江西省贛州市十八縣二十三校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023年贛州市十八縣（市、區(qū)）二十三校期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在空間直角坐標(biāo)系中，向量，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：.故選：D.2.（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘方及除法運(yùn)算求解即得.【詳解】.故選：A3.已知橢圓上一點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為1，則到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）A. B.3 C. D.9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義求解即可.【詳解】由橢圓的方程可知，，所以，由橢圓的定義知，到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為.故選：C4.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)表示判斷AB，根據(jù)向量模的坐標(biāo)運(yùn)算判斷C，根據(jù)向量夾角計(jì)算公式判斷D.【詳解】因?yàn)?，，，所以，，故AB錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，故D正確.故選：D5.已知直線：的傾斜角的取值范圍為，則直線：的傾斜角的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩直線的斜率互為相反數(shù)即可得到答案.【詳解】顯然當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為，不適合題意，則，則直線的斜率為，直線的斜率為，所以與的斜率互為相反數(shù),所以與的傾斜角互補(bǔ),得的傾斜角的取值范圍為.故選：D.6.已知圓：與圓：內(nèi)切，則的最大值為（）A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩圓位置關(guān)系可得，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，若圓與圓內(nèi)切，則，即，可得，即，因?yàn)?，即，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為1.故選：B.7.石城永寧橋，省級(jí)文物保護(hù)單位，位于江西省贛州市石城縣高田鎮(zhèn).永寧橋建筑風(fēng)格獨(dú)特，是一座樓閣式拋物線形石拱橋.當(dāng)石拱橋拱頂離水面時(shí)，水面寬，當(dāng)水面下降時(shí)，水面的寬度為（）A.7m B. C.8m D.【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出拋物線方程，利用點(diǎn)的縱坐標(biāo)求解.【詳解】以拱橋的頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則拱橋所在拋物線如圖，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意知，點(diǎn)在拋物線上，代入拋物線方程可得，解得，所以拋物線方程為，由題意，當(dāng)水面下降時(shí)，點(diǎn)在拋物線上，代入拋物線方程可得，解得，所以水面的寬度為.故選：C8.對(duì)于角，甲、乙、丙、丁4人有4種不同的判斷，甲：的終邊在直線上，乙：，丙：，?。?，若甲、乙、丙、丁4人中只有1人判斷錯(cuò)誤，則判斷錯(cuò)誤的是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意根據(jù)象限角和三角恒等變換分析判斷.【詳解】對(duì)于甲：為第一象限角或第三象限角，則；對(duì)于乙：因?yàn)?，整理得，解得或；?duì)于丙：因?yàn)椋獾?；?duì)于?。阂?yàn)?，則；若甲、乙、丙、丁4人中只有1人判斷錯(cuò)誤，可知：甲、乙、丙一定正確，此時(shí)，為第一象限角或第三象限角，可知或，故丁錯(cuò)誤.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，分別是雙曲線：的上、下焦點(diǎn)，點(diǎn)P在上，且的實(shí)軸長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍，則（）A. B.C.的離心率為 D.的漸近線方程為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程及焦點(diǎn)位置求判斷A，根據(jù)雙曲線定義判斷B，求出離心率判斷C，求出漸近線方程判斷D.【詳解】由題意，，且，所以，解得，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋呻p曲線定義知，故B正確；因?yàn)椋?，所以，故離心率，故C正確；因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以漸近線方程為，即，故D正確.故選：BCD10.把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，則（）A. B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D.在上單調(diào)遞增【答案】BC【解析】【分析】利用三角函數(shù)圖象變換及圖象與性質(zhì)一一判定即可.【詳解】由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，即，故B正確；當(dāng)時(shí)，，即，故C正確；當(dāng)時(shí)，，易知時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.故選：BC11.在圓錐中，是底面圓的直徑，，且圓錐外接球的表面積為，則該圓錐的側(cè)面積可能為（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)球的表面積求出球的半徑，據(jù)此求出，再求出圓錐母線即可得解.【詳解】設(shè)球心為，球半徑為，連接，，若在線段上，如圖，因?yàn)閳A錐外接球的表面積為，則，解得，則，解得，所以，由可得，即，所以圓錐的側(cè)面積，若在線段的延長(zhǎng)線上，如圖，同理，，在中，,即，解得，所以，所以，所以圓錐的側(cè)面積.故選：AB12.已知曲線：，圓：，則（）A.當(dāng)或時(shí)，曲線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，曲線與圓有1個(gè)公共點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，曲線與圓有2個(gè)公共點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，曲線與圓有4個(gè)公共點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】由得或，分類根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】由，得或，設(shè)：，：，則過(guò)定點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)，圓：的圓心坐標(biāo)為，半徑為，當(dāng)與圓相切時(shí)，由，得或，當(dāng)與圓相切時(shí)，由，得或．當(dāng)或時(shí)，與圓相離，與圓相離，則曲線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，與圓相交，與圓相離，則曲線與圓有2個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，與圓相交，與圓相切，則曲線與圓有3個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，與圓相交，與圓相交，則曲線與圓有4個(gè)公共點(diǎn)．故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，且，則_________.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求解.【詳解】因?yàn)椋?，解?故答案為：414.已知是拋物線：的焦點(diǎn)，A是上的一點(diǎn)，若，則A的縱坐標(biāo)為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義分析求解.【詳解】由題意可知：，準(zhǔn)線為，設(shè)A的縱坐標(biāo)為，由題意可知：，解得，所以A的縱坐標(biāo)為.故答案為：.15.中國(guó)古代數(shù)學(xué)瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“羨除”的幾何體，該幾何體是三個(gè)面均為梯形，其他兩面為三角形的五面體.現(xiàn)有一羨除，平面平面，，四邊形，均為等腰梯形，，則該幾何體的體積為_(kāi)________.【答案】6【解析】【分析】復(fù)雜的多面體一般可以分割成熟悉的棱錐棱柱求體積【詳解】如圖所示，過(guò)作交于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，平面，且，，所以平面，平面，又且四邊形為等腰梯形且，所以，因?yàn)榍宜倪呅螢榈妊菪吻?，所以，，又，，所以，，又，且，，所以多面體為直三棱柱，所以，所以幾何體的體積為，故答案為：616.已知A，B為雙曲線C：上的兩點(diǎn)，且A，B關(guān)于直線：對(duì)稱，則線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可知，利用點(diǎn)差法求得，聯(lián)立方程即可得結(jié)果.【詳解】由題意可知：直線：的斜率為，可知直線的斜率，設(shè)，則線段中點(diǎn)的坐標(biāo)，可得，，因?yàn)锳，B為雙曲線C：上的兩點(diǎn)，則，兩式相減整理得，即，解得，即直線，聯(lián)立方程，解得，可知線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）若平行于直線，求的一般式方程；（2）若垂直于直線，求在y軸上的截距，【答案】17.18.【解析】【分析】根據(jù)直線平行與垂直的充要條件和截距的定義計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由題意可設(shè)，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故，則；【小問(wèn)2詳解】由題意可設(shè)，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故，則,令，所以在y軸上的截距為.18.在平行六面體中，，，E為線段上更靠近的三等分點(diǎn)（1）用向量，，表示向量；（2）求；（3）求.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可求解；（2）根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)及數(shù)量積的定義運(yùn)算即可；（3）根據(jù)向量的線性運(yùn)算及向量的數(shù)量積的定義及運(yùn)算性質(zhì)求解.【小問(wèn)1詳解】如圖，.【小問(wèn)2詳解】,.小問(wèn)3詳解】19.已知圓：，直線：.（1）證明：過(guò)定點(diǎn).（2）求被圓截得的最短弦長(zhǎng).【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）將直線整理得，分析求解即可；（2）可知點(diǎn)在圓內(nèi)，結(jié)合圓的性質(zhì)可知：當(dāng)直線時(shí)，被圓截得的最短弦長(zhǎng)，進(jìn)而可求弦長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】對(duì)于直線：，即，令，解得，所以過(guò)定點(diǎn).【小問(wèn)2詳解】由題意可知：圓的圓心，半徑，因?yàn)?，可知點(diǎn)在圓內(nèi)，由圓的性質(zhì)可知：當(dāng)直線時(shí)，被圓截得的最短弦長(zhǎng)，此時(shí)被圓截得的弦長(zhǎng)為.20.已知內(nèi)角A，B，的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求；（2）若為的角平分線，D在邊上，且，求的最小值.【答案】20.21.【解析】【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換分析求解；（2）根據(jù)題意利用面積公式可得，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?，因?yàn)椋瑒t，可得，即，所以.【小問(wèn)2詳解】若為的角平分線，則，因?yàn)椋?，整理得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值.21.已知橢圓：，直線與橢圓交于兩點(diǎn).（1）若是橢圓短軸頂點(diǎn)，與不重合，求四邊形面積的最大值；（2）若直線的方程為，求弦的長(zhǎng)（結(jié)果用表示）.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用橢圓的性質(zhì)結(jié)合三角形面積公式計(jì)算即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程利用韋達(dá)定理計(jì)算弦長(zhǎng)即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸、半短軸長(zhǎng)分別為，則，，設(shè)的橫坐標(biāo)分別為：，則易知四邊形面積為,顯然，當(dāng)分別為橢圓左右頂點(diǎn)時(shí)取得最大值，此時(shí)四邊形面積最大值為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消得，所以，由弦長(zhǎng)公式可知.22.已知F為拋物線C的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在C上，使得的重心G在x軸的正半軸上，直線，分別交軸于Q，P兩點(diǎn).O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，.（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）記P，G，Q的橫坐標(biāo)分別為，，，判斷是否為定值.若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1