數(shù)列求和8種題型講義高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

數(shù)列求和1、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式：公式一：。公式二：。2、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：。3、常用幾個(gè)數(shù)列的求和公式：。。。4、分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可以分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可。如果通項(xiàng)公式是幾種可求和形式的和與差，那么在求和時(shí)可將通項(xiàng)公式的項(xiàng)分成這幾部分分別求和后，再將結(jié)果進(jìn)行相加。5、裂項(xiàng)相消法求和：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和，這是分解與組合思想在數(shù)列中的具體體現(xiàn)。的表達(dá)式能夠拆成形如的形式（，，…），從而在求和時(shí)可以進(jìn)行相鄰項(xiàng)（或相隔幾項(xiàng)）的相消。從而結(jié)果只存在有限幾項(xiàng)，達(dá)到求和目的。其中通項(xiàng)公式為分式和根式的居多。裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的的方法。常見(jiàn)的方法有：（1）等差型裂項(xiàng)：①。②。③。④。⑤。⑥。⑦。⑧。⑨。⑩。（2）根式型裂項(xiàng)：①。②。③。④。（3）指數(shù)型裂項(xiàng)：①。②。③。④。（4）對(duì)數(shù)型裂項(xiàng)：6、錯(cuò)位相減法求和：通項(xiàng)公式特點(diǎn)：等差×等比，比如，其中代表一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（關(guān)于的一次函數(shù)），代表一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（關(guān)于的指數(shù)型函數(shù)），那么便可以使用錯(cuò)位相減法。這種方法主要用于求的前項(xiàng)和，其中，分別是等差數(shù)列和公比不為1的等比數(shù)列，那么與兩式錯(cuò)位想減就可以求出。7、倒序相加法：這是推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式時(shí)所用方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排序，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到個(gè)。如果一個(gè)數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法求解。8、并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和。【題型1】分組求和法【例1】求數(shù)列112，2【解答】解：令數(shù)列112，214，3則Sn=112+214=n(n+1)1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且4an＝3Sn+2．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝an+log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．2．在數(shù)列{an}中，a1＝﹣1，an（1）求證：數(shù)列{an+3n}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝an+n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．3．在公差為2的等差數(shù)列{an}中，a1+1，a2+2，a3+4成等比數(shù)列．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{an﹣2n}的前n項(xiàng)和Sn．4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1＝1，2Sn+1＝Sn+2．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足bn＝an+1an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和5．已知數(shù)列{an}，Sn是其前n項(xiàng)的和，且滿足3an＝2Sn+n（n∈N*）．（Ⅰ）求證：數(shù)列{an+1（Ⅱ）記Tn＝S1+S2+…+Sn，求Tn的表達(dá)式．【題型2】裂項(xiàng)相消法求和【例1】求11×2【解答】解：11×2+1【例2】裂項(xiàng)相消法：求數(shù)列11+2，12+3【解答】解：設(shè)an=1n+則Sn=＝（2-1）+（3-2=n+11．記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝1，{Snan（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）證明：1a2．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，前n項(xiàng)和Sn滿足an=S（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列{1anan+1}的前n項(xiàng)和為Tn，若對(duì)任意的n∈N*，不等式4Tn＜a3．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}，{bn}滿足：對(duì)任意正整數(shù)n，都有an，bn，an+1成等差數(shù)列，bn，an+1，bn+1成等比數(shù)列，且a1＝10，a2＝15．（Ⅰ）求證：數(shù)列{b（Ⅱ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）設(shè)Sn=1a1+14．已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝4，2a4﹣a5＝7，公比不為﹣1的等比數(shù)列{bn}滿足b3＝4，b4+b5＝8（b1+b2）．（1）求{an}與{bn}通項(xiàng)公式；（2）設(shè)cn=3anan+1+5．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且2S（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn=2?3nan+1an+2【題型3】錯(cuò)位相減法求和【例1】求和：Sn【解答】解：因?yàn)镾n所以12兩式相減得：12則Sn1．設(shè){an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn=nan3，已知a1，3a2（1）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）記Sn和Tn分別為{an}和{bn}的前n項(xiàng)和．證明：Tn＜S2．設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，a1為a2，a3的等差中項(xiàng)．（1）求{an}的公比；（2）若a1＝1，求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和．3．已知數(shù)列{an}中，a2＝1，設(shè)Sn為{an}前n項(xiàng)和，2Sn＝nan．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{an+12n}4．已知數(shù)列{an}滿足an+2＝qan（q為實(shí)數(shù)，且q≠1），n∈N*，a1＝1，a2＝2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差數(shù)列（1）求q的值和{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=log2a2na2n-1，n∈N*5．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1，a3，a2+10成等差數(shù)列，S3﹣a2＝10．（Ⅰ）求an與Sn；（Ⅱ）設(shè)bn＝log2（Sn+2）?an，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和記為Tn，求Tn．【題型4】分組求和之奇偶項(xiàng)1．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1=（1）記bn＝a2n，寫出b1，b2，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）求{an}的前20項(xiàng)和．2．已知數(shù)列{an}滿足an＞0，an+12=anan+1+2an2，且3a1，a（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn=an，n為奇數(shù)log12an，n為偶數(shù)3．已知等比數(shù)列{an}的公比q＞1，滿足：S3＝13，a42＝3a6．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=an，n為奇數(shù)bn-1+n，n為偶數(shù)，求數(shù)列{bn}的前24．已知數(shù)列{an}滿足a1+3a2+?+（2n﹣1）an＝n．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）已知cn=119a5．已知{an}為等差數(shù)列，bn=an-6，n為奇數(shù)2an，n為偶數(shù)，記Sn，Tn為{an}，{bn}的前n（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)n＞5時(shí)，Tn＞Sn．【題型5】分組求和之并項(xiàng)法1．已知公差大于0的等差數(shù)列{an}滿足1a1a2+（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn＝（﹣1）nanan+1，求數(shù)列{bn}的前20項(xiàng)和S20．2．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，a1＝1，an＞0，anan+1＝4Sn﹣1．（1）計(jì)算a2的值，求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝（﹣1）nanan+1，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n．3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝2an﹣n2+2n+2，n∈N*．（1）證明：數(shù)列{an﹣n2+1}為等比數(shù)列．（2）設(shè)bn＝（﹣1）nan，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和S2n．4．已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，且an，Sn（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）已知bn=(-1)nan，求數(shù)列{bn5．已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，Sn=a（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=2an+（﹣1）nan2，求數(shù)列{bn．【題型6】逆序相加法求和1．已知函數(shù)f(x)=12x2+12x，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)（n，Sn）（n∈N（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求g（x）+g（1﹣x）的值；（3）令bn=g(an2021)（n∈N*），求數(shù)列{2．設(shè)函數(shù)f（x）＝1+ln1-xx，設(shè)a1＝1，a（1）計(jì)算f（x）+f（1﹣x）的值．（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．3．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)f(x)=12+log2x1-x的圖象上的任意兩點(diǎn)．M（1）求M的縱坐標(biāo)．（2）設(shè)Sn=f(1n+1)+f(2n+1)+?+f(n4．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)f（x）＝1+log2x1-x的圖象上任意兩點(diǎn)，且OM→=12（OA（1）求證：M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值；（2）若Sn＝f（1n）+f（2n）+…+f（n-1n），n∈N*，且n≥2，求5．已知函數(shù)f（x），對(duì)任意x∈R，都有f（x）+f（1﹣x）＝2023．（1）求f(1（2）數(shù)列{an}滿足：an=f(0)+f(1n)+f(2n)+?+f(【題型7】含絕對(duì)值的數(shù)列求和1．在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，且a1，2a2+2，5a3成等比數(shù)列．（Ⅰ）求d，an；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|．2．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a2＝11，S10＝40．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn．3．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a2+a8＝0，log2a6＝1．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn；（2）求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn．4．Sn表示等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，且S4＝S9，a1＝﹣12（1）求數(shù)列的通項(xiàng)an及Sn；（2）求和Tn＝|a1|+|a2|+…+|an|5．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝33n﹣n2．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）問(wèn){an}的前多少項(xiàng)和最大；（3）設(shè)bn＝|an|，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn′．【題型8】放縮法1．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝2，an+1＝3an﹣2，n∈N*．（l）設(shè)bn＝an﹣1，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)Tn＝log3a1+log3a2+…+log3an，（n∈N*），求證：Tn2．已知Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積，且a1=12，Sn為數(shù)列{Tn}的前n項(xiàng)和，滿足Tn+2SnSn﹣1＝0（n∈N（1）求證：數(shù)列{1（2）求{an}的通項(xiàng)公式；（3）求證：S13．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，3a（1）證明：數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn；（2）設(shè)bn＝log3（an+1+1），證明：1b4．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn滿足2Sn=an+1（1）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有1a5．已知數(shù)列{an}單調(diào)遞增且a1＞2，前n項(xiàng)和Sn滿足4Sn＝an2+4n﹣1，數(shù)列{bn}滿足bn+12bn=bn+2，且a1+a2＝b3（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；（2）若cn=1anbn，求證：c1+c2+c當(dāng)堂檢測(cè)一．解答題（共12小題）1．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an+1＝（1+1n）an（1）設(shè)bn=ann，求數(shù)列{（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．2．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=3（1）求證：數(shù)列{1（2）若1a1+3．已知數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1+a3＝2q+1，S3＝3a2+1．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足bn=an+1-an，n為奇數(shù)3an44．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=45，且滿足（1）求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；（2）若1a1+5．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝3an+1．（Ⅰ）證明{an+12}是等比數(shù)列，并求{a（Ⅱ）證明：1a6．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an+1=2（1）證明：數(shù)列{1（2）令bn=1a1a2?an，證明：b12+7．已知{an}是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*），且1a1-1（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)任意的n∈N*，bn是log2an和log2an+1的等差中項(xiàng)，求數(shù)列{（﹣1）nbn2}的前2n項(xiàng)和．8．已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n項(xiàng)和為Sn．（1）求an及Sn；（2）令bn=1an2-1（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前9．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*），﹣2S2，S3，4S4成等差數(shù)列，且a2+2a3+a4=1（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn＝﹣（n+2）log2|an|，求數(shù)列{1bn}的前n10．已知等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn（n∈N+），數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，a1＝3，b1＝1，b2+S2＝10，a5﹣2b2＝a3．（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）若cn=2Sn，n為奇數(shù)2anbn，n為偶數(shù)11．在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=ancan（1）證明數(shù)列{1an}（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=(4n2+1)anan+1，其前n12．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=32，2Sn＝（n+1）an+1（（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn=1(an+1)2（n∈N*），數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：Tn課后作業(yè)一．解答題（共28小題）1．已知數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且a1＝1，an+1=-23S（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）若cn＝an+1Tn，設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Rn，證明：2．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=3an-1，若數(shù)列{c3．記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Tn，且a1＝1，an＝Tn﹣1（n≥2）．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)任意n∈N*，m≥1a14．已知數(shù)列{an}（n∈N*）滿足a1（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若bn＝an?cosnπ，求數(shù)列{bn}前2n項(xiàng)和T2n．5．已知數(shù)列{an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4成等差數(shù)列．?dāng)?shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，?n∈N*滿足Tn+1n+1-T（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）令cn=2bn?bn+2，n為奇數(shù)6．已知等比數(shù)列{an}的公比q＞0，且滿足a1+a2＝6a3，a4＝4a32，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=n(n+1)2，n∈（Ⅰ）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)cn=3bn+8bnbn+2?7．已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，且an+1（1）求證：數(shù)列{1（2）記bn=(-1)n+1(2-an-a8．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝3，an+1-an2=2a（Ⅰ）求證：{bn}是等比數(shù)列；（Ⅱ）若cn=nbn+1，{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，求滿足T9．已知數(shù)列{an}滿足a1=23，且2an+1﹣an+1an＝1，n（1）證明：數(shù)列{11-an（2）記Tn＝a1a2a3…an，n∈N*，Sn=T10．已知等比數(shù)列{an}的公比大于1，a2＝6，a1+a3＝20．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn＝an+1log3an+12log11．已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若4a2，2a3，a4成等差數(shù)列，且S4＝8a2﹣2．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn=an(an+2)(an+1+2)12．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2an﹣4．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{nSn}的前n項(xiàng)和Tn．13．已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，且3a1，a3，5a2成等差數(shù)列，S4+5＝5a3．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝an?log3an+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．14．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=2，an＞0，an+1?（Sn+1+Sn（1）求Sn；（2）求1S15．已知遞增等差數(shù)列{an}滿足a1+a5＝10，a2?a4＝21，數(shù)列{bn}滿足2log2bn＝an﹣1，n∈N*．（Ⅰ）求{bn}的前n項(xiàng)和Sn；（Ⅱ）若Tn＝nb1+（n﹣1）b2+……+bn，求數(shù)列{Tn}的通項(xiàng)公式．16．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝2，（n﹣2）Sn+1+2an+1＝nSn，n∈N*．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求證：1a17．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，2nSn+1﹣2（n+1）Sn＝n（n+1）．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；（2）設(shè)bn=an+22n+2?Sn，求數(shù)列{b18．在數(shù)列{an}中，a1=49，（3n+9）?（n+1）2an+1＝（n+2）3a（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，證明：Sn＜519．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn（1）求證數(shù)列{an﹣2}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an．（2）若數(shù)列{2n+1anan+1}20．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足3an-2Sn=2(n∈N*)，{bn}是公差不為0的等差數(shù)列，b1＝1，（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意的正整數(shù)n，設(shè)cn=an，n為偶數(shù)bn+2，n為奇數(shù)，求數(shù)列{c21．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an+2＝2Sn，n∈N*，a1＝1，a2＝0．（1）證明：數(shù)列{an+1+an}是等比數(shù)列；（2）證明：1S22．已知數(shù)列{an}滿足a1=32，an＝2-1an-1，n≥2，（Ⅰ）證明：數(shù)列{1an-1（Ⅱ）若cn=ann?2n，記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn23．在等差數(shù)列{an}中，已知公差d＝2，a2是a1與a4的等比中項(xiàng)．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn=an(n+1)2，記Tn＝﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+（﹣1）nbn，求24．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝2n+1﹣1（n∈N*）．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn=2n+1(an-1)(an+1-1)，Tn是{25．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和為Sn，3S（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=an+13(an+2)(26．已知數(shù)列{an}滿足a1（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)cn=4n2anan+127．設(shè)數(shù)列{an}滿足an＝3an﹣1+2（n≥2），且a1＝2，bn＝log3（an+1）．（1）證明：數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列；（2）設(shè)cn=n+22nbnb28．在等比數(shù)列{an}中，a7＝8a4，且14a2，a3﹣5，（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若bn=1nlog2an數(shù)列求和1、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式：公式一：。公式二：。2、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：。3、常用幾個(gè)數(shù)列的求和公式：。。。4、分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可以分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可。如果通項(xiàng)公式是幾種可求和形式的和與差，那么在求和時(shí)可將通項(xiàng)公式的項(xiàng)分成這幾部分分別求和后，再將結(jié)果進(jìn)行相加。5、裂項(xiàng)相消法求和：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和，這是分解與組合思想在數(shù)列中的具體體現(xiàn)。的表達(dá)式能夠拆成形如的形式（，，…），從而在求和時(shí)可以進(jìn)行相鄰項(xiàng)（或相隔幾項(xiàng)）的相消。從而結(jié)果只存在有限幾項(xiàng)，達(dá)到求和目的。其中通項(xiàng)公式為分式和根式的居多。裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的的方法。常見(jiàn)的方法有：（1）等差型裂項(xiàng)：①。②。③。④。⑤。⑥。⑦。⑧。⑨。⑩。（2）根式型裂項(xiàng)：①。②。③。④。（3）指數(shù)型裂項(xiàng)：①。②。③。④。（4）對(duì)數(shù)型裂項(xiàng)：6、錯(cuò)位相減法求和：通項(xiàng)公式特點(diǎn)：等差×等比，比如，其中代表一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（關(guān)于的一次函數(shù)），代表一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（關(guān)于的指數(shù)型函數(shù)），那么便可以使用錯(cuò)位相減法。這種方法主要用于求的前項(xiàng)和，其中，分別是等差數(shù)列和公比不為1的等比數(shù)列，那么與兩式錯(cuò)位想減就可以求出。7、倒序相加法：這是推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式時(shí)所用方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排序，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到個(gè)。如果一個(gè)數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法求解。8、并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和。【題型1】分組求和法【例1】求數(shù)列112，2【解答】解：令數(shù)列112，214，3則Sn=112+214=n(n+1)1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且4an＝3Sn+2．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝an+log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【解答】解：（1）∵4an＝3Sn+2，∴n≥2時(shí)，4an﹣1＝3Sn﹣1+2，∴4an﹣4an﹣1＝3an，化為：an＝4an﹣1，n＝1時(shí)，4a1＝3a1+2，解得a1＝2，∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，∴an＝2×4n﹣1＝22n﹣1．（2）設(shè)bn＝an+log2an＝22n﹣1+（2n﹣1），∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝2+23+……+22n﹣1+（1+3+……+2n﹣1）=2(4n-1)4-12．在數(shù)列{an}中，a1＝﹣1，an（1）求證：數(shù)列{an+3n}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝an+n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【解答】解：（1）證明：∵an∴當(dāng)n≥2時(shí)，an∴數(shù)列{an+3n}是首項(xiàng)為a1+3＝2，公比為2的等比數(shù)列，∴an+3n=2（2）由（1）得an=2n-3n，則bn＝an+n∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn3．在公差為2的等差數(shù)列{an}中，a1+1，a2+2，a3+4成等比數(shù)列．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{an﹣2n}的前n項(xiàng)和Sn．【解答】解：（1）由題意，數(shù)列{an}的公差為2，則a2＝a1+2，a3＝a1+4．∵a1+1，a2+2，a3+4成等比數(shù)列，∴（a1+1）（a1+8）＝（a1+4）2，解得a1＝8．∴{an}的通項(xiàng)公式為an＝8+2（n﹣1）＝2n+6，n∈N*．（2）由（1）知，an﹣2n＝2n+6﹣2n，故Sn＝（a1﹣21）+（a2﹣22）+…+（an﹣2n）＝（a1+a2+…+an）﹣（21+22+…+2n）＝[8+10+…+（2n+6）]-=n(8+2n+6)2-2-2n+11-2＝n（n+7）﹣（2n+1﹣2）＝n4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1＝1，2Sn+1＝Sn+2．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足bn＝an+1an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和【解答】解：（1）由2Sn+1＝Sn+2，知2（Sn+1﹣2）＝Sn﹣2，即Sn+1又S1﹣2＝a1﹣2＝1﹣2＝﹣1，所以數(shù)列{Sn﹣2}是首項(xiàng)為﹣1，公比為12所以Sn﹣2＝﹣1?(12)n-1=-1當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2-12n-1-2+所以an=1（2）bn＝an+1an=2所以Tn＝20+21+…+2n﹣1+120+5．已知數(shù)列{an}，Sn是其前n項(xiàng)的和，且滿足3an＝2Sn+n（n∈N*）．（Ⅰ）求證：數(shù)列{an+1（Ⅱ）記Tn＝S1+S2+…+Sn，求Tn的表達(dá)式．【解答】（Ⅰ）證明：∵3an＝2Sn+n，∴3an﹣1＝2Sn﹣1+n﹣1（n≥2），兩式相減得：3（an﹣an﹣1）＝2an+1（n≥2），∴an＝3an﹣1+1（n≥2），∴an+12=3（an﹣1+12∴數(shù)列{an+12}是以（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得an+12=32?3n∴an=12?3n-1∴Sn=12[（3+32+…+3n）﹣n]=12（3(1∴Tn＝S1+S2+…+Sn=14（32+33+…+3n+3n+1）-3n=14?=3【題型2】裂項(xiàng)相消法求和【例1】求11×2【解答】解：11×2+1【例2】裂項(xiàng)相消法：求數(shù)列11+2，12+3【解答】解：設(shè)an=1n+則Sn=＝（2-1）+（3-2=n+11．記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝1，{Snan（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）證明：1a【解答】解：（1）已知a1＝1，{Snan所以Snan=1+1故當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=1①﹣②得：13an=13nan-13na化簡(jiǎn)得：anan-1=n+1n-1，所以ana1=n(n+1)證明：（2）由于an所以1a所以1a2．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，前n項(xiàng)和Sn滿足an=S（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列{1anan+1}的前n項(xiàng)和為Tn，若對(duì)任意的n∈N*，不等式4Tn＜a【解答】解：（1）由an=S則Sn﹣Sn﹣1=Sn+又a1＝1，則S1即數(shù)列{Sn即Sn=1+（n﹣1）×1＝n，即當(dāng)n≥2時(shí)，an＝n+（n﹣1）＝2又a1＝1，滿足上式，即an＝2n﹣1；（2）由（1）得1a則Tn=1即4Tn＝2（1-1又對(duì)任意的n∈N*，不等式4Tn＜a2﹣a恒成立，則a2﹣a≥2，則a≤﹣1或a≥2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．3．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}，{bn}滿足：對(duì)任意正整數(shù)n，都有an，bn，an+1成等差數(shù)列，bn，an+1，bn+1成等比數(shù)列，且a1＝10，a2＝15．（Ⅰ）求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{an}，{（Ⅲ）設(shè)Sn=1a1+1【解答】解：（Ⅰ）由已知，得2bn＝an+an+1①，an+12＝bn?bn+1②．由②得an+1=將③代入①得，對(duì)任意n≥2，n∈N*，有2b即2bn=（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d，由a1＝10，a2∴b1∴bn=522（Ⅲ）由（1）得1a∴Sn不等式2aSn＜2-bnan化為4a(14-設(shè)f（n）＝（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8，則f（n）＜0對(duì)任意正整數(shù)n恒成立．當(dāng)a﹣1＞0，即a＞1時(shí)，不滿足條件；當(dāng)a﹣1＝0，即a＝1時(shí)，滿足條件；當(dāng)a﹣1＜0，即a＜1時(shí)，f（n）的對(duì)稱軸為x=-3(a-2)2(a-1)＜0，f（n因此，只需f（1）＝4a﹣15＜0．解得a＜154，∴a＜1．綜上，4．已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝4，2a4﹣a5＝7，公比不為﹣1的等比數(shù)列{bn}滿足b3＝4，b4+b5＝8（b1+b2）．（1）求{an}與{bn}通項(xiàng)公式；（2）設(shè)cn=3anan+1+【解答】解：（1）設(shè){an}的公差為d，因?yàn)閍2＝4，2a4﹣a5＝7，所以2（4+2d）﹣（4+3d）＝7，解得d＝3，從而a1＝1，所以an設(shè){bn}的公比為q，因?yàn)閎4+b5＝8（b1+b2），所以b4+b因?yàn)閎3＝4，所以b1=422=1，所以b（2）由上可知：cn=3所以Sn所以Sn=(1-13n+1)+1-5．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且2S（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn=2?3nan+1an+2【解答】解：（1）∵2Sn∴當(dāng)n＝1時(shí)，2S1＝2a1＝3﹣2﹣1＝0，解得a1＝0，當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn-1由①﹣②得2a則an又a1＝0，符合上式，故an（2）由（1）得an=3∴bn則Tn＝b1+b2+?+bn=1=1【題型3】錯(cuò)位相減法求和【例1】求和：Sn【解答】解：因?yàn)镾n所以12兩式相減得：12則Sn1．設(shè){an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn=nan3，已知a1，3a2（1）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）記Sn和Tn分別為{an}和{bn}的前n項(xiàng)和．證明：Tn＜S【解答】解：（1）∵a1，3a2，9a3成等差數(shù)列，∴6a2＝a1+9a3，∵{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則6q＝1+9q2，∴q=13，∴an＝a1qn﹣1∴bn=nan3（2）證明：由（1）知an=(13)n-1，bn＝∴SnTn=1×(∴13T①﹣②得，23∴Tn∴Tn∴Tn＜S2．設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，a1為a2，a3的等差中項(xiàng)．（1）求{an}的公比；（2）若a1＝1，求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和．【解答】解：（1）設(shè){an}是公比q不為1的等比數(shù)列，a1為a2，a3的等差中項(xiàng)，可得2a1＝a2+a3，即2a1＝a1q+a1q2，即為q2+q﹣2＝0，解得q＝﹣2（1舍去），所以{an}的公比為﹣2；（2）若a1＝1，則an＝（﹣2）n﹣1，nan＝n?（﹣2）n﹣1，則數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和為Sn＝1?1+2?（﹣2）+3?（﹣2）2+…+n?（﹣2）n﹣1，﹣2Sn＝1?（﹣2）+2?（﹣2）2+3?（﹣2）3+…+n?（﹣2）n，兩式相減可得3Sn＝1+（﹣2）+（﹣2）2+（﹣2）3+…+（﹣2）n﹣1﹣n?（﹣2）n=1-(-2)n1-(-2)-n?（﹣2）n所以數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和為1-(1+3n)?(-2)3．已知數(shù)列{an}中，a2＝1，設(shè)Sn為{an}前n項(xiàng)和，2Sn＝nan．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{an+12n}【解答】解：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，2S1＝a1，解得a1＝0，當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn﹣1＝（n﹣1）an﹣1，∴2an＝nan﹣（n﹣1）an﹣1，∴（n﹣1）an﹣1＝（n﹣2）an，當(dāng)n≥3時(shí)，可得an∴an=anan-1×an-1an-2×當(dāng)n＝2或n＝1時(shí)，a1＝0，a2＝1適合上式，∴{an}的通項(xiàng)公式為an＝n﹣1；（2）由（1）可得an∴Tn=12+222+323∴12Tn=12+122+124．已知數(shù)列{an}滿足an+2＝qan（q為實(shí)數(shù)，且q≠1），n∈N*，a1＝1，a2＝2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差數(shù)列（1）求q的值和{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=log2a2na2n-1，n∈N*【解答】解：（1）∵an+2＝qan（q為實(shí)數(shù)，且q≠1），n∈N*，a1＝1，a2＝2，∴a3＝q，a5＝q2，a4＝2q，又∵a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差數(shù)列，∴2×3q＝2+3q+q2，即q2﹣3q+2＝0，解得q＝2或q＝1（舍），∴an=2（2）由（1）知bn=log2a2na2n-1記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則Tn＝1+2?12+3?122+4?123+?+∴2Tn＝2+2+3?12+4?122+5?123+?+兩式相減，得Tn＝3+12+＝3+12[1-(12)n-2]1-12-n5．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1，a3，a2+10成等差數(shù)列，S3﹣a2＝10．（Ⅰ）求an與Sn；（Ⅱ）設(shè)bn＝log2（Sn+2）?an，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和記為Tn，求Tn．【解答】【名師指導(dǎo)】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查運(yùn)算求解能力及推理論證能力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素養(yǎng)．解：（Ⅰ）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q（q＞0），由a1解得a1＝q＝2，所以an=2（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn所以Tn=2×2+3×22+4×①﹣②得-Tn=22所以Tn【題型4】分組求和之奇偶項(xiàng)1．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1=（1）記bn＝a2n，寫出b1，b2，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）求{an}的前20項(xiàng)和．【解答】解：（1）因?yàn)閍1＝1，an+1=a所以a2＝a1+1＝2，a3＝a2+2＝4，a4＝a3+1＝5，所以b1＝a2＝2，b2＝a4＝5，bn﹣bn﹣1＝a2n﹣a2n﹣2＝a2n﹣a2n﹣1+a2n﹣1﹣a2n﹣2＝1+2＝3，n≥2，所以數(shù)列{bn}是以b1＝2為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，所以bn＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1．另解：由題意可得a2n+1＝a2n﹣1+3，a2n+2＝a2n+3，其中a1＝1，a2＝a1+1＝2，于是bn＝a2n＝3（n﹣1）+2＝3n﹣1，n∈N*．（2）由（1）可得a2n＝3n﹣1，n∈N*，則a2n﹣1＝a2n﹣2+2＝3（n﹣1）﹣1+2＝3n﹣2，n≥2，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1也適合上式，所以a2n﹣1＝3n﹣2，n∈N*，所以數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為等差數(shù)列，則{an}的前20項(xiàng)和為a1+a2+...+a20＝（a1+a3+…+a19）+（a2+a4+…+a20）＝10+10×92×2．已知數(shù)列{an}滿足an＞0，an+12=anan+1+2an2，且3a1，a（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn=an，n為奇數(shù)log12an，n為偶數(shù)【解答】解：（1）∵an+12=anan+1+2an2，∴（an+1∵an＞0，∴an+1+an＞0，∴an+1﹣2an＝0，即an+1an=2又3a1，a2+3，a3成等差數(shù)列，∴3a1+a3＝2（a2+3），即3a1+a1?22＝2（a1?2+3），解得a1＝2，∴an（2）由（1）可知an∴bn=a∴T2n＝b1+b2+b3+?+b2n＝（b1+b3+?+b2n﹣1）+（b2+b4+?+b2n）＝（21+23+?+22n﹣1）﹣（2+4+?+2n）=2-3．已知等比數(shù)列{an}的公比q＞1，滿足：S3＝13，a42＝3a6．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=an，n為奇數(shù)bn-1+n，n為偶數(shù)，求數(shù)列{bn}的前2【解答】解：（1）由題意，可知S3＝a1+a2+a3＝a1（1+q+q2）＝13，①∵a42＝3a6，∴（a1q3）2＝3a1q5，整理，得a1q＝3，②①②，可得q2+q+1q=13解得q=13，或∵q＞1，∴q＝3，∴a1=3q=1，∴an＝1?3n﹣1＝3n﹣1，n（2）由題意及（1），可知：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，bn當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，bn＝bn﹣1+n＝an﹣1+n＝3n﹣2+n，故bn=3∴S2n＝b1+b2+b3+b4+?+b2n﹣1+b2n＝（b1+b3+b5+?+b2n﹣1）+（b2+b4+?+b2n）＝（30+32+34+?+32n﹣2）+（30+32+34+?+32n﹣2+2+4+6+?+2n）＝2（30+32+34+?+32n﹣2）+（2+4+6+?+2n）=2×1-=94．已知數(shù)列{an}滿足a1+3a2+?+（2n﹣1）an＝n．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）已知cn=119a【解答】解：（1）∵a1+3a2+?+（2n﹣1）an＝n，∴n≥2時(shí)，a1+3a2+?+（2n﹣3）an﹣1＝n﹣1，相減可得：（2n﹣1）an＝1，∴an=12n-1，n＝1時(shí)，a1＝1，滿足上式，∴an（2）∵cn=119an，n為奇數(shù)anan為偶數(shù)時(shí)，cn=1(2n-1)(2n+3)=∴數(shù)列{cn}的前20項(xiàng)和為119（1+5+…+37）+14[（13-=119×10×(1+37)2+14（5．已知{an}為等差數(shù)列，bn=an-6，n為奇數(shù)2an，n為偶數(shù)，記Sn，Tn為{an}，{bn}的前n（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)n＞5時(shí)，Tn＞Sn．【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，Sn，Tn為{an}{bn}的前n項(xiàng)和，S4＝32，T3＝16，則a1+a2+故an＝5+2（n﹣1）＝2n+3；（2）證明：由（1）可知，bnSn當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，n＞5，Tn＝﹣1+3+???+2（n﹣1）﹣3+14+22+???+4n+6=nTn當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n＞5，Tn＝Tn﹣1+bn=(n-1)(3n+4)Tn﹣Sn=n故原式得證．【題型5】分組求和之并項(xiàng)法1．已知公差大于0的等差數(shù)列{an}滿足1a1a2+（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn＝（﹣1）nanan+1，求數(shù)列{bn}的前20項(xiàng)和S20．【解答】解：（1）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由于1a當(dāng)n＝1時(shí)，1a1a2=1當(dāng)n＝2時(shí)，1a1a2+1所以a1(a1故an＝n+1；（2）由（1）得：bn＝（﹣1）nanan+1＝（﹣1）n?（n+1）（n+2），故b2n﹣1+b2n＝﹣（2n+1）?2n+（2n+2）?（2n+1）＝4n+2，所以S2n故S20＝2×100+20+20＝240．2．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，a1＝1，an＞0，anan+1＝4Sn﹣1．（1）計(jì)算a2的值，求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝（﹣1）nanan+1，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n．【解答】解：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，a1a2＝4a1﹣1，a1＝1，解得a2＝3．由anan+1＝4Sn﹣1，可得an+1an+2＝4Sn+1﹣1，相減可得：an+1（an+2﹣an）＝4an+1＞0，化為an+2﹣an＝4，可得數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別為公差為4的等差數(shù)列，而a2﹣a1＝3﹣1＝2，說(shuō)明數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．（2）bn＝（﹣1）nanan+1＝（﹣1）n（2n﹣1）（2n+1），∴b2n﹣1+b2n＝﹣（4n﹣3）（4n﹣1）+（4n﹣1）（4n+1）＝4（4n﹣1），∴數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n＝4[3+7+…+（4n﹣1）]＝4×n(3+4n-1)2=8n23．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝2an﹣n2+2n+2，n∈N*．（1）證明：數(shù)列{an﹣n2+1}為等比數(shù)列．（2）設(shè)bn＝（﹣1）nan，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和S2n．【解答】（1）證明：（法一）由an+1=2a又a1-1（法二）a1＝1，可知：a1又an+1=2a∴{a（2）解：由（1）知：an-nbnb2n-1=-a∴S4．已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，且an，Sn（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）已知bn=(-1)nan，求數(shù)列{bn【解答】解：（1）由an，Sn，an﹣2成等差數(shù)列，得2S當(dāng)n＝1時(shí)，2a1=a1+a當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn-1①﹣②得，2a∴an又an+an-1≠0∴an=2+n-1=n+1，故（2）由（1）知bn當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，T＝（3﹣2）（3+2）+（5﹣4）（5+4）+（7﹣6）（7+6）+?+[n﹣（n﹣1）]（n+n﹣1）﹣（n+1）2=5+9+13+?+(2n-1)-(n+1)2=5+2n-1當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，T＝（3﹣2）（3+2）+（5﹣4）（5+4）+（7﹣6）（7+6）+?+[（n+1）﹣n]（n+n+1）=5+9+13+?+(2n+1)=5+2n+12×5．已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，Sn=a（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=2an+（﹣1）nan2，求數(shù)列{bn【解答】解：（1）數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，Sn=an2當(dāng)n＝1時(shí)，解得a1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=a①﹣②得：an﹣an﹣1＝1（常數(shù)），所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；所以an＝n．（2）由（1）得：bn當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，故Tn當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn=(21+22+...+故Tn【題型6】逆序相加法求和1．已知函數(shù)f(x)=12x2+12x，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)（n，Sn）（n∈N（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求g（x）+g（1﹣x）的值；（3）令bn=g(an2021)（n∈N*），求數(shù)列{【解答】解：（1）由題意知，Sn=12n2+12n，當(dāng)n＝1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣1=12（n﹣1）2+1兩式相減得，an＝（12n2+12n）﹣[12（n﹣1）2+12（n﹣1）]＝n（n（2）g（x）+g（1﹣x）=4（3）由（2）知，g（x）+g（1﹣x）＝1，所以T2020＝g（12021）+g（22021）+……+g（19992021）+g＝[g（12021）+g（20202021）]+[g（22021）+g（20202021）]+……+[g（10102021）+g2．設(shè)函數(shù)f（x）＝1+ln1-xx，設(shè)a1＝1，a（1）計(jì)算f（x）+f（1﹣x）的值．（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．【解答】解：（1）f（x）＝1+ln1-xx，則f（x）+f（1﹣x）＝1+ln1-xx+1+lnx（2）n≥2時(shí)，an＝f（1n）+f（2n）+...+f（n-1an＝f（n-1n）+f（n-2n）+...+f（1①+②可得2an＝[f（1n）+f（n-1n）]+[f（2n）+f（n-2n）]+...+[f（n-1n＝2+2+...＝2＝2（n﹣1），即an＝n﹣1，所以an=1，n=13．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)f(x)=12+log2x1-x的圖象上的任意兩點(diǎn)．M（1）求M的縱坐標(biāo)．（2）設(shè)Sn=f(1n+1)+f(2n+1)+?+f(n【解答】（1）解：∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，M的橫坐標(biāo)為12，∴x1+x2f(x=1+log∴M的縱坐標(biāo)為12（2）解：由（1）知，當(dāng)x1+x2＝1時(shí)，f（x1）+f（x2）＝1，SnSn兩式子相加得：2S∴Sn4．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)f（x）＝1+log2x1-x的圖象上任意兩點(diǎn)，且OM→=12（OA（1）求證：M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值；（2）若Sn＝f（1n）+f（2n）+…+f（n-1n），n∈N*，且n≥2，求【解答】（1）證明：∵OM→=12（OA→+OB∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為12，∴x1+x2∴y1+y2=1+log2x11-（2）解：由（1）知，x1+x2＝1，y1+y2＝1，∵Sn＝f（1n）+f（2n）+…+f（n-1n），∴Sn＝f（n-1n）+…+以上兩式相加得：2Sn＝n﹣1，∴Sn=n-15．已知函數(shù)f（x），對(duì)任意x∈R，都有f（x）+f（1﹣x）＝2023．（1）求f(1（2）數(shù)列{an}滿足：an=f(0)+f(1n)+f(2n)+?+f(【解答】解：（1）依題意，f(12)+f(1-（2）因?yàn)閒（x）+f（1﹣x）＝2023，令x=1n，則an=f(0)+f(又an=f(1)+f(兩式相加得：2a所以an∴an所以Sn=2×2+3×2Sn③﹣④可得，-=2+2(1-2n【題型7】含絕對(duì)值的數(shù)列求和1．在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，且a1，2a2+2，5a3成等比數(shù)列．（Ⅰ）求d，an；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|．【解答】解：（Ⅰ）由題意得5a3?a1=(2a2+2)2，即當(dāng)d＝﹣1時(shí)，an＝a1+（n﹣1）d＝10﹣（n﹣1）＝﹣n+11．當(dāng)d＝4時(shí)，an＝a1+（n﹣1）d＝10+4（n﹣1）＝4n+6．所以an＝﹣n+11或an＝4n+6；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，因?yàn)閐＜0，由（Ⅰ）得d＝﹣1，an＝﹣n+11．則當(dāng)n≤11時(shí)，|a當(dāng)n≥12時(shí)，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|＝﹣Sn+2S11=1綜上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-2．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a2＝11，S10＝40．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn．【解答】解：（1）在等差數(shù)列中，∵a2＝11，S10＝40．∴a1+d=1110得a1＝13，d＝﹣2，則an＝13﹣2（n﹣1）＝﹣2n+15（n∈N?）．（2）|an|＝|﹣2n+15|=-2n+15，即1≤n≤7時(shí)，|an|＝an，當(dāng)n≥8時(shí)，|an|＝﹣an，當(dāng)1≤n≤7時(shí)，數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn＝a1+?+an＝13n+n(n-1)2×(-2)=-n2當(dāng)n≥8時(shí)，數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn＝a1+?+a7﹣?﹣an＝﹣Sn+2（a1+?+a7）＝﹣[13n+n(n-1)2×(-2)]+2×13+123．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a2+a8＝0，log2a6＝1．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn；（2）求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn．【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a2+a8＝0，log2a6＝1，∴2a1+8d＝0，a6＝2＝a1+5d，解得a1＝﹣8，d＝2，∴an＝﹣8+2（n﹣1）＝2n﹣10，Sn=n(-8+2n-10)2=n2（2）由an＝2n﹣10≤0，解得n≤5，∴n≤5時(shí)，數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn＝﹣a1﹣a2﹣…﹣an＝﹣Sn＝9n﹣n2；n≥6時(shí)，數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn＝﹣a1﹣a2﹣…﹣a5+a6+…+an＝﹣2S5+Sn＝n2﹣9n﹣2×（52﹣45）＝n2﹣9n+40．∴Tn=9n-4．Sn表示等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，且S4＝S9，a1＝﹣12（1）求數(shù)列的通項(xiàng)an及Sn；（2）求和Tn＝|a1|+|a2|+…+|an|【解答】解：（1）∵S4＝S9，a1＝﹣12，∴4×（﹣12）+6d＝9×（﹣12）+36d解得d＝2…（3分）∴an（2）當(dāng)n≤6時(shí)，an＜0，|an|＝﹣an，Tn＝﹣（a1+a2+?+an)=-Sn=13n-當(dāng)n≥7時(shí)，an≥0，Tn＝﹣（a1+a2+…+a6）+（a7+?+＝Sn﹣2（a1+a2+…+a6）＝n2﹣13n+84…（14分）5．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝33n﹣n2．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）問(wèn){an}的前多少項(xiàng)和最大；（3）設(shè)bn＝|an|，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn′．【解答】解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1＝34﹣2n，又當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝32＝34﹣2×1，滿足an＝34﹣2n．故{an}的通項(xiàng)公式為an＝34﹣2n．（2）法一：令an≥0，得34﹣2n≥0，所以n≤17，故數(shù)列{an}的前17項(xiàng)大于或等于零．又a17＝0，故數(shù)列{an}的前16項(xiàng)或前17項(xiàng)的和最大．法二：由y＝﹣x2+33x的對(duì)稱軸為x=332．距離由Sn=-n2+33n的圖象可知：當(dāng)當(dāng)n≥18時(shí)，an＜0，故數(shù)列{an}的前16項(xiàng)或前17項(xiàng)的和最大．（3）由（2）知，當(dāng)n≤17時(shí)，an≥0；當(dāng)n≥18時(shí)，an＜0，所以當(dāng)n≤17時(shí)，Sn′=b1+b2+?+bn=|當(dāng)n≥18時(shí)，Sn′=|a1|+|a2|+?+|a17|+|a18|+?+|an|=a1+a2+…+a17﹣（a18+a19+…+an）＝S17﹣（故Sn【題型8】放縮法1．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝2，an+1＝3an﹣2，n∈N*．（l）設(shè)bn＝an﹣1，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)Tn＝log3a1+log3a2+…+log3an，（n∈N*），求證：Tn【解答】（1）解：因?yàn)閍1＝2，an+1＝3an﹣2，所以an+1﹣1＝3（an﹣1），又bn＝an﹣1，所以b1＝a1﹣1＝1，bn+1＝3bn，所以bn+1所以{bn}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以bn（2）證明：由（1）可得an-1=3所以log所以Tn2．已知Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積，且a1=12，Sn為數(shù)列{Tn}的前n項(xiàng)和，滿足Tn+2SnSn﹣1＝0（n∈N（1）求證：數(shù)列{1（2）求{an}的通項(xiàng)公式；（3）求證：S1【解答】（1）證明：∵S1=T∵Tn+2SnSn﹣1＝0，∴Sn﹣Sn﹣1+2SnSn﹣1＝0，∴Sn-1-S而1S1=2≠0（2）解：由（1）知1Sn=2+2(n-1)=2n∴當(dāng)n≥2時(shí)，Tn當(dāng)n≥3時(shí)，an而a1=12，T2+2S∴an（3）證明：∵Sn=12n，∴當(dāng)n≥2時(shí)，1n∴S=13．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，3a（1）證明：數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn；（2）設(shè)bn＝log3（an+1+1），證明：1b【解答】證明：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，3a1＝2S1+2，即a1＝2，由3an＝2Sn+2n，則3an﹣1＝2Sn﹣1+2（n﹣1），n≥2，兩式相減可得3an﹣3an﹣1＝2an+2，即an＝3an﹣1+2，所以an+1＝3（an﹣1+1），即an數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列；則an+1=(2+1)×3則Sn（2）bn所以1b所以1b4．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn滿足2Sn=an+1（1）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有1a【解答】（1）∵2Sn=an+1兩式相減整理得an+1-3a即an+12n當(dāng)n＝1時(shí)，2S1=a2-22+1，且∴b1=a∴b故數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3，公比為32的等比數(shù)列，即b（2）由（1）知bn=an2當(dāng)n≥2時(shí)，(32)n＞2，即3n∴1a當(dāng)n＝1時(shí)，1a綜上可知，對(duì)一切正整數(shù)n，有1a5．已知數(shù)列{an}單調(diào)遞增且a1＞2，前n項(xiàng)和Sn滿足4Sn＝an2+4n﹣1，數(shù)列{bn}滿足bn+12bn=bn+2，且a1+a2＝b3（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；（2）若cn=1anbn，求證：c1+c2+c【解答】解：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，4a1=a12+3，所以a1＝1或a1當(dāng)n≥2時(shí)，4an=4因?yàn)閧an}是單調(diào)遞增的數(shù)列，所以，an≥a1＞2，則an﹣2＝an﹣1，即an﹣an﹣1＝2，所以，{an}是等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)是3，所以，an＝3+2（n﹣1）＝2n+1．由bn+12b所以{bn}是等比數(shù)列，b3＝a1+a2＝8，b2＝a3﹣3＝4，則數(shù)列{bn}的公比為q=b所以，bn（2）證明：當(dāng)n＝1時(shí)，c1當(dāng)n≥2時(shí)，cn所以，c1綜上可知，對(duì)任意的n∈N當(dāng)堂檢測(cè)一．解答題（共12小題）1．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an+1＝（1+1n）an（1）設(shè)bn=ann，求數(shù)列{（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．【解答】解：（1）由已知得b1＝a1＝1，且an+1即bn+1＝bn+12n，從而b2＝bb3＝b2+1bn＝bn﹣1+12n-1于是bn＝b1+12+12又b1＝1，故所求的通項(xiàng)公式為bn＝2-1（2）由（1）知an＝2n-n故Sn＝（2+4+…+2n）﹣（1+2設(shè)Tn＝1+2212Tn=1①﹣②得，12Tn＝1=1-12∴Tn＝4-n+2∴Sn＝n（n+1）+n+22．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=3（1）求證：數(shù)列{1（2）若1a1+【解答】（1）證明：由an+1=3則1an+1-1=13∴數(shù)列{1an-1}是以（2）解：由（1）可得，1a∴1a則1＝2×13(1-1由1a1+即n-1∵y=n-13n為單調(diào)增函數(shù)，∴滿足n-即滿足條件的最大整數(shù)n＝99．3．已知數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1+a3＝2q+1，S3＝3a2+1．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足bn=an+1-an，n為奇數(shù)3an4【解答】解：（1）∵a1+a3＝2q+1，S3＝3a2+1，∴a1+a1q2＝2q+1，a1+a1q2＝2a1q+1，解得a1＝1，q＝2．∴an＝2n﹣1．（2）∵數(shù)列{bn}滿足bn=a∴b2n﹣1＝a2n﹣a2n﹣1＝22n﹣1﹣22n﹣2＝22n﹣2＝4n﹣1；b2n=3∴數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n＝（b1+b3+…+b2n﹣1）+（b2+b4+……+b2n）＝（1+4+42+…+4n﹣1）+（12-1-123-1+14．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=45，且滿足（1）求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；（2）若1a1+【解答】解：（1）證明：∵bn+1bn所以數(shù)列{bn}為首項(xiàng)為b1=1（2）由（1）可得(1即1a∴1a而n+1-(34)要使1a1+1a∴n的最小值為140．5．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝3an+1．（Ⅰ）證明{an+12}是等比數(shù)列，并求{a（Ⅱ）證明：1a【解答】證明（Ⅰ）an+1∵a1∴數(shù)列{an+12}是以首項(xiàng)為∴an+12=（Ⅱ）由（Ⅰ）知1a當(dāng)n≥2時(shí)，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴1a∴當(dāng)n＝1時(shí)，1a當(dāng)n≥2時(shí)，1a1+∴對(duì)n∈N+時(shí)，1a6．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an+1=2（1）證明：數(shù)列{1（2）令bn=1a1a2?an，證明：b12+【解答】證明：（1）因?yàn)閍n+1=2因?yàn)閍1＝2，所以an﹣1≠0，所以1a所以1a又因?yàn)?a1-1（2）由（I）得1an-1所以a1a2所以b=1-1即b17．已知{an}是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*），且1a1-1（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)任意的n∈N*，bn是log2an和log2an+1的等差中項(xiàng)，求數(shù)列{（﹣1）nbn2}的前2n項(xiàng)和．【解答】解：（1）設(shè){an}的公比為q，則1a1-解得q＝2或q＝﹣1．若q＝﹣1，則S6＝0，與S6＝63矛盾，不符合題意．∴q＝2，∴S6=a1(1-26)1-2=63，∴a（2）∵bn是log2an和log2an+1的等差中項(xiàng)，∴bn=12（log2an+log2an+1）=12（log22n﹣1+log22n）＝n-12．∴b∴{bn}是以12設(shè){（﹣1）nbn2}的前2n項(xiàng)和為Tn，則Tn＝（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）＝b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n=b1+b8．已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n項(xiàng)和為Sn．（1）求an及Sn；（2）令bn=1an2-1（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d．∵a3＝7，a5+a7＝26，∴a1+2d=72a1+10d=26∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1，Sn＝3n+n(n-1)2×2＝n2（2）由（1）知an＝2n+1，∴bn=1a=14?（∴Tn=14?（1=14?（1-1即數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=n9．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*），﹣2S2，S3，4S4成等差數(shù)列，且a2+2a3+a4=1（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn＝﹣（n+2）log2|an|，求數(shù)列{1bn}的前n【解答】解：（1）等比數(shù)列{an}的公比為q，q≠1，前n項(xiàng)和為Sn可得2S3＝4S4﹣2S2，即為2?a1(1-q3)化為2q2﹣q﹣1＝0，解得q=-1a2+2a3+a4=116，即為-1解得a1=-12，則an＝（-12）n，（2）bn＝﹣（n+2）log2|an|＝﹣（n+2）log212n=n可得1bn=即有前n項(xiàng)和Tn=12（1=12（1+12-1n+110．已知等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn（n∈N+），數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，a1＝3，b1＝1，b2+S2＝10，a5﹣2b2＝a3．（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）若cn=2Sn，n為奇數(shù)2anbn，n為偶數(shù)【解答】解：（1）設(shè)公差為d的等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn（n∈N+），數(shù)列{bn}是以公比為q的等比數(shù)列，a1＝3，b1＝1，b2+S2＝10，a5﹣2b2＝a3，所以q+3+3+d=103+4d-2q=3+2d，解得d=2故an＝2n+1，bn（2）由（1）得：cn=2所以T2n=(1-13+13-15令Mn=5?24Mn=5?①﹣②得：-3M整理得Mn=(4n+1)?整理得T2n11．在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=ancan（1）證明數(shù)列{1an}（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=(4n2+1)anan+1，其前n【解答】證明：（1）由an+1=a所以數(shù)列{1an因此，1a由a1，a2，a5成等比數(shù)列，得a22=解得c＝2或c＝0（舍去），故an（2）因?yàn)閎n所以Sn因?yàn)?2n+1＞0，所以Sn＜12．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=32，2Sn＝（n+1）an+1（（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn=1(an+1)2（n∈N*），數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：Tn【解答】解：（I）當(dāng)n＝2時(shí)，2（a1+a2）＝3a2+1，解得a2＝2．當(dāng)n≥3時(shí)，2an＝2Sn﹣2Sn﹣1＝（n+1）an﹣nan﹣1，∴（n﹣1）an＝nan﹣1，∴an∴an-1an-2=n-1將以上各式相乘得an∴an＝n．顯然，n＝1時(shí)，上式不成立，當(dāng)n＝2時(shí)，上式成立．∴an=3（II）bn=當(dāng)n≥2時(shí)，bn=1∴Tn=425+（12-13課后作業(yè)一．解答題（共28小題）1．已知數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且a1＝1，an+1=-23S（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）若cn＝an+1Tn，設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Rn，證明：【解答】解：（1）因?yàn)閍n+1=-2由a1＝1，所以a2=-23a1+1當(dāng)n≥2時(shí)，an=-23Sn兩式相減得，an+1﹣an=-23an，即an+1=1易知，a2=13a所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，13所以an＝（13）n﹣1bn=2log13an+3＝2log13（2）證明：由（1）bn＝2n+1，所以Tn=n(3+2n+1)2=n若cn＝an+1Tn=（13）n﹣1+1n(n+2)=（所以Rn=1-(13)n1-13+12[（1-13）+（12-14）+（=32-32×（13）n2．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=3an-1，若數(shù)列{c【解答】解：（1）∵an2+2an兩式相減得：an2+2∵an＞0，∴an＝an﹣1+1（n≥2），當(dāng)n＝1時(shí)，a12+2a1-1=2a∴{an}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則an＝n；（2）證明：由（1）知，bn=3∴c1∵12(3n+1-1)＞03．記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Tn，且a1＝1，an＝Tn﹣1（n≥2）．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)任意n∈N*，m≥1a1【解答】解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Tn﹣1＝Tn﹣Tn﹣1，所以Tn＝2Tn﹣1，所以數(shù)列{Tn}是以2為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以Tn=2又a1＝1不滿足an=2（2）由（1）結(jié)合題意可得，m≥1+2設(shè)Sn則12所以12所以Sn所以m≥7-2?(1又S5+1=7-14．已知數(shù)列{an}（n∈N*）滿足a1（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若bn＝an?cosnπ，求數(shù)列{bn}前2n項(xiàng)和T2n．【解答】解：（Ⅰ）數(shù)列{an}（n∈N*）滿足a12+當(dāng)n＝1時(shí)，a12=1-2+1=0，解得當(dāng)n≥2時(shí)，a12+①﹣②得：an整理得an=2（Ⅱ）由（Ⅰ）得：bn＝an?cosnπ＝（2n﹣2）?cosnπ=2-所以T2n＝﹣21+22﹣23+...﹣22n﹣1+22n，=-2×[1-(-25．已知數(shù)列{an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4成等差數(shù)列．?dāng)?shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，?n∈N*滿足Tn+1n+1-T（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）令cn=2bn?bn+2，n為奇數(shù)【解答】解：（1）由a1+a2+解得a1＝1，q＝2，故an=2可得{Tnn}是首項(xiàng)為1，公差為當(dāng)n≥2時(shí)，bn=T則bn（2）cnQ2n＝（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n）=(1-1設(shè)Tn所以4T-3T所以Tn所以Q2n6．已知等比數(shù)列{an}的公比q＞0，且滿足a1+a2＝6a3，a4＝4a32，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=n(n+1)2，n∈（Ⅰ）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)cn=3bn+8bnbn+2?【解答】解：（Ⅰ）依題意，由a1+a2＝6a3，a4＝4a32，可得a1解得q=12，a1=12，∴an=12?（12）n﹣1＝（1對(duì)于數(shù)列{bn}：當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝S1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝Sn﹣Sn﹣1=n(n+1)2∵當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝1也滿足上式，∴bn＝n，n∈N*．（Ⅱ）由題意及（Ⅰ），可知當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，cn=3bn+8bnbn+2?an+2當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，cn＝an?bn＝n?（12）n，令A(yù)＝c1+c3+…+c2n﹣1，B＝c2+c4+…+c2nA＝c1+c3+…+c2n﹣1=1=11?21B＝c2+c4+c6+…+c2n＝2?（12）2+4?（12）4+6?（12）6+…+2n?（12∴（12）2B＝2?（12）4+4?（12）6+…+（2n﹣2）?（12）2n+2n?（12兩式相減，可得34B＝2?（12）2+2?（12）4+2?（12）6+…+2?（12）2n﹣2n?（1＝（12）1+（12）3+（12）5+…+（12）2n﹣1﹣2n?（12=12-(12)2n+11-(12)2-2n?（12）2n∴B=-3n+49?（12）2n﹣1+89，∴T2n＝c1+c2+…+c2n＝（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+c6＝A+B=12-1(2n+1)?22n+1-3n+49?（12）2n﹣1+7．已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，且an+1（1）求證：數(shù)列{1（2）記bn=(-1)n+1(2-an-a【解答】（1）證明：∵an+1∴1an+1-1∴數(shù)列{1（2）解：由（1）可知數(shù)列{1an∴1an-1=-n，∴∴Tn①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn8．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝3，an+1-an2=2a（Ⅰ）求證：{bn}是等比數(shù)列；（Ⅱ）若cn=nbn+1，{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，求滿足T【解答】（Ⅰ）證明：依題意，由an+1-an2=2an，可得an+1=兩邊同時(shí)加1，可得an+1+1=an2+2an+1＝（a兩邊同時(shí)取以2為底的對(duì)數(shù)，可得log2（an+1+1）＝log2（an+1）2＝2log2（an+1），∵log2（a1+1）＝log2（3+1）＝log24＝2，∴數(shù)列{log2（an+1）}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴l(xiāng)og2（an+1）＝2?2n﹣1＝2n，∴22n=∵2bn=an+1，∴22n=2bn∴∴數(shù)列{bn}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，cn=nbn+1=n2n+1，則Tn＝c1＝（121+1）+（222+1）+（323+1）+???+（n令Mn=121+222+323+可得12Mn=121+122+1∴Mn＝2-n+22n，∴Tn＝（121+222+323+???+n2n∵Tn＜100，∴2+n-n+22n＜100，整理，得n-n+22n＜98，構(gòu)造數(shù)列{h則hn+1＝n+1-n+3∵h(yuǎn)n+1﹣hn＝n+1-n+32n+1-n+n+2∴數(shù)列{hn}是單調(diào)遞增數(shù)列，又∵當(dāng)n＝98時(shí)，h98＝98-98+2當(dāng)n＝99時(shí)，h99＝99-99+2299＞98，∴滿足T9．已知數(shù)列{an}滿足a1=23，且2an+1﹣an+1an＝1，n（1）證明：數(shù)列{11-an（2）記Tn＝a1a2a3…an，n∈N*，Sn=T【解答】證明：（1）由2an+1﹣an+1an＝1得：an+1=1所以{11-an}所以11-an（2）由（1）得：an=n+1∴Tn∴Sn=T10．已知等比數(shù)列{an}的公比大于1，a2＝6，a1+a3＝20．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn＝an+1log3an+12log【解答】解：（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q（q＞1），由a2＝6，a1+a3＝20，得6q+6q＝20，即3q2﹣10解得q＝3或q=13（舍去），所以a1所以an＝2×3n﹣1；（2）由（1）可知bn＝2?3n﹣1+1log33n?log33所以Tn＝2×30+2×31+2×32+…+2?3n﹣1+1-12+12-11．已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若4a2，2a3，a4成等差數(shù)列，且S4＝8a2﹣2．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn=an(an+2)(an+1+2)【解答】解：（1）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，∵4a2，2a3，a4成等差數(shù)列，∴4a2+a4＝4a3，即4+q2＝4q，解得q＝2，又S4＝8a2﹣2，則a1(1-24∴an=2n，即數(shù)列{a（2）證明：由（1）得bn故Tn當(dāng)n＝1時(shí)，12n+1+2取得最大值16，當(dāng)∴0＜1故11212．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2an﹣4．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{nSn}的前n項(xiàng)和Tn．【解答】解：（1）∵Sn＝2an﹣4，∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣1＝2an﹣1﹣4，兩式相減，得Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣4﹣（2an﹣1﹣4），整理得an＝2an﹣1，即n≥2時(shí)，an＝2an﹣1，又當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝2a1﹣4，解得a1＝4，∴數(shù)列{an}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an（2）由（1）知Sn=2×2令bn=n?2設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Kn，則Kn=1×23+2×由①﹣②，得-K即-K∴Kn∴Tn13．已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，且3a1，a3，5a2成等差數(shù)列，S4+5＝5a3．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝an?log3an+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【解答】解：（1）由題意，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q（q＞0），∵3a1，a3，5a2成等差數(shù)列，∴2a3＝3a1+5a2，即2a1q2＝3a1+5a1q，∵a1＞0，∴2q2＝3+5q，整理，得2q2﹣5q﹣3＝0，解得q=-12（舍去），或又∵S4+5＝5a3，∴a1(1-34)1-3解得a1＝1，∴an＝1?3n﹣1＝3n﹣1，n∈N*．（2）由（1）可得，bn＝an?log3an+1＝3n﹣1?log33n＝n?3n﹣1，∴Tn＝b1+b2+???+bn＝1?30+2?31+3?32+???+n?3n﹣1，3Tn＝1?31+2?32+???+（n﹣1）?3n﹣1+n?3n，兩式相減，可得﹣2Tn＝1+31+32+???+3n﹣1﹣n?3n，=1-3n1-3=-2n-12?3n∴Tn=2n-14?3n14．已知數(shù)列{an