類型七、多項(xiàng)式中的歸納與規(guī)律

類型七、多項(xiàng)式中的歸納與規(guī)律【解惑】根據(jù)下面四個算式：5232＝（5+3）×（53）＝8×2；11252＝（11+5）×（115）＝16×6＝8×12；15232＝（15+3）×（153）＝18×12＝8×27；19272＝（19+7）×（197）＝26×12＝8×39．請你再寫出兩個（不同于上面算式）具有上述規(guī)律的算式；方法：主要還是以找規(guī)律為主，如果是小學(xué)學(xué)過奧數(shù)里面的數(shù)列的話，那會更容易理解，我們是以項(xiàng)數(shù)和內(nèi)容為住，比如：第一項(xiàng)是5/3/2這幾個變量，那我們就要去看第n項(xiàng)是多少，以此推理即可。【融會貫通】1．觀察下列等式：，，，，…根據(jù)以上規(guī)律得出的結(jié)果是（）A．20181 B．20191 C．20201 D．202112．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中揭示了（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律如圖，后人也將其稱為“楊輝三角”．據(jù)此規(guī)律，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是（）A．2017 B．2018 C．2019 D．20203．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝用三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”．這個三角形給出了（n＝1，2，3，4，…）的展開式的系數(shù)規(guī)律（按a的次數(shù)由大到小的順序）：11＝a+b121＝1331＝14641＝請根據(jù)上述規(guī)律，寫出的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是（

）A．2021 B．4042 C．2043231 D．20194．觀察下列各式：①

②③……根據(jù)以上規(guī)律，試求出的值為（

）A． B． C． D．5．根據(jù)等式：，，，，…的規(guī)律，則可以推算得出（

）．A． B． C． D．6．式子的化簡結(jié)果為（

）A． B． C． D．7．觀察下列各式及其展開式(a+b)2＝a2+2ab+b2(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(a+b)5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5……請你猜想(2x﹣1)8的展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是（）A．224 B．180 C．112 D．488．如圖，觀察表1，尋找規(guī)律，表1、表2、表3分別是從表1中截取的一部分，其中m為整數(shù)且，則（

）A． B． C． D．9．的計(jì)算結(jié)果的個位數(shù)字是（

）A．8 B．6 C．4 D．210．，，······通過計(jì)算，猜想：的結(jié)果是（

）A． B． C． D．11．已知，，均為正數(shù)，且滿足，，則M與N之間的關(guān)系是（）A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．無法確定【知不足】12．如圖，是用棋子擺成的圖案，擺第1個圖案需要1枚棋子，擺第2個圖案需要7枚棋子，擺第3個圖案需要19枚棋子，擺第4個圖案需要37枚棋子，按照這樣的方式擺下去，則擺第5個圖案需要______枚棋子，擺第n個圖案需要______枚棋子．13．在同一平面內(nèi)，1個圓把平面分成0×1+2=2個部分，2個圓把平面最多分成1×2+2=4個部分，，3個圓把平面最多分成2×3+2=8個部分，4個圓把平面最多分成3×4+2=14個部分，……（1）10個圓把平面最多分成____________個部分；（2）n個圓把平面最多分成____________個部分.14．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)：（x－1）（x＋1）＝x2－1（x－1）（x2＋x＋1）＝x3－1（x－1）（x3＋x2＋x＋1）＝x4－1利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：求：＝__________15．用一些棋子擺成如圖所示的長方形點(diǎn)陣和等邊三角形點(diǎn)陣，長方形點(diǎn)陣的長所用棋子的顆數(shù)是寬所用棋子顆數(shù)的2倍，等邊三角形點(diǎn)陣的邊長所用棋子與長方形的長所用棋子一樣多．如果等邊三角形點(diǎn)陣比長方形點(diǎn)陣多用20顆棋子，則等邊三角形點(diǎn)陣所用棋子的顆數(shù)為________．16．如圖中的三個圖形都是邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，其中第一個圖形有個正方形，所有線段的和為4，第二個圖形有個小正方形，所有線段的和為12，第三個圖形有個小正方形，所有線段的和為24，按此規(guī)律，則第n個網(wǎng)格所有線段的和為____________．(用含n的代數(shù)式表示)17．古希臘數(shù)學(xué)家把下列一組數(shù)：1、3、6、10、15、21、…叫做三角形數(shù)，這組數(shù)有一定的規(guī)律性，如果把第一個三角形數(shù)記為，第二個三角形數(shù)記為，…，第n個三角形數(shù)記為，那么的值是_____（用含n的式子表示）．18．____．19．下列圖案均是用長度相同的小木棒按一定的規(guī)律拼搭而成：拼搭第1個圖案需4根小木棒，拼搭第2個圖案需10根小木棒，…依此規(guī)律，拼成第n個圖案需要小木棒_______.20．如圖，有一個正六邊形的點(diǎn)陣，層數(shù)由內(nèi)向外第一層每邊有兩個點(diǎn)，第二層每邊有三個點(diǎn)，依此類推，從射線開始，沿逆時針方向按順序?qū)⒚總€點(diǎn)依次標(biāo)上1，2，3，4，5，6，7，……用含的代數(shù)式表示：第層共有______個點(diǎn)、射線上第個數(shù)字是________．21．觀察下列各式的規(guī)律：；；；……根據(jù)以上規(guī)律，可得到_______．22．我國南宋時期杰出的數(shù)學(xué)家楊輝是錢塘人，如圖是他在《詳解九章算法》中記載的“楊輝三角”．此圖揭示了（a+b）n（n為非負(fù)整數(shù)）的展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．（1）請仔細(xì)觀察，填出（a+b）4的展開式中所缺的系數(shù)．（a+b）4＝a4+4a3b+_____a2b2+4ab3+b4（2）此規(guī)律還可以解決實(shí)際問題：假如今天是星期一，再過7天還是星期一，那么再過814天是星期_____．23．我們知道展開后等于，我們可以利用多項(xiàng)式乘法法則將展開．如果進(jìn)一步，要展開，，你一定發(fā)現(xiàn)解決上述問題需要大量的計(jì)算，是否有簡單的方法呢﹖我們不妨找找規(guī)律!如果將（為非負(fù)整數(shù)）的每一項(xiàng)按字母a的次數(shù)由大到小排列，就可以得到下面的等式：計(jì)算結(jié)果的項(xiàng)數(shù)各項(xiàng)系數(shù)1121

131

2

141

3

3

1上表就是我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝1261年的著作《詳解九章算法》中提到過，而他是摘錄自北宋時期數(shù)學(xué)家賈憲著作的《黃帝九章算法細(xì)草》中的“開方作法本源圖”，因而人們把這個表叫做楊輝三角或賈憲三角，在歐洲這個表叫做帕斯卡三角形．帕斯卡是1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年．請你利用“楊輝三角”求出下式的計(jì)算結(jié)果：_____________．24．我國古代數(shù)學(xué)中的“楊輝三角”是重要的成就，它的發(fā)現(xiàn)比歐洲早五百年左右，（如圖），這個三角形給出了（）的展開式（按a的次數(shù)由大到小順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如，第三行的三個數(shù)1，2，1，恰好對應(yīng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)；第五行的五個數(shù)1，4，6，4，1，恰好對應(yīng)著展開式中各項(xiàng)的系數(shù)．則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為_________．25．觀察下列算式：……根據(jù)以上規(guī)律，計(jì)算的結(jié)果是______，末尾數(shù)字是____．【一覽眾山小】26．觀察以下等式：第1個等式：第2個等式：第3個等式：第4個等式：第5個等式：……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第6個等式：_______________；(2)寫出你猜想的第n個等式：___________________（用含n的等式表示），并證明．27．將黑色圓點(diǎn)按如圖所示的規(guī)律進(jìn)行排列，已知圖1中有5個黑色圓點(diǎn)；圖2中有12個黑色圓點(diǎn)；圖3中有22個黑色圓點(diǎn)；圖4中有35個黑色圓點(diǎn)；……。(1)根據(jù)上述排列規(guī)律，則圖5中黑色圓點(diǎn)的個數(shù)為(2)猜想圖n中黑色圓點(diǎn)的個數(shù)為_______(用含n的式子表示并化簡，不用說明理由)；(3)利用(2)的結(jié)論求圖200中黑色圓點(diǎn)的個數(shù)28．觀察下列圖形與等式的關(guān)系：按照以上圖形與等式的規(guī)律，解答下列問題：（1）寫出第5個等式：．（2）寫出你猜想的第n個等式：．（用含n的等式表示），并證明（已知：1+2+3+……+n＝）．29．觀察以下等式：第1個等式：第2個等式：第3個等式：…按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第4個等式：__________________________；（2）寫出你猜想的第個等式：___________________________（用含的等式表示），并證明．30．?dāng)?shù)學(xué)中的兩位數(shù)乘法藏著許多的運(yùn)算規(guī)律，現(xiàn)請觀察下列幾個等式(1)請你類比上面的等式，計(jì)算：①；②；(2)請你寫出以上等式所體現(xiàn)一般的規(guī)律，并用所學(xué)知識證明．31．閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)．楊輝三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．在歐洲，這個表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，比楊輝遲393年，比賈憲遲600年．楊輝三角是我國古代數(shù)學(xué)的杰出研究成果之一，他把二項(xiàng)式乘方展開式系數(shù)圖形化，如下圖所示：…完成下列任務(wù)：(1)寫出的展開式．(2)計(jì)算：．32．（1）計(jì)算并觀察下列各式：第1個：；第2個：；第3個：；……這些等式反映出多項(xiàng)式乘法的某種運(yùn)算規(guī)律．（2）猜想：若n為大于1的正整數(shù)，則；（3）利用（2）的猜想計(jì)算：．（4）拓廣與應(yīng)用：．33．“數(shù)缺形時少直觀，形無數(shù)時難入微”是我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授的名言．說明數(shù)形結(jié)合是解決許多數(shù)學(xué)問題的有效思想．例：求前個正整數(shù)之和的平方．第一步：若小正方形的邊長為1個單位長度，則、、、的值可用一個正方形的面積來表示（如圖所示）；第二步：通過觀察，上述各式的值還可以用若干個正方形的面積之和來表示；第三步：根據(jù)規(guī)律可得到（

）A． B．C． D．34．閱讀材料：在學(xué)習(xí)多項(xiàng)式乘以