2022年全國數(shù)學聯(lián)賽福建賽區(qū)預賽模擬1參考答案

2022年全國數(shù)學聯(lián)賽福建賽區(qū)預賽模擬1參考答案1、2、3、C4、5、46、-27、28、9、10、的任意一個排列都可以11、13、14、15、2022年全國數(shù)學聯(lián)賽福建賽區(qū)預賽模擬3參考答案1、2、3、4、35、56、287、3268、149、8010、011、12、13、2022年全國高中數(shù)學聯(lián)賽福建賽區(qū)預賽模擬4參考答案1、.2、3、54、5、，6、57、8、9、10、3456二、解答題（每小題20分，共100分）11、(Ⅰ)解:①∴∴②即,從而當時,由②式得,∵,∴由①式得∵,∴,從而對任意都成立.所以是以為首項,1為公差的等差數(shù)列,即,所以數(shù)列的通項公式.(Ⅱ)證:12、證：由于，因此，，。………5'只要證，，…10'兩邊平方，即要證，…………15’再平方，得，此為顯然．…………20’13、證：設在拋物線上，在橢圓上，焦點，則拋物線切線方程為，橢圓切線方程為它們?yōu)橥恢本€，①…………4'②…………8'設公切線方程為，代入拋物線方程并由與拋物線切線方程比較可得將公切線方程代入橢圓方程，并令，兩曲線有相同焦點，，代入上式解得…………12’，…………16’，代入②式，得.…………20'14、證：連接、，…………4'即…………8'分別四點共圓?！?2'四點共圓，…………16'…………20'15、解：稱這種子集為“聯(lián)盟子集”；首先，我們可構造一個聯(lián)盟子集，其中具有個元素．為此，取，以下證，就是的最大值．………4今設是元素個數(shù)最多的一個聯(lián)盟子集，，若是集中的最小數(shù)，顯然，如果，則得，即，顯然，（因與有整除關系）．…………8’今在中用替代，其它元素不變，成為子集，則仍然是聯(lián)盟子集，這是由于對于中異于的任一元素，因與不互質，故與也不互質；再說明與沒有整除關系：因，則；又若，設，（顯然，否則有整除關系），則，于是，這與的最小性矛盾！…………16因此仍然是聯(lián)盟子集，并且仍是元集；重復以上做法，直至子集中的元素皆大于為止，于是得到元聯(lián)盟子集，其中．即，因任兩個相鄰整數(shù)必互質，故在這個連續(xù)正整數(shù)中至多能取到個互不相鄰的數(shù)，即．又據(jù)前面所述的構造可知，的最大值即為．…………20’2022年全國高中數(shù)學聯(lián)賽福建賽區(qū)預賽模擬5參考答案一、填空題（每小題6分，共60分）1、42、63、2或64、5、雙曲線．6、77、88．8、9、57710、997二．解答題（每小題20分，共100分．）11．設A,B是橢圓上兩個動點，O是坐標原點，且．又設P點在AB上，且．求的值．解：方法一：由，不妨設．這樣，.由A,B在橢圓上，有．因此．……（l0分）現(xiàn)在，在Rt△OAB中，，所以．因此．……（20分）方法二：不妨設OA與x軸正向的夾角為,OB與x軸正向的夾角為．這樣,可進一步設．代入橢圓方程可得．由此可見，也即．在Rt△OAB中，，因此．這樣．……（20分）12．在四面體ABCD內(nèi)部有一點O，滿足OA=OB=OC=4,OD=l，求四面體ABCD體積的最大值．解：首先，固定A，B,C,D四點時，要使ABCD的體積最大，則D點到平面ABC的距離應最大．但D點在以O為球心，1為半徑的球面上運動，故取最大值時，OD⊥平面ABC．……（5分）設O在平面ABC的投影點為E，且|OE|=x．那么，D到ABC的距離為1+x．而EA=EB=EC=，可知△ABC的面積．（注：這里用到，若A,B,C是半徑為R的圓上三點，則△ABC的面積．）………（l0分）因此，ABCD的體積．考慮函數(shù)，易知,可見在（0,3）上有唯一的臨界點，在（0,3）的最大值為=36.從而所求最大值為．(20分）13、14.（20分）設，求證：14、證明：依柯西不等式得等號成立的充要條件是,而上面的方程無實數(shù)解∴∴∵,∴所以15．設函數(shù)．（l）證明：當時，；(2)數(shù)列｛｝滿足，證明：數(shù)列｛｝遞減且．解：(1)待證式等價于，即．令，則，可見，在上單調增，因此當時，．……（5分）(2)記，則．要證明｛｝遞減，只需證明當時，．事實上，等價于，也即，注意，可見上式也等價于，即，這由（l）即證．……（10分）要證明，只需證明當時，．這等價于．也即．為證此式，令，則，且等號成立當且僅當，即．因此在上單調增，．于是得證．…….(20分）2022年福建省高中數(shù)學競賽試題6答案一、填空題：1．．2．．3．．4．．5、6、7、．8．．9．．10．．二、解答題：11.解：由韋達定理得，.于是，有=……6分====.…11分由已知，得.而，所以.因此，.……………16分12.（本小題滿分20分）證明：假設，否則結論顯然成立（此時E、K重合）.設與的角平分線交于點，，，于是，又因為在以為直徑的圓上，故.……5分設與的角平分線交于點，則的內(nèi)心在點之間.又因為，則有，且.…………10分如果在線段的內(nèi)部，有，所以四點共圓.如果在的同側，有，也有四點共圓.……………15分因為，所以，.由于，則重合，即和的角平分線交于一點.……………20分13．解：如圖1，延長相交于點,連結，過作,垂足為,則，過作，垂足為，連結，則由三垂線定理可得，為二面角的平面角．與關于點位似，位似比為，，.圖1圖2圖1圖2如圖2，，；如圖1，，，又圖2知，即，于是，故二面角的大小為．14．（本題滿分20分）解：令，直線的斜率為，則兩式相減并整理得由得又解得若不存在，則不合題意，故所求直線的方程為．15．（本題滿分20分）解：由得，令，則，利用不等式得，從而是減函數(shù)，令，則，．故實數(shù)的取值范圍為．2022年全國高中數(shù)學聯(lián)賽預賽模擬7參考答案：一、填空題（本大題共10個小題，每小題6分，共60分）1、2、923、114、5、6、7、8、40259、310、二、解答題（本大題共5個小題，每小題20分，共100分）11、證明：在圓中，由于弦故圓周角，因此，、、、與、、、分別共圓，于是…5分設點在邊上的射影分別為、、，則△∽△∽△，故由得，eq\o\ac(○,1)設△的內(nèi)心為今證四點共圓：連因分別共圓，則，又由eq\o\ac(○,1)，，所以△∽△因此而所以因為故得，因此、、、四點共圓，于是……………10分延長AM交的外接圓于則AO為該外接圓的直徑,于是且因此,點O是所在圓的圓心,從而為⊙O的切線.延長AD交⊙O于T,則∽,所以,又由∽,得,因故...②………………15分延長到,使，則為平行四邊形,...③由②得...eq\o\ac(○,4)由③、eq\o\ac(○,4)得∽所以，,即BPM=CPD.…20分12．解由平行四邊形對角線平方和等于四條邊的平方和得．①在△OBC中，由余弦定理，所以，②由①，②得．③所以，故，所以．由③可得，，故．因為，結合②，③可得，解得（結合）．綜上所述，，．13．解．當時，，此時，且當時不等式等號成立，故．當時，，此時“雙鉤”函數(shù)在內(nèi)是遞減，故此時．綜上所述，…（14分）14．證（1）記，由平均不等式．于是，所以，而，所以，即，從而．（2）又因為，所以，故．15．解（1）設集合，且A滿足（a），（b）．則．由于不滿足（b），故．又都不滿足（b），故．而集合滿足（a），（b），所以．（2）首先證明．①事實上，若，滿足（a），（b），且A的