2022年河南?。ㄔケ敝攸c高中）高考數(shù)學模擬試卷（文科）（4月份）（附答案詳解）

2022年河南?。ㄔケ敝攸c高中）高考數(shù)學模擬試卷（文

科）（4月份）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.已知集合A={x||x-1|<2},B={x|x>0),則AnF=()

A.{x}x>2]B.{x|0<%<2]C.{x|0<x<3}D.{x\x>3)

2.若復數(shù)z滿足z(2-i)=2-5i,則z=()

A98.18.

B.C.3.|iD.--------1

A?1針33

3.為了解員工對“薪資改革方案”的態(tài)度,人資部門欲從研發(fā)部門和銷售部門的

2200名員工中，用分層抽樣的方法抽取88名員工進行調(diào)查,已知研發(fā)部門有800名

員工，則應從銷售部門抽取的員工人數(shù)是（）

A.24B.32C.56D.72

01

4.若Q=1.2,b=log0.80.9,c=log0,4l-2,則()

A.c<b<aB.c<a<bC.a<c<bD.b<c<a

5.己知cos(a+g)+cosa=爭則sin(a-g)=()

V7

A.孝BCD.

-T.T3

6.已知雙曲線C：9一\=19>0,6>0）的右焦點為尸90）,直線I：X=c與雙曲線

C交于4,B兩點，與雙曲線C的漸近線交于D,E兩點，若|DE|=2|4B|,則雙曲線

C的離心率是（）

A.2B.V2c.D.竽

7.如圖，某圓錐的軸截面ABC是等邊三角形，。是線段AB

的中點，點E在底面圓的圓周上，且曲的長度等于在的

長度，則異面直線DE與BC所成角的余弦值是（）

A.V2

4

B.V6

4

邈

C.

4

D邛

8.踢犍子是中國民間傳統(tǒng)的運動項目之一，是一項簡便易行的健身活動.某單位組織

踢稿子比賽，有4名男員工和6名女員工參加.其中男員工每人1分鐘內(nèi)踢健子的數(shù)

目為21、30、51、53；女員工每人1分鐘內(nèi)踢健子的數(shù)目為31、38、46、52、57、

65.則從1分鐘內(nèi)踢犍子的數(shù)目大于50的員工中隨機抽取2名，恰有1人是男員工的概

率是()

A.4B.IC.1D.

105S10

9.已知函數(shù)/(x)=若關于x的方程-kx=0有兩個不同的實數(shù)

IJL)fXNu

根，則k的取值范圍為()

A.(-a),-2)U(0,1)B.(-8,-l)u(0,l)

C.(-0o,0)U(0,1)D.(-oo,0)U(0,+oo)

10.已知正方體力BCD—4B1GD1的棱長是4,E、尸分別是棱和C。的中點，點P在

正方形BCG/(包括邊界)內(nèi)，當4P〃平面&EF時，L\P長度的最小值為()

A.2V7B.4V2C.V34D.6

11.已知函數(shù)f(x)的定義域為(0,+8),其導函數(shù)是/''(%),且2/(x)+x/'(x)>x.若

/(2)=1,則不等式3/0)一刀一^>0的解集是()

A.(0,2)B.(2,+8)C.(0,f)D.6+8)

12.已知函數(shù)，。)=產(chǎn)譏P兀+沁，若函數(shù)/(乃在［0,+8)內(nèi)恰有5個

零點，則a的取值范圍是()

A.G，|)B.62)C.G，2)U(|,3)D.(：,2)u(2,|)

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知向量五=(一1,2)范=(3,—1)，則向量區(qū)方的夾角是.

%4-y>0

14.已知實數(shù)x,y滿足約束條件x-2y+320,則z=x-3y的最大值為.

.2%—y—3工0

15.蜚英塔俗稱寶塔，地處江西省南昌市，建于明朝天啟元年(1621年)，為中國傳統(tǒng)的

樓閣式建筑.蜚英塔坐北朝南，磚石結構，平面呈六邊形，是江西省省級重點保護

文物，已被列為革命傳統(tǒng)教育基地.某學生為測量蜚英塔的高度，如圖，選取了與

蜚英塔底部。在同一水平面上的4，B兩點，測得AB=35近米，/-CAD=45°,

乙CBD=30°,乙ADB=150°,則蜚英塔的高度CD是米.

第2頁，共23頁

c

16.已知拋物線C：y2=2px(p>0),以點(1,1)為中點的弦與拋物線C交于M,N兩點,

若|MN|=V15.則p=.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.新高考按照“3+1+2”的模式設置，其中“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學、外

語，所有考生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史兩科中選擇一科；“2”

為再選科目，考生可在化學、生物、政治、地理四科中選擇兩科.某校為了解該校

考生首選科目的選科情況，從該?？忌须S機選擇了100名考生進行調(diào)查，得到下

面的列聯(lián)表：

選擇物理不選擇物理

男4614

女2020

假設考生選擇每個科目的可能性相等，且他們的選擇互不影響.

(1)能否有99%的把握認為考生是否選擇物理與性別有關？

(2)已知該校有考生2200名，以上表中該?？忌x擇物理科目的頻率代替該校考生

選擇物理科目的概率，估計該?？忌x擇物理作為首選科目的人數(shù).

參考公式：K2-,L/h+rfV其中九一a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù)：

P(K2>ko)0.100.050.0100.001

k。2.7063.8416.63510.828

18.己知正項數(shù)列｛即｝的前n項和為無，且喋一(M+葭-2)S.-2(彥+n)=0.

(1)求內(nèi)的值和數(shù)列｛即｝的通項公式；

(2)設3=7^—，求數(shù)列｛%｝的前n項和〃.

anan+2

19.如圖，在四棱錐P-4BCD中，四邊形4BCD是菱形，/.BAD=60°,E是PB的中點,

且BE=DE.

(1)證明:8。1平面ACE；

(2)若PD=4B,PD1AC,且4E=4,求四棱錐P—48C。的體積.

第4頁，共23頁

20.已知函數(shù)/(x)=［/一%+acosx+sinx.

(1)當a=—1時，求曲線y=/(x)在點(0)(0))處的切線方程;

(2)若函數(shù)f(x)在［0,4］上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.

21.已知橢圓C：W+《=l(a>b>0)的離心率是李，&,尸2分別是橢圓C的左、右焦

點.以線段IF/2I為直徑的圓的內(nèi)接正三角形的邊長為連.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)已知點「(遍,2連)，直線，：y=x+m與橢圓C交于4,B兩點，求△P4B面積的

最大值.

22.在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為忙［Q為參數(shù)).以坐標原點

—DSiTict

為極點，》軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線僅勺極坐標方程為3pcos。-4psin9+

4m=0.

(1)若直線，與曲線C有公共點，求m的取值范圍；

(2)已知點P(0,zn)(0<m<2),直線，與曲線C交于4,B兩點，若(|P川+\PB\Y=20,

求M的值.

23.已知函數(shù)/(%)=|2x+a|+|x—l|.

(1)當a=4時，求不等式/(x)<9的解集；

(2)若f(x)2a?一比一i|對任意的xeR恒成立，求a的取值范圍.

第6頁，共23頁

答案和解析

1.【答案】

C

【解析】

解：4={x||%-1|<2}={x|-1<x<3},

又B={x\x>0],

AC\B={x|0<x<3},

故選：C.

先化簡集合4,再求交集即可.

此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵，屬基礎題.

2.【答案】

A

【解析】

解：”(2-0=2-53

=m=(2-5i)(2+i)=9_s

2-i(2-i)(2+t)551'

故選:A.

根據(jù)已知條件，結合復數(shù)的運算法則，即可求解.

本題主要考查復數(shù)的運算法則，屬于基礎題.

3.【答案】

C

【解析】

解：人資部門欲從研發(fā)部門和銷售部門的2200名員工中，用分層抽樣的方法抽取88名

員工進行調(diào)查，

研發(fā)部門有800名員工，則應從銷售部門抽取的員工人數(shù)是：

故選：C.

利用分層抽樣的性質(zhì)直接求解.

本題考查分層抽樣的運算，考查分層抽樣的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基

礎題.

4.【答案】

A

【解析】

解：a=1.201>1.2°=1,

1

???logos<logo,sO.9<log0.80.8,???0<b<1,

c—\og041.2<logo41=0,

則c<b<a,

故選：A.

利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.

本題考查三個數(shù)的大小的求法，注意對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運用.

5.【答案】

B

【解析】

解：由cos(a+g)+cosa=B，

^i^^-cosa——sina—V3sin(--a)=—>

22'3'3

即有sin(a-g)=一圣

第8頁，共23頁

故選:B.

運用兩角和的余弦公式和兩角差的正弦公式、三角函數(shù)的誘導公式，計算可得所求值.

本題考查兩角和差的正弦公式、余弦公式和誘導公式的運用，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力,

屬于基礎題.

6.【答案】

【解析】

解：由雙曲線方程可得其漸近線方程為：y=±2尤,

??,直線］為％=c,

二4B為雙曲線的通徑，即|48|=替,

X=C

由|DE|=2|4B|得：—,

aa

即c=2b,

:.a=Vc2—b2=

離心率e=￡=迪，

a3

故選：D.

利用雙曲線通徑長和與漸近線交點情況可得|4B|,|DE|,由|DE|=2|4B|和a,b,c關

系可求得c=2b,a=Bb，由此可求得離心率.

本題考查了雙曲線離心率問題，屬于基礎題.

7.【答案】

【解析】

解：某圓錐的軸截面2BC是等邊三角形，。是線

段AB的中點，

點E在底面圓的圓周上，且盛的長度等于生的長

度，

??.E是命的中點，

取BC中點。，連接。E,0A,貝!|0E,0C,。4兩

兩垂直，

以0為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖，

設BC=2,則OE=OB=OC=1,0A=同

???71(0,0,73)，8(0,-1,0),C(0,1,0),E(l,0,0),D(0,一消),

而=(心一曰),BC=(0,2,0),

設異面直線DE與BC所成角為。，

\DEBC\1_V2

則cos6=

\DE\\BC\V2-214

二異面直線DE與BC所成角的余弦值為返.

4

故選:A.

取8c中點。，連接OE,0A,貝IJOE,0C,。4兩兩垂直，以。為坐標原點，建立空間直

角坐標系，利用向量法能求出異面直線。E與BC所成角的余弦值.

本題考查異面直線所成角的求法，考查異面直線所成角的定義、向量法等基礎知識，考

查運算求解能力，是基礎題.

8.【答案】

C

【解析】

解：由題意，1分鐘內(nèi)踢健子的數(shù)目大于50的員工中有男員工2名，記為a、b,有女員

工3名，記為D、E、F,

則從這5人中隨機抽取2名，所有基本事件為(a,b),(a,D),(a,E),(a,F),

(b,D),(b,E),(b,F),(0,E),(D,F),(E,F),共10種,

其中恰有1人是男員工所包含的基本事件有(a,D),(a,E),(a,F),(b,D),(b,E),(b,F),

第10頁，共23頁

共6種，故所求概率為P=4=|.

故選：C.

由題意可知1分鐘內(nèi)踢健子的數(shù)目大于50的員工中有男員工2名，女員工3名，進一步可

確定從這5人中隨機抽取2名的基本事件總數(shù)，再確定其中恰有1人是男員工所包含的基

本事件個數(shù)，最后利用古典概型概率計算公式即可求解.

本題考查古典概型概率計算公式，考查學生邏輯推理和數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.

9.【答案】

A

【解析】

解：對函數(shù)y=e-2%—1求導得/=—2e-2x,對函數(shù)y=ln(x+1)求導得y'=馬丁

作出函數(shù)/(乃的圖象如下圖所示：

當直線y=kx與曲線y=ln(x+1)相切于原點時，k=六=1,

當直線y=kx與曲線y=e"-2x-1,相切于原點時，k=-2,

結合圖象可知，當上＜一2或0＜上＜1時，直線y=/cx與函數(shù)/(x)的圖象有兩個交點，

故選：4

求出當直線y=kx與曲線y=ln(x+1)相切于原點、直線y=kx與曲線y=e~2x—1相

切于原點時對應的/c的值，數(shù)形結合可得出實數(shù)k的取值范圍.

本題考查函數(shù)的零點與方程的關系，考查學生的運算能力，屬于中檔題.

10.【答案】

C

【解析】

解：分別取SB1、BC的中點M、N,連接MN,EN、DN,么“、D/、AM,AN,BrC,

因為E、尸分別為BiG、CC1的中點，貝i」EF〃BC同理可得MN〃BiC,則EF〃MMMN<t

平面&EF,EFu平面&EF,二MN〃平面&EF,

因為BC〃B】Ci且BC=BIG，E、N分別為BIG、BC的中點，所以,B】E〃BN且BiE=BN,

所以，四邊形BBiEN為平行四邊形，故EN//BB、且EN=BBi，

因為44J/8B1且4公=B81，所以,EN//AA^EN=AAlt

故四邊形力&EN為平行四邊形，則為E〃4N,

■：AN仁平面AiEF,ArEu平面AiEF,AN//平面

?:ANCMN=N,所以，平面AMN〃平面&EF,

vMNu平面AMN,：.MN//平面A】EF,

當點PCMN時，APu平面4MN,則ZP〃平面&EF,所以點P的軌跡為線段MN,

???DCiJL平面ABCD,DNu平面ZBCD,則J.Z)N,

???DN=、CZ)2+CN2=26,則AN=JDD：+DN2=6,同理可得。i"=6,

因為MN=>JBM2+BN2=2V2,

所以，當QP1MN時，即當點P為線段MN的中點時?，DiP的長度取最小值，

222

此時DiP=yjD1N-PN=V6-2=V34.

故選：C.

別取8%、BC的中點M、N,連接MN、EN、DN、久“、D】N、AM.AN、BrC,證明

出平面4MN〃平面&EF,可知點P的軌跡為線段MN,分析可知當。止1MN時，即當

點P為線段MN的中點時-，DIP的長度取最小值，利用勾股定理可求得結果.

第12頁，共23頁

本題考查了線面平行性質(zhì)定理的應用，屬于中檔題.

11.【答案】

B

【解析】

解：由函數(shù)/(x)的定義域為(0,+8),其導函數(shù)是f'(x),且2f(x)+xf'(x)>x.

即2x/(x)+x2f'(x)—x2>0,

令g(x)=x2f(x)-^x3,

則g'(x)=2xf(x~)+x2f'(x')-x2>0,

即y=g(x)在(o,+8)為增函數(shù)，

又汽2)=1,

則g(2)=p

又不等式3/(x)-x-^>0可變形為//(X)—泮>g,

即g(%)>g(2)，

又y=g(x)在(。,+8)為增函數(shù)，

則x>2,

即不等式3/(x)—x—爰>0的解集是(2,+8),

故選：B.

先構造函數(shù)g(x)=//(乃-然后確定其單調(diào)性，再利用其單調(diào)性解不等式即可.

本題考查了導數(shù)的應用，重點考查了函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題.

12.【答案】

D

【解析】

解：當aWO時，對任意的x20,/(%)=/-(2a+l)x+a?+2在［0,+8)上至多2個

零點，不合乎題意，所以，a>0.

函數(shù)y=x2—(2a+l)x+a24-2的對稱軸為直線％=a+=(2a4-l)2—4(a24-

2)=4a-7.

所以，函數(shù)/(x)在［a,a+》上單調(diào)遞減，在(a+《+8)上單調(diào)遞增，且/(a)=2—a.

①當A=4Q-7Vo時，即當OVaV：時，則函數(shù)f(%)在阿+8)上無零點，

所以，函數(shù)/(%)=2sin［27r(x-a+］在［0,a)上有5個零點，

當OWxVa時.，--a<x-a+-<-,則(1-2a)zr427r(x-a+目V兀，

由題意可得一57r<(1-2a)7rW-4兀，解得擠工。<3,此時a不存在；

②當4=0時，即當a=：時，函數(shù)f(x)在￡+8)上只有一個零點，

當xe［0,)時,/(%)=-2cos2nx,則0<2nx<y,則函數(shù)/(%)在［0，)上只有3個零點，

此時，函數(shù)/(%)在［0,+8)上的零點個數(shù)為4,不合題意；

③當匕,時，即當★a<2時，函數(shù)f(x)在［a,+8)上有2個零點，

則函數(shù)/(x)=2s譏［2兀(％-a+｝］在［0,a)上有3個零點，

則一3〃<(1-2a)7r<-2n,解得|<a<2,此時:<a<2；

④當匕'黑。時，即當。>2時，函數(shù)"X)在［a,+8)上有1個零點，

則函數(shù)f(x)=2sin［2兀(x—a+｝］在［0,a)上有4個零點，

則—4兀<(1-2a?W—37,解得24a<|,此時，2<a<|.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是弓,2)U(2,|).

故選：D.

分析可知a>0,對實數(shù)a的取值進行分類討論，確定函數(shù)在［a,+8)上的零點個數(shù)，

然后再確定函數(shù)f(x)在［0,a)上的零點個數(shù)，可得出關于實數(shù)a的不等式(組)，綜合可得

出實數(shù)a的取值范圍.

本題考查函數(shù)的零點與方程的關系，考查學生的運算能力，屬于中檔題.

13.【答案】

37r

T

第14頁，共23頁

【解析】

解：a=(-1,2)5=(3,-1)＞設向量優(yōu)方的夾角為。，

nj|lrncn_五1_TX3-2X1_V2

則c°s9一麗一VsxVio一一號'

因為。6[0,71],

所以。=?.

4

故答案為：

由已知結合向量的夾角公式即可求解.

本題主要考查了向量夾角公式的應用，屬于基礎題.

14.【答案】

4

【解析】

當直線y=1x-1平移到B(l,-1)時z取得最大值4.

故答案為：4.

作出不等式組所表示的平面區(qū)域，結合z的幾何意義求解.

本題主要考查了線性規(guī)劃在最值求解中的應用，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想，屬于基礎題.

15.【答案】

35

【解析】

解:設CD=h,

在RtzXACD中，Z.CAD=45°,所以AD=CD=八，

在RtABCC中，Z.CBD=30°,所以BO=百CD=四八，

在△ABO中，由余弦定理知，AB2=AD2+BD2-2AD-BDcos^ADB,

所以(3577)2=標+(V3h)2-2/i-V3/i.(-y),解得h=35,

所以蜚英塔的高度C。是35米.

故答案為：35.

設CD=/i,易知4D=/i,BD=y/3h,再在△ABD中，利用余弦定理，可得關于九的方

程，解之即可.

本題考查解三角形的實際應用，熟練掌握余弦定理是解題的關鍵，考查空間立體感和運

算求解能力，屬于基礎題.

16.【答案】

2

【解析】

解:顯然直線MN的斜率不為0,設M(Xi，yi),N(X2/2)，由題意可得手=1，工產(chǎn)=1，

將M,N的坐標代入可得［曰=作差整理可得整=言7=P，

(yj=2pxzxi-x2%+為

所以直線MN的斜率k=號=p,

%］一兀2

設直線MN的方程為％-l=i1(y-l),即％=11-+1,

y2=2px

聯(lián)立1,,整理可得：y2-2y+2-2p=0,

Pv

則為+為=2,yry2=2-2p,

所以|MN|=2—8+8p=-/15,p>0,

+72)-4yly2

解得：8P3—19P2+8p-4=0=8p3—16p2—3p2+8p-4=0=8p2(p—2)-

(3p-2)(p-2)=0=(p-2)(8p2-3p+2)=0,

第16頁，共23頁

解得p=2,

故答案為：2.

設M,N的坐標，由題意可得M,N的坐標的關系，將M,N的坐標代入拋物線的方程,

作差可得直線MN的斜率，設直線MN的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，求出兩根之和及

兩根之積，代入弦長公式可得弦長的表達式，由題意可得p的值.

本題考查直線與拋物線的綜合應用及點差法求中點弦所在的直線的斜率，屬于中檔題.

17.【答案】

解：(1)由表中數(shù)據(jù)可得，2x2列聯(lián)表:

選擇物理不選擇物理合計

男461460

女202040

合計6634100

100X(46X20-20*14)2

vK2=?7.605>6.636,

66X34X60X40

???有99%的把握認為考生是否選擇物理與性別有關.

46+2033

(2)由題意可得，該校考生選擇物理科目的概率0=

46+20+14+2050,

故估計該?？忌x擇物理作為首選科目的人數(shù)為2200x|^=1452(人).

【解析】

(1)根據(jù)已知條件，結合獨立性檢驗公式，即可求解.

(2)根據(jù)已知條件，結合頻率與頻數(shù)的關系，即可求解.

本題主要考查獨立性檢驗公式的，考查計算能力，屬于中檔題.

18.【答案】

22

解：(1)依題意，由靠—(n+幾—2)Sn—2(nn)=0,

化簡整理，得(571+2)區(qū)1一(712+切］=0,

>0,nENSn>0,

:.Sn+2>0,

22

???Sn-(n+n)=0,B|JSn=n+n,

當九=1時，=Sn=1?+1=2,

22

當九>2時，an=Sn-Sn_]=n4-n-(n-l)-(n-1)=2n,

???當？i=1時，Qi=2也滿足上式，

???an=2n,neN*.

iiilliii1

(2)由(1),可得b=不二=2n2(n+2)=Z,5匕-M)=it—芯)，

故及=瓦+⑦+,?,+%

_1q1.1A1.1A1.1A])1,11.1,11.

一8I3,十8(2/十8%5,十8~6，十8(n-1n+八十8、n+2

_1,11111111111、

一8(3十24十35十46十十n-ln+1+nn+2，

1.111、

8k2n+1n+27

_32n+3

-168(n+l)(n+2)*

【解析】

(1)先根據(jù)題干已知條件計算出又的表達式,然后根據(jù)公式與=《1'二；1">?即可計

九?n—l，九三乙

算出與的值和數(shù)列｛即｝的通項公式；

(2)先根據(jù)第(1)題的結果計算出數(shù)列｛%｝的通項公式，然后運用裂項相消法計算出前n項

和

本題主要考查數(shù)列求通項公式，以及運用裂項相消法求前兀項和.考查了轉(zhuǎn)化與化歸思

想，分類討論思想，裂項相消法，以及邏輯推理能力和數(shù)學運算能力，屬中檔題.

19.【答案】

證明：(1)設4c與B0交于點。，因為力BCD是菱形，則4c_LBD,

又因為BE=DE,則E01BD,且E0n4C=0,

ACu平面4CE,EOu平面4CE,所以BD_L平面4CE；

第18頁，共23頁

解：(2)設4B=2a,因為NBZC=60。，則4。=2acos30。=ba,E。=gp。=：x2a=

a,

因為PDJ.AC,PD//EO,所以E014C,

Hl.EO2+AC2=AE2,即a2+3a2=42,解得a=2,則PD=4,

因EO1BD,EOLAC,

所以EO1平面ABCD,則PD1平面ZBCD,

所以四棱錐P-ABC。的體積U=^SABCD-PD=ix4x4sin60°x4=

【解析】

(1)因為ABC。是菱形，則AC1BD,設4c與BC交于點0,再證EO_LBD即可證明結論;

(2)可證明E0_L4C,根據(jù)勾股定理可得ABC。的邊長，結合錐體體積公式即可求解.

本題考查了線面垂直的判定定理和四棱錐的體積計算，屬于中檔題.

20.【答案】

解：(1)當a=-l時，/(x)=1x2-x-cosx+sinx,

f(0)=1x02-0-cosO+sinO=-1,所以切點為(0,-1),

ff(x)=%—1+sinx+cosx,???f'(0)=0-1+sinO+cosO=0,

所以曲線y=/(%)在點(0J(0))處的切線的斜率為k=f(0)=0,

所以曲線y=/(%)在點(0,-1)處的切線的斜率切線方程為

y—(―1)=0x(%—0),即y4-1=0.

(2)由/(%)=1%2—x+acosx+sinx,得/''(x)=x—1—asinx+cosx,

因為函數(shù)/㈤在[0,爭上單調(diào)遞減，可得f'(x)<0對任意X6[0,由恒成立，

設g(x)=/'(%)=x—1—asinx+cosx,則g'(%)=1—acosx—sinx.

因為9(°)=0—1—asinO+cosO=0,

所以使r(x)<0對任意Xe[0,弓]恒成立，

則至少滿足g'(0)W0,BPI-a<0,解得a21.

下證明當a21時，r(x)W0恒成立，

因為xe[0,由，所以sinxNO,

因為Q>1,所以f'(%)<x-1-sinx+cosx.

記/t(x)=%-1-sinx+cosx,則九'(％)=1-cosx-sinx=1-V2sin(x+，

當x€(0,與時,h'(x)<0；當時，》(x)>0.

所以函數(shù)取x)在［0,》上單調(diào)遞減，在G，爭上單調(diào)遞增.

因為取0)=0,h(Y)=手-0-企<0,

所以/i(x)在［0,弓］上的最大值為九(0)=0.

即/'‘(X)<h(x)=x—1—sinx+cosx<0在［0,由上恒成立.

所以a的取值范圍為［1,+8).

【解析】

(1)將a=-l代入函數(shù)/(x)中，得出函數(shù)/Xx)的解析式，進而可以求出切點坐標，再利

用導數(shù)的兒何意義及點斜式即可求解：

(2)根據(jù)已知條件可以將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，進而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，利用

導數(shù)法求函數(shù)的最值即可求解.

本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的切線方程和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)思

想和轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

21.【答案】

解：(1)由題意可知，e=-=—,,>。=2c,所以a=2,c=&,

a2sin600

所以爐=a2—C2=2,

所以橢圓c的標準方程為：-+^=1;

42

(2)方法一：設點4(X］,yi),8(如力)，

由14+2—,消去y,整理得：3/+4mx+2m2-4=0,

[y=x+m

則4=16m2-12x(2m2—4)=-8m2+48>0,所以?n?<6,所以—石<m<V6,

47n2

XX_2m-4

所以X1+x2=12=—^―

22—xx24

所以=V1+kyj(xr+x2)4i2~V1+11J(―^)—4x="63m一

第20頁，共23頁

P(遍,2通)到直線I：x-y+m=0的距離為d=喘時=/國，

所以SAPAB=|X\^B\xd=1X4V6；m21m譚,_曰(乃_瓶旅-評,

設乃—m=tE(0,2乃)，則m=瓜—t,

所以SAPNB=y-t-J-(t-V6)2+6=當Jt2(-t2+2>/6t)=yV-t4+2V6t3，

令g(t)=_J+2歷f3,te(o,2V6),

則g(t)=-4t3+6歷12=2f2(_2t+3通)，當0cte乎時,g<t)>o,g(t)單調(diào)遞

增，

當苧<t<2遍時，g'(t)<0,g?單調(diào)遞減,

故當t=乎，即血=一日時，g(t)取得最大值，即SMA8取得最大值,

所以Sap.最大值為當x(V6+^)/_歲2=當,

所以AP4B面積的最大值地.

2

方法二：同方法一,S“4B="

由(連—m)3(V6+m)=|(V6—m)3(3V6+3m)<|x1"，機);3V石曲,_彳,

當且僅當e—?n=3乃+3m,即m=—當時，取等號，

所以SAPABW當x夫=亭，

所以△P4B面積的最大值延.

2

【解析】

(1)根據(jù)橢圓的離心率及慮=2c