全等三角形的判定的復習

《全等三角形》復習11/28/202311、全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形2、全等三角形的性質(zhì)：3、三角形全等的條件：SSSSASASAAAS

HL4、應用：利用全等三角形性質(zhì)證明兩條線段或兩個角相等。

（1）：全等三角形的對應邊相等、對應角相等。（2）：全等三角形的周長相等、面積相等。（3）：全等三角形的對應邊上的對應中線、角平分線、高線分別相等。知識回顧11/28/202323三角形全等的4個種判定公理：

SSS（邊邊邊）SAS（邊角邊）ASA（角邊角）AAS（角角邊）

有三邊對應相等的兩個三角形全等.

有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等.

有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等.

有兩角和及其中一個角所對的邊對應相等的兩個三角形全等.11/28/20233兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等。\=\=SSA11/28/202345三個角對應相等的兩個三角形不一定全等AAA11/28/202356基本圖形11/28/202367感悟與反思：１、平行——角相等；２、對頂角——角相等；３、公共角——角相等；４、角平分線——角相等；５、垂直——角相等；６、中點——邊相等；７、公共邊——邊相等；８、旋轉(zhuǎn)——角相等，邊相等。11/28/202378練一練一、挖掘“隱含條件”判全等1.如圖（1），AB=CD，AC=BD，則△ABC≌△DCB嗎?說說理由ADBC圖（1）2.如圖（2），點D在AB上，點E在AC上，CD與BE相交于點O，且AD=AE,AB=AC.若∠B=20°,CD=5cm，則∠C=,BE=.說說理由.BCODEA圖（2）3.如圖（3），AC與BD相交于O,若OB=OD，∠A=∠C，若AB=3cm，則CD=.說說理由.ADBCO圖（3）20°5cm3cm學習提示：公共邊，公共角，對頂角這些都是隱含的邊，角相等的條件！11/28/2023894、如圖，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，根據(jù)“SAS”需要添加條件

；根據(jù)“ASA”需要添加條件

；根據(jù)“AAS”需要添加條件

；ABCDAB=AC∠BDA=∠CDA∠B=∠C友情提示：添加條件的題目.首先要找到已具備的條件,這些條件有些是題目已知條件,有些是圖中隱含條件.二.添條件判全等11/28/20239105、已知：∠B＝∠DEF，BC＝EF，現(xiàn)要證明△ABC≌△DEF，若要以“SAS”為依據(jù)，還缺條件____；若要以“ASA”為依據(jù)，還缺條件_______；若要以“AAS”為依據(jù)，還缺條件_______并說明理由。．AB=DE∠ACB=∠F∠A=∠DABCDEF11/28/20231011試一試三、熟練轉(zhuǎn)化“間接條件”判全等6如圖，AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE，△AFD與△CEB全等嗎？為什么？ADBCFE8.“三月三，放風箏”如圖（6）是小東同學自己做的風箏，他根據(jù)AB=AD,BC=DC，不用度量，就知道∠ABC=∠ADC。請用所學的知識給予說明。解答7.如圖（5）∠CAE=∠BAD，∠B=∠D，AC=AE，△ABC與△ADE全等嗎？為什么？ACEBD解答解答11/28/202311（1）線段相等、平行EFDCABDBAEFCDCAFBE11/28/202312（2）公共邊、公共角ADCBADCBDBCACBAOFED11/28/202313（3）對頂角DCOAB11/28/202314例1：如圖，點A、F、E、C在同一直線上，AF＝CE，BE=DF，BE∥DF，求證：AB∥CD。證明：∥∥AE=CFBE＝DF≌(S.A.S.)11/28/20231516例2、如圖，已知AB=AC，AD=AE，AB、DC相交于點M，AC、BE相交于點N，∠1=∠2，試說明：（1）△ABE≌△ACD（2）AM=ANANMEDCB12創(chuàng)造條件！？11/28/202316例3：如圖，AB、CD相交于E，且AB＝CD，AC＝DB。求證：EA＝ED證：連接AD在△ADC和△DAB中

AC＝DB（已知）AB＝CD（已知）BC＝BC∴△ADC≌△DAB（S.S.S）∴∠1＝∠2ABDEC∴EA＝ED（等角對等邊）（公共邊）21如果連接的是BC，情況又會怎么樣呢？11/28/202317證明題思路分析方法：①要證什么②已有什么③還缺什么④創(chuàng)造條件注意1、證明兩個三角形全等，要結(jié)合題目的條件和結(jié)論，選擇恰當?shù)呐卸ǚ椒?/p>

2、全等三角形，是證明兩條線段或兩個角相等的重要方法之一，證明時

①要觀察待證的線段或角，在哪兩個可能全等的三角形中。②有公共邊的，公共邊一定是對應邊，有公共角的，公共角一定是對應角，有對頂角，對頂角也是對應角總之，證明過程中能用簡單方法的就不要繞彎路。11/28/2023181、如圖,某同學把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊,現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃,那么最省事的辦法是拿()去配.練習一:

③11/28/20231920實際運用2.測量如圖河的寬度，某人在河的對岸找到一參照物樹木Ａ，視線ＡＢ與河岸垂直，然后該人沿河岸步行１０步（每步約0.75M）到O處，進行標記，再向前步行10步到D處，最后背對河岸向前步行20步，此時樹木A，標記O，恰好在同一視線上，則河的寬度為

米。15ABODC11/28/202320練習二:

3、如圖∠B=∠DEF,BC=EF,補充條件求證:ΔABC≌ΔDEFDEFABC(1)若要以“SAS”為依據(jù)，還缺條件

＿＿＿＿＿；

AB=DE(2)若要以“ASA”為依據(jù)，還缺條件＿＿＿＿；

∠ACB=∠DFE(3)若要以“AAS”為依據(jù)，還缺條件＿＿＿＿＿

∠A=∠D(4)若要以“SSS”為依據(jù)，還缺條件＿＿＿

AB=DEAC=DF(5)若∠B=∠DEF=90°要以“HL”為依據(jù)，還缺條件＿＿＿＿＿AC=DF11/28/202321==__ABCDP4、已知：如圖,P是BD上的任意一點AB=CB,AD=CD.求證:PA=PC①要證明PA=PC可將其放在ΔAPB和ΔCPB或ΔAPD和ΔCPD考慮②已有兩條邊對應相等（其中一條是公共邊）

③還缺一組夾角對應相等

若能使∠ABP=∠CBP或∠ADP=∠CDP即可。

創(chuàng)造條件－－ΔABD≌ΔCBD練習二:

11/28/2023224、已知：P是BD上的任意一點AB=CB,AD=CD.求證PA=PC證明：在△ABD和△CBD中

AB=CBAD=CDBD=BD∴△ABD≌△CBD(SSS)

∴∠ABD=∠CBD

在△ABP和△CBP中

AB=BC∠ABP=∠CBPBP=BP∴△ABP≌△CBP(SAS)

∴PA=PC==__ABCDP11/28/2023235、已知:如圖AB=AE,∠B=∠E，BC=EDAF⊥CD求證：點F是CD的中點分析：要證CF=DF可以考慮CF、DF所在的兩個三角形全等，為此可添加輔助線構(gòu)建三角形全等，如何添加輔助線呢?連結(jié)AC,AD

添加輔助線是幾何證明中很重要的一種思路

拓展練習11/28/202324證明：連結(jié)ＡＣ和ＡＤ∵在△ＡＢＣ和△ＡＥＤ中，ＡＢ＝ＡＥ，∠B=∠E，

ＢＣ＝ＥＤ∴△ＡＢＣ≌△ＡＥＤ（ＳＡＳ）∴ＡＣ＝ＡＤ（全等三角形的對應邊相等）∵ＡＦ⊥ＣＤ∴∠AFC=∠AFD=90°，

在Ｒt△AFC和Ｒt△AFD中ＡＣ＝ＡＤ（已證）ＡＦ＝ＡＦ（公共邊）∴Ｒt△AFC≌Ｒt△AFD（ＨＬ）∴ＣＦ＝ＦＤ（全等三角形的對應邊相等）∴點F是CD的中點11/28/202325

6、如圖，△DAC和△EBC均是等邊三角形，AE、BD分別與CD、CE交于點M、N，有如下結(jié)論：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN。其中，正確結(jié)論的個數(shù)是().(A)3個（B）2個(C)1個（D）0個B11/28/2023267、如圖：以△ABC的兩邊AB、AC為邊分別向外作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE、CD交于點O.求證：OA平分∠DOE。ABCDEOGH11/28/2023278.如圖，在R△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，點D是AB的中點，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延長線于E，求證：BC垂直且平分DE.11/28/2023289.已知：如圖：在△ABC中，BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延長線上截取CG=AB，連結(jié)AD、AG。求證：△ADG為等腰直角三角形。11/28/202329如圖，在⊿ABC中，AB=CB,∠ABC=90°,點F在AB延長線上一點，點E在BC上，且AE=CF,

求證：Rt⊿ABE≌Rt⊿CBF;

（2）若∠CAE=30°,求∠ACF的度數(shù)FACBE11/28/20233010.如圖所示,△ABC為等邊三角形,BE=CD,O為BE和CD的交點.(1)求證:△ABE≌△BCD(2)求∠AOD的度數(shù)如果將條件中BE=CD改為∠AOD=60°(1)中的結(jié)論成立嗎?11/28/20233111.兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示位置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B、C、E在同一條直線上，連結(jié)DC.(1)請找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：結(jié)論中不得含有未標識的字母）；DEABC圖1圖2（2）證明：DC⊥BE11/28/20233212、如圖所示:已知點C為線段AB上一點,四邊形ACMF和四邊形CBEN是兩個正方形,連接AN、BM，則AN與BM之間有什么關(guān)系？請說明理由。ABCEFMN11/28/202333變式(1)如圖所示:四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形,連接CG交AD于點N，連接AE交CG于點M。求證：①AE=CG；②觀察圖形，猜想AE和CG之間的位置關(guān)系，并證明你的猜想。ABCEFMNDG11/28/2023343513、如圖AB＝AC，∠Ｂ＝∠Ｃ，點Ｄ、Ｅ在BC上，且BD＝CE，那么圖中又哪些三角形全等？說明理由。ＡＢＣＤＥ11/28/2023353614.如圖AB＝CD，AD＝BC，O為AC中點，過Ｏ點的直線分別交AD、BC于Ｍ、Ｎ，你能說明∠１＝∠２嗎？M１２ＤＡＢＣＯN11/28/2023363715.如圖，AB=DE，AF=CD，EF=BC，∠A＝∠D，試說明：BF∥CEABCDEF11/28/20233738

16、已知：ΔABC和ΔBDE是等邊三角形,點D在AE的延長線上。求證：BD+DC=AD

ABCDE分析：∵AD=AE+ED∴只需證：BD+DC=AE+ED∵BD=ED∴只需證DC=AE即可。11/28/20233839

17.如圖，CA=CB，AD=BD，M、N分別是CA、CB的中點，則DM=DN，說明理由。ACDBMN11/28/20233918、如圖：AB=AC，EB=EC，AE的延長線交BC于D。求證：BD=DC。11/28/20234019如圖，在Rt⊿ABC中，∠ACB=90°，AC=15cm，BC=8cm,PQ=AB,P、Q兩點分別在AC上和垂直于AC的射線AM上運動，問點P運動到AC上的什么位置時，⊿ABC才能和⊿PQA全等。PQCBAM11/28/20234120已知Rt⊿ABC≌Rt⊿ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC與DE相交于點F，連接CD、EB.

（1）圖中還有幾對全等三角形，請你一一列舉。

（2）求證：CF=EF

EDCBAF11/28/20234221如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°,AD=CD,DE⊥AB于點E，若四邊形ABCD的面積為25，則DE=_______:EDCBAF11/28/20234322如圖，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是兩個等邊三角形，PB與DQ交于M，BP與CQ交于E，CP與DQ交于F。

求證：PM=QM。11/28/20234411/28/202345證明線段或角的和差截長補短11/28/202346證明線段或角的相等，通常是證明線段或角所在的兩個三角形全等。很多時候，證明線段（或角）相等時，條件中沒有現(xiàn)成的全等三角形時，往往不能直接證明一對三角形全等，一般需要作輔助線來構(gòu)造全等三角形．常見的輔助線有：①涉及三角形的中線問題時，常采用延長中線一倍的方法，構(gòu)造出一對全等三角形；②證明兩條線段的和等于第三條線段時，用“截長補短”法可以構(gòu)造一對全等三角形．口訣：遇中線加倍延，遇證和差就截延。11/28/2023471.遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法.(1)截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的