也在軸，故漸近線為，即它們漸近線方程相同，B選項(xiàng)正確；焦點(diǎn)為，不妨取其中一個(gè)焦點(diǎn)和一條漸近線，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，焦點(diǎn)到漸近線距離為：，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；橢圓的焦點(diǎn)為，根據(jù)C選項(xiàng)可知，橢圓和雙曲線焦點(diǎn)一樣，D選項(xiàng)正確.故選：ABD【典例2】（多選）（2023春·福建三明·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線，則不因的值改變而改變的是（

）A．焦距 B．頂點(diǎn)坐標(biāo)C．離心率 D．漸近線方程【答案】CD【詳解】由方程，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即，，則焦距為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率，漸近線方程為.故選：CD.【變式1】（多選）（2023春·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線，則（

）A．實(shí)軸長(zhǎng)為1 B．虛軸長(zhǎng)為2C．離心率 D．漸近線方程為【答案】BCD【詳解】由可知，，故實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為，離心率，漸近線方程為，即.故選：BCD【變式2】（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線，下列結(jié)論正確的是（

）A．C的實(shí)軸長(zhǎng)為 B．C的漸近線方程為C．C的離心率為 D．C的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為【答案】C【詳解】對(duì)A，C的實(shí)軸長(zhǎng)為，A錯(cuò)；對(duì)B，C的漸近線方程為，B錯(cuò)；對(duì)C，C的離心率為，C對(duì)；對(duì)D，C的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，D錯(cuò).故選：C題型02根據(jù)雙曲線幾何性質(zhì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程【典例1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為.設(shè)雙曲線的方程為，故，解得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:A.【典例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線方程為．【答案】【詳解】解：設(shè)雙曲線方程為，將點(diǎn)代入，即，解得或（舍去），故所求雙曲線方程為．故答案為：【典例3】（2023秋·湖南衡陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）解答下列兩個(gè)小題：（1）雙曲線：離心率為，且點(diǎn)在雙曲線上，求的方程；（2）雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為2，且雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)相同，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由，得，即，又，即，雙曲線的方程即為，點(diǎn)坐標(biāo)代入得，解得．所以，雙曲線的方程為．（2）橢圓的焦點(diǎn)為，設(shè)雙曲線的方程為，所以，且，所以，所以，雙曲線的方程為．【變式1】（2023春·廣東佛山·高二南海中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一雙曲線的虛軸長(zhǎng)為4，離心率與橢圓的離心率互為倒數(shù)，且焦點(diǎn)所在軸相同，則該雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，離心率，所以所求雙曲線的焦點(diǎn)也在軸上，離心率，即，所以，又因?yàn)殡p曲線的虛軸長(zhǎng)為，即，所以，即，所以，所以所求雙曲線的方程為：.故選：C.【變式2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線的離心率，實(shí)半軸長(zhǎng)為4，則雙曲線的方程為.【答案】【詳解】由已知可得,即得,所以雙曲線方程為:.故答案為:.題型03雙曲線的漸近線問(wèn)題【典例1】（2023秋·高二單元測(cè)試）已知雙曲線兩條漸近線的夾角為，則此雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【詳解】∵雙曲線的漸近線方程為，∴由雙曲線兩條漸近線的夾角為，可得.∴雙曲線的離心率為.故選：C.【典例2】（2023春·四川達(dá)州·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的離心率為2，則它的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由得雙曲線的漸近線方程為．∵雙曲線的離心率為2，∴，解得，∴雙曲線的漸近線方程為．故選：A．【典例3】（2023春·江西贛州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線的右支上存在一點(diǎn)滿足與雙曲線的左支的交點(diǎn)平分線段，則雙曲線的漸近線斜率為（

）

A．3 B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，則，由雙曲線的定義得，，又由得，即，解得，所以，在直角中，由勾股定理得，即，整理得，則，雙曲線的漸近線斜率為．故選：B．【變式1】（2023春·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）雙曲線的右焦點(diǎn)到C的一條漸近線的距離為（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】A【詳解】依題意得，，，所以，，，所以漸近線方程為，右焦點(diǎn)為，所以點(diǎn)到漸近線的距離為.故選：A【變式2】（2023秋·四川巴中·高二統(tǒng)考期末）若雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線方程為．【答案】【詳解】雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，解得，所以雙曲線方程為，又，則該雙曲線的漸近線方程為．故答案為：．【變式3】（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作直線的垂線分別交雙曲線的左、右兩支于兩點(diǎn)（如圖）.若構(gòu)成以為頂角的等腰三角形，則雙曲線的漸近線方程為.

【答案】【詳解】由題意可得，由雙曲線的定義及點(diǎn)在右支上，，又點(diǎn)在左支上，則，則，在中，由余弦定理可得，而與漸近線垂直，于是，即，從而得，所以，即，化簡(jiǎn)得，解得，所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為：題型04雙曲線的離心率問(wèn)題（定值）【典例1】（2023秋·高二單元測(cè)試）已知雙曲線兩條漸近線的夾角為，則此雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【詳解】∵雙曲線的漸近線方程為，∴由雙曲線兩條漸近線的夾角為，可得.∴雙曲線的離心率為.故選：C.【典例2】（2023春·湖南衡陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）古希臘數(shù)學(xué)家托勒密在他的名著《數(shù)學(xué)匯編》，里給出了托勒密定理，即任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于等于兩組對(duì)邊的乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)同在一個(gè)圓上時(shí)等號(hào)成立.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，滿足，若，則雙曲線的離心率.【答案】/【詳解】由雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，及雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，，則，，可得四邊形為平行四邊形，

又及托勒密定理，可得四邊形為矩形．設(shè)，，在中，，則，，，，，，解得．雙曲線的離心率為．故答案為：．【典例3】（2023春·四川涼山·高二寧南中學(xué)校聯(lián)考期末）已知雙曲線，（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作一條斜率為的直線與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)M，且，則雙曲線C的離心率為.【答案】/【詳解】

如圖所示，設(shè)，則，所以，又M在第一象限，即，故，因?yàn)椋^(guò)M作軸于D，，故，即，故，解之得（負(fù)值舍去）.故答案為：【變式1】（2023·河北滄州·校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線，為原點(diǎn)，分別為該雙曲線的左，右頂點(diǎn)分別為該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，第二象限內(nèi)的點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，為的平分線，且線段的長(zhǎng)為焦距的一半，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【詳解】因?yàn)闉榈钠椒志€，所以，又因?yàn)?，所以，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在漸近線上，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，又點(diǎn)在第二象限內(nèi)，所以，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以，所以，所以，可得，

故選：C.【變式2】（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期末）已知直線是雙曲線（）的一條漸近線，則的離心率為.【答案】【詳解】因?yàn)橹本€是雙曲線的一條漸近線，所以，所以C的離心率為.故答案為：【變式3】（2023春·江西宜春·高二江西省宜豐中學(xué)校考期末）已知雙曲線的一條漸近線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則雙曲線的離心率為.【答案】/【詳解】雙曲線的漸近線的方程為.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故該圓的圓心為，半徑為2，而圓心到漸近線的距離為，故漸近線被該圓截得的弦長(zhǎng)為，整理得到：或，而，故，故離心率為.故答案為：.題型05雙曲線的離心率問(wèn)題（最值或范圍）【典例1】（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線的上下焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的下支上，過(guò)點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，若恒成立，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作漸近線的垂線，垂足為，設(shè)，則點(diǎn)到漸近線的距離.由雙曲線的定義可得，故，所以，即的最小值為，因?yàn)楹愠闪?，所以恒成立，即恒成立，所以，，即，即，所以，，即，解?故選：A.

【典例2】（2023·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）雙曲線（，）的焦距為，已知點(diǎn)，，點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，且，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】依題意直線：，即，又，所以，，所以，所以，即，即，解得，又，所以.故選：B【典例3】（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線的左頂點(diǎn)為A，以為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于P，Q兩點(diǎn)，其中點(diǎn)Q在y軸右側(cè)，若，則該雙曲線的離心率的取值范圍是.【答案】【詳解】依題意可得，以為直徑的圓的方程為，不妨設(shè)雙曲線的這條漸近線方程為，由，得：或，所以，雙曲線的左頂點(diǎn)為，則，所以，，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，所以，所以，所以，又，所以.故答案為：

【變式1】（2023·河北·校聯(lián)考三模）已知雙曲線（其中），若，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由雙曲線（其中），得，則雙曲線離心率，因?yàn)椋?，則，所以，所以，即雙曲線離心率的取值范圍為.故選：A.【變式2】（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn)F為雙曲線的左焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O且斜率的直線與雙曲線C交于A?B兩點(diǎn)，AF的中點(diǎn)為P，BF的中點(diǎn)為Q.若，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是.【答案】【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，根據(jù)雙曲線方程知，，則.因?yàn)橹本€過(guò)原點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性，原點(diǎn)平分線段，又原點(diǎn)平分線段，所以四邊形為平行四邊形.在和中，分別有中位線，，，因?yàn)?，所以，所以四邊形為矩形，為直角三角?不妨設(shè)在第一象限，設(shè)直線傾斜角為，則，且，在Rt中可得：，所以，因?yàn)椋?，又在上為增函?shù)，所以.故答案為：

【變式3】（2023春·湖北宜昌·高二葛洲壩中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點(diǎn)，且在第三象限，四邊形為平行四邊形，為直線的傾斜角，若，則該雙曲線離心率的取值范圍是.【答案】【詳解】解：因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點(diǎn)，且在第三象限，四邊形為平行四邊形，所以由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可知點(diǎn)B也在雙曲線的漸近線上，且B在第一象限，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)闉橹本€的傾斜角，且，所以在中，，且，則，即，即，即，解得，所以該雙曲線離心率的取值范圍是，故答案為：題型06根據(jù)雙曲線的離心率求參數(shù)【典例1】（2023春·陜西咸陽(yáng)·高二校考階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，雙曲線的離心率為，可得，即，解得，即雙曲線的漸近線的方程為.故選：B.【典例2】（2023秋·江蘇·高二統(tǒng)考期末）設(shè)為實(shí)數(shù)，已知雙曲線的離心率，則的取值范圍為【答案】【詳解】因?yàn)楸硎倦p曲線的方程，所以有，因此，因?yàn)椋杂?，即k的取值范圍為，故答案為：.【變式1】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，，若的離心率為，則的值為（

）A．3 B． C．2 D．【答案】A【詳解】因?yàn)椋呻p曲線的定義可得，所以，；因?yàn)?由余弦定理可得，整理可得，所以，即,解得或,又因?yàn)?即.故選：A【變式2】（2023·北京·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線的離心率為2，則實(shí)數(shù)．【答案】【詳解】由題知，，則方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，所以，則，所以，解得：.故答案為：.題型07直線與雙曲線的位置關(guān)系【典例1】（多選）（2023秋·山西太原·高二山西大附中?？计谀┲本€與雙曲線的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，則的可能取值為（

）A． B． C． D．【答案】AD【詳解】聯(lián)立，消去y得，.因?yàn)橹本€與雙曲線的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，所以方程有一正一負(fù)根，所以，整理得，解得.所以的取值范圍為，故A，D符合題意.故選：AD.【典例2】（2023春·安徽六安·高二六安二中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，若A，B兩點(diǎn)在雙曲線的左支上，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【詳解】由得，方程在有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根，所以,解得.故答案為：.【變式1】（2023春·上海徐匯·高二上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┮阎本€和雙曲線，若l與C的右支交于不同的兩點(diǎn)，則t的取值范圍是．【答案】【詳解】由消去y得：，由于l與C的右支交于不同的兩點(diǎn)，則直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為正，且不等，于是，解得，所以t的取值范圍是.故答案為：

【變式2】（2023·上海崇明·上海市崇明中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）記雙曲線的離心率為，若直線與無(wú)公共點(diǎn)，則的取值范圍為.【答案】【詳解】，所以C的漸近線方程為，結(jié)合漸近線的特點(diǎn)，只需，即，可滿足條件“直線與C無(wú)公共點(diǎn)”.所以，又因?yàn)?，所?故答案為：【變式3】（2023秋·廣西北?！じ叨y(tǒng)考期末）若直線l過(guò)點(diǎn)，且與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足條件的直線有條．【答案】4【詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線為，與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線為，代入曲線方程整理得，若，則，此時(shí)有兩條分別平行于雙曲線的兩條漸近線的直線，與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，則由，得，此時(shí)有一條直線與曲線相切，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．綜上，這樣的直線共有4條．故答案為：4題型08弦長(zhǎng)問(wèn)題【典例1】（2023·新疆喀什·?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線C兩條準(zhǔn)線之間的距離為1，離心率為2，直線l經(jīng)過(guò)C的右焦點(diǎn)，且與C相交于A、B兩點(diǎn).(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l與該雙曲線的漸近線垂直，求AB的長(zhǎng)度.【答案】(1)=1(2)3【詳解】（1）因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)C的右焦點(diǎn)，所以該雙曲線的焦點(diǎn)在橫軸上，因?yàn)殡p曲線C兩條準(zhǔn)線之間的距離為1，所以有，又因?yàn)殡x心率為2，所以有代入中，可得，∴C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）由上可知：該雙曲線的漸近線方程為，所以直線l的斜率為，由于雙曲線和兩條直線都關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以兩條直線與雙曲線的相交弦相等.又因?yàn)橹本€斜率的絕對(duì)值小于漸近線斜率的絕對(duì)值，所以直線與雙曲線交于左右兩支，因此不妨設(shè)直線l的斜率為，方程為與雙曲線方程聯(lián)立為：，設(shè)，則有，【典例2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦距為.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的直線l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，且的面積為，求直線l的方程.【答案】(1)(2)或【詳解】（1）由題意得：，，，解得：，，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意可知，直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立方程組，消去整理得，則，原點(diǎn)到直線的距離為，所以，解得或，故或，故直線方程為或【典例3】（2023春·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線C的漸近線為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA與OB垂直，求a的值以及弦長(zhǎng)．【答案】(1)(2)，【詳解】（1）由雙曲線漸近線方程為，可設(shè)雙曲線方程為：，又雙曲線過(guò)點(diǎn)，雙曲線的方程為：（2）設(shè)，，聯(lián)立，化為．∵直線與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，∴，化為．∴，（*）∵，∴．∴，又，，∴，把（*）代入上式得，化為．滿足．∴．由弦長(zhǎng)公式可得【變式1】（2023春·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線的焦點(diǎn)為，，且該雙曲線過(guò)點(diǎn)．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)左焦點(diǎn)作斜率為的弦AB，求AB的長(zhǎng)；(3)求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)25(3)54【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線方程為，由題意得，解得，所以雙曲線方程為.（2）依題意得直線AB的方程為，設(shè)，.聯(lián)立，得，，且，所以.（3）由（2）知A，B兩點(diǎn)都在雙曲線左支上，且，由雙曲線定義，，從而，的周長(zhǎng)為．【變式2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，作傾斜角為的直線.(1)求證：與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；(2)求線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)，【詳解】（1）由雙曲線方程知：，則，由得：，則，與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn).（2）設(shè)，，由（1）得：，，；；.【變式3】（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)二十中校聯(lián)考期末）已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，它的左焦點(diǎn)為，且到其漸近線的距離是．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交左支于一點(diǎn)，且的斜率是，求長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）雙曲線的左焦點(diǎn)為，漸近線方程為，即則到漸近線的距離為，又將代入雙曲線方程得：，所以，故雙曲線方程為；（2）由題意可得直線的方程為：，即，則，所以，解得，，即點(diǎn)橫坐標(biāo)為，所以.題型09三角形面積問(wèn)題【典例1】（2023春·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線，點(diǎn)為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，若，則三角形的面積為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，則，而，且，所以，故，故選：D.【典例2】（2023·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線：（）的離心率為3，焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上.若的周長(zhǎng)為，則的面積是.【答案】【詳解】解：設(shè)，因?yàn)殡p曲線：（）的離心率為3，所以，即，又的周長(zhǎng)為，所以，由雙曲線的定義得，解得，由余弦定理得，則，所以，故答案為：【典例3】（2023春·上海寶山·高二上海交大附中校考期中）已知雙曲線，及直線.(1)若與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；(2)若與的左右兩支分別交于A、B兩點(diǎn)，且的面積為，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)或(2)【詳解】（1）由，消去，得①，當(dāng)，即時(shí)，方程①有一解，與僅有一個(gè)交點(diǎn)（與漸近線平行時(shí)）.當(dāng)，得與也只有一個(gè)交點(diǎn)（與雙曲線相切時(shí)），綜上得的取值是或；（2）設(shè)交點(diǎn)，由，消去，得，首先由，得且，并且，又因?yàn)榕c的左右兩支分別交于A?B兩點(diǎn)，所以，即，解得，故.因?yàn)橹本€l與y軸交于點(diǎn)，所以，故.解得或.因?yàn)?，所?【變式1】（2023·安徽六安·六安一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若，則的面積等于（

）A．18 B．10 C．9 D．6【答案】C【詳解】直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若，則四邊形為矩形，所以，，

由雙曲線可得，，則，所以，所以，又，所以，解得，所以．故選：C．【變式2】（2023秋·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，其中與拋物線的焦點(diǎn)重合，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，若，且，則的面積為.【答案】【詳解】由雙曲線右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，可得，所以，設(shè)，則，因?yàn)椋?，則，解得，所以，.故答案為：【變式3】（2023·浙江·二模）已知，分別為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，線段與交于點(diǎn).(1)證明：；(2)若的面積為8，求直線的斜率.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）由題意在雙曲線左支上，在右支上，令且，而，則線段中點(diǎn)為，又，則，所以，則中點(diǎn)在雙曲線上或外部，即，僅當(dāng)重合時(shí)等號(hào)成立，故.（2）若，則，令，，聯(lián)立雙曲線，則，而，則，，所以，故，可得（負(fù)值舍），所以，故直線斜率為.題型10中點(diǎn)弦和點(diǎn)差法【典例1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：設(shè)，則，兩式相減得直線的斜率為，又直線過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn).故選：A【典例2】（2023春·甘肅蘭州·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個(gè)焦點(diǎn)到該漸近線的距離為1.(1)求的方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，求的方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：雙曲線的漸近線為，即，所以，又焦點(diǎn)到直線的距離，所以，又，所以，，所以雙曲線方程為（2）解：設(shè)，，直線的斜率為，則，，所以，，兩式相減得，即即，所以，解得，所以直線的方程為，即，經(jīng)檢驗(yàn)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足條件，所以直線的方程為.【典例3】（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，且C的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在過(guò)點(diǎn)的直線l與C交于不同的A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為P.若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）解：因?yàn)殡p曲線C的右焦點(diǎn)為，所以，可得，又因?yàn)殡p曲線C的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得，即，聯(lián)立方程組，解得，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：假設(shè)存在符合條件的直線，易知直線l的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，且，則，兩式相減得，所以，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，所以，解得，直線的方程為，即，把直線代入，整理得，可得，該方程沒(méi)有實(shí)根，所以假設(shè)不成立，即不存在過(guò)點(diǎn)的直線與C交于兩點(diǎn)，使得線段的中點(diǎn)為.【變式1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）雙曲線的一條弦的中點(diǎn)為，則此弦所在的直線方程為.【答案】【詳解】由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可得此弦所在的直線斜率存在，設(shè)弦的兩端分別為，，則有，兩式相減得，所以，又因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)為，所以，故直線斜率，則所求直線方程為，整理得，由得，，故該直線滿足題意，故答案為：【變式2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線的其中一個(gè)焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，求直線的方程.【答案】（1）（2）【詳解】（1）由焦點(diǎn)可知，又一條漸近線方程為所以，由可得,解得，，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)，AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為則①，②，②①得：，即，又，所以，所以直線的方程為，即【變式3】（2023秋·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）雙曲線的漸近線方程為，一個(gè)焦點(diǎn)到該漸近線的距離為2．(1)求C的方程；(2)是否存在直線l，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，若存在，求l的方程：若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在；.【詳解】（1）雙曲線的漸近線為，因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，所以，又焦點(diǎn)到直線的距離，所以，又，所以，，所以雙曲線方程為（2）假設(shè)存在，由題意知：直線的斜率存在，設(shè)，，直線的斜率為，則，，所以，，兩式相減得，即即，所以，解得，所以直線的方程為，即，經(jīng)檢驗(yàn)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足條件，所以直線的方程為.題型11雙曲線的定點(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題問(wèn)題【典例1】（2023春·全國(guó)·高二合肥市第六中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上，，分別是線段，的中點(diǎn)，且，．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)，，當(dāng)與，不重合時(shí)，設(shè)直線，的斜率分別為，，證明：為定值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)?，，分別是線段，，的中點(diǎn)，所以，．因?yàn)?，所以，所以由雙曲線的定義知，解得．設(shè)雙曲線的半焦距為（）．因?yàn)椋?，所以，所以．所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)（），則，所以，所以，所以．因?yàn)椋?，所以，所以，為定值．【典?】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線的離心率為2，右焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，求證直線過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由題意，設(shè)右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為：，右焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為，可得，又因?yàn)?，解得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)，則聯(lián)立方程組，得整理得：.，且，,，令得，，直線過(guò)定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)直線:，此時(shí)均在軸上，故直線過(guò)定點(diǎn).綜上：直線過(guò)定點(diǎn).【典例3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線C：的離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線l與C左右兩支分別交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)（異于頂點(diǎn)）．(1)若點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線OP與直線MN斜率之積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；(2)若A，B為雙曲線的左右頂點(diǎn)，且，試判斷直線AN與直線BM的交點(diǎn)G是否在定直線上，若是，求出該定直線，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1)1(2)是在定直線上，定直線【詳解】（1）由題意得，所以，設(shè)，，，則，作差得，又MN的斜率，，所以.（2）∵，∴，，，直線l：，，設(shè)，，聯(lián)立得，所以，所以，設(shè)直線AN：，BM：，所以，所以．故存在定直線，使直線AN與直線BM的交點(diǎn)G在定直線上．【變式1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，且離心率(1)求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)如果，為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線的斜率互為相反數(shù)，證明直線的斜率為定值，并求出該定值.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析，【詳解】（1）由題意，解得，，故雙曲線方程為（2）設(shè)點(diǎn)，，設(shè)直線的方程為，代入雙曲線方程，得，，，，同理，.【變式2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為.直線和兩條漸近線交于點(diǎn),點(diǎn)在第一象限且,是雙曲線上的任意一點(diǎn).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在點(diǎn)P使得為直角三角形？若存在,求出點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；(3)直線與直線分別交于點(diǎn),證明：以為直徑的圓必過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)；(2)4個(gè)；(3)證明過(guò)程見(jiàn)解析.【詳解】(1)因?yàn)?所以,雙曲線的漸近線方程為：,由題意可知：而,所以,因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；(2)因?yàn)橹本€的斜率為,所以與直線垂直的直線的斜率為,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為：,則有.當(dāng)時(shí),所以且,解得或此時(shí)存在2個(gè)點(diǎn)；當(dāng)時(shí),所以且,,解得或,此時(shí)存在2個(gè)點(diǎn)；當(dāng)時(shí),此時(shí)點(diǎn)是以線段為直徑圓上,圓的方程為：,與雙曲線方程聯(lián)立,無(wú)實(shí)數(shù)解,綜上所述：點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為4個(gè)；(3)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,.因?yàn)槿c(diǎn)共線,所以直線的斜率相等,即因?yàn)槿c(diǎn)共線,所以直線的斜率相等,即,所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為：,所以以為直徑的圓的方程為：,即令或,因此該圓恒過(guò)兩點(diǎn).【變式3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在①C的漸近線方程為

②C的離心率為這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，填在題中的橫線上，并解答．已知雙曲線C的對(duì)稱(chēng)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，點(diǎn)在C上，且______．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知C的右焦點(diǎn)為F，直線PF與C交于另一點(diǎn)Q，不與直線PF重合且過(guò)F的動(dòng)直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，直線PM和QN交于點(diǎn)A，證明：A在定直線上．注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）選①因?yàn)镃的漸近線方程為，所以，故可設(shè)C的方程為，代入點(diǎn)P的坐標(biāo)得，可得，故C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．選②．因?yàn)镃的離心率為，所以，得，故可設(shè)C的方程為，代入點(diǎn)P的坐標(biāo)得，可得，故C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）可知F的坐標(biāo)為，由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，可知點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為，直線l的方程為，聯(lián)立直線和雙曲線方程得，所以，，直線PM：，即，直線QN：，即，消去y，得，整理得，則．因?yàn)?，所以A的橫坐標(biāo)為1．故A在定直線上．題型12雙曲線中的向量問(wèn)題【典例1】（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：（，）的一條漸近線為，且點(diǎn)在C上．(1)求C的方程；(2)設(shè)C的上焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且，求l的斜率．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可知，其漸近線方程為，所以，可得，將代入可得，解得；所以雙曲線C的方程為.（2）由（1）可知，上焦點(diǎn)，設(shè)直線l的斜率為，，則直線l的方程為，聯(lián)立整理得；所以又，即，可得，所以，即，解得；所以直線l的斜率為【典例2】（2023秋·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，存在兩定點(diǎn)，與一動(dòng)點(diǎn)A.已知直線與直線的斜率之積為3.(1)求A的軌跡；(2)記的左、右焦點(diǎn)分別為、.過(guò)定點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn).若、兩點(diǎn)滿足，求的方程.【答案】(1)(2)或.【詳解】（1）設(shè)，由題意，化簡(jiǎn)可得所以A的軌跡為.（2）由題設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線方程為，將其與聯(lián)立有：，消去y得：因交于、兩點(diǎn)，則.設(shè)，則由韋達(dá)定理有：.又，則，，則.又，，解得，則的方程為：或.【變式1】（2023秋·浙江杭州·高二杭州高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎p曲線C：的漸近線方程為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程；(2)若F是雙曲線的右焦點(diǎn)，Q是雙曲線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F，Q的直線l與y軸交于點(diǎn)M，且，求直線l的斜率．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因?yàn)殡p曲線C：的漸近線方程為，所以，又因?yàn)殡p曲線C：過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以雙曲線的方程為；（2）由（1）知：，則，由題意設(shè)直線方程為，令，得，則，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，則，解得，因?yàn)辄c(diǎn)Q在雙曲線上，所以，解得，所以直線l的斜率為.【變式2】（2023秋·安徽滁州·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線：（，）的左頂點(diǎn)為，到的一條漸近線的距離為．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，求的值．【答案】(1)(2)0【詳解】（1）由題意知，的一條漸近線方程為，即，所以到的一條漸近線的距離為，所以，又，解得，所以的方程為．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，易得，或，，所以；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，得，所以，解得，所以，，所以綜上，．A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·四川資陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)殡p曲線，所以，，所以，的離心率，故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.2．（2023·四川成都·?？家荒＃┮阎行脑谠c(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)?，所以，則，所以漸近線方程為.故選：C.3．（2023春·四川成都·高二校聯(lián)考期末）若雙曲線的漸近線方程為，實(shí)軸長(zhǎng)為，且焦點(diǎn)在x軸上，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．或 B．C． D．【答案】C【詳解】由題可得，解得，因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:C.4．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在的右支上，點(diǎn)在直線上，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，，即，由題可知，，得．故選：D.5．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若實(shí)數(shù)使得的直線恰有3條，則（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【詳解】左支內(nèi)最短的焦點(diǎn)弦，又，所以與左、右兩支相交的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)，因?yàn)閷?shí)數(shù)使得的直線恰有3條，根據(jù)雙曲線對(duì)稱(chēng)性可知：其中一條與實(shí)軸垂直，另兩條關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).如圖所示：

所以當(dāng)時(shí)，有3條直線滿足題意.故選：C6．（2023春·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線，點(diǎn)為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，若，則三角形的面積為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，則，而，且，所以，故，故選：D.7．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，，若，則（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】A【詳解】雙曲線，則，，，由可得，設(shè)為右支上一點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，連接、，則四邊形為矩形，所以，設(shè)，，則，，所以.故選：A8．（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，直線分別經(jīng)過(guò)雙曲線的實(shí)軸和虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，，到直線的距離和大于實(shí)軸長(zhǎng)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)直線經(jīng)過(guò)，則直線的方程為，即，則到直線的距離分別為，，故，解得，故離心率，故雙曲線的離心率的取值范圍是.故選：B二、多選題9．（2023·海南·校考模擬預(yù)測(cè)）下列關(guān)于雙曲線說(shuō)法正確的是（

）A．實(shí)軸長(zhǎng)為6 B．與雙曲線有相同的漸近線C．焦點(diǎn)到漸近線距離為4 D．與橢圓有同樣的焦點(diǎn)【答案】ABD【詳解】由題意，雙曲線滿足，即，于是，故A選項(xiàng)正確；雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，故漸近線方程為：，而雙曲線焦點(diǎn)也在軸，故漸近線為，即它們漸近線方程相同，B選項(xiàng)正確；焦點(diǎn)為，不妨取其中一個(gè)焦點(diǎn)和一條漸近線，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，焦點(diǎn)到漸近線距離為：，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；橢圓的焦點(diǎn)為，根據(jù)C選項(xiàng)可知，橢圓和雙曲線焦點(diǎn)一樣，D選項(xiàng)正確.故選：ABD10．（2023秋·廣東梅州·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的方程可以是（

）A． B．C． D．【答案】BC【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，的漸近線方程為，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，的漸近線方程為，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，的漸近線方程為，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，的漸近線方程為，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題11．（2023春·上海靜安·高二統(tǒng)考期末）若雙曲線的漸近線方程為，且過(guò)點(diǎn)，則的焦距為.【答案】【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程是，故可設(shè)雙曲線的方程為：，把點(diǎn)代入雙曲線方程可得，所以雙曲線方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，所以，，，，所以雙曲線的焦距為．故答案為：．12．（2023春·上海徐匯·高二上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┮阎本€和雙曲線，若l與C的右支交于不同的兩點(diǎn)，則t的取值范圍是．【答案】【詳解】由消去y得：，由于l與C的右支交于不同的兩點(diǎn)，則直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為正，且不等，于是，解得，所以t的取值范圍是.故答案為：

四、解答題13．（2023春·新疆塔城·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，已知焦距為8，離心率為2，(1)求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸和虛軸長(zhǎng)及漸近線方程.【答案】(1)(2)答案見(jiàn)詳解【詳解】（1）由題知，，解得，所以，所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）由（1）知，雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，所以雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng)，漸近線方程為，即.14．（2023春·黑龍江雞西·高二雞西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2，右焦點(diǎn)為.(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，，求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由已知，，又，則，所以雙曲線方程為.（2）由，得，則，設(shè)，，則，，所以.15．（2023春·浙江杭州·高二?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的方程為，離心率為2，右頂點(diǎn)為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)的直線與雙曲線的一支交于、兩點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由離心率又,所以，又右頂點(diǎn)為，所以，所以，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)，則由得，因?yàn)橹本€與雙曲線一支交于、兩點(diǎn)，所以