2021年高考數學最后沖刺講次1

專題1.4數列

——上海最新真題模擬題50題精選

一、單選題

1.（2020?上海奉賢區(qū)?高三一模）一個不是常數列的等比數列中，值為3的項數最多有

A.1個B.2個C.4個D.無窮多個

【答案】D

【分析】通過舉特例可以選出正確答案.

【詳解】例如數列：-3,3,-3,3,-3,3,-3,…，顯然值為3的項數有無窮多個.

故選：D

【點睛】本題考查了等比數列的性質，屬于基礎題.

2.（2020?上海青浦區(qū)?高三二模）我國古代數學著作《九章算術》中記載問題：”今有垣

厚八尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，問幾何日相逢？”，

意思是“今有土墻厚8尺，兩鼠從墻兩側同時打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半

尺，大鼠之后每天打洞長度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞長度是前一天的一半，問兩

鼠幾天打通相逢？”兩鼠相逢需要的最少天數為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】求得前幾天兩只老鼠打洞長度的和，由此確定需要的天數.

【詳解】依題意可知，大老鼠每天打洞的長度是首項q=l,公比為2的等比數列；大小老鼠

每天打洞的長度是首項4=：，公比為3的等比數列.設S,,是前〃天兩只老鼠打洞長度的和.

.,1,13

第1天，4'I=L4=不Sc]=1+7；

222

一1「3c115

第2天，，&=2,=—,=—F2H—=—；

~4244

一1O15,163

第3天，，4=4也-z^3=-r+4+Q-V:

o4oo

%=8也=上,S4顯然大于8.

第4天，，

16

所以兩鼠相逢需要的最少天數為4天.

故選：B

【點睛】本小題主要考查等比數列，考查中國古代數學文化，屬于基礎題.

a\\ai2a\3

3.(2020?上海奉賢區(qū)?高三一模)由9個互不相等的正數組成的矩陣43中，

、。31a32

每行中的三個數成等差數列，且弓|+42+q3、&21+。22+43、“31+42+。33成等比數列，下

列判斷正確的有

①第2列中的42、。22、生2必成等比數列；②第1列中的?21＞不一定成等比數列；③

at2+“32＞。21+。23；

A.1個B.2個C.3個D.0個

【答案】C

【分析】根據每行中的三個數成等差數列，可以把原來的矩陣變形，最后根據等比的數列的

性質、基本不等式，舉特例對三種說法逐一判斷即可.

，aa+da+2d、

【詳解】因為每行中的三個數成等差數列，所以有bh+mb+2m.

、cc+nc+2〃,

41+42+43、生|+。22+。23、《1+432+433分別為：3(。+d),3(A+6),3(C+〃)，它們成等

比數列，因此有：(b+m)2=(a+d)(c+n),因此說法①正確；

(a+d)+(c+〃)＞2j(a+d)?(c+〃)=2S+㈤題中已知可知這九個數都不日相相等,故不取

等號)，因此說法③正確；

'123、

當2.545.5顯然符合已知條件，所以說法②正確.

、6.589.5,

故選：C

【點睛】本題考查了等差數列的性質、等比數列的性質，考查了基本不等式的應用.

4.(2017?上海高考真題)在數列｛《,｝中，%=(-'"，〃wN"，則！蛆

A.等于-工B.等于0C.等于工D.不存在

22

【答案】B

【詳解】數列｛a,J中，則吧％=吧(一｝"=0,故選B.

5.(2020?上海普陀區(qū)?高三三模)記S“為數列｛%｝的前〃項和.“對任意正整數〃，均有

%〉0”是“｛S,,｝為遞增數列”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】利用單調性的定義和舉特例來判斷兩個條件的充分性和必要性關系.

【詳解】當為>0時.，則S,,—S,i=a,>0（〃N2,77eN*）,

則“對任意正整數〃，均有?！啊?”是“｛5“｝為遞增數列”的充分條件；

如數列｛4｝為—1、1、2、3、4、…,顯然數列⑸｝是遞增數列，但是?！安灰欢ù笥诹?

還有可能小于或等于零，

所以，“對任意正整數”，均有>0”不是“｛S,,｝為遞增數列”的必要條件，

因此，“對任意正整數〃，均有可〉0"是“｛5,,｝為遞增數列”的充分不必要條件，

故選A.

【點睛】本題考查充分條件、必要條件的判斷，判斷時可結合單調性的定義或特例來進行判

斷，考查推理能力，屬于中等題.

6.（2020?上海市建平中學高三月考）已知數列｛%｝的通項公式為芯￡司（凡€'"）,

922

其前〃項和S“=歷，則雙曲線---乙=1的漸近線方程為（)

〃+1n

A.y=AB.1土逑xC."土回D.y=A

34103

【答案】C

9

5〃二歷求得幾，再根據工一二=］漸近線方程為

n+1n

得S,,=；11111n

【詳解】由為=--------1-------------F...H--------=1---

+n〃+1223nn+1H+l/l+l

又S“=N即」7=以，故〃=9,故雙曲線二一二=1漸近線為y=±、區(qū)x=±±叵x

10〃+110109V101（）

故選C

【點睛】本題主要考查了裂項相消求和與雙曲線的漸近線方程等,屬于基礎題型.

7.（2020?上海黃浦區(qū)?高三二模）已知e，/是互相垂直的單位向量，向量a“滿足：ea?=n,

U1*1u—?,、

7?q,=2〃+l,2是向量/與見夾角的正切值，則數列是.

A.單調遞增數列且B.單調遞減數列且lim2=J

“TOO2"T82

C.單調遞增數列且limb”=2D,單調遞減數列且limb”=2

M—>0077—

【答案】A

【分析】設；7=(i,o),"=(o,i),Z=(x“，”)，設向量》與初夾角為4,則可求乙，得，

則可得到以山％十二備’從而得到答案.

【詳解】設了=(1,0)，工=(0,1)，麗=祀=(%,％),設向量》與心夾角為

則￡=tanq,p(xn,yn)

1LIU

由e-a“=n,可得y“=〃，

uuu

由/々“uZ/i+l,可得x“=2〃+l

所以a=tanQ=&=m

xn2〃+1

,,n+\n1?

所以2+i~b?=o/,ll一0>0

2(〃+1)+12n+1(2”+3)(2.+l)

1

所以數列也｝是單調遞增數列，又出*,ny=-

【點睛】本題考查向量的數量積的坐標表示和運算和數列極限，關鍵是根據直條件將所求問

題坐標化，屬于中檔題.

8.(2020?上海徐匯區(qū)?高三二模)若數列｛q｝,也,｝的通項公式分別為q=(-1)/2020a

/1yi+2019

a=2+3____,且為<么對任意〃EN*恒成立，則實數〃的取值范圍為()

n

A.[—2,1）B.-2弓）C.-1,—'jD.[-1,1）

【答案】B

02

【分析】由an<bn可得（-l）"?，。+：）<2,分別討論"為奇數和n為偶數的情況，即可求

解.

【詳解】因為??<b?,則（-i）n+202°a<2+上3____，即（—I）""”。?！?lt;2,

因為對任意〃EN*恒成匕

當〃為奇數時，。>一2-,，則

<一2,所以。之一2；

n

當〃為偶數時，。<2-工，則-133

=2一5=5,所以q<5.

n

031

故i；ae-2,-1,

故選:B

【點睛】本題考查由數列的不等式恒成立問題求參數范圍，考杳分類討論思想.

9.（2020?上海楊浦區(qū)?高三二模）設｛4“｝是2020項的實數數列，｛4｝中的每一項都不為

零，｛%｝中任意連續(xù)11項?！?，4用,…的乘積是定值（〃=1,2,3,…,2010）.

①存在滿足條件的數列，使得其中恰有365個1；

②不存在滿足條件的數列，使得其中恰有550個1.

命題的真假情況為（）

A.①和②都是真命題B.①是真命題，②是假命題

C.②是真命題，①是假命題D.①和②都是假命題

【答案】D

【分析】先確定數列是周期數列，然后根據一個周期中出現(xiàn)的1的個數，判斷數列中可能出現(xiàn)

的1的個數（與365,550接近的可能個數），得出結論.

【詳解】設…4+10=%；則4Mq+2…4+U=%，也就是+11=?！?，即也｝是以11

為周期的數列.而2020=11x183+7.

若一個周期內有1個1,則1的個數有183或184個.

若一個周期內有2個1,貝IJ1的個數有366或367或368個.

若一個周期內有3個1,貝ijl的個數有549或550或551或552個.

故選：D.

【點睛】本題考查數列的周期性，解題方法是確定出數列的周期，然后分類討論1出現(xiàn)的次數

的可能(與365,550接近的可能個數).

10.(2020?上海靜安區(qū)?高三二模)當急需住院人數超過醫(yī)院所能收治的病人數量時就會

發(fā)生“醫(yī)療資源擠兌”現(xiàn)象，在新冠肺炎爆發(fā)期間，境外某市每日下班后統(tǒng)計住院人數，從

中發(fā)現(xiàn)：該市每日因新冠肺炎住院人數均比前一天下班后統(tǒng)計的住院人數增加約25%,但每日

大約有200名新冠肺炎患者治愈出院，已知該市某天下班后有1000名新冠肺炎患者住院治療，

該市的醫(yī)院共可收治4000名新冠肺炎患者，若繼續(xù)按照這樣的規(guī)律發(fā)展，該市因新冠肺炎疫

情發(fā)生“醫(yī)療資源擠兌”現(xiàn)象，只需要約

參考數據：1.251°x9.31,1.25"1.64,1.2512?14.55,1.2513?18.19,1.2516?35.53.

A.7天B.10天C.13天D.16天

【答案】C

【分析】利用數列表示出題目的已知條件，由4>4000可求得〃的最小值，從而求得發(fā)生“醫(yī)

療資源擠兌”現(xiàn)象的時間.

【詳解】設“0=1000,4=q)x(l+25%)-200=1050,an=??_!x(1+25%)-200,

〃eN*,〃22,即一200,neN\n>2.則/-800=：(”“_1一800),neN*,n>2,

即數列｛《,-800｝是以q-800=250為首項，公比為的等比數列，所以

??-800=250-^,所以q=800+250.令““=8OO+25o｛1[>4000,化

簡得(1)>16,根據參考數據可知〃213時，發(fā)生“醫(yī)療資源擠兌”現(xiàn)象.

故選：C

【點睛】本小題主要考查數列在實際生活中的應用，考查遞推數列求通項，屬于中檔題.

11.(2020?上海高三一模)設｛??｝為等比數歹J,則“對于任意的機eN*,a,n+2>aj是“｛??｝

為遞增數列”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

*/2\

【分析】對于任意的meNMg〉*,即金產1>0.可得：

''@-1>0[9"-K0

任意的meN*，解出即可判斷出結論.

【詳解】解：對于任意的meN*,a,“+2>，即生”（『T）>。.

?,>04<0

任意的meN'>

<-1>0^2-1<0

冊<°

ain>0—p.

?，或V

q>\0<q<l

.??“｛%｝為遞增數列”，反之也成立.

???“對于任意的meN*，4.+2>a,"”是“｛q｝為遞增數列”的充要條件.

故選：C.

【點睛】本題考查等比數列的單調性，充分必要條件，是基礎題.

2

12.（2017?上海高考真題）已知。、b、c為實常數，數列*“｝的通項％=an+bn+c,neN".

則“存在AwN*，使得/0+?、々00+&、/》+上成等差數列”的一個必要條件是（）

A.a>0B.b<0C.c=0D.a—2b+c=0

【答案】A

【解析】存在使得為00+*,々00+人，工300+4成等差數列，可得

2[a（200++僅200+%）+c]=a（l00+女尸+雙100+Z）+c+o（300+k）2+僅300+k）+c,

化簡可得a=0,所以使得玉00+*，々岫*，當00+*成等差數列的必要條件是a>Q.

13.（2021?上海金山區(qū)?高三一模）已知定義在R上的函數/（x）是奇函數，且滿足

/（x+3）=/（x）,/（1）=-3,數列｛&｝滿足S“=2a“+〃（其中S,為｛%｝的前〃項和），

則〃％）+〃％）=（）

A.-3B.-2C.3D.2

【答案】C

【分析】由S“=2a,,+〃求出4、%的值，再利用函數了（力的奇偶性和周期性的性質可求得

結果.

【詳解】對任意的“GN*，S?=2an+n.

當〃=1時，q=S[=2q+l,解得卬=一1；

當〃22時，由S“=2%+〃可得S,i=2a“_1+〃一1,

上述兩式作差得4=2q+1,即4=2a,i-1,所以，4-I=2（a,i—1）,

所以，數列｛?！耙?｝是首項為4-1=-2為首項，以2為公比的等比數列，

ln

所以，a?-l=-2-2'-=-2,即?！?1一2",.?.%=-31,a6=-63,

因為函數/(x)是定義在R匕的奇函數，則/(0)=0,

函數"》)滿足/(x+3)=/(x),/(1)=-3,

所以，fM=/(-31)=-/(31)=-/(1)=3,/(fl6)=/(-63)=/(0)=0,

因此，/(%)+/(%)=3.

故選：C

【點睛】方法點睛：函數的三個性質：單調性、奇偶性和周期性，在高考中一般不會單獨命

題，而是常將它們綜合在一起考查，其中單調性與奇偶性結合、周期性與抽象函數相結合，

并結合奇偶性求函數值，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，且主要有以下幾種命題角度；

(1)函數的單調性與奇偶性相結合，注意函數的單調性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數圖

象的對稱性.

(2)周期性與奇偶性相結合，此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行交換，

將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解；

(3)周期性、奇偶性與單調性相結合，解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區(qū)

間，然后利用奇偶性和單調性求解.

14.(2021?上海松江區(qū)?高三一模)記S“為數列｛?！埃那绊椇?，己知點(〃,4)在直線

y=10-2x上，若有且只有兩個正整數〃滿足則實數屈勺取值范圍是()

A.(8,14]B.(14,18]

C.(18,20]D.(18牛

【答案】C

【分析】由已知可得數列｛4｝為等差數列，首項為8,公差為-2,由等差數列的前小頁和公式

可得S“=-〃？+9〃，山:次函數的性質可得〃=4或5時，S“取得最大值為20,根據題意，結

合:次函數的圖象與性質即可求得幺的取值范圍.

【詳解】解：由已知可得%=1。-2〃，

由。“-41=-2,所以數列｛4｝為等差數列，首項為8,公差為-2，

所以=8〃+”(〃T)X(_2)=_〃2+9〃,

2

當斤4或5時，S.取得最大值為20,

因為有且只有兩個正整數〃滿足Sn>k,

所以滿足條件的〃=4和〃=5,

因為S3=$6=18,

所以實數%的取值范圍是（18,20].

故選：C.

【點睛】方法點睛：最值范圍問題常用的方法有：（1）函數單調性法；（2）數形結合法；

（3）導數法；（4）基本不等式法.要根據已知靈活選擇合適的方法求解.

二、填空題

15.（2020?上海楊浦區(qū)?高三二模）若｛4｝是無窮等比數列，首項夕=；,則｛叫的

各項的和S=.

【答案】

2

【分析】直接由無窮遞縮等比數列的和的公式計算.

01

【詳解】5=告=萬.

1--

3

故答案為：工.

2

【點睛】本題考查無窮遞縮等比數列的和，掌握無窮遞縮等比數列的和的公式是解題關鍵.

2

16.（2020?上海）已知無窮數列4=H，則數列｛%｝的各項和為.

【答案】-!

2

【分析】用定義可得數列｛為｝是首項為-|,公比為的等比數列，利用公式計

算可得答案.

222

【詳解】因為q=面7,所以4=目=—

2

s±.=H）Z=_i

■2一3'

（一3）"

21

所以數列僅“｝是首項為-彳，公比q為-§的等比數列，

_2

所以數列｛《,｝的各項和為5=言=*=一；.

1+3

故答案為：

2

【點睛】本題考查了無窮等比數列的各項和的公式，屬于基礎題.

17.（2020?上海嘉定區(qū)?高三二模）設各項均為正數的等比數列｛4｝的前"項和為

S“，4=1,42+“3=6,則$6=.

【答案】63.

【分析】先由4=1,%+4=6,求出等比數列的公比9,再和等比數列的前n項和公式求出S6

【詳解】由4=1,。2+生=6,得4+/=6（q>0）=q=2ns“—^=63.

61-2

故答案為：63

【點睛】本題考查了等比數列的通項公式和前“項和公式，屬于容易題.

18.（2020?上海虹口區(qū)?高三一模）計算：1而的-23|=__________.

"fa2n

【答案】2

【分析】將所求代數式變形為「的-23|「4-丁，利用常見數列的極限可求得結果.

limJ---------L=limj--------L

“TOC2〃"T82

【詳解】將所求代數式變形為「融-23|4-?4?

limJ---------1=hmj-------1=—=2

2〃“T822

故答案為：2.

19.（2020?上海奉賢區(qū)?高三一模）等差數列｛4｝中，公差為d,設5.是｛《,｝的前〃項之

'S1、

和，且d>l,計算lim-~^-+—=__.

H（〃+l）a.d）

【答案】g

2

S

【分析】下利用等差數列的通項公式和前〃項和公式將廠廠n「用卬，d和〃表示，再結合

。>1求極限即可.

【詳解】因為｛/｝是等差數列，所以4=4+（〃-1","=叫+"<）”,

所以s“

(〃+1)4+-l)d]drr++q-d

因為d>l,所以1而二二（）,

n->ood"

d

,S1、品+1a二

所以lim-——+——=S“2I'2

”—co（幾+1）。d〃rhm-lim_=2=L

n〃T8

\\/7”T8I+1)4d幾2+%〃+%—dd2

故答案為：3

20.（2018?上海高考真題）記等差數列｛q｝的前〃項和為S“，若%=0,%+%14,貝恪=

【答案】14

【分析】利用等差數列通項公式列出方程組，求出a尸-4,d=2,由此能求出

【詳解】1?等差數列面｝的前n項和為S“,aE,ae+a7=14,

4+2d=0

?<

[4+5d+at+6J=14'

解得aF-4,d=2,

7x6,

.*.S=7a,+------d=-28+42=14.

72

故答案為14.

【點睛】本題考查等差數列的前7項和的求法，考查等差數列的性質等基礎知識,考查運算求

解能力，考查函數與方程思想，是基礎題.

3"

21.（2021?上海松江區(qū)?圖三一模）lim——=

,183"+2"

【答案】1

【分析】利用數列極限的運算法則化簡求解即可.

3"11

lim----------=lim-------------=-------=1

【詳解】解：…3"+2"+1+0

故答案為：1.

【點評】本題考查數列極限的運算法則的應用，解題的關鍵是在分式的分子分母上同時除以3",

屬于基礎題.

22.（2021?上海靜安區(qū)?高三一模）某校的“希望工程”募捐小組在假期中進行了一次募

捐活動.他們第一天得到15元，從第二天起，每一天收到的捐款數都比前一天多10元.要募捐

到不少于1100元，這次募捐活動至少需要天.（結果取整）

【答案】14

【分析】由題意可知，捐款數構成一個以15為首項，以10為公差的等差數列，利用等差數列

的前〃項和公式可得n2+2n-220>0,即可求出〃的最小值.

【詳解】由題意可知，捐款數構成一個以15為首項，以10為公差的等差數列，

設要募捐到不少于1100元，這次募捐活動至少需要〃天，

則15〃+^F^X102U00,整理得："+2”一22020，

2

又?.?〃為正整數，

.?.當〃=13時，132+2X13-220=-25<0：

當〃=14時，142+2x14—220=4>0，二/?的最小值為14,

即這次募捐活動至少需要14天.

故答案為：14.

23.（2021?上海黃浦區(qū)?高三一模）已知工是_2和8的等差中項，J/是32和8的等比中項,

則歷？=.

【答案】5

【分析】利用等差中項求得x,利用等比中項求得代入即可得解.

【詳解】由x是-2和8的等差中項，得2x=-2+8=6,解得：x=3

由V是32和8的等比中項，得（y2）2=32x8=256,解得：/=16

;.5+丫2='9+16=5

故答案為：5

24.（2020?上海楊浦區(qū)?高三一模）已知數列｛〃,｝的通項公式為

(〃42)

S”是數列｛??｝的前〃項和，貝IJ史S,=

(〃N3)(,ne

7

【答案】5

n(〃42)

【分析】因為｛4｝的通項公式為4=<p_)可得

(〃23)\)

Ijm5?=，吧(4+4+%+…?！?=4+%+，呵(/+4+…+%),即可求得答案.

【詳解】

n(〃<2)

???｛4｝的通項公式為4=卜1丫-1

(〃之?(鹿wN*

/.lim5=lim(4+%+%+…a”).

“T+oon〃T+oo'

=q+出+lim(q+%4-----Fa“)

?「a7

??hmS”=；

?->+OO2

故答案為：:7.

2

【點睛】本題主要考查了數列極限運算,解題關鍵掌握數列極限的求法,考查了分析能力和計

算能力，屬于基礎題.

25.(2020?上海普陀區(qū)?高三一模)各項都不為零的等差數列｛??｝(〃eN")滿足

2

a2-2a8+3alo=O,數列也｝是等比數列，且4=4,則貼鳥=,

【答案】8

［分析Jdi已知等式結合等差數列的通項公式求得4,再由等比數列的通項公式結合g=4求

解以屹?的值.

【詳解】解：各項均不為0的等差數列｛4｝滿足%-2a；+34。=0,

二4+1-2(q+7d)2+3(q+9d)=0,化為：4+74=2=4，

???數列｛"｝是等比數列，且々=4=2，

.e.?=%=8.

故答案為：8.

【點睛】本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其性質，考查了推理能力與計算能力，

屬于中檔題.

26.（2020?上海高三一模）已知｛4｝、｛2｝均是等差數列，c“=a"也，若匕」前三項是7、

9、9>則％—

【答案】-47

【分析】｛“"｝、的」均是等差數列，故｛c“｝為:次函數，設?！?加2+"+。，根據前3項，求

出。，8，c的值，即可得到％.

【詳解】解：因為｛4｝、｛2｝均是等差數列，其通項公式均為關于〃的一次式，所以c,=ajb.

為關于〃的二次式，

故設c?=?！耙?arc+bn+c,

:q=7,c2=9,c3=9

a+b+c=l[a=-\

則（4a+2b+c=9,解得怔5

9a+3b+c=9c=3

Cn=-+5n+3

2

.-.clo=-lxlO+5xlO+3=-47,

故答案為：-47.

【點睛】本題考查了等差數列的通項公式，考查分析和解決問題的能力和計算能力，屬于基

礎題.

27.（2020?上海徐匯區(qū)?位育中學）已知數列｛4｝是無窮等比數列，其前〃項和為S“，若

a2+a3=3,%+4=5，則S"=

【答案】8

【分析】計算得到4=4,q=g故s,=8-8（g），再計算極限得到答案.

,,31

【詳解】％+%=4夕+4夕2=3,〃3+。4=。爐+q夕3=5,解得4=4,4=5

故S,,=4]=8—8.出，故陪=8.

1-2

故答案為：8.

【點睛】本題考查了等比數列求和，數列極限，意在考查學生對于數列公式的靈活運用.

28.（2020?上海奉賢區(qū)?高三二模）已知等差數列｛4｝的各項不為零，且生、弓3、小成

等比數列，則公比是

【答案】1或5

【分析】由由、63、%成等比數列，列方程找出q,d，從而可求出公比

【詳解】解：設等差數列｛/｝的公差為d，

因為的、《3、。63成等比數列，

2

所以?13=%,。63，即（卬+12d）2=（q+2"）（。1+62"）,

2

化簡得，d=2atd

d=0或d=2q

當d=O時，等差數列的每一項都相等，所以。3、43、。63成等比數列時的公比為1

當d=2q時，a3=a.+2d-5a.,a,3=a.+\2d=25a,,所以%'=5,

%

所以等比數列的公比為1或5

故答案為：1或5

【點睛】此題考查的是等差數列和等比數列的基本量的運算，屬于基礎題

29.（2020?上海浦東新區(qū)?高三二模）若二項式（1+2）4展開式的第4項的值為4&，則

lira（尤+尤2+工3+...+%〃）=

n->oo\）

【答案】I

【分析】利用二項展開式的通項公式，得：￡=仁（2'）3=40,解得x=!，再由等比數列

6

求和公式，得：x+X1Xs---xn=-x1—f—1,從而極限可求.

【詳解】由已知可得：n=U（2"）3=4&,

即（2、）3=23,=JI,解得x=L,

6

xd)4x-

/.X+W+???+X”

1-x

r.\im(x+x2+x3+"Ulim-x

Z/TOO\)〃-?o)55

故答案為：:

【點睛】本題考查了二項式定理，等比數列求和公式以及求極限，考查了計算能力，屬于中

檔題.

30.（2020?上海金山區(qū)?高三二模）設“為（x+2）"-（x+l）"的展開式的各項系數

h

之和，加=一+bn=3]+[^（[幻表示不超過實數x的最大整

數），則（〃一尸+色,-加『的最小值為

【答案】|9

【分析】令龍=1可得/=3"-2",則岸=〃一〃.（I）,構造函數可得<1,進

而可得a=”?。?轉化原條件可得所求即為點A〃,〃（,）卜點30,-?+6]勺距離

的平方的最小值，再由點A在曲線y=-gx（x>0）上，點3直線y=-gx+6上，聯(lián)立

方程后，求出交點后即可得解.

【詳解】令x=l，則?！?（1+2）"-（1+1）"=3"-2",

令/（司=呼（％?1）,則廣（司=1^,

函數f（x）在（l,e）上單調遞增，在（e,+8）上單調遞減,

InnJ-...、，In2-In3

—的最大值為一或一，

n23

又叱=ln后<ln?,—=ln^<ln-,

2232

.Inw.<in—H[JIn/I+A?In—<0,A0<n-f—<1,

n23(3)

5T)2+色?—m)2=(〃―7)2+

表示點A（7）卜菱一g.+6）的距離的平方，

點4在曲線y=gd-gx（x＞（））上，點5直線y=-;x+6上,

由，2]2解得x=2ge(3,4)或x=—26(舍去)，

y=——x+6

[-2

當〃=3時，點A（3,3）到直線y=-；x+6的距離4=號=半，

當〃=4時，點4（4,6）到直線y=—gx+6的距離&=也=苧〉%，

（〃—）2+（2-mJ的最小值為dj=（之"]='.

9

故答案為：—.

【點睛】本題考查了新定義下二項式定理、數列及導數的綜合應用，考查了轉化化歸思想，

屬于中檔題.

31.（2020?上海靜安區(qū)?高三月考）設a（〃,y,）（z^eN*）是函數y=2x+L的圖像上的點,

直線x=〃+1與直線y=x,的交點為B”,的面積為5.，則!0S,的值為

【答案】1

【分析】先求出4(〃,2〃+3,4+|(〃+1,2〃+2+」7),紇(〃+1,2〃+，),再求出

nn+ln

S,=1-，最后求岫S”得解.

2cn2J+2cn-

【詳解】因為A,(〃，％)(〃eN*)是函數＞=2x+'的圖像上的點，

X

所以=2〃H—，所以A](〃,2〃H—),4+[(〃+1,2/1+2H------),

nn〃+1

直線x=〃+1與直線y=的交點為紇,

所以紇(〃+1,2〃+-).

n

所以-2+W

n

所以紇A,,”的面積S〃=1X1X(2+」7—L)=1+h二一工

2〃+1〃2〃+22〃

]

所以S〃=l—

2n2+2n

所以limS〃=l.

M—>00

故答案為：1.

【點睛】本題主要考查數列的極限的計算，考查三角形面積的計算，意在考查學生對這些知

識的理解掌握水平.

32.（2020?上海靜安區(qū)?高三月考）設由復數組成的數列｛4｝滿足：對任意的〃eN*，都

有%L=i（i是虛數單位），則數列｛”“｝的前2020項和的值為

%

【答案】0

2019

【分析】根據等比數列的定義和通項公式得前n項和公式,可求得52020=?1（1+/+/+---+?）,

再運用1+注/+尸=0,嚴19=嚴4*4+3=/可得答案.

【詳解】設數列｛%｝的首項為為，數列｛4｝的前〃項和為S“，則由已知得4=4廠\所以

SQO=4+%+/+…+4。20=4（1+計/+…+嚴I'），而l+i+/+『=0,產"9=廣必4+3=『,

所以^2020=4x504x（l+i+『+F）=o,

故答案為：0.

【點睛】本題考查等比數列的定義，等比數列的前〃項和，復數的運算，關鍵在于運用等比數

列的前〃項公式求和，/=_],]+,+『+『=0,屬于中檔題.

33.（2020?上海市進才中學高三月考）已知數列｛2｝的首項為4,且滿足

2（〃+1）4-3向=0（〃€N*）,則下列命題：①｛2｝是等差數列；②｛4｝是遞增數列；③

設函數/（x）=x—L—",則存在某個區(qū)間（〃,〃+l）（〃eN*）,使得/（x）在（〃,〃+1）

2

上有唯一零點；則其中正確的命題序號為—

【答案】②③

【分析】對于①，將已知遞推關系式變形可證得數列為等比數列：對于②，結合等比數列通

項公式可求得?！?，可驗證出。川-4>0,知數列遞增；對于③，結合指數函數單調性可確

定了(“單調性，利用零點存在定理可得到結論.

【詳解】對于①，由+一解田=0得：也=2?%，

〃+1n

又：=4,是首項為4,公比為2的等比數列，①錯誤；

對于②，由①知：^=4.2,--|=2,,+,,:.a?=n-2"+',

n

%+i_4=(〃+1)?2"+2_n.2向=2"|(2鹿+2—〃)=(〃+2)2向>0,

??.{0,}是遞增數列，②正確;

/y-2

對于③，由②知：。<a<1，y=2單調遞減,

%

n

單調遞增

2H+2

7?

當〃=1時，/(1)=--,/(2)=-,[!!]/(1)/(2)<0,由零點存在定理知③正確；

綜上所述：正確的命題序號為②③.

故答案為：②③.

【點睛】本題考查數列與函數綜合應用問題，涉及到利用遞推關系式證明數列為等比數列、

根據遞推關系式求解數列通項公式和確定數列增減性、零點存在定理的應用等知識：解題關

鍵是能夠熟練掌握數列增減性和函數單調性的判斷方法.

34.(2020?上海浦東新區(qū)?高三三模)已知

x+X2+x，4----Fx"=ci0+6Z1(x—3)+4(x-3)"+6/j(x-3)'H-------Fa”(x-3)”(〃eN)>且

A

A1=4+4+%+…+〃〃，則lim—=

“TOO4”

4

【答案】y

【分析】令x—3=l,得到x,再代入到已知可得

23

4=?0+?.+?2+??■+??=4+4+4+L+4%根據等比數列前"項和公式求得A“，進而求

極限即可;

【詳解】解：因為X+r+X，d■???+x"=+4(X—3)+(X—3)-+(X—3)3+…+%(x—3)”,

令無一3=1，即尤=4,可得A,=4+4+/+…+4,=4+4?+43+L+4"

4(1-4")

=4

1-4

14,.4

所以lim&=Iim"4一”=1

M-X?4〃3-4"“TOO34"3"T，4"3

4

故答案為:

3

【點睛】本題主要考查利用賦值法求二項式張開式的系數和以及數列極限的求解，屬于中檔

題.

112

35.(2020?上海普陀區(qū)?高三三模)若實數a、6、c滿足一+7=一，則a、6、c是調和的，設含

b

有三個元素的集合尸是集合M=｛刈工區(qū)2020,xeZ｝的子集，當集合P中的元素久"c既是

等差的又是調和的時候，稱集合熟“好集”，則三元子集中“好集”的概率是

3

【答案】

32643198

【分析】由已知求得集合R確定其個數，根據古典概率公式可求得答案.

1I2

【詳解】因為一+7=一，且a+c=2Z?,所以(a—8)(〃+2/?)=0,所以a=b(舍去)或。=—2b,

b

所以c=48,所以P={-2""4處,

又網<2020,解得一505WbW505,且人eZ為*0,所以三元子集中“好集”以H010個，所

10103

求的概率為尸=

404132643198'

3

故答案為:

32643198

【點睛】本題考查集合的新定義，理解其含義是關鍵，將問